6.1 Definição de Primitiva. Relação entre primitiva e derivadas.

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1 apítlo VI Primitivação 6. Dfinição d Primitiva. Rlação ntr primitiva drivadas. Dada ma fnção F já sabmos dtrminar ma nova fnção F q s obtém da antrior através da drivação. Pnsmos no problma ao contrário: Dada ma fnção f, srá possívl dtrminar ma otra fnção F tal q F (' ) f ( )? ma tal fnção F chama-s primitiva o intgral d f. Tal como há rgras para a drivação, vamos ncontrar rgras para a primitivação o intgração. Dfinição: Uma fnção F é ma primitiva o intgral d ma fnção f : I IR s F (' ) f ( ), I (I é m intrvalo o rnião finita d intrvalos). Emplo:. F ( ) é ma primitiva d f ( ). G ( ) também é ma primitiva d f ( ). H ( ) 0 também é ma primitiva d f ( ).. Uma primitiva d f ( ) é F( ) sr G( ). D facto, tm-s F '( ) G '( )., otro mplo também pod 90

2 apítlo VI: Primitivação 9 Torma: S F, G são das primitivas d f : I IR, ntão F G difrm apnas nma constant, isto é, ist constant, tal q G( ) F( ), I. Sgndo st torma não s tm ma só primitiva d ma fnção, mas sim ma família d primitivas, cja difrnça ntr las é ma constant. ssim, podmos dizr q ma primitiva é única a mnos d ma constant. Notação: Para indicar ma primitiva gral d f (nos trmos do torma antrior), tiliza-s a notação: Sinal d intgral f ( ) d Fnção a primitivar Indica m ordm a q variávl s vai primitivar Escrv-s f ( ) d F( ) qando F (' ) f ( ). é a constant d intgração. Emplo:. d. d ln( ), > 0. d 6. Primitivas imdiatas. Rgras d primitivação. omo vimos pla dfinição a primitivação o intgração é a opração invrsa da drivação portanto tmos as sgints propridads: F '( ) d F( ) ; d d. ( f ( ) d) f ( ) Esta rlação prmit obtr dirctamnt propridads primitivas d várias fnçõs a partir das propridads tablas d drivação:

3 apítlo VI: Primitivação 9 d d Fórmla d drivação d d d d d d d d d d d d ( ) 0 ( a) a n n ( ) n Fórmla d primitivação 0 d a d a n n d n para ( n ) (*) d ( ln( )) d ln (**) d ( ( )) ( ) ( ) d ( ) ( ( )) ( ) d d ( ) d ( ) ( ) d ( arctg( )) ( arc( )) (a são constants.) d arctg( ) d arc( ) fórmla (*) não é válida para o caso m q n, nss caso aplica-s a fórmla (**). Ercício: d. d Vrifiq q ( ln ) Proposição: Tal como a drivação também a primitivação é ma opração linar, isto é: k. f ( ) d k f ( ) d [ f ( ) g( ) ] d f ( ) d g( ) d

4 apítlo VI: Primitivação 9 Ercício: alcl as sgints primitivas.. d. ( ) d. d Rsolção d. d. d. Nota: S considrarmos > 0 comparmos o gráfico das três difrnts primitivas d f ( ). Os gráfi corrspondm a fnçõs da forma d igais a, 0 -:, para valors Ercício: Dtrmin a primitiva F da fnção f ( ) tal q F(0). Rsolção: º) alclar a primitiva d f : ( ) d d É fácil d vr q ma primitiva d d d é d : ( ) d. d Logo ( ) d F( ). Not-s q a soma das constants, ainda é ma constant,. º) Dtrminar d modo q F ( 0 ) : 0 F(0) 0 d d

5 apítlo VI: Primitivação 9 rsposta é F ( ). Nota: Podmos smpr vrificar s o rsltado d ma primitiva stá o não corrcto, por drivação; Rsltados d ma primitiva aparntmnt distintos podm, na vrdad, difrir ntr si apnas m ma constant; Há fnçõs q apsar d srm lmntars a sa primitiva não é lmntar, por mplo ( ). 6. Primitivação por sbstitição. Já vimos como calclar primitivas d fnçõs simpls a partir da tabla d drivação. Passmos agora a fnçõs mais complicadas. Rgra da adia (o rgra da drivada da fnção composta rvr página 08) para drivação d ma fnção composta é: d d F ( ( ) ) F '( ( )). ' ( ) Rlacionando a rgra da cadia com a primitivação tmos: ( ( ) ). '( ) d F( ( ) F ' ) Emplo: k Sja ( ) f ond k é ma constant difrnt d zro. Prtnd-s dtrminar k k d. Podmos ncarar a fnção f como composta das fnçõs ( ) k ( ) Então, tmos q: k F ( ( ) ) F.

