3 Modelo e Análise Estrutural

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1 Modo Anás Estrtra. Modo Estrtra Os dfícos são modados como strtras trdmnsonas, ond as ajs são tratadas como dafragmas rígdos, sto é, admt-s q as têm rgd nfnta no própro pano rgd na transrsamnt, transmtndo apnas forças horontas. Dsta forma, consdrando-s q a hpóts d dafragma rígdo pod sr ncorporada ao sstma sm q as ajs sjam modadas, os sstmas strtras anasados passam a s consttírm apnas por barras, o sja, gas pars. Aém dsso, dspra-s a rgd à torção m todas as barras do modo. Qanto ao carrgamnto ao qa a strtra stá sbmtda, consdra-s, aém das cargas grataconas (prmannts acdntas, as cargas horontas ddas ao nto. As cargas podm sr apcadas drtamnt nos nós o, no caso das gas, d forma dstrbída ao ongo das barras. Caso cargas dstrbídas sjam apcadas nas gas, os sforços d ngastamnto prfto são cacados ando-s m conta os ãos ftos das gas, conform modo aprsntado no tm (... Os casos d carga consdrados sas rspctas combnaçõs são aprsntados no tm (.4... Esforços d Engastamnto Prfto Vão Efto das Vgas Sgndo NBR 8:, o ão fto das gas pod sr cacado por: f = a a ; (. com a ga ao mnor aor ntr ( t,h a ga ao mnor aor ntr ( t,h, conform fgra (..

2 Modo Anás Estrtra 4 t h t Fgra. Vão fto das gas Após a dtrmnação do ão fto, admt-s q os trmos das gas stão gados aos os dos pars atraés d barras rígdas (fgra.. Dsta forma, os sforços d ngastamnto prfto, q são apcados nos pontos nodas concdnts com os os dos pars, são dtrmnados a partr das prssõs (., conform fgra (.. M M = M V (.a = M V (.b V = V V = V (.c (.d Eo do par M V f M V Eo do par Fgra. Modo para dtrmnação dos sforços d ngastamnto prfto. M M V V ond,, são os sforços d ngastamnto prfto cacados com bas no ão fto da ga f ; corrspondm aos comprmntos das barras rígdas da gação ga-par, à sqrda à drta da ga, rspctamnt. As cargas apcadas ao ongo dos trchos (Fgra. são transmtdas drtamnt para os pars como carga aa. A tação dos ãos ftos das gas, ao nés da dstânca ntr o d apoos, aém d nfncar no cáco dos sforços, tnd a tornar o sstma

3 Modo Anás Estrtra 4 strtra mas rígdo, pos a rgd dos mntos d barras é nrsamnt proporcona, m dfrnts gras, ao comprmnto da msma.. Anás Estrtra.. Não-nardad Físca A não-nardad físca (NF dcorr do fato do matra não aprsntar ma ração tnsão-dformação nar, aprsntando atraçõs m sas proprdads qando sbmtdo a dfrnts nís d carga. A consdração da não-nardad físca para strtras d grand port d concrto armado pod, sgndo Pnto Ramaho (, tornar-s ma tarfa compa dfíc d sr mpmntada, ndo, anda, a gr m ado sforço comptacona. sso s d ao fato d q a consdração da NF mpca na dtrmnação da rgd d cada mnto strtra a partr das raçõs constttas do concrto do aço, da qantdad dsposção d armadra nsss mntos, bm como do ní d soctação dos msmos. Adconamnt, os aors d rgd dm rprsntar, para o stado mt útmo (EU, a rgd dos mmbros strtras prómos à rptra,, nssa fas, part dos mntos ncontra-s fssrada, bm como part dos matras ncontra-s pastfcada. A fm d tar ss gra d compdad, drsos stdos têm sdo raados sando à obtnção d métodos smpfcados para a consdração da NF. Esss métodos propõm ma rdção méda na nérca brta da sção transrsa dos mntos. Dsta forma, os ftos da NF são ncorporados d forma apromada ao sstma sm q ma anás ftamnt não-nar sja raada. O mprgo da rgd fta no dmnsonamnto d mntos strtras tm fcado, pratcamnt, rstrto ao dmnsonamnto d mntos soados. Qando o probma no sstmas strtras, o so d modos rfnados é otado à rfcação d projtos, ond todas as arás assocadas à armadra (A s, dstrbção d A s na sção transrsa ao ongo do ão, ntr otros são pramnt conhcdas.

