ÁLGEBRA LINEAR. Espaços Vetoriais Euclidianos, Produto Interno. Prof. Susie C. Keller

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1 ÁLGEBRA LINEAR Espaços Vetoriais Eclidianos, Prodto Interno Prof. Ssie C. Keller

2 Prodto Interno Prodto interno no espaço etorial V é ma fnção de V V em IR qe a todo par de etores (, ) V V associa m número real, indicado por. o <, >, tal qe os segintes axiomas sejam erificados: P1). =. P). ( + w) =. +. w P3) (). = (. ), IR P4). 0 e. = 0 se, e somente se, = 0.

3 Prodto Interno Dos qatro axiomas decorrem as propriedades: I) 0. =. 0 = 0, V II) ( + ). w =. w +. w III). () = (. ), IR IV). ( n ) = n

4 Prodto Interno Exemplos:

5 Prodto Interno

6 Prodto Interno

7 ) Prodto Interno

8 Prodto Interno

9 Prodto Interno Problemas resolidos:

10 Prodto Interno

11 Prodto Interno

12 Um espaço etorial real, de dimensão finita, no qal está definido m prodto interno, é m espaço etorial eclidiano. Módlo de m Vetor: Dado m etor de m espaço etorial eclidiano V, chamase módlo, norma o comprimento de o número real nãonegatio, indicado por, definido por: Se = (x 1, y 1, z 1 ) IR 3 com prodto interno sal, têm-se: x, y, z x, y, z x y z

13 Distância entre dois etores: Chama-se distância entre dois etores (o pontos) e o número real representado por d(,) é definido por: Sendo = (x 1, y 1, z 1 ) e = (x, y, z ) etores do IR 3 com prodto interno sal, têm-se: Se = 1, o etor é m etor nitário. Diz-se qe está normalizado. Todo etor não-nlo V pode ser normalizado:. d ), ( ,, ), ( z z y y x x z z y y x x d

14 Obseramos qe: 1 Exemplos:

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16 IMPORTANTE:

17 Propriedades do Módlo de m Vetor Seja V m espaço etorial eclidiano. I) 0, V e = 0, se, e somente se, = 0. II) =, V, IR. III),, V. Se = 0 o = 0, ale a igaldade 0 Desigaldade de Schwartz o Ineqação de Cachy-Schwartz

18 IV) + +,, V. De fato: mas logo o o, ainda ) ( Desigaldade trianglar

19 Ânglo de dois Vetores Sejam e etores não-nlos de m espaço etorial eclidiano V. A desigaldade de Schwartz,, pode ser escrita assim: 1 o 1 o, ainda 1 1 Daí, tem-se qe o cosseno de m ânglo entre dois etores e é: cos, 0

20 Exemplos:

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22 Vetores Ortogonais Seja V m espaço etorial eclidiano. Diz-se qe dois etores e são ortogonais, e se representa por, se, e somente se,. = 0. Exemplos:

23 Obserações: 1. O etor 0 V é ortogonal a qalqer V: 0. = 0. Se, então, R. 3. Se 1 e, então ( 1 + ).

24 Conjnto Ortogonal de Vetores Seja V m espaço etorial eclidiano. Diz-se qe m conjnto de etores { 1,,..., n} V é ortogonal se dois etores qaisqer, distintos, são ortogonais, isto é, i. j = 0 para i j.

25 Teorema Um conjnto ortogonal de etores não-nlos A = { 1,,..., n } é linearmente independente (LI). Consideremos a igaldade: a a a n n = 0 e façamos o prodto interno de ambos os membros da igaldade por i : o (a a a n n ). i = 0. i a 1 ( 1. i ) a i ( i. i ) a n ( n. i ) = 0 a i ( i. i ) = 0 Como A é ortogonal só resta o termo i. i 0, pois i 0. Então a i ( i. i )=0 implica a i = 0 para i = 1,,..., n. Logo o conjnto A = { 1,,..., n } é LI.

26 Base ortogonal Diz qe ma base A = { 1,,..., n } é ortogonal se os ses etores são dois a dois ortogonais. Assim, se dim V = n, qalqer conjnto de n etores não-nlos e dois a dois ortogonais, constiti ma base ortogonal. Por exemplo: {(1,, -3), (3, 0, 1), (1, -5, -3)} é ma base ortogonal do IR 3.

27 Base ortonormal Diz qe ma base B = {1,,..., n} de m espaço etorial eclidiano é ortonormal se B é ortogonal e todos os ses etores são nitários, isto é:

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30 Podemos erificar qe: