Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos não Linear 1ªAula. Lúcia Dinis Setembro

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1 Smáro Obctos Smáro: Vctors, nsors. Opraçõs Com Vctors nsors d ª Ordm. nsors d ordm spror à ª. Mdança d Bas. Valors Vctors Própros. Campos Escalars, Vctoras nsoras. Obctos da Ala: Famlarzação com as notaçõs Indcal nsoral. Ralzação d Opraçõs com Vctors nsors trando partdo das notaçõs rfrdas. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

2 Vctor d Posção Vctor Componnts ngrto (,, ) Ltra normal com m índc corrspondnt ao númro da componnt Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

3 Smbologa das Grandzas As qantdads físcas rlants são por zs, grandzas scalars q podm sr rprsntadas por caractrs, como a,b,c o a,b,g, como é o caso da massa, da dnsdad da tmpratra. Grandzas físcas como a força, a locdad a aclração são m gral rprsntadas por ctors para os qas s sam ltras mnúsclas m ngrto,,,w o para as sas componnts a notação ndcal. As tnsõs, as dformaçõs, tc, são qantdads rprsntadas m gral por tnsors d sgnda ordm, para os qas s sa a smbologa A,B,C o a notação ndcal assocada às componnts do tnsor. Os tnsors d ª ordm ao longo do tto são m gral rfrdos smplsmnt como nsors. Para algmas grandzas podm tr d tlzar-s tnsors d ª ordm para a sa rprsntação, sndo a notação tlzada A,B,C, o ntalmnt tnsors d ordm spror á ª para os qas s tlza a notação A,B,C. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

4 Vctor Um ctor é gomtrcamnt m sgmnto d rcta, ao qal fo atrbído m sntdo no spaço, por mplo, na fgra, stá rprsntado m ctor,, st ctor pod dntfcar a posção do ponto B rlatamnt ao ponto A, consdrado como a orgm do sstma d rfrênca. Nst caso o ctor, é m ctor d posção. Notação nsoral B Notação ndcal,, A { } Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 4

5 Vctor Um ctor no spaço Ecldano trdmnsonal pod sr rprsntado plas sas componnts rlatamnt a ma bas d ctors. Dsgnando por { },, a bas d ctors, o ctor pod sr scrto como ma combnação lnar dos ctors d bas, o sa + + Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 5

6 Vctor Grandza do Vctor + + Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 6

7 ADIÇÃO DE VECORES A soma do ctor com o ctor é o ctor w q s obtém adconando os dos ctors w + As componnts do ctor w obtém-s por adção das componnts dos ctors : w + w + w + A sbtracção d dos ctors também é possíl procssa-s adconado m dos ctors ao ctor q s obtém consdrando o otro ctor com o snal ngato. w + ( ) w w w Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 7

8 Adção Gométrca d Vctors A adção sbtracção d ctors no spaço trdmnsonal pod fazr-s gomtrcamnt, rcorrndo à l do parallogramo, como s rprsnta na fgra. A adção d ctors é comtata é assocata. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 8

9 Prodto d m Escalar por m Vctor No caso d s consdrarm ctors no spaço a n dmnsõs a adção procssas d modo análogo ao rfrdo sndo as componnts w +. Podm somar-s α zs o msmo ctor obtndo-s m ctor q é w α q corrspond ao prodto d m scalar por m ctor. A adção do ctor com o ctor (-) condz ao ctor nlo dsgnado por o. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 9

10 Prodto Escalar o Prodto Intrno O prodto scalar o prodto ntrno d dos ctors costma rprsntar-s por é: n cos θ ( ) ( ), + n n δ é o símbolo d Kronckr δ 0 s s Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 0

11 Prodto Escalar A grandza rsltant do prodto scalar d dos ctors é ma grandza scalar, no caso d srm dos ctors ortogonas ntr s, o prodto scalar,., tm o alor zro. No caso d s sar a connção dos índcs rptdos, nntada por Enstn, o snal d somatóro pod sr omtdo a qação antror toma a forma: contraccão A partr d dos ctors obtém-s m scalar n Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

12 Emplo. Consdr as prssõs sgnts panda-as tndo m conta a connção dos índcs rptdos. a) w b) a) Somando prmro m dpos m obtém-s: δ ( + + )( + ) w w + w b) Somando m para o º mmbro da galdad obtém-s : δ δ+ δ+ δ δ δ + δ + δ δ Etc. Para Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

13 Prodto Vctoral O prodto ctoral d dos ctors é m ctor q é ortogonal aos ctors é rprsntado por. O comprmnto d é dfndo como sndo gal à ára do parallogramo por ls formado no spaço trdmnsonal, como s rprsnta na fgra. A Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

14 Prodto Vctoral O Prodto ctoral dos ctors bas é tal q: O prodto Vctoral d dos ctors pod sr calclado do sgnt modo ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) dt Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 4