4 Modo Anás Estrtra 4 Assm, no prsnt trabaho, sgndo a mtodooga tradcona, a nãonardad físca é tratada d forma apromada, atraés dos módos d rgd rddos rcomndados pa NBR 8 (, a qa fornc como rgd dos mntos strtras os sgnts aors: ( c ajs: E =, E sc c ; ( c Vgas: E, 4E c para As < As sc = ( E, 5E c c sc = para As = As ; (. ( c Pars: E =, 8E sc c ; ond c é o momnto d nérca da sção brta d concrto, ncndo qando for o caso, as msas coaborants; E =, 85 é o módo d astcdad scant, cs E c sndo o módo d dformação tangnt nca q, sgndo a NBR 8 E c (, pod sr stmado pa sgnt prssão: Ec = 5 f ck, (.4 ond E f são dados m mgapasca. c ck A NBR 8 ( prmt anda, qando a strtra d contrantamnto for composta csamnt por gas pars γ for mnor q a rgd das gas pars por ntrmédo d: ( E, 7E c c,, cacar sc = (.5 Assm, como no prsnt trabaho o modo strtra mprgado nas anáss é composto apnas por gas pars, pos as ajs são admtdas com rgd transrsa na, opto-s por mprgar o aor forncdo pa qação (.5, msmo q a condção γ, não stja pramnt garantda. Estdos raados por Pnto Ramaho (, anasando agns mpos smps d gas, pars m pórtco pano d tr pamntos, consdrando a NF, ndcam q as rdçõs d rgd rcomndadas pa NBR 8 ( mostram-s bastant raoás ncontram-s a faor da sgrança. Para a raação dssas anáss fo tado o programa USAS, rsão.

5 Modo Anás Estrtra 44.. Não-nardad Gométrca Uma strtra pod tr m comportamnto não-nar, msmo q o s matra aprsnt comportamnto nar-ástco. Dfõs mto grands d m mmbro strtra podm ocasonar o aparcmnto d momntos ftors adconas (dnomnados d sgnda ordm, m rtd da prsnça d m sforço norma. A ss tpo d comportamnto não-nar, dá-s o nom d nãonardad gométrca (NG. Nst caso, os ftos não nars stão assocados às qaçõs d qíbro, q consdram a confgração dformada, às raçõs dformação-dsocamnto, q ncm trmos não nars. Assm, a ada sbt, cada mas prsnt nos dfícos atos, condndo a ftos d sgnda ordm mas rants, torna ndspnsá a consdração da nãonardad gométrca nsta cass d strtras. Para m mmbro típco d pórtco spaca, com ss gras d brdad por nó (Fg.., as forças ddas à mdança da gomtra são consdradas na matr d rgd gométrca [ K ] g, aprsntada, jntamnt com a matr d rgd ástca [ K ], nas qaçõs (.a (.b, rspctamnt. Sndo q A,, são a ára os momntos d nérca da sção transrsa da barra m ração aos os comprmnto do mmbro;, rspctamnt; é a constant d torção; o E = E ( ν G são os módos d astcdad ongtdna transrsa do matra; ν o cofcnt d Posson. Sgndo NBR 8 (, para o concrto, ν pod sr tomado ga à. G =. 4E. A NF, tratada d forma apromada, é ncorporada ao probma a partr da sbsttção dos prodtos rgd scant ( E sc stabcdos m (... E, q ntgram a qação (.b, pos aors d A matr gométrca tada consdra apnas as ntraçõs ntr força aa-fão, força aa-torção força aa-csahamnto, sndo q a ntração torção-fão é dsprada. Contdo, sgndo McGr (, a qação (.a é consdrada adqada para anás NG na maora dos probmas d pórtcos spacas ncontrados na prátca. A torção é dsprada no prsnt trabaho.

