MEDIDAS DE EFICIÊNCIA USANDO FRONTEIRAS ESTOCÁSTICAS COM MÚLTIPLOS OUTPUTS E INPUTS

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1 MEDIDAS DE EFICIÊNCIA USANDO FRONTEIRAS ESTOCÁSTICAS COM MÚLTIPLOS OUTPUTS E INPUTS Ne Carlos dos Satos Rocha IM/UFRJ rocha@lcc.br Alba Rega Morett DEMAT/UFRRJ morett@frrj.br Josmar Mazchel UEM - jmazchel@em.br Resmo Neste trabalho, tratamos do problema de frotera estocástca com múltplos otpts e pts. Além dsso, regstramos ma rqeza de modelo a mas a ser corporada às efcêcas téccas de forma a recohecer em aráes dmmes o o própro tempo algma eplcação para a efcêca técca de DMU (Decso Markg Uts). Um estdo de caso com dados de plataformas de petróleo m úco state de tempo fo feto e comparamos os resltados obtdos pela teora de frotera estocástca com o modelo VRS (Varable Retrs to Scale) sob a ótca do otpt, obtedo resltados mto bos com efcêcas médas pratcamete eqaletes. Propsemos também o so do Método de Regressão Stepwse para redção de pts. Fzemos comparações do método acma com o método I-O Stepwse proposto por [LM97]. Palaras chae: Frotera estocástca, meddas de efcêca, método de regressão stepwse. Abstract I ths paper, we treat the stochastc froter problem wth mltple otpts ad pts. Besdes, we regster a more comple strctre to be corporated to the techcal effceces order to recogze throgh dmmy arables or throgh tme tself some eplaato for the techcal effcecy of the DMUs (Decso Markg Uts). A stdy case wth data from petrolem platforms at a qe stat of tme was made ad the reslts obtaed a theory of stochastc froter were compared wth VRS (Varable Retrs to Scale) model o the ew of the otpt, ad qte good reslts were obtaed ad aerage effceces were almost eqalet. We hae also proposed the se of Stepwse Regresso Method for pts redcto. We hae made comparsos betwee ths method ad the oe proposed by [LM97]. Key words: stochastc froter, effcecy measre, stepwse regresso method. - Itrodção Há das teoras alteratas para a estmação de fções de froteras e a mesração de efcêca de prodção: a Aálse Eoltóra de Dados (DEA - Data Eelopmet Aalyss) e a Teora de Froteras Estocástcas. A prmera eole o so da programação lear, eqato qe esta últma faz so de métodos ecoométrcos. Uma das prmeras abordages em modelos de froteras estocástcas é deda a [AC68] qe cosderaram a estmação de ma fção de frotera de prodção paramétrca da forma de Cobb- Doglas, sado dados de ma amostra de DMU's (Decso Makg Uts). O modelo proposto era log y = β, =,...,

2 ode log y é o logartmo atral do otpt (escalar) da -ésma DMU; m etor lha de dmesão k + cjo prmero elemeto é e os elemetos restates são os logartmos atras dos k ' pts sados a -ésma DMU; β = ( β, β,..., β k ) m etor cola de dmesão k + de parâmetros descohecdos a serem estmados; e ma aráel aleatóra ão-egata, assocada com a efcêca técca a prodção da -ésma DMU. A efcêca técca da -ésma DMU é defda como a razão etre o se otpt obserado e o se potecal otpt defdo pela fção da frotera, o seja y ep( β ) ET = = = ep( ). ep( β) ep( β) Esta é ma medda de Farrell de efcêca técca sob a ótca do otpt, tomado alores etre zero e m, e dcado a magtde do otpt obserado da -ésma DMU relata ao otpt qe podera ser prodzdo por ma DMU totalmete efcete sado o mesmo etor