O MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO APLICADO NA INVESTIGAÇÃO DE UM PROBLEMA DE ELASTICIDADE ANISOTRÓPICA

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1 ISSN O MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO APLICADO NA INVESTIGAÇÃO DE UM PROBLEMA DE ELASTICIDADE ANISOTRÓPICA Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar Rsmo Estda-s o problma d qlíbro d ma sfra ansotrópca sm força d corpo sob comprssão radal nformmnt dstrbída no contxto da tora da lastcdad lnar clássca aplca-s o Método dos Elmntos Fntos tlzando Galrkn Dscontíno (MEFGD) para obtr solçõs aproxmadas para st problma. Introdz-s ma formlação altrnatva do MEFGD, ond o campo d dformação nfntsmal não é obtdo drtamnt da nvrsão do sstma d qaçõs lnars rsltant, mas por pós-procssamnto, a partr do campo d dslocamnto. Os rsltados nmércos obtdos mprgando-s ambas as formlaçõs do MEFGD são comparados com a solção analítca do problma da sfra com rsltados nmércos obtdos com o Método dos Elmntos Fntos tlzando Galrkn Clássco (MEFGC). Análss d rros d convrgênca são ralzadas. Palavras-cav: Elastcdad ansotrópca. Problma d qlíbro. Método dos Elmntos Fntos. Método d Galrkn Dscontíno. THE DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD APPLIED TO THE INVESTIGATION OF AN ANISOTROPIC ELASTICITY PROBLEM Abstract T qlbrm problm wtot body forc of an ansotropc spr ndr nform radal comprsson on t spr s bondary s nvstgatd n t contxt of t classcal lnar lastcty tory. T Fnt Elmnt Mtod sng Dscontnos Galrkn (MEFGD) s sd to obtan approxmat soltons for t nconstrand problm. An altrnatv formlaton of t MEFGD s ntrodcd, wr t stran fld s not obtand drctly from t nvrson of t rsltng lnar systm of qatons, bt from a post-procssng calclaton sng t approxmat dsplacmnt fld. T approxmat soltons obtand wt bot formlatons of t MEFGD ar compard wt t xact solton of t spr problm wtot rstrcton and wt approxmat soltons obtand wt t Fnt Elmnt Mtod sng Classcal Galrkn (MEFGC). Kywords: Ansotropc lastcty. Eqlbrm problm. Fnt Elmnt Mtod. Dscontnos Galrkn Mtod. INTRODUÇÃO O Método dos Elmntos Fntos com Galrkn Dscontíno (MEFGD) é m método para rsolção aproxmada d qaçõs dfrncas, no qal as fnçõs aproxmatvas pondradoras adotadas são dscontínas ntr lmntos adjacnts, sndo, portanto, dfrnt do Método dos Elmntos Fntos com Galrkn Clássco (MEFGC) m q s assm a contndad dstas fnçõs admssívs. O método fo ntrodzdo m 973 por Rd Hll para rsolvr a qação d transport d nêtrons. Uma vardad d métodos d Galrkn dscontíno fo dsd ntão proposta para a rsolção d problmas prbólcos qas-prbólcos (Rd; Hll, 973; Lsant; Ravart, 974). Mstr m Engnara d Estrtras - EESC-USP, ssampao@sc.sp.br Profssor do Dpartamnto d Engnara d Estrtras da EESC-USP, agarar@sc.sp.br Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

2 38 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar Para qaçõs dfrncas líptcas, o dsnvolvmnto dos métodos d Galrkn dscontíno d-s d forma ndpndnt, sndo ncalmnt camado d Método das Pnaldads Intrors (Arnold, 976; Bakr, 977; Doglas; Dpont, 976; Wlr, 978). Os métodos d Galrkn dscontíno são localmnt consrvatvos, stávs, parallzávs, aprsntam alta ordm d prcsão, adaptam-s faclmnt a gomtras complxas malas rrglars sportam aproxmaçõs com polnômos d gras dfrnts m lmntos dfrnts, tornando-os das para o so m stratégas p-adaptatvas (Cockbrn, 3). Nst trabalo, mprgam-s das formlaçõs do MEFGD para obtr solçõs aproxmadas para o problma d qlíbro da sfra ansotrópca sob comprssão radal nformmnt dstrbída. A prmra formlação do MEFGD basa-s no procdmnto tlzado por Castllo (3) consst m aproxmar drtamnt os campos d dslocamnto d dformação nfntsmal da sfra. A consdração do campo adconal d dformação nfntsmal na formlação varaconal do MEFGD amnta o númro d gras d lbrdad assocados aos nós dos lmntos fntos, consqntmnt, o csto comptaconal. Com o objtvo d rdzr o númro d gras d lbrdad, ntrodz-s ma formlação altrnatva do MEFGD, ond o campo d dformação nfntsmal não é obtdo drtamnt da nvrsão do sstma d qaçõs lnars rsltant, mas por pós-procssamnto, a partr do campo d dslocamnto. O PROBLEMA DA ESFERA Os vtors q contêm as componnts d dslocamnto, tnsão dformação nfntsmal d m ponto matral d m sóldo m m sstma d coordnadas sfércas, ( φθ,, ), são dados, rspctvamnt, por T T = { φ θ}, T {, φφ, θθ, θφ, φ, θ} { φφ θθ θφ φ θ},, T = σ σ σ σ σ σ, E = ε, ε, ε, ε, ε, ε. () Nst sstma d coordnadas, as rlaçõs ntr as componnts d dslocamnto as componnts d dformação são dadas por ε =, φ cotθ ε φφ = + θ + snθ φ, θ ε θθ = + θ, θ φ cotθ ε θφ = + φ snθ φ θ, () θ θ ε θ = + θ, φ φ ε φ = + snθ φ. Além dsso, as qaçõs d qlíbro são dadas por σ σθ σφ ( σ σθθ σ φφ +σθ cot θ ) + b =, θ snθ φ Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

3 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 39 σφ σθφ σφφ ( σθφ cot θ+ 3 σ φ ) + b φ =, (3) θ snθ φ σθ σ σ θθ φθ ( σθθ σφφ ) cot θ+ 3σ θ + bθ = θ snθ φ, ond b = (b,b φ,b θ) é a força d corpo por ndad d volm. por Consdra-s q o comportamnto do corpo é rgdo pla L d Hook Gnralzada, dada T = CE, (4) ond C = [C αβ], αβ=,,...,6, é ma matrz smétrca q contém as constants lástcas Cαβ = Cβα do matral. Sja agora ma sfra omogêna d rao radalmnt comprmda ao longo do s contorno xtrno por ma força normal p nformmnt dstrbída por ndad d ára. A sfra é consttída plo matral sfrcamnt nform nvstgado por Tng (999), d modo q as constants C αβ da matrz C na Eq. (4) satsfazm as sgnts rlaçõs C = C, C = C33 C = αβ para α 3 4 β 6. (5) 3 Além dsto, stas constants dvm satsfazr as dsgaldads C >, C >, C3 < C, C C > C + C 3 (6) para q o comportamnto do sóldo sja trmodnamcamnt admssívl. Assm-s q o campo d dslocamnto é radalmnt smétrco m rlação ao cntro da sfra (Tng, 999; Agar, 6), d modo q as componnts d dslocamnto d m ponto da sfra no sstma d coordnadas sfércas são dadas por (, φθ, ) = (), φ = θ =. (7) Dsta forma, as rlaçõs dformação-dslocamnto dadas pla Eq. () são xprssas por d ε =, d ε =ε =, ε =ε =ε =. (8) φφ θθ θφ θ φ Sbsttndo as Eqs. (.a) (.c) na Eq. (4) tlzando as Eqs. (8) jntamnt com a Eq. (5), cga-s a Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

4 4 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar d σ = C + C d, d σ θθ =σ φφ = C + (C + C 3) d. (9) Sbsttndo as Eqs. (9) nas Eqs. (3) assmndo q b =, obtém-s ma únca qação dfrncal não-trval para o problma da sfra ansotrópca sob comprssão radal nformmnt dstrbída, dada por d d + γ = d d, <<, () ond C + C C C 3 γ. () As condçõs d contorno ssncal natral dst problma são dadas, rspctvamnt, por () =, σ ( ) p =, () ond a tnsão radal σ é dada pla Eq. (9.a). Dsja-s acar o campo d dslocamnto :(, ) R q satsfaça a Eq. () jntamnt com a Eq. () as condçõs d contorno dadas pla Eq. (), jntamnt com a Eq. (9.a). A solção dst problma é dada por ( ) q = + λ, (3) ond q C p λ + C +, + λ ( + 3 κ ), κ + 8 γ (4) 3 γ é dado pla Eq. (). 3 MÉTODO DE GALERKIN CLÁSSICO Utlzando o Torma dos Trabalos Vrtas (Grtn, 98), lmbrando da Sção q a força d corpo é nla consdrando q o volm d ma part nfntsmal do sóldo é dado por sn θ d θ d φ d, cga-s a Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

5 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 4 d d + γ v d= d d, v V, (6) ond, aq, V { v C (, ):v() } = = γ é dado pla Eq. (). Intgrando-s a Eq. (6) por parts tlzando-s as condçõs d contorno dadas pla Eq. (), cga-s à formlação varaconal fraca do problma da sfra, q consst m acar V, tal q d dv C d+ γvd+ ( )v( ) + p v( ) = ˆ d d C, v V, (7) ond ˆp= p/c. (8) Sja agora { } n + n =. Sja = [, ] I = a partção d [, ] : = <... < =, I = (, + ), T = V m sbconjnto d V dado por { } V = v C (, ):v () =, (9) ond v é lnar m cada sb-ntrvalo I v é contína m (, ). O problma varaconal dscrto corrspondnt à Eq. (7) consst m acar V, tal q: d dv C d+ γ v d+ ( )v ( ) + p v ( ) = ˆ d d C, v V, () ond γ é dado pla Eq. () ˆp é dado pla Eq. (8). Uma fnção v V pod sr scrta na forma v() = v φ (), (, ), v R, () = ond v são cofcnts arbtráros, o conjnto { : (, ) R,,..., n } spaço fnto-dmnsonal φ = + é ma bas para o V os lmntos φ dsta bas satsfazm as condçõs d normaldad Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

6 4 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar s = j, φ( j) =, j =,.... () s j, As fnçõs bas adotadas são lnars por parts contínas. Para os lmntos ntrmdáros do ntrvalo (, ), o sja, para =,...,n, as fnçõs bas são dadas por,, + φ( ) =, +, +, d otra forma. (3) Para os lmntos próxmos às xtrmdads do ntrvalo, tm-s q φ( ) =, =,, d otra forma, φ n, n =, n ( ) =, d otra forma. (4) Sbsttndo-s a Eq. () na Eq. (), lvando-s m consdração as Eqs. (3) (4) ma vz q v() =, cga-s a d v φ ( ) d+ γ ˆ φ( )d+ ( ) δ( ) + pδ ( ) = = d C C (5) v R, ond j Como δ é o Dlta d Kronckr. v é arbtráro, tm-s q d φ C ( ) d + γ φ ( )d + ( ) δ + p δ = ˆ ( ) ( ) d C, (6) ond =,...,n +. Sbsttndo-s = φ ( ) na Eq. (6) ma vz q () =, tm-s q j j j= Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

7 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 43 j φ j( ) φ ( ) d+ γφ ˆ j( ) φ( )d+ φj( ) δ( ) + pδ ( ) = j= C, (7) C ond =,...,n +. As xprssõs aprsntadas na Eq. (7) forncm m sstma d n qaçõs com n ncógntas j, ond as fnçõs φ, =,...,n +, são dadas plas Eqs. (3) (4.b). 4 MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO 4. Formlação orgnal Introdzndo-s a varávl d prmra ordm da forma d q =, a Eq. () pod sr scrta como m sstma d qaçõs d d d = q dq q d + γ = m m (, ), (8) (, ), (9) ond γ é dado pla Eq. () as condçõs d contorno ssncal natral são dadas plas Eqs. (). Sja V o conjnto d fnçõs com sport no ntrvalo I, =,...,n sja V = U = VxV xv3x...xvn. Consdra-s q toda fnção v V, =,...,n, é dfrncávl m I. Sja novamnt { } n + = a partção d [, ]: = <... < =, I = (, + ), [, ] I T = n =. Sjam ( t,v ) m VxU fnçõs dfrncávs por parts com sport m I. Mltplcando-s as Eqs. (8) (9) m cada lmnto I plas fnçõs sobr o ntrvalo I, obtêm-s as qaçõs t = v, rspctvamnt, ntgrando-s + + d t d = qt d d, (3) dq d + v+ q v γ v d=. (3) Utlzando ntgração por parts no lado sqrdo das Eqs. (3) (3), cga-s às qaçõs dt + = d + ( )( + ) ( )( ) + + t t t d qt d, (3) Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