6 apítlo VI: Primitivação 9 k F ( ( ) ) ' ( ) k (drivada da fnção composta). k ' k k d F' ( ( ) ) ' ( ) d [ F( ( ) )] d F( ( ) ) S m vz d k k d tivrmos k d, o problma é d fácil rsolção pois k k k k k d k d d k st intgral já sabmos calclar portanto k d k k. Ercício: a. alcl a primitiva da fnção ( ) Rsolção: Fazndo ( ) vm q f. f ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ' ( ) d ( ) b. d Rsolção: Fazndo ( ), ' vm q d ( ) ' d ' c. d Rsolção: Fazndo ( ), ' podmos scrvr o intgral como d, mas só aparc o factor m vz d. Ora st problma rsolv-s mltiplicando o intgral por :

7 apítlo VI: Primitivação 96 d ' d. Ddzimos assim ma fórmla mais gral d primitivação da fnção ponncial: ' d Ora sta fórmla pod, também, sr ddzida tndo m conta q é fnção d : d d ( ) ( ) ( ) '( ) Procdndo d forma análoga tmos: d d d d d d d d d d d d () ' d n '. n ( ) n n () '. d n n ' ' ln () d ln ( ( ) ) '.( ), s n () '. ( ) d ( ) ( ( ) ) ' ( ) () '. ( ) d ( ) ( arctg( ) ) ( arc( ) ) ' (6) d arctg ' ( ) (7) ' d arc( ) Emplo: d a.. ( ) Rsolção:, ', logo Fazndo ( ) ' d 6 ( ) ( ) 6 b. d

8 apítlo VI: Primitivação 97 Rsolção: Fazndo ( ), ', logo / ' d () ( ) d ln O q fizmos nos rcícios antriors foi rconhcr q a fnção intgrando, podia sr scrita como a drivada d ma fnção composta. Esta técnica pod sr sada d ma forma mais sistmática plo chamado Método d sbstitição d variávl para o qal ist ma notação particlarmnt adqada prática: Sponhamos q qrmos calclar ( ) ) f ( '( ) d. d d S () for drivávl tmos '( ) ncarando como m qocint, tmos: d d Então, com sta notação O sja: d ' ( ) d ( ( ) ) ' ( ) d F( ( ) ), s F ' f f f ( ) d F ( ) ( ) d F( ) f. Emplo: d Rsolção: O cálclo dst intgral pod sr fito do sgint modo: onsidramos a sbstitição: d. Então portanto d d d Logo d. d d d d alclamos a primitiva prssa m fnção d :

9 apítlo VI: Primitivação 98 d / omo o nosso objctivo é a dtrminação d ma primitiva d sbstitímos por fim por obtndo: / ( ) / Est é o método d sbstitição para o cálclo d primitivas o intgrais dv sr mprg smpr q o cálclo do intgral f ( ) d for mais simpls. Emplos: alcl os sgints intgrais sando o método d sbstitição: a. d b. d c. d.. ( ) ln d ln ( ) d ( ) f. d 9 d fazndo fazndo ; fazndo ln( ) g. d (faça apnas a sbstitição, a continação da rsolção implica Rsolção: a tilização da técnica d primitivação por parts, q srá dada a sgir). a. d d d S ntão d. d d. Logo d d b. d

10 apítlo VI: Primitivação 99 S ntão d d d Logo d ( ) d ( ) d d. ( ) ln c. d d d d d S ln( ) ntão d d ( ) Logo ln d d d ( ) d ln ln ( ) d. ln ( ) d d d S ln( ) ntão d. d d Logo d d ln ln ln( ) ln ln ( ) ( ). d ( ) S d ntão d d d Logo d d d arctg arctg ( ) ( ) ( ) f. d 9 d S 9 ntão 8 d d d 8 d Logo d d d ln 8 ln 9 8 g. d S d ntão d d. d Mas d não aparc na primitiva. Então tndo m conta q tmos d d d d. Sbstitindo: d d d

11 apítlo VI: Primitivação 00 (a continação da rsolção implica a tilização da técnica d primitivação por parts, q srá dada a sgir). Nota: a partir do momnto m q s sbstiti d por d só pod aparcr na primitiva. 6. Primitivação por parts. rgra para a drivação do prodto d das fnçõs é: Então, m trmos d primitivas tmos: logo, ( fg) d d ( fg) d d f ' g fg' d f g d fg ' d fg f ' g d ' fg ' d. f ' gd fg fg' d sta é a fórmla para o método d primitivação por parts. Nota:. plicámos primitivação por parts qando tmos as condiçõs: Qrmos primitivar m prodto d fnçõs q não consgimos primitivar dirctamnt, f '( ) g( ) d ; onhcmos ma primitiva d f ', f '( ) d f ( ) ; primitiva f ( ) g'( ) d é mais simpls d calclar.. Qando qrmos primitivar m prodto d fnçõs por st método, scolhmos ma fnção para primitivar, m conta os três pontos antriors. f ', otra para drivar, g. Essa scolha dv sr fita tndo Emplos: a. ( ) d 8 Escolhndo f '( ) ( ) tmos 8 ( ) f ( ) pois ( ) ( ) d ; 9 9

12 apítlo VI: Primitivação 0 Escolhndo g ( ) tmos g '( ) plicando a fórmla d primitivação por parts tmos: g 9 8 ( ) ( ) d 9 g f ' f f g ' 9 ( ) d ( ) ( ) Not q: S tivéssmos scolhido f ( ) 8 ' ( ) ( ) g ao aplicar a fórmla d primitivação por parts ficaríamos com ma primitiva mais complicada para calclar. g f ' b. d Escolhndo f '( ) g ( ) tmos plicando a fórmla d primitivação por parts tmos: d g f ' g' f d f ( ) d g '( ). d ( ) c. d Escolhndo f '( ) g ( ) tmos f ( ) d g '( ). plicando o método d primitivação por parts tmos d d g f ' g f g' f Ora a primitiva d também não é imdiata, aplicando novamnt o método d primitivação por parts da sgint forma: fazndo f '( ) g( ) tmos f ( ) d g '( ) portanto d d g f ' Logo ( ) d d

13 apítlo VI: Primitivação 0 Nota: Na sgnda vz q s aplica a fórmla d primitivação por parts dvmos continar a considrar como f ( ) '. Em gral, smpr q é ncssário aplicar rptidamnt o método d primitivação por parts dvmos mantr a scolha d f ' d. arctg( ) d Nota: Nst intgral só tmos ma fnção para intgrar. Mas não sabmos primitivar o arctg ( ). Então para podrmos aplicar intgração por parts olhamos para a fnção a intgrar como.arctg( ). d Então arctg ( ) d. arctg( ) Fazndo f '( ) g ( ) arctg( ) tmos f ( ) d g '( ) plicando a fórmla d primitivação por parts tmos arctg( ) d. arctg( ) d. arctg( ) f ' g. arctg( ). arctg( ) ln d d. ln( ) d (rsolção análoga à antrior) f. ( ) d Escolhndo f '( ) ( ) ( ) g tmos plicando a fórmla d primitivação por parts tmos ( ) d ( ) f ' g f g ( ) f ( ) g' ( ) ( ). ( ( ) ) d f g ' ( ) d

14 apítlo VI: Primitivação 0 plicando novamnt primitivação por parts ( tndo m conta o q foi dito nma nota antrior) tmos q: ssim Nota: ( ) d ( ) f ' g f ( ) g ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d f ( ) ( ) d g ' ( ) d ( ) ( ) d d O intgral q aparc no º mmbro é igal ao inicial, ntão podmos passá-lo para o primiro mmbro rsolvr a qação m ordm a ( ) d : ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d Ercício: alcl as sgints primitivas tilizando primitivação por parts:. ( ) d. d. ( ) ) ln( d. ln( ) d. ( ) d ( ) 6. ( ) d

15 apítlo VI: Primitivação 0 6. Primitivação d fnçõs racionais Vamos comçar por vr três tipos spciais d fnçõs racionais: as fracçõs parciais. Tipo I c ( m b) n c,m,b,n constants m,n 0 Tipo II m ( a b c) n m,a,b,c,n constants b a,n 0 ac < 0 Tipo III m ( a b c) n m,,a,b,c,n constants a,m,n b 0 ac < 0 Tipo I Já sabmos intgrar st tipo d fnçõs. Emplo: d d a. ln b. d 0 ( ) ( ) d ( ) Tipo II Pod sr rdzido por sbstitição a m intgral do tipo rsolvido sando a fórmla d rdção: dt ( ) ( ) n ( ) t n t n ( t ) dt ( t ) t n dt n () n n n q pod sr Nota: no caso m q dt t n tmos arctg(

16 apítlo VI: Primitivação 0 Emplo: d a. 6 (nst caso n ) Not-s q o dnominador não tm zros rais ( < 0) mas podmos scrvê-lo na forma ( t ) ond é constant, compltando o qadrado. ssim, no intgral q stamos a rsolvr tmos: 6 6 ( ) Fazndo Logo t, d dt dt d. d 6 dt ( t ) 0 ( ) dt t ( arctg 0 arctg 0 b. d ( 9 ) O dnominador não tm zros rais. ( ) Fazndo t, dt d tmos d dt ( ) 9 ( 9( t ), dt 8 ( t ) sando a fórmla () tmos q

17 apítlo VI: Primitivação 06 plo q dt t dt t arctg( t, t t ( t ) d dt ( ) 9 ( 9( t ) 8 6 dt ( t ) 9 6 t 8 t arctg ( arctg 9 6 arctg Tipo III Pod sr rdzido à soma d dois intgrais, m do tipo II otro qas imdiato. Emplo: ln a. d d d arctg( ) 6 b. 6 qas imdiato d tipoii O dnominador não tm raízs. Not-s q ( 6 ) 8 6 ( 8) Plo q s pod scrvr: 6 6 d ' ( 8) d 6 8 d d 6 6 ln 6 mplo a ) arctg 0

18 apítlo VI: Primitivação 07 c. d ( 9 ) O dnominador não tm raízs. Not-s q ( 9 ' ) 8 8 ( 8 ) Plo q s pod scrvr: d 8 8 d ( ) ( ) 9 9 ( 9 ) 8 9 imdiato ( ) 6 9 d mplo b ) 9 6 arctg Dcomposição m fracçõs parciais Vamos tntar primir ma dada fnção racional, p q ( ) ( ), como soma d fnçõs racionais. No caso m q o gra d p ( ) é sprior ao d ( ) divisão d polinómios obtndo-s ond d ( ) é o qocint r( ) p q ( ) ( ) ( ) d polinômio q comça-s por fctar o algoritmo da gra r ( ) ( ) r q ( ) < gra q( ) o rsto da divisão. Para intgrar p q ( ) ( ) basta scrvr como soma d fracçõs racionais intgrar cada ma das parclas (como vrmos mais à frn. r q ( ) ( )

19 apítlo VI: Primitivação 08 Obsrvação: Todo o polinómio q ( ), não constant com coficints rais pod sr scrito d modo único (a mnos da ordm dos factors) como prodto d polinómios linars, a b, polinómios qadráti sm raízs rais, a b c ssim podmos factorizar q ( ) do sgint modo: com b ac < 0. q n m m m n nl ( ) ( a ) ( a ) ( a ) ( b c ) ( b c ) ( b c ) k l k k Polinómios linars distintos Notar q a constant q aparc na dcomposição d q ( ) é igal ao coficint do trmo d maior gra d q ( ). Polinómios qadráti distintos (sm raízs rais) omo dcompor p q ( ) ( ) m fracçõs parciais?. omçar por factorizar q( ) d modo q a sa dcomposição nvolva somnt polinómios linars qadráti sm raízs rais.. pliq as sgints rgras: a. Para cada factor ( α ) n com n, a dcomposição m fracçõs parciais nvolv ma soma d n fracçõs parciais da forma ond os α i ' s rprtam constants. ( α ) ( α ) n n b. Para cada factor ( a b c) m com m a b c sm raízs rais, a dcomposição m fracçõs parciais nvolv ma soma d m fracçõs parciais da forma a b c ( a b c) ( a b c) m m m

20 apítlo VI: Primitivação 09 ond os s ' i s ' i rprtam constants.. Os coficints do ponto antrior dtrminam-s plo método dos coficints indtrminados. Vamos agora vr algns mplos q ilstram a dcomposição m fracçõs parciais. Emplo: a. ( ) d Trata-s d m intgral d ma fnção racional cjo dnominador já stá factorizado: pont do factor é pont do factor é Na dcomposição m fracçõs parciais podrmos ncontrar os dnominadors: ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) omo tmos ma igaldad os dnominadors são igais ntão tmos q tr forçosamnt os nmradors igais, isto é: ( ) ( ) Not q dois polinómios são igais s os coficints d cada potência d são igais. ssim trmos q tr 6 8 Plo q ( ) ( )

21 apítlo VI: Primitivação 0 portanto ( ) ( ) ln ln d d d d b. d Factorização do dnominador: ( )( ) ( )( ) ( ) rais raízs tm não Na dcomposição m fracçõs parciais podrmos ncontrar os dnominadors: (not q cada factor da dcomposição do dnominador tm pont ). tnção! omo ist m polinómio d ª gra sm raízs rais na factorização do dnominador, o nmrador da fracção parcial corrspondnt srá da forma D. ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) D D D D D D D omo tmos ma igaldad os dnominadors são igais ntão tmos q tr forçosamnt os nmradors igais, isto é: ( ) ( ) ( ) ( ) D D Igalando as potências d, tmos

22 apítlo VI: Primitivação D D D Plo q ln ln ln d d d c. ( ) d O dnominador da fracção ( ) já stá factorizado. Na dcomposição m fracçõs parciais podrmos ncontrar os dnominadors: ( ) ( ) (not q o pont do dnominador é maior q ). tnção! omo ist m polinómio d ª gra sm raízs rais na factorização do dnominador, o nmrador da fracção parcial corrspondnt srá da forma. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F D E D F E D D F E D F E D omo tmos ma igaldad os dnominadors são igais ntão tmos q tr forçosamnt os nmradors igais, isto é: ( ) ( ) ( ) ( ) F D E D Igalando as potências d, tmos

23 apítlo VI: Primitivação F E D F D E D Plo q ( ) ( ) ( ) ( ) ln d d d d d. d Not q o gra do nmrador é sprior ao gra do dnominador, plo q é ncssário rcorrr ao algoritmo da divisão d polinómios: ssim tmos q ( )( ) ( ) o sja, ( )( ) ( ) ( ) Portanto ( ) d d d

24 apítlo VI: Primitivação Um dos intgrais rsltants é imdiato o otro tm gra do nmrador mnor q o gra do dnominador. Vamos comçar por calclar d. Factorização do dnominador: ( )( ) Na dcomposição m fracçõs parciais podrmos ncontrar os dnominadors: Vamos dcompor a fnção intgrando m fracçõs parciais: ( ) ( ) ( )( ) omo tmos ma igaldad os dnominadors são igais ntão tmos q tr forçosamnt os nmradors igais, isto é: Igalando as potências d, tmos Plo q onclsão: ( ) ( ) d 6 d d ln ln 7 7 d ( ) d d 7 6 ln ln 7 7

25 apítlo VI: Primitivação 6.6 Otras técnicas d primitivação: Primitivas d fnçõs trigonométricas, Sbstitiçõs trigonométricas, Racionalização d algmas d algmas fnçõs Intgração d fnçõs trigonométricas: Vamos agora ocparmo-nos dos intgrais do tipo ond n, m são númros intiros positivos. m n ( ) ( ) d Já sabmos q: ( m, n 0 ) ( ) d ( ) ( m 0, n ) ( ) d ( ) É fácil vr q: n n ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) n d, n n ' Not q s n tmos n ( ) ( ) ( ) ( ) d d o sja, tg ( ) d ln ( ) ' ( ) ( ) d ln ( ) m m ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) m d, m m ' Not q s m tmos n

26 apítlo VI: Primitivação ( ) ( ) d ' ( ) d ln ( ) o sja, cot g( ) d ln ( ) ( ) Emplos: a. ( ) ( ) ( ) ( ) d b. ( ) ( ) ( ) d c. ( ) ( ) ( ) d lgm dos ponts ímpar: Procdimnto: Dstaca-s ma nidad à potência impar o factor rsltant passa-s à cofnção através da fórmla fndamntal da trigonomtria: Emplos: a. ( ) ( ) d [ ] ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ada m dos intgrais rsltants é imdiato, logo ( ) ( ) ( ) ( ) d d d 6 b. ( ) ( ) d omcmos por scrvr ( ) ( ) ( ) ( )( ) p.par.

27 apítlo VI: Primitivação 6 Pla fórmla fndamntal da trigonomtria tm-s q ( ) ( ) dond ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ssim, 6. p.par qando s dvolv o qadrado fica tdo m fnção d o 6 6 ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( )[ ] 6 ( ) ( )[ ] d 6 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] d d d ada m dos intgrais rsltants é imdiato, logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 7 6 ( ) ( ) d 7 9 d d c. ( ) ( ) d [ ] ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ada m dos intgrais rsltants é imdiato, logo 6 ( ) ( ) ( ) ( ) d 6 d d 7 d. ( ) ( ) d omcmos por scrvr ( ) ( ) ( ) ( )( ) p.par Pla fórmla fndamntal da trigonomtria tm-s q ( ) ( ) dond ssim, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] p.par qando s dvolv o qadrado fica tdo m fnção d o.,

28 apítlo VI: Primitivação ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( )[ ] 7 ( ) ( )[ ] d 7 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] d 7 9 d d ada m dos intgrais rsltants é imdiato, logo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 8 7 ( ) ( ) d 8 d d. ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) passar a ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d 6 ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ada m dos intgrais rsltants é imdiato, logo 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d 7 d d d f. ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) 6 ( ) ( ) d ( ) ( ) ada m dos intgrais rsltants é imdiato fica como rcício d d

29 apítlo VI: Primitivação 8 mbas as potências pars: Rcordar: ( a b) ( a) ( b) ( b) ( a) No caso particlar m q a b tm-s ( a) ( a) ( a) ( a b) ( a) ( b) ( a) ( b) No caso particlar m q a b tm-s ( a) ( a) ( a) omo ( a) ( a) tm-s q ( a) omo ( a) ( a) tm-s q ( a) ( ) ( ) a ( ) ( ) a Emplos: a. ( ) ( ) d ( ) ( ) d [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) d ( ) d ( ) d O intgral rsltant é imdiato fica como rcício... d por ( ) b. ( ) ( ) d Not q agora não pod sar a msma técnica da alína antrior porq o pont não é o msmo. Nst caso como stamos a trabalhar com potências pars é ncssário para o arco-dplo através das fórmlas ( ) /o ( ).

30 apítlo VI: Primitivação 9 ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ( ) )(( ( ) )( ( ) )) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) 8 d 8 d d d Os intgrais rsltants são imdiatos ficam como rcício... d ( ) ( ) d por ( ) onsidrmos intgrais do tipo m n ( ) ( ) d, n m ( ) ( ) d ond n, m são númros intiros positivos. Já sabmos q: ( ) ( ) ( ) tg d d ln g( ) ( ) ( ) ( ) cot d d ln ( ) É fácil vr q: ( ) ( ) d n ( ) ( ) m d n ( ) ( ) d, n ' n m ( ) ( ) n ( n ) ( ) d, m ' m m ( m ) ( ) Emplos:

31 apítlo VI: Primitivação 0 a. b. c. ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) Para otros ponts: Procdimnto: Usar intgração por parts aplicar fórmlas trigonométricas. Emplos: a. ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d g f ' sc sc ( ) tg( ) d sc ( ) d ( ) tg( ) ln sc( ) tg( ) b. ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d [ ( ) ] ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) sc d Usando a alína antrior a tabla d primitivas facilmnt s concli q ( ) ( ) ( ) tg( ) ln sc( ) tg( ) sc d ( ) d

32 apítlo VI: Primitivação c. ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d [ ( ) ] ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ada m dos intgrais rsltants é imdiato fica como rcício d d.. ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d d d ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ada m dos intgrais rsltants é fácil d calclar fica como rcício ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ada m dos intgrais rsltants é imdiato fica como rcício d ( ) ( ) d d d ( ) d f. ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ( ) ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ada m dos intgrais rsltants é imdiato fica como rcício

33 apítlo VI: Primitivação g. h. i. ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d sc d ( ) ( ) ( ) d ( ) d d tg( ) ( ( ) ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) Os intgrais rsltants são fácis d calclar ficam como rcício... ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) d d tg g f ' ( ) onsidrmos intgrais do tipo: m n ( ) ( ) d, ond n, m são númros intiros positivos. Para st tipo d intgrais não farmos m stdo astivo ficam apnas qatro mplos: a. b. d d c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ln c ( ) d ( ) cot g( ) ( ) ( ) cot d d sc( ) d d

34 apítlo VI: Primitivação c. d. Os intgrais q rsltam são fácis d calclar ficam como rcício ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) sc d g f ' O primiro intgral calcla-s sando primitivação por parts, o sgndo é imdiato plo q o rsto da rsolção do rcício fica como rcício. ( ) ( ) d (rcício...) tg tg ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d Estdmos por último os intgrais do tipo ond a, b são rais não nlos. ( a) ( b) d, ( a) ( b) d, ( a) ( b) d Rcordar ( a b) ( a) ( b) ( b) ( a) ( a b) ( a) ( b) ( b) ( a) d ond d ddz q: ( a) ( b) ( a b) ( a) ( b) ( a) ( b) ( a b) ( a) ( b) ( a) ( b) d ond s ddz q: ( a) ( b) ( a b) ( a b) () ( a b) ( a b) ()

35 apítlo VI: Primitivação ( a) ( b) ( a b) ( a b) () Emplos: a. ( ) ( ) d omparando com a fórmla () tmos ( ) ( ) d a b plo q ( 8) ( ) ( 8) ( ) d ( 8) d ( ) Os intgrais q rsltam são imdiatos ficam como rcício... d d b. ( ) ( ) d omparando com a fórmla () tmos ( ) ( ) a b plo q ( ) ( ) d d ( ) d ( ) d Os intgrais q rsltam são imdiatos ficam como rcício... c. ( ) ( ) d

36 apítlo VI: Primitivação Sbstitiçõs Trigonométricas No cálclo d primitivas qando aparcm algns tipos d radicais fazm-s as sbstitiçõs a sgir indicadas: I. Primitivas do tipo: R, a d ond (, a ) R é ma fnção racional a > 0 é fnção d : Sbstitição: a ( Logo, a a ( t ) d a ( t ) dt pois, a a ( a ( t )) a ( ( t )) a ( t ) a ( t ) d dt a ( t ) d a ( t ) dt Nota: No fim da primitiva, para voltar à variávl inicial há q tr m conta o sgint: a ( a ( arc t a ( a a a ( ( a a tndo m conta o º º ponto, podmos fazr a sbstitição d todas as ( t ) ( t ) fnçõs trigonométricas dirctas: tg ( t ) ; cotg ( t ) ; ( t ) ( t ) sc(t ) ; ( t ) c ( t ). ( t )

37 apítlo VI: Primitivação 6 Nota: Podmos fazr a sbstitição a ( nss caso tmos: a a ( d a ( dt. Emplo: d Rsolção: Fazndo ( t ) tmos d ( dt ( : ( t ) d ( t )( ( t )d ( t )dt dt ( t ) ( t ) dt dt t ( t )( t ) omo ( α ) ( α)( α) tmos d t Para voltar à variávl inicial (tal como rfr a Obs.) há q tr m conta q ( ( q t arc(), logo d arc( ). II. Primitivas do tipo: R, a d ond (, a ) R é ma fnção racional a > 0 é fnção d : Sbstitição: asc( Logo, a a tg( d asc( tg( dt

38 apítlo VI: Primitivação 7 sc( ( t ) ( t ) tg ( t ) sc ( t ) tmos: omo ( t ))' sc(t )tg( t ) d dt asc( tg( d asc( tg( dt dividindo por t ( a sc( ) a a ( sc ( ) a tg ( a tg( a Nota: No fim da primitiva, para voltar à variávl inicial há q tr m conta o sgint: a sc( a sc( a a tg( a ( ( a arc t a a ( a a a ( ( ( ( a tndo m conta o º º ponto, podmos fazr a sbstitição d todas as fnçõs trigonométricas dirctas. Emplo: d Rsolção: Fazndo sc( tmos d sc( tg( dt, tg( d omo sc( tg( dt dt sc ( tg( sc( ( dt ( sc ( : sc( ( tg( ( tmos d ( t ).

