Sonia Regina Dal-Ri Murcia. Depto de Matemática, FEG, UNESP, , Guaratinguetá, SP

Transcrição

1 Uso do Método dos Incrmntos Fntos para anasar a stabdad dos sqmas nmércos rstants da apcação do Método d Dfrnças Fntas à Eqação Advctva-Dfsva. Sona Rgna Da-R Mrca Dpto d Matmátca, FEG, UNES, 5-, Garatngtá, S E-ma: sonamrca@fg.nsp.br, - Introdção A apcação d métodos anaítcos para rsovr qaçõs dfrncas rstants d probmas físcos ras é mto rstrta, sto torna a soção nmérca ramnt a únca opção prátca.. Crtos tpos d qaçõs dfrncas, por mpo, as q rprsntam fnômnos d transport, dnomnadas advctvas-dfsvas têm probmas d stabdad na soção nmérca obtda para atos vaors do númro d ct. Est fato ocorr, por mpo, m agmas formaçõs do Método d Emntos Fntos (M.E.F.) dtrmnados tpos d dfrnças qando tzamos o Método d Dfrnças Fntas (M.D.F.). Nst contto o aprmoramnto das mtodoogas nmércas q vsm scarcr ss fnômno. é d sma mportânca - Objtvo Nst trabaho prtnd-s tzar o Método d Incrmntos Fntos [], para anasar a stabdad assocada aos sqmas nmércos obtdos pa apcação do Método d Dfrnças Fntas à qação advctva-dfsva ndmnsona staconára. Est stdo prmt ntrprtar as dvrsas dscrtzaçõs, tas como cntrada, atrasada, adantada as stabdads a as assocadas. rtnd-s também anasar a nfnca da forma da fnção q prssa o trmo font, no parâmtro d stabdad. Embora a qação dfrnca anasada sja ratvamnt smps, o stdo da probmátca nvovda nos prmtrá vsmbrar o q acontc m casos ratvamnt mas compos. A qação m stdo, com sas condçõs d contorno, srá prssa por: d d Q(), d d < < com ( ) () () - Método dos Incrmntos Fntos O Método dos Incrmntos Fntos, proposto por Oñat [], consst na obtnção d ma qação modfcada do probma, através d m baanço d fos nm domíno fnto h. Isto mpca no aparcmnto d trmos tras, m ração ao dsnvovmnto tradcona. Na qação modfcada o parâmtro stabzador natra. aparc d ma manra A fgra stra m domíno no qa ocorr o fnômno. Fgra:.. (a) Esqma do probma ndmnsona d convcção-dfsão (b) Domíno do Baanço fnto AB Consdra-s o probma m rgm staconáro, tm-s: Fos Fos q ν[] Q h q ν[] A A B B Dsnvov-s q A [ ] A m sér d Tayor d ordm d ( h ) fta-s as dvdas smpfcaçõs chgando a ma qação do tpo: h dr r () d No caso m stdo a qação modfcada é:

2 d d Q d d h() d d d d Q d d () A qação () pod sr anasada por qaqr mtodooga. Nst trabaho, nggncam-s drvadas d trcra ordm apca-s o Método d Dfrnças Fntas, formação cntrada. - Caso Trmo Font Instnt o Constant Incamnt dfn-s o parâmtro d h() stabzação como: α ( ) Apcando-s o M.D.F. cntradas m () tm-s α α ( ) ( ( ) ' Q ( ) as ) Q( ) () S Q sja nform ao ongo do domíno tm-s: ( ) ( ) Q( ) (5) Na sqüênca, m todo o trabaho tza-s o númro d ct dfndo como: ogo têm-s: [( α ) ] ( α ) [( α ) ] Q( ) (6).- Comparação ntr os sqmas nmércos obtdos pos dvrsos tpos d dfrnças do Método d Dfrnças Fntas. O modo dsnvovdo é consstnt com as ntrprtaçõs cásscas, conform pod-s vrfcar na sqüênca. Apcando-s o M.D.F., sqma d dfrnças cntradas m (), obtém-s: Q( ) sto é: (7) ( ) ( ) Q( ) para α na qação (6), tm-s obvamnt o sqma d dscrtzação cntrada. Obsrva-s q o sqma nmérco obtdo nsta formação é anáogo ao sqma obtdo po Método d Emntos Fntos com a formação tradcona d Garn. Ess sqma nmérco va a nstabdad para atos vaors do númro d ct Apcando-s o M.D.F. sqma d dfrnças atrasadas, o contra corrnt, m (), obtém-s: Q( ) ( ) ( ) Q( ) (8) para α na qação (6), tm-s o sqma d dscrtzação atrasada. Em trmos d ma ntrprtação físca, nota-s q a qação (6), torna-s ga a qação (8) qando a constant d dfsvdad é acrscda do trmo, sto é:, o q qva a adção d ma dfsão artfca m ração ao sqma cntrado Est fato cra ma stabzação maor no sstma nmérco (m ração ao cntrado) Obsrva-s q o sqma nmérco obtdo é, nst caso, anáogo ao obtdo pa apcação do Método d trov-garn m Emntos Fntos. Apcando-s o M.D.F. sqma d dfrnças adantadas (), obtém-s: Q() sto é: (9) ( ) ( ) Q( ) paraα na qação (6), tm-s o sqma nmérco obtdo pa formação adantada. Em trmos d ma ntrprtação físca nota-s q a qação (6), torna-s ga a qação (8) qando a constant d dfsvdad é acrscda do trmo -, sto é,, o q qva a adção d ma dfsão artfca ngatva, m ração ao sqma