de pt. A estmação dos parâmetros do modelo é feta atraés da programação lear, ode = mmzada, sjeta às restrções:, =,...,. O problema deste modelo é qe ele ão lea em cota a flêca de possíes erros de medda e otros rídos sobre a frotera. Todas as arações da frotera são stas como resltados da efcêca técca. Assm, [ALS77] e [MB77] propseram, de forma depedete, a corporação de m adcoal erro aleatóro,, à aráel aleatóra ão-egata,, a fm de represetar estes erros de medda o efetos otros qe ão os da efcêca sobre a aráel otpt. O assm chamado modelo de frotera estocástca é dado por log y = β +, =,..., () ode os são aráes aleatóras ormas..d. com méda zero e arâca costate σ, depedetes dos 's qe são assmdos como aráes aleatóras epoecas o semormas com arâca σ. A fgra mostra de qe forma a corporação de traz formações a respeto das casas da efcêca dedo a otros fatores qe ão os eplcados pelos 's. é Fgra Nosso trabalho sa a geeralzar esta estrtra, permtdo o so de múltplos otpts o modelo () acma, estrtra esta só recetemete cotemplada em algs artgos relatamete recetes da área de frotera estocástca. Além dsso, regstramos ma rqeza de modelo a mas a ser corporada aos 's de forma a bscar recohecer as aráes dmmes (tpo: a DMU passo por m treameto o ão) o o própro tempo algma eplcação para a efcêca técca de DMU's. Para sto deemos ter ma estrtra de dados em paés ao logo de m tempo, de forma qe a aráel tempo possa tradzr esses aspectos. 6

3 Fzemos osso estdo de caso a partr de dados de plataformas de petróleo m úco state de tempo, com múltplos otpts e pts, e comparamos os resltados obtdos pela teora de frotera estocástca com o modelo VRS sob a ótca do otpt, obtedo resltados mto bos com efcêcas médas pratcamete eqaletes. Propsemos também o so do Método de Regressão Stepwse para redção de pts, já qe em frotera estocástca com múltplos otpts de dmesão d as coordeadas polares destes etores (de dmesão d-) deerão ser corporadas ao cojto de pts, sedo possíel, por sso, apeas a redção dos pts. Fzemos comparações do método acma com o método I-O Stepwse proposto por [LM97], embora este teha a proposta de redzr tato os pts qato os otpts. Falmete aálses estatístcas, a respeto dos parâmetros, foram fetas sado o software SAS - Versão A Fção Radal De Frotera De Prodção d Cosdere ma tecologa de prodção ode múltplos pts R + são sados para p prodzr múltplos otpts y R +. A tecologa pode ser descrta pelo cojto de otpts P() defdo como: p P( ) = { y R + : pode prodzr y}. () Assme-se qe a tecologa satsfaz o cojto de aomas báscos dsctdos em [S7] e [F88]. Coedade de P(), para todo, e mootocdade dos pts e otpts são os aomas mas mportates. Cotato qe o cojto de otpts P() seja compacto (fechado e lmtado) e ão azo, a fção de prodção padrão para ma úca tecologa otpt é defda como: f ( ) = ma{ y R+ : y P( ) }. (3) A estratéga fdametal para represetar m etor de múltplos otpts como m escalar é sar coordeadas polares qe podem ser escrtas a forma: y = ι. m θ, (4) = p ode ( ) / ( ) ι = y = y é a orma Ecldaa do etor de otpts y. A fção p π m :, [,] p π, defda por m ( θ) = cos( θ) seθ j ; =, K,p; θ, =, j seθ = cosθ p =, [MKB79], represeta a trasformação do etor em âglos de coordeadas p π polares θ, para o etor de otpts m ( θ ) = y ι. O âglo