6 Modo Anás Estrtra 45 [ ] = A A A F K p p p g (.a Matr d Rgd Gométrca d Mmbro d Pórtco Espaca. (McGr ( [ ] = E GJ A E GJ E GJ A A E K (.b Matr d Rgd Eástca d Mmbro d Pórtco Espaca. (McGr (

7 Modo Anás Estrtra 4 θ θ θ θ θ θ Fgra. Eos d rfrênca gras d brdad ocas. Sndo,, conform fgra (., as componnts d dsocamnto nas drçõs ocas, ao ongo do comprmnto da barra. A dformação spcífca ( ε cratras totas ( χ ao ongo do o das barras são dtrmnadas atraés das sgnts prssõs (Garca Vaça (999:,, χ = (.7b,,, ε = (.7a,, χ = (.7c,,,,,,, Ond,,, são as dradas dos campos d dsocamntos m ração à coordnada. Na prssão (.7a, a parca d ordm spror rata a, é dsprada. Assmndo fnçõs d ntrpoação cúbcas para as dfõs, nar para os dsocamntos aas, as dradas dos campos d dsocamntos, na forma matrca, aprsntam-s na sgnt forma:,, = = ( 4 ( = b θ = b θ (.8a (.8b

8 Modo Anás Estrtra 47 ( ( b = =, 4 θ θ (.8c ( ( c = = =,, 4 θ θ χ (.8d ( ( c = = =,, 4 θ θ χ (.8 Assmndo q as sçõs panas prmancm panas, sbsttndo-s as prssõs (.8 m (.7, a dformação spcífca nas coordnadas (,, tomadas m ração ao cntród da sção, pod sr prssa por: ( ( ( ( c c b b b = ε (.9 Eprssando as rstants d tnsão, N M, por EA N ε = (.a E M χ = (.b E M χ = (.c E apcando o prncpo dos trabahos rtas (Crsfd, 99, obtém-s: V W U V W U V δ δ δ δ δ δ δ = (. Ond os tors das forças nodas ntrnas,, trnas,, podm sr scrtos como q q ( V W U q,, = (.a ( V W U q,, = (.a Com = d Nb U (.a ( ( d c M b b N W = (.b ( ( d c M b b N V = (.c

9 Modo Anás Estrtra 48 = Em (., as forças ntrnas (, U, corrspondm aos dsocamntos nodas corrspondm aos dsocamntos nodas W ( θ, θ V corrspondm aos dsocamntos nodas = ( θ, θ.,, =,,, Assm, dsnondo-s as prssõs (., a parca não-nar dos sforços ntrnos, sforço norma momntos ftors, nos trmos das barras, é dtrmnada, m trmos dos dsocamntos totas, a partr das sgnts prssõs. EA EA F ( N = [( ( θ θ ( ( θ θ ] [( ( ] 5 EA θθ θθ θ θ θ θ 5 F ( ( N F N ( θ θ (.4a = (.4b F( N = EA ( 5 9EA [( ( θ θ ( ( θ θ 8( ] (.4c 7 EA ( θ θ θ θ θ θ 8 F ( ( N = F N (.4d EA M( N = ( ( 4θ θ EA [ ( θ ( ( ( θ θθ θ ] (.4 8 EA ( 8θ θ θθ θ θ 8 EA M( N = ( ( ( 4θ θ EA [ ( θ ( ( ( θ θθ θ ] (.4f 8 EA ( 8θ θ θ θ θ θ 8 ( ( ( θ θ F N = EA ( 5 9EA [( ( θ θ ( ( θ θ 8( ] (.4g 7 EA ( θ θ θ θ θ θ 8 F( N = F( N (.4h

10 Modo Anás Estrtra 49 EA M( N = ( ( ( 4θ θ EA [ ( θ ( ( ( θ θθ θ ] 8 EA ( 8θ θ θθ θ θ 8 EA M( N = ( ( ( 4θ θ EA [ ( θ ( ( ( θ θθ θ ] 8 EA ( 8θ θ θ θ θ θ 8 Com =, = = (.4 (.4j (.5 As fnçõs d ntrpoação, nar cúbca, ratas aos dsocamntos aas transrsas, rspctamnt, mprgadas no dsnomnto das forças ntrnas nodas, são dadas por: { } N = (. { ( ( } N = { ( ( } N = (.7 (.8 Apsar d sr a matr [ K ] g, aprsntada m (.a, aproprada para a maora dos casos prátcos, opto-s por constrr ma noa matr d rgd gométrca a partr do tor d forças ntrnas nodas, aprsntado m (.4. a dcsão tm por objto mhorar, não a qadad da anás strtra, mas sm o procsso d otmação como m todo, já q a matr d rgd tangnt, dada por [ K ] [ K ] [ K ] t =, assocada à confgração dformada d qíbro, é tada g no dsnomnto da anás d snsbdad. Etapa trmamnt mportant no procsso, como srá sto no capíto 5., fac aos agortmos d otmação mprgados no prsnt trabaho.

