Ficha de Trabalho 06 e 07

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1 Ficha de rabalho 06 e 07 Produto Interno. (Aulas 1 a 18). Produto interno em R n. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em R n : Produto interno. Norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Desigualdade triangular. Ângulo. Distância. Vectores ortogonais. eorema de Pitágoras. Projecção ortogonal. Projecção ortogonal. Base ortogonal e base ortonormada. Produto externo de vectores em R. Produto misto de vectores em R. Os espaços fundamentais. Complemento ortogonal. Espaços fundamentais de uma matriz. Espaços fundamentais de uma matriz, característica e nulidade. Ortogonalização de Gram-Schmidt. A saber: 1. Calcular o produto interno de vectores e saber qual o seu significado. 2. Calcular a norma, o ângulo e a distância de vectores.. Determinar o produto externo de vectores em R e saber qual o seu significado.. Verificar se dois vectores são ortogonais. 5. Dados dois vectores, calcular a projecção ortogonal de um sobre o outro. 6. Determinar uma base para o espaço coluna, espaço linha, espaço nulo e espaço nulo à esquerda de uma matriz 7. A relação entre os espaços fundamentais 8. Determinar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço. 9. Determinar uma base ortonormada de um subespaço com base no método de Gram-Schmidt. 1. Em 2 R considere a base canónica = { e1, e2} E. 2. Em a) Dados os vectores u = e1 + e2 e v = 2 e1 2 e2, e sendo α o ângulo entre eles, calcule o vector ( u v) u v w = cos( α) projv u. u b) Dados os vectores u = e1 + 2e 2 e v = 2 e1 e 2, calcule o vector w = ( u v) v v projv u. v R, determine os valores de k para os quais k u = 1, com u = Em R, calcule os valores de k para os quais os vectores u e v são ortogonais: a) u = [ 1 2] e = [ k ] v 7 1. b) u = [ k 1 k] e = [ k ]. Seja = { e, e, e } v 6 5. E a base canónica de 1 2 = 2 e1 + e2 e e v = e1 e2 +2 e u + Dados os vectores a) Calcule a projecção ortogonal de u sobre v e a componente de u ortogonal a v. Prof. José Amaral LERCM - ALGA F06 e

2 5. Em 6. Em b) Calcule o produto externo entre os vectores u e v, u v. c) Se W = L( uv, ), indique, justificando, uma base ortonormada para R, a) Dados os vectores u = [ 1 2 ] e v = ângulo entre eles, calcule o vector 2 0 1, e sendo α o v ( u v) w = projv u. u cos( α) b) Verifique quais dos seguintes vectores são ortogonais: = u =, u = e u = u , R, calcule o produto externo dos vectores 1 = [ 1 1 0] [ 1 1 0] u. Esboce graficamente u 1 e u 2 e u 1 u2. 2 = R, considere os vectores 7. Em ângulo por eles formado. Calcule: a) θ. 8. Em v = b) proj v u. c) perp v u. d) odos os vectores w = ku tais que w = 10. e) u v f) Justifique que { uvu,, } u e u = e v = [ 0 1 1] e seja θ o v é uma base de R, com o produto interno usual, considere os vectores = [ ] [ 1 1 1]. Determine a) O seno do ângulo entre u e v. b) A projecção ortogonal de u sobre v. c) odos os vectores perpendiculares a v. u 1 0 e d) Determine o valor do número real k de modo a que o vector [ 0 k 1] seja ortogonal a v. e) Um vector unitário simultaneamente perpendicular aos vectores u e v. 9. Dada a matriz a) Determine uma base para o espaço linha da matriz. b) Determine uma base para o espaço coluna da matriz. c) Determine uma base para o núcleo da matriz. d) Determine uma base para o espaço nulo à esquerda da matriz. Prof. José Amaral LERCM - ALGA F06 e