8 44 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar UxV dv = + γ d. (33) + ( )( + ) ( )( ) + qv qv q v d As qaçõs (3) (33) são bm dfndas para qasqr fnçõs (,q ) ( t,v ) m VxU. Aproxma-s a solção xata (,q ) por fnçõs ( ) UxVond U = V = P ( I ). O spaço d lmntos fntos local ( ) p I,q no spaço d lmntos fntos P I é o conjnto dos polnômos d gra mnor o gal a p dfndos sobr I. Dsta forma, a formlação varaconal fraca do problma dscrto plas Eqs. ()-() consst,q UxV t,v UxV q satsfaça m acar ( ) para qalqr ( ) p qt d= t ˆ ( ) t ˆ + ( ) + t d, (34) dv d dt d + ( ) ˆ + ( ) + q ˆ v d qv qv + γ =, (35) ond û flxos nmércos ˆq são flxos nmércos. Para os nós prtncnts ao ntror do ntrvalo û ˆq adotados nst trabalo são dados, rspctvamnt, por (, ), os + ( ) + ( ) û( ) =, (36) + + ( ) + ( ) ( ) ( ) q q ˆq ( ) =, (37) ond, =,...,n, =+. Para as xtrmdads do ntrvalo (, ), os flxos û(), nst trabalo são dados, rspctvamnt, por ˆq (), û( ) ˆq ( ) adotados û () = =, =, ( ) û( ) ( ) + ( ) + ˆq () = q() +, (38) p C ˆq = C C ( ). (39) Aq, as fnçõs ( ) lmntos, sndo dadas, rspctvamnt, por,q são lnars por parts dscontínas nas ntrfacs ntr os Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

9 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 45 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) +, (4) q( ) q( ) q( ) q( ) q() = q( ) +, (4) ond (, + ). Smlarmnt, as fnçõs (t,v) são polnômos d prmro gra, d modo q t = a+ b v= c+ d, ond a, b, c d são cofcnts arbtráros. Constrom-s ntão três sstmas d qaçõs lnars, sndo m para os lmntos ntrmdáros do ntrvalo (, ), I, =,...,n, m para o lmnto I m para o lmnto I n. Para obtr o sstma d qaçõs dos lmntos ntrmdáros sbsttm-s as fnçõs t = a+ b v= c+ d, a Eq. (36), a Eq. (37), a Eq. (4) a Eq. (4) nas Eqs. (34) (35). Agrpandos os trmos q possm os cofcnts a b m comm na qação rsltant da Eq. (34) procdndo-s d manra smlant com a qação rsltant da Eq. (35) m rlação aos trmos assocados aos cofcnts c d, cga-s a m sstma d das qaçõs doz ncógntas váldas para todo a, b, c d. Uma vz q sts cofcnts são arbtráros, obtém-s m sstma d qatro qaçõs m cada lmnto I = (, + ), =,...,n, para oto ncógntas. Para obtr o sstma d qaçõs do lmnto I sbsttm-s as fnçõs t v, a Eq. (38), a Eq. (4) a Eq. (4) nas Eqs. (34) (35). Para o lmnto I n sbsttm-s as fnçõs t v, a Eq. (39), a Eq. (4) a Eq. (4) nas Eqs. (34) (35). Procdndo-s d manra smlar ao dscrto para os lmntos ntrmdáros, obtém-s m sstma d qatro qaçõs ss ncógntas para o prmro para o últmo lmnto. Sndo n o númro d lmntos fntos tlzados para dscrtzar o domíno, tm-s m sstma d 4n qaçõs com 4n ncógntas a srm dtrmnadas. A solção dst sstma são os valors d q pla drta pla sqrda dos nós ntrmdáros os valors d q sobr os nós das xtrmdads do ntrvalo (, ). Uma vz q as aproxmaçõs q são dscontínas sobr os nós aproxmam-s a solção sa drvada, sobr os nós, plos valors d û ˆq, rspctvamnt. Ests valors são calclados das Eqs. (36)-(39). 4. Formlação altrnatva Consdrando-s o lvado númro d gras d lbrdad assocados aos nós da formlação antror, ntrodz-s ma formlação varaconal altrnatva para a aplcação do MEFGD m q apnas os valors d são obtdos drtamnt da nvrsão do sstma d qaçõs rsltants, sndo os valors d q obtdos por pós-procssamnto a partr dos valors d Smlarmnt ao ralzado na Sção 4., ntrodz-s a qação dfrncal d q d = rscrv-s a Eq. () no sstma d das qaçõs dado plas Eqs. (8) (9). Aq, no ntanto a Eq. (8) não é ntgrada, sndo o sstma d das qaçõs dado plas Eqs. (3) (3) sbsttído por. Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