39 apítlo VI: Primitivação 8 III. Primitivas do tipo: ond (, a ) R, a d R é ma fnção racional a > 0 é fnção d : Sbstitição: atg( Logo, a a sc( d a sc ( dt Porq ( tg( t ))' sc ( t ) d dt ( t ) ( t ) tg ( t ) sc ( t ) tmos: asc ( d a sc ( dt dividindo por t ( a tg( ) a ( tg ( ) a sc ( asc a a Nota: No fim da primitiva, para voltar à variávl inicial há q tr m conta o sgint: a tg( arctg t a a a tg( a sc( a ( a ( ( a ( ( a a a tndo m conta o º º ponto, podmos fazr a sbstitição d todas as fnçõs trigonométricas dirctas. d Emplo: 9 Rsolção: Fazndo tg( tmos d sc ( dt 9 sc( : d 9 sc ( t ) 9 dt sc( t )dt ln sc( t ) tg( t ) ln sc( t ).

40 apítlo VI: Primitivação 9 Ercício: alcl: d. ( ) (sgstão: ( ) ). d. 8 (sgstão: 8 ( ) ( ) ) Racionalização d algmas d algmas fnçõs Vamos vr com podmos racionalizar primitivas q nvolvam as fnçõs () ( ) R( ( ), ( ) )d ond ( ( ),( ) ) R é ma fnção racional: Sbstitição: ond ( ) ( ) d são sbstitídos por: tg t t ( ) t t ( ) d dt t t s igaldads antriors são obtidas das sgints idntidads trigonométricas: tg( ) tg ( ) tg tg ( ). ( ) d obtém-s da forma sgint: tg t arctg( logo, d t dt

41 apítlo VI: Primitivação 0 Emplos: a. d ) ( ) ( Rsolção: Fazndo t tg tmos: tg ln t ln dt t t t t t dt t ) ( ) ( d b. d ) ( )d sc( Rsolção: Fazndo tg tmos: ) tg( ) ln sc( tg tg ln ln ln ln d d d. d ) ( c. ) ( d Rsolção: Fazndo y tg tmos: ( ) tg y dy y dy y y y y dy y y y d.. ) (

42 apítlo VI: Primitivação Ercício: alcl as sgints primitivas: d. ( ) d. ( ) ( ) tg( ). d tg( ) d. ( ) 6.7 Ercícios. alcl as sgints primitivas: a. b. c. d g. d m. d h. ( ) d i. d. d j. ( ). f. ( ). d k. ( ). d l. d d n. ( ) d d o. ( ) d arctg( ) d ( ) d p. ln( ) d q. ( ) d r. d d. Dtrmina as sgints primitivas: a. b. d, fazndo a sbstitição t ; ln( ) d, fazndo a sbstitição ln( ) t ;

43 apítlo VI: Primitivação. alcla os sgints intgrais, tilizando a técnica d primitivação por sbstitição, s ncssário: a. d b. c. d d. ( ) d d. alcl as sgints primitivas, tilizando a primitivação por parts: a. d f. ln( ) d k. ( )( ) d b. d g. ln ( ) d l. arctg( ) d c. ln( ) d h. (ln( )) d m. ( ) d d. ln ( ) d i. ( ) d. d d j. ( ) d. Dtrmin a fnção f dfinida m IR q vrifica as condiçõs f ( ) ln( ) f ( ). 6. alcl os sgints intgrais d fnçõs racionais:

44 apítlo VI: Primitivação 7. Dtrmin a primitiva da fnção π f ( ) q toma o valor, para Dtrmin a fnção f tal q 8 f ''( ), f '() lim f ( ). ( ) 9. alcl os intgrais das sgints fnçõs trigonométricas: a. d b. d. g. cot ( g ) d. ( ) ( ) d h. ( ) ( )( ) d c. tg( ) d ( ) d f. ( ) sc( ) d i. ( ) c d ( ) d j. ( ) d k. sc ( ) d l. ( ) ( ) d m. p. ( ) ( ) d n. ( ) ( ) d q. d o. ( ) ( ) d tg ( )sc( ) d r. ( ) ( ) d s. ( ) ( ) d t. ( ) ( ) d. ( ) ( ) d v. y. tg ( ) d w. ( ) d. ( ) d z.. d ( ( )) d tg ( )sc ( ) d. d 0. alcl as sgints primitivas, tilizando as sbstitiçõs trigonométricas, smpr q ncssário: a. d. b. d. d c. 9 d ( ) 9 d f. d d

45 apítlo VI: Primitivação g. d h. ( ) j. d k. ( ) 9 d i. d l. 9 d ( ) d m. d. alcl os intgrais das sgints fnçõs sando o método q achar mais convnint.