3 cntrado Est fato ampfca a nstabdad no sstma nmérco, m ração ao cntrado. 5- Trmos Fonts Varávs ao ongo do domíno. Qando o trmo font é varáv ao ongo do domíno, a ntrprtação d ma dfsão artfca constant, normamnt não é adqada. A tratra mostra staçõs nas qas o trmo font varáv condz a staçõs compas. A rfrnca [], stra caso d font varáv na qa o M.D.F. formação atrasada va a rros consdrávs na soção, o q torna mportant ma anás stabzação para st caso. mas acrada do parâmtro d A soção anaítca da qação (), ond o trmo font é varáv ao ongo do domíno é dada por: ond Sjam: (, ) A F(, ) B Q()d F(, ) Q() ara as condçõs d contorno dadas tmos: (, ) A B F(, ) (, ) A B F(, ) φ o q prmt obtr A B ogo: α A A () A [ F( ) F( ) ] [ F( ) F( ) F( ) ] (A () () () ( ) ) ( ) dq d F Q() dq d d A qação acma pod sr scrta do sgnt modo () : coth( ) α(,) ond Z(, ) A ( F Z(,) Q Z(,) Z(,) ) Q Z(,) Z(,). M() `, (. () sndo a fnção M dada por: M() ( φ g()) g() ( F(, ) F(, ) ) ) 5. Anas Gra para atos vaors d ct Há ma prordad na anás do parâmtro d stabzação para atos vaors do númro d ct, pos são as staçõs nas qas a nstabdad é ampfcada. ara obtê-as consdr-s q os vaors d são arbtráros, mbora constants, faz-s, obtéms. Faz-s a sgr o cáco dos mts dos trmos nvovdos no parâmtro stabzador. Caco do mt d Z. Z(, ) M() ( ) dvdndo-s Z no prodto d três fnçõs: Z (, ) Z (, ) M() Z (, ) ( ) Anasa-s aq os casos m q M() tnd à qando for mto grand. Um grand númro d casos stdados rca na hpóts acma, mas m casos spcífcos a hpóts dv sr vrfcada. m Z (, )

4 m Z (, ) m ( ) Através d agmas manpaçõs agébrcas obtém-s: m Z (, ) m ntão : m ( Z(, ) m ogo: m α(,) Z(,) coth( ) m como Tm-s: ( ) [ Z(,) Q ] F Q /.. m (Z(, ) / <.. < m (Z(, ) ) S m α(, ) cot( ) )S m α(, ) < Z(, ) coth( ) m [ Z(, ) Q ] ' ' F Q 5. Apcaçõs a Casos Espcífcos Anasam-s aq agns casos d ntrss, para pontos tas q tm-s smpr q: <, pos para, Asênca do trmo font Nst caso Q ( ) tm-s q : m α(, ) cot( ) Q Q ' ntão: Q ' Q m α(, ) cot() É facmnt vrfcáv q nst caso o parâmtro stabzador srá smpr α (, ) cot( ) 5.. Trmo font constant Nst caso F a a F a tm-s q: ntão: Q () a F(, ) a a a F a a a Q ' Q m α(, ) cot() Anaogamnt ao caso antror o parâmtro stabzador srá smpr α (, ) cot( ) 5.. Trmo font nar Nst caso: Q ( ) a b a a F(, ) (b ) a a F (b ) a a F ( ) (b )( a a F ( ) (b )( ) ) ' Q Q ntão: m α(, ) cot( ) () Isto sgnfca q no caso d trmo font prsso por font nar o parâmtro stabzador tnd a cot( ) m todo o domíno Trmo font parabóco

5 Nst caso: Q() a b c Trmo Font arabóco F(, ) a b a ( ) b a (c ) Dsnvovm-s as dfrnças para as prssõs apca-s as prssõs d ntrss obtém-s: Q a ' a Q () com as dvdas manpaçõs agébrcas obtém-s: m α(, ) Afa Domíno Fgra : Rstados obtdos para trmos font qadrátca Trmo Font Cúbco Trmo font Cúbca Nst caso: Q () a F(, ) a 6a a 6a a com as dvdas smpfcaçõs obtm-s: F Q m α(, ) m `, Q () Afa Domíno Fgra : Rstados obtdos para trmos font cúbca 5..6 Trmo font ponnca Trmo Font Eponnca Nst caso: Q () a a F(, ) Após as dvdas smpfcaçõs obtêm-s: Afa ( ) m α snh (, ) () sn ( ) Domíno 6. Rstados Nmércos. Basado nas dfnçõs consdradas nst trabaho na soção ata do probma, abora-s m programa comptacona m FORTRAN, para obtr-s o parâmtro d stabzação dos casos d ntrss, nmrcamnt. Os rstados obtdos são prssos pos gráfcos abao. Fgra : Rstados obtdos para trmos font ponnca 7. Comntáros Concsõs. È mportant dstacar q m mtas anáss o parâmtro d stabzação é nsrdo artfcamnt nos sqmas nmércos com o ntto d stabzá-os. Nst trabaho mostra-s q o método dos ncrmntos fntos prmt obtr o parâmtro d stabzação d ma 5

6 manra natra através d ma qação dfrnca modfcada. A anás qando a fnção font nst o é ga a ma constant, va a vaors do parâmtro d stabzação ga a cot( ), fato já conhcdo d anáss antrors []. Qando a fnção font é nar, também s chga ao msmo vaor. A anás tórca d ma manra gra mostra q ramnt a stabzação é aftada pa forma da fnção q prm o trmo font. A anas para atos vaors d ct, mostra q o prf do parâmtro stabzador vara snsvmnt ao ongo do domíno tnd ao vaor na rgão fna, d maor gradnt cot( ), 8. Rfrêncas [] S.R.D. Mrca, E. Srrano, E. Oñat, Notas d psqsa conjnta, não pbcadas. CIMNE, Barcona,. [] E. Oñat, "Drvaton of Stabzd qatons for Nmrca Sotons of Advctv-Dffsv Transport and Fd Fow robms", Compt. Mthods App. Mch. Engrg. 5 (998) -65. [] O.C.Znwcz, and R.. Tayor, E Método d Emntos Fntos, McGraw-H, ª. Ed., Barcona, 99. Os cácos nmércos, os qas foram dsnvovdas sparadamnt da part anaítca mostram, q há m sncronsmo ntr os dos nfoqs. As fgras prssam o parâmtro stabzador α, ao ongo do domíno para dvrsos númros d ct. Na fgra q prssa o caso d fnção font parabóca, pod-s notar, q conform o prvsto torcamnt o vaor d α é pratcamnt constant ao ongo do domíno, crscndo qando o númro d ct crsc, m todos os casos tnd a cot( ) no fna do domíno. A fgra prssa o caso da fnção font cúbca, vê-s q α, tnd a tr ma varação nar ao ongo do domíno, conform prvsto pa qação tnd a cot( ) no fna do domno. A fgra, prssa o caso da fnção font ponnca, mostra q α prmanc constant ao ongo d qas todo o domíno, amntado d vaor a mdda q o númro d ct crsc tnd a cot( ) no fna do domíno. ortanto os rstados nmércos stão d acordo com as anáss tórcas. È mportant dstacar também q a stabdad nmérca é mas snsív na rgão d grands gradnts, q nsta rgão todos os gráfcos mostram ma msma tndênca. 6