10 46 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar d d = q, (4) dq v+ q v γ v d= d. (43) Intgrando-s apnas a Eq. (43) por parts sobr I, cga-s ao sstma d qaçõs d d = q, (44) + dv ( + ) ( ) = + γ d. (45) + qv qv q v d UxV Aproxmando-s a solção xata (,q ) com fnçõs ( ) UxVpara qalqr v V, tm-s q,q no spaço d lmntos fntos d d = q, (46) dv d + ( ) ˆ + ( ) + q ˆ v d qv qv + γ =. (47) Obsrva-s das Eqs. (46) (47) q apnas o flxo nmérco ˆq aparc nstas qaçõs. Ests flxos são os msmos adotados na Sção 4., o sja, para os lmntos prtncnts ao ntror do ntrvalo (, ), tlza-s a Eq. (37) para os lmntos próxmos às xtrmdads dst ntrvalo, tlzam-s as Eqs. (38.b) (39.b), rspctvamnt. Sobr cada ntrvalo, a solção aproxmada é dada pla Eq. (4) a solção aproxmada da Eq. (4), q, é dada por + ( + ) ( ) q() = + (, ). (48), + D forma smlar ao ralzado na Sção 4., constrom-s três sstmas d qaçõs lnars, sndo m para os lmntos ntrmdáros do ntrvalo (, ), I, =,...,n, m para o lmnto I m para o lmnto I n. Para obtr o sstma d qaçõs dos lmntos ntrmdáros sbstt-s a fnção v= a+ b, a Eq. (37), a Eq. (4) a Eq. (48) na Eq. (47) agrpam-s os trmos q mltplcam os cofcnts a b. Uma vz q sts cofcnts são arbtráros, obtém-s m sstma d das qaçõs lnars m cada lmnto para ss ncógntas. Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

11 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 47 Para o lmnto I, sbstt-s a fnção v, a Eq. (38.b), a Eq. (4) a Eq. (48) na Eq. (47) para o lmnto I n sbstt-s a fnção v, a Eq. (39.b), a Eq. (4) a Eq. (48) na Eq. (47). Procdndo-s d manra smlant ao dscrto para os lmntos ntrmdáros, obtêm-s das qaçõs qatro ncógntas para o prmro para o últmo lmnto. Sndo n o númro d lmntos tlzados na dscrtzação do domíno, tm-s m sstma d n qaçõs lnars com n ncógntas a srm dtrmnadas. A solção dst sstma são os valors d à drta à sqrda dos nós prtncnts ao ntror do ntrvalo (, ) jntamnt com o valor d pla sqrda do nó localzado m. Os valors d calclados da Eq. (48). Igalmnt à formlação antror, as aproxmaçõs Aproxma-s a solção sa drvada, sobr os nós, plos valors d rspctvamnt. Ests valors são calclados das Eqs. (36)-(39). q() são q são dscontínas sobr os nós. û ˆq, 5 RESULTADOS OBTIDOS Aprsntam-s os rsltados nmércos obtdos com a aplcação das formlaçõs orgnal altrnatva do MEFGD dscrtas nas Sçõs 4. 4., rspctvamnt. Os rsltados nmércos são comparados com a solção xata do problma dada plas Eqs. (3), (4) (), com rsltados nmércos obtdos da formlação do MEFGC dscrta na Sção 3. Para a obtnção das solçõs, foram tlzados os sgnts valors m ndads 5 admnsonas: =, κ=, 4 q fornc γ=,55 da Eq. (), η C /C = /, C =, C 4 = 5x, da Eq. (8), ˆp =. Na Fgra mostra-s o gráfco do campo d dslocamnto vrss o rao no ntrvalo (,). A lna ca rprsnta a solção xata dada plas Eqs. (3), (4) (), as dmas lnas, tracjadas, rprsntam solçõs nmércas obtdas com o mprgo do MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo para ma mala nform com 4 lmntos. Obsrva-s dst gráfco q todas as solçõs nmércas aproxmam bm a solção xata. -, -, -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 -,,,,3,4,5,6,7,8,9 Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra Dslocamnto vrss rao no ntrvalo (,). Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