3 10. a) Considere a matriz real Mostre que o espaço linha de A é o plano xoy e o espaço nulo de A é o eixo dos zz. b) Determine uma matriz quadrada de ordem cujo espaço nulo seja o plano xoz e cujo espaço linha seja o eixo dos yy. 11. Considere a matriz real a) Indique uma base para o espaço linha de A, lin( A ), e uma base para o espaço nulo de A, ker( A ). b) Seja F = lin( A) (subespaço vectorial de R ). Sem efectuar quaisquer cálculos indique: b.1) dim( F ) e exiba uma sua base. b.2) dim(col( A )) e exiba uma sua base. b.) dim(ker( A )). 12. Determine uma base ortonormada para o espaço nulo da matriz Seja A uma matriz real do tipo 6 cujas colunas são linearmente independentes. Indique quais são as dimensões dos espaços fundamentais de A : lin( A ); col( A ); ker( A ); ker( A ). 1. Seja A uma matriz real do tipo 5 7 com característica 2. Indique, justificando, qual o valor de verdade de cada uma das proposições seguintes: a) O espaço nulo de A tem dimensão 2. b) As linhas de A são linearmente independentes. c) O número máximo de colunas de A linearmente independentes é Determine uma matriz A tal que [ 1 2 1] seja uma base do seu espaço coluna e [ 0 2 1] seja uma base do seu espaço linha. 16. Determine uma matriz quadrada, A, tal que [ 1 1 1] seja uma base do espaço nulo de A e de A Prof. José Amaral LERCM - ALGA F06 e

4 17. Em R, considere os vectores = [ ] a) Prove que u 1 e u 2 são ortogonais. u e = u b) Determine um vector u = [ x y z] tal que {,, } base ortogonal de u u u constitua uma Considere o espaço cartesiano 2 R dotado do produto interno canónico. Mostre { } que = 22 22,[ 5 5] B é normado mas não é ortogonal. 19. Mostre que a base de ortonormada. { } R = [ ],[ ],[ 1 1 2] B não é 20. Determine um vector u = [ u u u ], tal que os vectores = 1 2 w = e u formem uma base ortogonal de 21. Sendo W o subespaço de u [ 0 1 1] 2 = 22. Sendo W o subespaço de uma base para 2. Sendo W o subespaço de uma base ortonormada para vectores de W ou, determine uma base para 2. Sendo W o subespaço de [ 0 1 1] u 2 = ortonormada de 25. Seja W o subespaço de v 1 1 2, R gerado pelos vectores u = [ 1 2 1] 1 R gerado pelo vector u = [ ] , determine R gerado pelo vector u = [ ] W, e uma base ortonormada de , determine e R só formada por R gerado pelos vectores u 1 = [ 1 0 1], determine uma base ortonormada para R só formada por vectores de W ou e W, e uma base R definido por W = { ( xyz,, ) : x y 2z= 0) } a) Calcule uma base para b) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortonormada de 26. Determine uma base ortonormada do subespaço de 27. Considere o espaço vectorial real R { ( xyz,, ) R : x y z} W = + = R, dotado do produto interno canónico e seja { ( xyz,, ) R : x y z 2 x} W = = = a) Encontre uma base e a dimensão de b) Escreva o vector = [ ] v 1 como soma de um vector de W com um vector de c) Determine a distância de v a Prof. José Amaral LERCM - ALGA F06 e

5 28. Em R, seja W o subespaço gerado pelos vectores (linearmente independentes) u 1 = [ ], u 2 = [ ] e u = [ ]. Use o método de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormada de W a partir da base dada. 29. Verifique se é ortogonal a matriz Considere os vectores de u = a) Prove que = { u, u, u } 1 2 R, = B é uma base de u, = u e b) Seja F o subespaço gerado por u 1 e u, F = L( u1, u). Caracterize os vectores de F por meio de uma condição nas suas coordenadas. c) Determine uma base de F. d) Determine uma base ortogonal de F, { uv, }, e a projecção ortogonal de u 2 sobre F. e) Indique um vector w R tal que {,, } uvw forme uma base ortogonal de Prof. José Amaral LERCM - ALGA F06 e