11 Modo Anás Estrtra 5 Os aors d rgd adotados na sção (.., por srm apromados, não dm, sgndo NBR 8 (, sr tados para aaar sforços d a ordm nas barras da strtra, como, por mpo, m anc d par, msmo com ma dscrtação maor da modagm. Dsta forma, anáss raadas no prsnt trabaho, a partr da consdração apromada da NF, são capas d forncr sforços consstnts apnas para as trmdads das barras. Assm, os ftos da NF nas barras da strtra, bm como os ftos da NG, dnomnados ftos ocas d a ordm, são ntroddos somnt na fas d dmnsonamnto dos mntos soados, como srá sto no capíto 4, tm (4..5. Um otro aspcto a sr consdrado d rspto ao tratamnto das ajs como dafragma rígdo. Nst caso, as ajs são rsponsás pa transmssão d todas as cargas horontas, sto q a rgd aa das ajs é nfntamnt spror a das gas. Dsta forma, os sforços normas atants nas gas são pratcamnt nos, não hando, portanto, o aparcmnto d momntos ftors adconas o d sgnda ordm. Assm, no prsnt trabaho, os ftos das nãonardads gométrcas sobr as gas são dsprados... Combnaçõs Fators d Pondração das Açõs Um carrgamnto é dfndo pa combnação das açõs q têm maors probabdads d atarm smtanamnt sobr a strtra, drant m príodo pré-stabcdo. A combnação das açõs d sr fta, ta q os ftos mas dsfaorás para a strtra sjam dtrmnados. A rfcação d sgrança m ração aos stados mts útmos é raada m fnção d combnaçõs útmas normas, assocadas ao sgotamnto da capacdad rsstnt dos mntos strtras; já no stado mt d srço, sta rfcação é raada m fnção d combnaçõs frqünts d srço, assocada ao stado mt d dformação cssa ddo à ação do nto. As combnaçõs normas nos EU s frqünts d srço têm sas formas gras, sgndo a NBR 8 (, rprsntadas, rspctamnt, pas prssõs (.9a (.9b:

12 Modo Anás Estrtra 5 Fd γ γε ε γ ( Fq k ψ j Fqjk γε q ψ ε Fε qk = g Fgk g F gk q Fd, sr ψ = γ g Fgk ψ Fqk j Fqjk (.9a (.9b ond: F d, F d,sr F gk F F qk F q k gk : são os aors d cáco das açõs para combnação útma d srço, rspctamnt;, ε : rprsntam as açõs prmannts drtas ndrtas rspctamnt;, ε : rprsntam as açõs arás drtas ndrtas, rspctamnt; qk F : rprsnta a ação ará drta scohda como prncpa; γ g, γ q, ψ : são os cofcnts d pondração das açõs no stado mt útmo; ψ,ψ : são os cofcnts d pondração das açõs no stado mt d srço; As açõs drtas são aq dfndas por G, Q V, as qas rprsntam as açõs prmannts drtas, as açõs arás dcorrnts do so a prssão dnâmca do nto, rspctamnt. Admtndo-s q somnt stas açõs stão prsnts no modo proposto, tomando-s o nto como ará prncpa, obtêm-s, após a apcação dos cofcnts d pondração das açõs (r taba A. no ano A, as sgnts prssõs spcfcas para o probma: ( V Q (, V Q F d =,4 G,4 ψ (.a F d, sr =, G, ψ (.b Os cofcnts ψ ψ são dpndnts do tpo d ação consdrada da fnadad d so da strtra. Ss aors ncontram-s dfndos na taba A., no ano A. A tação d Q como ação ará prncpa nas qaçõs (. não s fa ncssára, pos, é possí, apnas por nspção, constatar q sta não corrspond a combnação crítca. As dmas combnaçõs útmas (spcas o d constrção cpconas assocadas às açõs constrtas (ssmos, ncêndos, coapso progrsso, dntr otros, bm como as dmas combnaçõs d srço (qas prmannts raras