das coordeadas polares, θ, são faclmete obtdos a partr dos otpts obserados ertedo a fção de trasformação m ( θ) recrsamete para cada dmesão =, K, p, respectamete. A solção para θ pode ser escrta a forma: θ = ι cos y seθ j, =,K, p, (5) j= ode seθ = cosθ p =. A represetação em coordeadas polares pode ser sada para defr ma fção radal de prodção, aáloga a m úco otpt da fção de prodção (3) como: f (, θ ) = ma{ ι R+ : ι.m( θ ) P( ) }. (6) Esta fção forece a máma orma atgda pelos otpts, dados os pts e a mstra de otpts represetada pelos âglos das coordeada polares θ. A fção radal herda algmas propredades do cojto de otpts. Por eemplo, os pts mootôcos lres do cojto de otpts, cosderado qe P( ') P( "), " ' p, traslada para 6

4 m pt posto a propredade de mootocdade da fção radal f(,θ) f ( ", ) f ( ', θ ), " ', o seja θ. A cratra da frotera de prodção pode ser obtda a partr das deradas parcas da fção radal com respeto aos âglos das coordeadas polares, f, θ θ, =, K,p. Estas deradas reelam a mdaça a orma do otpt qado a ( ) mstra de otpt é arada ao logo da frotera de prodção, dado o íel dos pts. Por eemplo, para ma tecologa com três otpts, o prmero âglo θ represeta o âglo a partr do eo y atraés do plao meddo pelos eos y e y 3. O âglo θ represeta o âglo etre y e y 3 o plao y - y 3. Estes dos âglos e a orma radal ι detfcam o etor de otpts y atraés da represetação dada em (4). Desta forma, a derada parcal f (, θ ) θ represeta a mdaça da frotera da orma dos otpts para mdaças de otpts mstos (etor de coordeadas polares) ao logo da frotera de otpts com proporções fadas etre y e y 3. A derada f (, θ ) θ, por otro lado, represeta a mdaça da frotera da orma de otpts dedo a mdaças os otpts mstos com íel da dmesão do prmero otpt y matdo costate. Uma medda de escala de elastcdade de múltplos otpts pode ser defda em termos das deradas parcas da fção radal como: f (, θ ). ε = (7) f (, θ ) ode f (,θ ) represeta o gradete da fção radal. Esta medda de escala forece a razão da mdaça proporcoal a orma dos otpts a frotera dedo a ma mdaça proporcoal os pts, codcoado à dreção dos otpts como represetado pelos âglos das coordeadas polares dos otpts, θ, e o íel de pts. Uma ez qe ma mdaça a escala da orma dos otpts a frotera correspode a ma mdaça proporcoal em todas as dmesões da frotera de otpts, a medda de escala de elastcdade da frotera em (7) pode ser terpretada como ma medda local da escala da elastcdade da frotera. Para ma úca tecologa otpt, (7) tora-se smplesmete a f ( ). medda de escala de elastcdade de m úco otpt, o seja, ε =. f.. A Fção Radal De Frotera De Prodção Estocástca Itrodzdo m termo de erro composto, como o modelo de m úco otpt de [ALS77] e [MB77], m modelo de fção radal de frotera de prodção estocástca pode ser especfcado por: ι = f (, θ ) ep( ). (8) A orma radal ι obserada é especfcada como ma fção de ma fção radal determístca f(, θ ) e erro composto ε =, ode a aráel aleatóra smétrca represeta os eetos aleatóros qe afetam a frotera de prodção e a aráel aleatóra trcada, represeta os eetos aleatóros qe afetam a efcêca técca da frma. f A orma da frotera estocástca é dada por: ι = f (, θ ) ep( ). A efcêca técca é modelada como afetado o otpt radalmete. O otpt obserado é obtdo a partr de ma reescala radal do íel de otpts da frotera f = ι f f y m( θ) e é gal a y = y ep ( ), ode o fator de redção do otpt defe a medda de efcêca técca ET = ep(-). Esta medda represeta a dstâca radal etre o etor de otpts e a frotera do cojto de otpts e correspode a efcêca técca dada em [F57] Isto também é eqalete para a fção dstâca do otpt defda em [S7] como y D o ( y, ) = m µ : P( ). µ (9) ( ) 6