12 48 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar Na Fgra mostra-s o campo d dformação ε = vrss o rao (,). Smlarmnt ao xposto acma, a lna ca rprsnta a xprssão xata d as dmas lnas rprsntam solçõs nmércas obtdas com o mprgo do MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo para ma mala nform com 4 lmntos. Lmbra-s do xposto nas Sçõs 3 4 q as aproxmaçõs d obtdas d ambos, MEFGC MEFGD altrnatvo, são constants sobr cada lmnto q as aproxmaçõs d obtdas do MEFGD orgnal são lnars sobr cada lmnto. Obsrva-s dst gráfco q todas as xprssõs nmércas aproxmam bm a xprssão xata d. Obsrva-s anda q as aproxmaçõs obtdas com todas as formlaçõs tndm ao nfnto à mdda q tnd a zro. - ' ,,,4,6,8 Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra Dformação nfntsmal vrss rao no ntrvalo (,). A Fgra 3 mostra crvas d rros ntr a solção xata as solçõs aproxmadas gradas plas formlaçõs do MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo, tlzando-s malas nforms com, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5 4 lmntos. Para o cálclo dsts rros tlzo-s a norma Ecldana n = =, (49) ond é o rro da aproxmação por lmntos fntos dfndo por ( ) ˆ ( ) =. (5) Obsrva-s das Eq. (36), (38.a) (39.a) q ( ) û = ( ) no caso do MEFGC. Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

13 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 49 -,5-3 -3,5 log -4-4,5-5,5,5,5 3 3,5 log n MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra 3 Crvas d rro obtdas d rsltados grados plo MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo. As crvas mostradas na Fgra 3 rfrm-s ao logartmo na bas dz do rro dado pla Eq. (49) vrss o logartmo na bas dz do númro d lmntos fntos tlzados para dscrtzar o domíno m todos os métodos. Obsrva-s dstas crvas q os rsltados grados plas formlaçõs orgnal altrnatva do MEFGD são bm mas prcsos q os rsltados grados plo MEFGC. Obsrva-s anda q os rros obtdos com a formlação altrnatva do MEFGD são m poco maors q os rros obtdos com a formlação orgnal do MEFGD. A Fgra 4 mostra crvas d rros ntr a solção xata as solçõs aproxmadas gradas plas formlaçõs do MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo, tlzando-s malas nforms com, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5 4 lmntos. Para o cálclo dsts rros tlzo-s a dfnção d rro médo q m = j n +, (5) j = ond n é o númro d lmntos fntos j é o rro dado por ( ) ˆ ( ) = q. (5) j j j Obsrva-s das Eqs. (37), (38.b) (39.b) q ( ) ˆq = q ( ) no caso do MEFGC. j j As crvas mostradas na Fgra 4 rfrm-s ao logartmo na bas dz do rro médo dado pla Eq. (5) vrss o logartmo na bas dz do númro d lmntos fntos tlzados para dscrtzar o domíno. Obsrva-s dstas crvas q, à mdda q s rfna a mala d lmntos fntos, o rro médo dmn para todas as formlaçõs. Para ma dada mala, os rsltados grados pla formlação orgnal do MEFGD são mas prcsos q os rsltados grados pla formlação altrnatva do MEFGD. Além dsso, os rros obtdos com ambas as formlaçõs do MEFGD são bm nfrors àqls obtdos com o MEFGC. Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

14 5 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar - -,5-3 log -3,5-4 -4,5-5,5,5,5 3 3,5 log n MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra 4 Crvas d rro obtdas d rsltados grados plo MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo. Analsa-s agora a convrgênca das aproxmaçõs d m dos pontos do ntrvalo (,]. O prmro ponto corrspond a = prtnc a ma rgão ond a solção xata fornc m campo d dformação nfntsmal. O sgndo ponto corrspond a = / 56 prtnc a ma rgão ond não somnt as dformaçõs são grands, mas também ocorr o fnômno da ato-ntrscção nvstgado por Agar (6). Mostra-s na Fgra 5 m gráfco do dslocamnto calclado m = vrss o logartmo na bas dos do númro d lmntos fntos. A lna ca orzontal corrspond ao valor xato dst dslocamnto as otras lnas corrspondm aos valors aproxmados obtdos com o MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo. -,8 -,83 -,84 -,85 -,86 -,87 -,88 -,89 -,9 -,9 -, log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra 5 Dslocamnto m = vrss logartmo na bas dos do númro n d lmntos fntos. Obsrva-s da Fgra 5 q os dslocamntos nodas obtdos com o MEFGC convrgm assntotcamnt para o dslocamnto nodal obtdo da solção xata à mdda q s rfna a mala d lmntos fntos tlzada para dscrtzar o domíno. Os dslocamntos nodas obtdos com ambas as formlaçõs do MEFGD aproxmam mlor os dslocamntos nodas obtdos da solção xata do q os dslocamntos nodas obtdos com o MEFGC. Em partclar, obsrva-s q para ma Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