13 Modo Anás Estrtra 5 assocadas aos stados mts d dformação cssa (não dcorrnt do nto d formação d fssras, não são aq consdradas. A NBR 8 ( rcomnda, anda, q, na rfcação do EU das strtras rtcadas, aém das açõs prmannts arás ctadas antrormnt (G, Q V, dam sr consdradas as mprfçõs gométrcas dos os dos mntos strtras da strtra dscarrgada. Para ar m conta ta fto na anás goba, d-s consdrar m dsaprmo θ a, dado por (.a, dos mntos rtcas como mostra a fgra (.4. H θ a Fgra.4 mprfçõs gométrcas gobas. θ = H (.a θ a = θ n (.b ond H é a atra tota da dfcação m mtros; n o númro tota d mntos rtcas contínos; θ, dado por (.a, atnd aos sgnts aors mts: θ 4 para strtras d nós fos; mn = θ mn = para strtras d nós mós mprfçõs ocas; θ ; ma = O dsaprmo, sgndo NBR 8 (, não d ncssaramnt sr sprposto ao carrgamnto d nto. Entr m otro (nto o dsaprmo d sr consdrado apnas o mas dsfaorá, podndo sr scohdo aq q prooca o maor momnto tota na bas da constrção. Para dfícos atos, assm como no caso da scoha da carga ará prncpa, é possí comproar q, na grand maora dos casos prátcos, o nto corrspond à stação mas dsfaorá. Dsta forma, nnhma rfcação é raada com ração ao dsaprmo.

14 Modo Anás Estrtra 5 Normamnt, é ndfrnt majorar pramnt as açõs somnt dpos cacar as soctaçõs o, ntão, cacar prmro as soctaçõs, a partr das açõs caractrístcas, majorá-as postrormnt. Entrtanto, qando s trata d probmas com não-nardad gométrca, ssas das formas não forncm o msmo rstado. Adconamnt, d-s consdrar q os cofcnts d pondração γ f, aprsntados na taba (B., são rstants do prodto d dos otros fators: γ f = γ f γ f (. sndo q apnas γ f d rspto à arabdad das açõs, nqanto q γ f, sgndo Vasconcos (987, stá assocado às ncrtas na dtrmnação corrta das soctaçõs a partr das açõs, aém d ntas rros d cção. Assm, s as açõs são pramnt majoradas d γ f, as soctaçõs rstants são cssas. Contdo, s o cofcnt d majoração é apcado às soctaçõs dtrmnadas a partr das açõs caractrístcas, os aors rstants dsta majoração são nfrors aos q dm sr tados. Dsta forma, para a corrta dtrmnação das soctaçõs, stas dm sr obtdas a partr da préa majoração das açõs, q srão mtpcadas por ( f γ f γ para, m tapa postror, majorar d γ f os sforços rstants da anás. Sgndo a NBR 8 (, consdra-s γ, o sja: Sndo: S d, tota S d, S ( F, f =, Sd, tota = d d (. são os sforços obtdos a partr da anás consdrando são os sforços d projto. (, F ; As combnaçõs crítcas, tadas nos stados mts (útmo d tação proêm da nstgação dos sgnts casos d carga: a. G Q ; b. G Q Vnto m (X goba; d c. G Q Vnto m (-X goba; d. G Q Vnto m (Y goba; (.4. G Q Vnto m (-Y goba.

15 Modo Anás Estrtra Smação das ajs como Pamnto Rígdo A consdração da aj fnconando como dafragma rígdo é bastant comm. Esta confgração a contdo a ma dpndênca nar ntr os dsocamntos dos pontos nodas da strtra q stão contdos no pano da aj. Essa dpndênca é conhcda na tratra ntrnacona como ma ração dos dsocamntos do nó mastr dos nós sas. Nst caso, é possí far com q os dsocamntos d m nó sjam dpndnts, tota o parcamnt, dos dsocamntos nodas d otro nó. Para ta, consdra-s q os dsocamntos do nó sjam dpndnts dos dsocamntos do nó j q a dstânca ntr s sja d d, d d, como mostra a fgra (.5. Assm, prssando-s os dsocamntos do nó m fnção do nó j, obtém-s: ond, d d d = j 5 j j (.5a d d = j 4 j j (.5b d d 5 = j 4 j j (.5c 4 4 = j (.5d 5 5 = j (.5 = j (.5f = X j X (.a d = Y j Y (.b d = Z j Z (.c