5 Sob a especfcação acma, a fção dstâca é dada pela razão da orma da frotera e da f ι orma obserada, o seja, D o ( y, ) = = ep( ). A efcêca técca desta forma está ι completamete caracterzada pela aráel aleatóra. 3 - O Modelo Um modelo lear estocástco para a frotera radal de prodção com dados em jaelas é obtdo mpodo-se ma forma fcoal lear da fção radal e tomado logartmos em (8) a forma: log ι t = β + z' t β + t t, =, K,, t =, K,T, () ode dea as frmas e t dea os períodos de tempo; z t é m etor k-dmesoal dos pts e dos âglos dos otpts e otras aráes específcas referetes à frma e ao tempo; t represeta a efcêca da -ésma frma o período de tempo t como a dstâca a partr do logartmo da orma, log ι t, ao logartmo da frotera radal estocástca dado por log f ( t, θt ) + t. Se T =, () é smplfcado em ma secção lear crzada do modelo de frotera radal. O modelo () pode ser rescrto a forma padrão como: log ι t = α t + z' t β + t, =, K,, t =, K,T, () ode α t = β t represeta o tercepto específco da frma e do tempo. Para m úco otpt, ode ι t = yt, com efcêca técca arate o tempo, () redz-se ao modelo de frotera de prodção com dados em jaela com tercepto específco da frma, trodzdo por [S86]. Os parâmetros β e β em () e () podem ser estmados por mímos qadrados ordáros (OLS - Ordary Least Sqares) o atraés de estmação máma erossmlhaça. Smlar aos modelos de frotera estocástca, com m úco otpt, o estmador de mímos qadrados ordáros do tercepto β será cosstete dedo ao fato do erro ser trcado o erro composto ( - ). Porém, o tercepto pode ser cosstetemete estmado atraés de ma correção do estmador OLS. Esta correção reslta o método de estmação chamado mímos qadrados corrgdos (COLS - Corrected Ordary Least Sqares). A estmação atraés do método de máma erossmlhaça ege as segtes sposções: os erros t são aráes aleatóras ormas depedetes e detcamete dstrbídas, ormas com méda zero e arâca costate t ~ N, σ ; os pts t e os âglos de coordeadas polares σ, ( ) θ t são depedetes de 't', para, ' =, K,; t, t' =, K,T ; os termos t são modelados como aráes aleatóras depedetes ão egatas e com efcêcas especfcadas o tempo, cja dstrbção é ormal trcada o zero, com méda arado ~ N m σ. A méda m t é especfcada como ma fção lear o tempo, o seja, ( ) t t, *' mt = ztδ, ode z * t é m etor m-dmesoal das aráes eógeas assocadas com a efcêca técca [BC95]. Alteratamete terpretado, os termos de efcêca são dados por = m, () t t + w t m ode w t são aráes aleatóras ão obseráes..d., t ( w ) t t w ~ N, σ, w. A restrção wt m t garate qe os termos de efcêca são ão egatos. Os termos de efcêca t (o eqaletemete w t ) são, além dsso, cosderados depedetes de ' t' para, ' =, K,; t, t' =, K,T. 63