15 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 5 dscrtzação com apnas dos lmntos ambas as formlaçõs do MEFGD prodzm aproxmaçõs da solção xata q são snsvlmnt mlors do q a aproxmação prodzda com dos lmntos do MEFGC. Obsrva-s anda q a convrgênca do MEFGC é monótona conform prdto na ltratra para métodos d lmntos fntos conforms (Sorano, 3). Mostra-s na Fgra 6 m gráfco do dslocamnto calclado m = / 56 vrss o logartmo na bas dos do númro d lmntos fntos. A lna ca orzontal corrspond ao valor xato dst dslocamnto as otras lnas corrspondm aos valors aproxmados obtdos com o MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo. Obsrva-s da Fgra 6 q a crva obtda com o MEFGC ndca tndênca d convrgênca assntótca para a solção xata. Os dslocamntos nodas obtdos para ambas as formlaçõs do MEFGD convrgm para os dslocamntos nodas obtdos da solção xata. Os rros obtdos com ambas as formlaçõs do MEFGD são bm mnors do q os rros obtdos com o MEFGC. -,43 -,44 -,45 -,46 -,47 -,48 -,49 -,5 -,5 -,5 -, log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra 6 Dslocamnto m =(/56) vrss logartmo na bas dos do númro n d lmntos fntos. A Fgra 7 mostra ma amplação da Fgra 6 na vznança do valor xato (/ 56) para as solçõs aproxmadas obtdas com ambas as formlaçõs do MEFGD. Obsrva-s q ambas convrgm d forma não-monótona para a solção xata do problma. -,55 -,5 -,55 -,53 -,535 -,54 -,545 -,55 8 8,5 9 9,5,5 log n Exata MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra 7 Amplação do gráfco da Fgra 6 na vznança do valor xato d (/56). Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

16 5 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar Mostra-s na Fgra 8 m gráfco da dformação calclada m = vrss o logartmo na bas dos do númro d lmntos fntos. A lna ca orzontal corrspond ao valor xato dsta dformação as otras lnas, tracjadas, corrspondm aos valors aproxmados obtdos com o MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo. Obsrva-s dsta fgra q as dformaçõs obtdas das solçõs aproxmadas plo MEFGC convrgm assntotcamnt para o valor xato d dformação q ambas as formlaçõs do MEFGD forncm aproxmaçõs mas prcsas do q as aproxmaçõs obtdas com o MEFGC. -,5 -, -,5 ' -, -,5 -, log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra 8 Dformação m = vrss logartmo na bas dos do númro n d lmntos fntos. A Fgra 9 mostra ma amplação da Fgra 8 na vznança do valor xato () para dstacar as crvas das dformaçõs aproxmadas obtdas com ambas as formlaçõs do MEFGD. Obsrva-s q as dformaçõs nodas obtdas com ambas as formlaçõs do MEFGD convrgm assntotcamnt para o dslocamnto nodal obtdo da solção xata do problma à mdda q s rfna a mala d lmntos fntos. As aproxmaçõs obtdas com a formlação orgnal do MEFGD são mlors do q as aproxmaçõs obtdas com a formlação altrnatva do MEFGD. -,98 -,9 -,9 ' -,94 -,96 -,98 -, log n Exata MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra 9 Amplação do gráfco da Fgra 8 na vznança do valor xato (). Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