16 Modo Anás Estrtra 55 mastr j 5 4 d 5 d sa 4 d Fgra.5 Dsocamntos nodas dstânca ntr os nós j. Com stas prssõs pod-s scrr: U = ju j (.7 ond: U é o tor d dsocamntos do nó ; U j é o tor d dsocamntos do nó j; j é a matr d transformação, para dpndênca nar cássca, ntr os dsocamntos do nó dpndnt mstr j, sndo scrta da sgnt forma: d d d d d d j = (.8 Procdndo-s d forma anáoga para as forças obtém-s: F t j = j F (.9

17 Modo Anás Estrtra 5 Para m mnto d dos nós k ond é dpndnt d j k é dpndnt d, tm-s: j = k (. Com ssas transformaçõs pod-s scrr Kg Ug = Fg (. Kg U = Fg (. q, pré-mtpcando-s por ond: t, fornc t t ( Kg U Fg = (. Kg - Matr d rgd do mnto no sstma goba; Ug - tor dos dsocamntos nodas do mnto no sstma goba; U - tor dos dsocamntos nodas do nó mstr no sstma goba; Fg - tor d forças nodas do mnto no sstma goba. Assm, a matr d rgd ( K o tor d forças ( F do mnto, m trmos dos dsocamntos nodas do nó mstr, são dados, rspctamnt, por: t K = Kg (.4 t F = Fg (.5 A matr j, aprsntada na qação (.8, fo stabcda para m nó ntramnt dpndnt d otro. Admtndo-s, agora, como dpndênca, para consdrar a aj fnconando como dafragma rígdo, apnas transaçõs no pano ( - transação m, - transação m rotaçõs prpndcars a st pano (, obtém-s as sgnts qaçõs, para o nó dpndnt o nó mstr j: = j d j (.a

18 Modo Anás Estrtra 57 = j d j (.b = j (.c Sob forma matrca, as qaçõs (. são rscrtas como: = 4 5 d j d j 4 4 j (.7 Dsta forma, os trmos da matr d rgd do tor d forças, assocados aos gras d brdad do nó,,, dscrtos m fnção dos gras d brdad do nó mstr j, partcarados para o prsnt trabaho, são obtdos mprgando-s a matr d transformação, aprsntada na qação (.7, nas qaçõs (.4 (.5. Uma otra forma d consdrar a nfênca das ajs, admtdas dafragmas rígdos, no sstma aportcado, é nrjcr as gas na drção aa à fão atra. Est é m método d mpmntação trmamnt smps. Contdo, o método da dpndênca nar tm como antagm a rdção do númro d gras d brdad, consqüntmnt, rdção na dmnsão do probma da anás...5 Estratéga d Soção O tratamnto apromado da não-nardad físca, a partr da rdção do módo d rgd, prmt dsnor a anás como s apnas a nãonardad gométrca stss sndo consdrada. Para ntrodr os ftos da não-nardad gométrca no procsso d anás, a formação agrangana ota é mprgada, sndo sta mpmntada d forma ncrmnta, d modo a obtr-s, a cada passo d carga, as dformaçõs totas. O método d Nton-Raphson padrão é tado como stratéga d soção do probma não-nar, o sja: [ K( {} ] { } = { p} (.

19 Modo Anás Estrtra 58 ond, para a -ésma tração dntro d cada passo d carga apcado: {} : tor contndo os dsocamntos totas gobas corrnts a srm ajstados; { } : tor ncrmnta d { }; d ta modo a s obtr a próma tração, até a ncssára conrgênca: {} = {} { } ; { p} : tor q contém as dfrnças ntr os sforços atants os scconas rsstnts, corrspondnts aos aors { } da -ésma tração; [ ] [ K ({} ] [ K ] K ({} t {} = : matr d rgd tangnt corrspondnt aos aors da -ésma tração. g