15 Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 5 Emplo. ( ) Mostr q ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ) ( - ( ) ( ) ( ) [ ] + + ( ) ( ) ( ) + +

16 Prodto Escalar rplo ( ).ww ( ) + w ( )+ w ( ) w w w dt c/ n w w. n Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 6

17 Prodto Escalar rplo A rprsntação do prodto scalar trplo pod sr smplfcada rcorrndo ao chamado símbolo prmtador q é rprsntado por ε k, tnsor d ª ordm, o qal pod sr dfndo do sgnt modo: ε k ( ) ( ) ( ) s for,, k m ordm cíclca com,, k dstntos 0 s for,, k tal q o k o k s for,, k,, k dstntos m ordm não cíclca As ordns cíclcas d (,, k) com, k, são (,, ); (,, ) (,, ). As ordns não cíclcas d (,, k) são (,, ); (,, ) (,, ). ( ). ε k k Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 7

18 Emplo. Mostr q ε k ε pqk δ δ δ δ p q q p ε k ( ). k δ dt δ δ k δ δ δ k δ δ δ k δ(δ δk δδk) δ(δ δk δδk) + δ(δ δk δδk) tc Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 8

19 Prodto Vctoral rplo ( w) ( ε ) mn m wn k εkεmn m wn ε k k ( ) km n kn m m n k δ δ δ δ w n k w n k m m w k k (.w) -(.) w Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 9

20 é m tnsor d ª ordm Prodto nsoral d dos ctors st tnsor pod actar nm ctor w. A dfnção d prodto tnsoral stá nclída na galdad sgnt [ ] w ( w). A cada para d ctor (, ) com E F, stá assocado m lmnto E F, chamado prodto tnsoral d por dsgnado por, d tal modo q a) ( + ) + (L Dstrbta) b) ( + ) + c) ( ) λ ( ) ( λ ) " λ (L Assocata) Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 0

21 Prodto nsoral d dos ctors. S {, } for ma bas d ctors d E { f, f }... p... q for ma bas d ctors d F, os pq ctors d dmnsão pq). fα consttm ma bas d E F (spaço As condçõs a) b) c) prmtm-nos conclr q, com f, o lmnto do prodto s pod scrr na forma α α ( ) ( f ) ( f ) α α α α Bas nsoral Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

22 Prodto nsoral d dos ctors O prodto tnsoral dos ctors d bas do spaço trdmnsonal, rprsnta m connto d tnsors d ª ordm. Uma z q o númro d ctors bas é, stm 9 combnaçõs d prodtos tnsoras ntr ls. Os 9 tnsors,, consttm ma bas adqada para rprsntar as componnts d m tnsor d ª ordm tm ma fnção smlhant aos ctors bas m rlação aos ctors. O prodto tnsoral d três ctors dá orgm a m tnsor d ª ordm é: R w O prodto tnsoral é m gral não comtato. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

23 Emplo.5 O tnsor A é m tnsor cartsano d ordm. Mostr q a procção d A na bas ortogonal d ctors é dfnda d acordo com a rlação sgnt A.A ond A são as no componnts do tnsor A. O prodto A, d acordo com a dfnção d tnsor d ª ordm, pod scrr-s com a sgnt forma A Amn ( m n) D acordo com a dfnção [ ] w (. w) o sgndo mmbro da qação antror pod sr altrado Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

24 Emplo.5 A ( m n) mn ( n ) m mn nm m δ A mn A A Mltplcando scalarmnt por ambos os mmbros da qação antror obtém-s: A m A A m Am m Amδm m A Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 4

25 nsor d ª Ordm O tnsor d ª ordm, pod sr prsso m trmos das componnts rlatas à bas tnsoral, como sndo: [ ] o tndo m conta a connção dos índcs rptdos [ ]. Nstas condçõs as qantdads são alors scalars q dpndm da bas scolhda para a sa rprsntação. A part tnsoral d stá lgada à bas d tnsors. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 5

26 nsor d ª Ordm À smlhança do q acontc com os ctors, o tnsor, l própro não dpnd do sstma d coordnadas scolhdo, mas as sas componnts dpndm. O tnsor é compltamnt caractrzado pla sa acção nos três ctors bas. A acção do tnsor no ctor bas k k é: [ ] k [ ] ( ) k. k δ k Acção do nsor sobr m ctor ( ) k Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 6

27 Adção d nsors A adção d ctors é ma opração á conhcda á fo rfrda, a soma dos ctors rsltants do prodto d m tnsor d ª ordm por m ctor,, pod scrr-s com a sgnt forma [ + P] + P [ ] soma d tnsors O + P + P Consqntmnt a soma dos tnsors + P rfrdos à msma bas tnsoral é faclmnt calclada da sgnt forma: É comtata [ +P] + P Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 7

28 Mltplcação por m Escalar A mltplcação d m ctor,, por m scalar, α, também é possíl, sndo [ α ] α[ ] o sa [ α ] α A mltplcação por m scalar é ma opração dstrbta [ + P] α α P α + A opração prodto scalar sgnt não é comtata Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 8

29 Prodto d Dos nsors [ P] P [ ] [ P] [ ] ( ) ( ) Pk k m m Pk m δkm [ ] P Pk k P Pk k P.. P ( ). P Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 9

30 nsor Idntdad nsor Idntdad I δ A norma do tnsor A é dsgnada por A é m alor não ngato q é gal à raz qadrada d A:A. O tnsor, tm m nrso,, tal q ( ) ( ) sndo I k k δ k k δ Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 0

31 Emplo.6 Mostr q o tnsor A pod sr consdrado gal à soma d m tnsor smétrco com m tnsor ant-smétrco do sgnt modo: A A + A A + A A + A Consdr-s q a dcomposção é fta d tal modo q AB+C sndo B A A C prtnd-s mostrar q B é smétrco C ant-smétrco. B + A + A + A A A A B Consqntmnt B é m tnsor smétrco. C A A A A A A C B C Consqntmnt C é m tnsor ant-smétrco. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

32 raço O traço d m tnsor A, é m scalar dsgnado por tra q é gal à soma dos lmntos da dagonal da forma matrcal do tnsor d ª ordm, tra A A + A + A. Em notação ndcal a contracção sgnfca, dntfcar dos índcs somar consdrando os índcs mdos. Em notação smbólca é caractrzada por m ponto ntr os dos ctors. Além da contracção smpls á rfrda, é possíl consdrar a contracção dpla d dos tnsors A B, caractrzada por dos pontos, da qal rslta m scalar. A contracção dpla pod sr dfnda m trmos do traço do sgnt modo: A : B tr( A B) tr( B A) tr( AB ) tr( B A ) A B B A B : A Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

33 Proprdads da Contracção Dpla I:AtrAA:I A : (BC) (B A) : C (A C) : B A : ( ) A ( ) : A ( ) : (w y) ( w)( y) ( ) k l ( k l) k l : ( ) )( δ δ Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla

34 Emplo.7 Mostr a partr da dfnção (.4) q: b)( A ) ( A ) a) ( AB) B A Solção: a) Mltplcando AB à sqrda por B A B A AB B IB B B I consqntmnt ( AB) B A. b) ( ) ( ) I A A A A Consqntmnt ( ) ( ) A A I, obtém-s: Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 4

35 Prodto rádco w Proprdads do Prodto rádco ( ) w w ( w)(w ) ( w):( y)( )(w y) ( w):i( w) Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 5

36 Contracção Dpla A contracção dpla d m tnsor d ªordm, A com m tnsor d ª ordm, B prodz m ctor, como s pod rfcar: A : lm ( ) ( ) B Ak B k : k Blm ( l)( k m) A k Blm l km A δ A k B k δ l m Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 6

37 Mdança d Bas ' g Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 7

38 Mdança d Bas ' ( ) '. o Q g ( ). δ g m g n ' nsor d ransformação Q [ g g ] [ ] ' mn ( g ) ( g ) m n ' mn g Q m Q n Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 8

39 Inarants Os narants são tas q ( Q, Q, ) f ( ) f k k Os narants do tnsor,, consdrados fndamntas são I II III k k Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 9

40 Valors Vctors Própros.n n.n λ n n λ sndo a drcção n chamada d drcção prncpal o ctor própro d o scalar l chamado d alor prncpal o alor própro d. As qaçõs.5 consttm m sstma d qaçõs a q s pod dar a forma ( λ δ) n 0 n Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 40

41 Eqação Caractrístca -λ I 0 λ 0 δ λ + I λ II λ III 0 I tr II ( tr) [ ] [ ] tr( ) III dt ε k k Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 4

42 Campos Escalars, Vctoras nsoras Um campo corrspond ssncalmnt a ma fnção q é dfnda nm domíno contíno. Uma fnção tnsoral é ma fnção cos argmntos são ma o mas arás tnsoras cos alors são scalars, ctors o tnsors. Um campo scalar stá assocado a ma fnção co alor para m ponto do domíno contíno é m scalar, m campo ctoral stá assocado a m fnção co alor nm ponto é m ctor m campo tnsoral stá assocado a ma fnção co alor nm ponto é m tnsor. As fnçõs f(a), (A) (A) são mplos d fnçõs scalars, ctoras tnsoras d m tnsor arál A. O tnsor arál pod sr sto dma forma gral pod sr m scalar, m ctor o m tnsor d ordm spror. Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 4

43 Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 4 Gradnt d ma Fnção Escalar ( ) ( ) grad d ) f ( d f d f df Gradnt d ma fnção Escalar Gradnt d ma fnção ctoral grad grad

44 Drgênca d m ctor d ( ) d lm V 0 V ( ) ( ) S.n d s tr(grad ) orma da Drgênca d dv S. n da Lúca Dns Mcânca dos Sóldos não Lnar ªAla 44