17 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 53 Mostra-s na Fgra m gráfco da dformação calclada m = / 56 vrss o logartmo na bas dos do númro d lmntos fntos. A lna ca orzontal corrspond ao valor xato dsta dformação as otras lnas corrspondm aos valors aproxmados obtdos com o MEFGC, MEFGD orgnal MEFGD altrnatvo. Obsrva-s da Fgra q a crva obtda com a formlação do MEFGC ndca tndênca d convrgênca assntótca para o valor xato d dformação. Obsrvas também q ambas as formlaçõs do MEFGD forncm rsltados nmércos q stão d mto bom acordo com o valor xato d dformação q sts rsltados são mas prcsos do q os rsltados obtdos com o MEFGC. Com o objtvo d mlor vsalzar as solçõs aproxmadas obtdas com ambas as formlaçõs do MEFGD, mostra-s na Fgra ma amplação da Fgra na vznança do valor xato d (/ 56). -, -, -,3 ' -,4 -,5 -,6 -,7 8 9 log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra Dformação m =/56 vrss logartmo na bas dos do númro n d lmntos fntos. Obsrva-s da Fgra q aq também os valors nodas d dformação obtdos com ambas as formlaçõs do MEFGD ndcam tndênca d convrgênca assntótca para o valor xato (/ 56). Os rros obtdos com a formlação orgnal do MEFGD são mnors do q os rros obtdos com a formlação altrnatva do MEFGD. Obsrva-s também q ambas as formlaçõs do MEFGD forncm rsltados nmércos q stão d mto bom acordo com o valor xato d dformação q sts rsltados são mas prcsos do q os rsltados obtdos com o MEFGC. -,335 -,345 -,355 ' -,365 -,375 -, log n Exata MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Fgra Amplação do gráfco da Fgra na vznança do valor xato (/56). Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

18 54 Mara do Socorro Martns Sampao & Adar Robrto Agar 6 CONCLUSÕES A partr dos rsltados obtdos nst trabalo obsrva-s q ambas as formlaçõs do MEFGD forncm mlors aproxmaçõs tanto para o campo d dslocamnto qanto para o campo d dformação do q as aproxmaçõs obtdas com o MEFGC. Os rros ntr a solção xata as solçõs aproxmadas obtdas com a formlação altrnatva do MEFGD são m poco maors do q os rros corrspondnts obtdos com a formlação orgnal do MEFGD. Est amnto nos rros é compnsado plo mnor sforço comptaconal xgdo pla formlação altrnatva. 7 AGRADECIMENTOS Os ators agradcm ao CNPq à FAPESP, Proc. No. 8/376-3 plo apoo fnancro, sm o qal sta psqsa não s ralzara. 8 REFERÊNCIAS AGUIAR, A. R. Local and global njctv soltons of t rotatonally symmtrc spr problm. Jornal of Elastcty, 99-9, 6. ARNOLD, D. N. An ntror pnalty procdrs for llptc and parabolc Galrkn mtod, Lctrs Nots n Pyscs 58, Sprngr-Vrlag, Brln, 976. BAKER, G. A. Fnt lmnt mtods for llptc qatons sng nonconformng lmnts. SIAM J. Nmr. Anal. v. 9, p , 977. CASTILLO, P. A sprconvrgnc rslt for dscontnos Galrkn mtods appld to llptc problms. Comptr Mtods n Appld Mcancs and Engnrng. v. 9, p , 3. COCKBURN, B. Dscontnos Galrkn Mtods. ZAMM Z. Angw. Mat. Mc., v. 83, n., p , 3. DOUGLAS, J.; DUPONT, T. Intror pnalty for llptc and parabolc Galrkn mtods. Lctrs Nots n Pys. 58, Sprngr-Vrlag, Brln, 976. GURTIN, M. E. An ntrodcton to contnm mcancs. Nw York: Acadmc Prss, 98. LSAINT, P.; RAVIART, P. A. On a fnt lmnt mtod for solvng t ntron transport qaton. In: BOOR, C. (Ed.). Matmatcal aspcts of fnt lmnts n partal dffrntal qatons. Acadmc Prss, 974, p REED, W. H.; HILL, T. R. Tranglar ms mtod for t ntron transport qaton. Tc. Rport LA-UR , Los Alamos Scntfc Laboratory, 973. Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9

19 O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca 55 SAMPAIO, M. S. M. O Método d Galrkn Dscontíno aplcado na nvstgação d m problma d lastcdad ansotrópca. 9. Dssrtação (Mstrado m Engnara d Estrtras) Escola d Engnara d São Carlos, Unvrsdad d São Palo, São Carlos, 9. SORIANO, H. L. Método d Elmntos Fntos m análs d strtras. São Palo: Edtora da Unvrsdad d São Palo, p. TING, T. C. T. T rmarkabl natr of radally symmtrc dformaton of sprcally nform lnar ansotropc lastc solds. Jornal of Elastcty, v. 53, p , 999. WHEELER, M. F. An llptc collocaton-fnt lmnt mtod wt ntror pnalts. SIAM J. Nmr. Anal. v. 5, n., p. 5-6, 978. Cadrnos d Engnara d Estrtras, São Carlos, v., n. 5, p , 9