6 Uma atagem do modelo para efetos de efcêca técca é qe m efeto dedo ao tempo pode ser corporado tato a fção radal de frotera qato a especfcação da efcêca técca arado com o tempo. Isto permte estmar tato mdaças téccas (eógeas) da frotera de prodção, qato a estrtra lear do tempo a efcêca técca. [BC95] apreseta ma dscssão da estmação deste modelo. Neste trabalho, os cocetramos apeas a estmação da fção frotera, já qe ão dspúhamos de dados em jaelas ao logo de m período de tempo. As efcêcas téccas de frmas específcas (fções dstâca) podem ser estmadas sado o procedmeto sado por [JLMS8], geeralzado por [BC88] para modelos de paés de dados. A efcêca técca será estmada pela esperaça codcoal do erro trcado codcoado ao erro composto a forma E Tˆ = E ep εˆ = E ep m w εˆ (3) 4 - Aplcação 4.. Dados [ ( ) ] [ ( ) ] t t t t t Os dados (Tabela do Aeo) foram obtdos de DMU's (Plataformas de Petróleo), cosstdo orgalmete de 4 otpts e 8 pts, m úco state de tempo (T = ). Os otpts (Y) e os pts (X) são os segtes: Y : RECEITA - Receta da plataforma com eda de óleo e gás; Y : ÓLEO - Prodção físca de óleo; Y 3 : GÁS - Prodção físca de gás; Y 4 : EF.OP. - Efcêca operacoal (aalada em fção do tempo fora de operação); X : NP - Número de poços de petróleo em cada plataforma; X : VU/ID* - Idade / da útl da plataforma; X 3 : C.MAT. - Despesa aal com materas; X 4 : C.PES. - Despesa aal com pessoal própro; X 5 : C.SER. - Despesa aal com serços; X 6 : C.ENC. - Despesa aal com ecargos; X 7 : C.TOT. - Despesa aal total; X 8 : ATIVO - Atos cotablzados. Nma prmera stâca todos os dados foram cotemplados o modelo; em segda, apeas os otpts Y e Y 4 e os pts X e X 8 selecoados pelo Método I-O Stepwse foram sados o modelo, pos o so de todos os pts e otpts gerara tato a abordagem de frotera estocástca qato a abordagem DEA, ma frotera ode a maor parte das DMU's tee alta efcêca (o caso da frotera estocástca) o total efcêca (o caso do modelo VRS). Ifelzmete, a falta de dados em paés (deados o tempo) os mpossblto de modelar os erros 's (efcêcas téccas) como ma regressão o tempo, de forma a se dagostcar a flêca do tempo (o poretra a flêca de otro fator de teresse) a eolção das efcêcas téccas. 4.. O Modelo O segte modelo log-lear de fção radal de frotera de prodção estocástca para os dados completos fo tlzado log y = β + β + β + β3 3 + β β β + β + β + β θ + β θ + β θ + (4) ode : deota -ésma DMU; y = y (orma do etor 4-dmesoal de otpts da -ésma DMU); k = log Xk (logartmo do k-ésmo pt da -ésma DMU, k =,..., 8); θ l = log θl (logartmo da l-ésma coordeada polar da -ésma DMU, l =,, 3); β = β, β, β, β, β, β, β, β, β, β, β, ) (etor de parâmetros -dmesoal); ~ ( β NID(, σ ), trcada o zero ( ); ~ NID(, σ ), com 's depedetes dos 's. Passos eectados a estmação:. Estmação do etor de parâmetros β, a partr dos Estmadores de Máma Verossmlhaça (EMV) do log da fção de erossmlhaça, para dstrbção semormal dos efetos de t 64

7 efcêca técca, obtda por [BC77], bem como os teralos de cofaça para os mesmos forecdos pelo SAS. π log( L) = log logσ S + log[ Φ( z )] (log y l β ) (5) = σ S = ode = (, θ ) (etor dos k 's acrescetado dos θ l 's); (log y l β ) γ z = ; σ S = σ + σ ; σ γ σ γ = ; Φ ( ) é a fção de dstrbção da aráel aleatóra ormal padrão. σ + σ. Obteção do etor de erros estmados ε ˆ = ( ˆ ε, ˆ,..., ˆ ε ε ) ode ε =, de forma qe ε ~ NID (, σ + ). σ 3. Estmação cosstete de σ e σ dada por [OSW8]) ode µ ˆ = εˆ e 3 µ ˆ 3 = εˆ. = = π π π 4 S 3 σˆ = µ ˆ e ˆ ˆ 3 = µ σ π σ (cf. π 4. Correção de β (cf. [OSW8]) : β β σˆ. π 5. Estmação potal dos 's, [JLMS8], bem como de ses teralos de cofaça: Estmação Potal µ µ ˆ = E[ ˆ ε ] = µ + σˆ φ Φ (6) σˆ σˆ ode σˆ γ ˆ = ; σˆ = γˆ( γˆ) σˆ com S σ ˆ S = σˆ + σˆ ; µ = γˆ εˆ ; φ ( ) é a fção de desdade da aráel σˆ + σˆ aleatóra ormal padrão; Φ ( ) é a fção de dstrbção da aráel aleatóra ormal padrão. Estmação teralar [L, U ] com íel de sgfcâca α : L = µ + Z σˆ (lmte feror) e U = µ + σˆ ZU (lmte speror) ode µ Z = Φ ( α / ) Φ e µ L Z = Φ ( α / ) Φ σˆ. U σˆ 6. Cálclo das Efcêcas Téccas, [BC88] : Φ( σˆ ˆˆ ˆ + γε / σ ) ET E[ ep( ) ˆ ] ep{ˆˆ ˆ = ε = γε + σ / } (7) Φ(ˆˆ γε / σˆ ) O modelo descrto acma será tlzado ma segda aálse cosderado as aráes otpts e pts selecoadas tato pelo Método I-O Stepwse, [LM97], qato pelo Método de Regressão Stepwse, segdo os mesmos passos mecoados aterormete. L 4.3. Aálse Dos Resltados Modelo Completo Usado todo o cojto de otpts e pts o modelo (4), obtemos a SAS os resltados das qatdades de teresse apresetados a Tabela, do Aeo. O coefcete R de determação de,9964 comproa a cogrêca do modelo log-lear aos * dados como fção de frotera de prodção. Todos os pts reas (apeas os 's, sem cosderar as coordeadas polares trasformadas) são estatstcamete sgfcates ao íel de 5%. Por otro lado, os âglos θ ão são sgfcatos. Etretato estes ão podem ser remodos do modelo já qe represetam a estrtra do etor de otpts. 65

8 O modelo estmado é dado por: log yˆ = 4,9+,5,34 +,6 3,4,98 5 (,474) (,) (,56) (,8) (,97) (,8),43 6 +,79 7 +,9 8,945θ,866θ +,53θ3 (,97) (,33) (,) (,89) (,9) (,88) Os alores etre parêteses são os erros padrão dos parâmetros. As efcêcas téccas do modelo se ecotram a Tabela do Aeo. A efcêca técca méda obtda pelo modelo log-lear de frotera estocástca (98.39%) está bem próma da efcêca técca méda do modelo completo obtda a modelo VRS sob a ótca do otpt, sado o FRONTIER (99.7%). Pode-se obserar também, a partr do Gráfco do Aeo, qe a aálse dos erros obserados ( εˆ 's), a QQ-Plot, comproa a ormaldade dos ε = coforme mposto pelo modelo log-lear Modelo Redzdo A redção da dmesão das aráes fo feta sob das formas dsttas. Nm prmero passo, samos o método I-O-Stepwse para selecoar as aráes otpts e pts releates o modelo, as qas foram tlzadas tato o modelo de frotera estocástca qato o modelo VRS sob a ótca do otpt sado o FRONTIER. Nm segdo passo, propsemos o Método de Regressão Stepwse para selecoar as aráes pts qe melhor se ajstam ao modelo de regressão log-lear, já qe os âglos das coordeadas polares ão podem ser retrados sem ma qebra estrtral do modelo para múltplos otpts. Os resltados das efcêcas téccas bem como as efcêcas téccas médas com a seleção das aráes otpts (Y e Y 4 ) e pts (X e X 8 ), obtdas pelo método I-O Stepwse, para o modelo loglear de frotera estocástca e modelo VRS/O, ecotram-se a Tabela. Vemos qe a efcêca técca méda o modelo de frotera estocástca é de 97,33%, speror este caso à do modelo VRS/O qe é de 97,4%. O modelo ajstado o caso de frotera estocástca fo: * log yˆ = 4,778,3 +,4,636θ 8 (,876) (,435) (,8) (,94) Aq também todos os coefcetes do modelo assocados aos pts X e X 8 são sgfcatos. Pode-se obserar, a partr do Gráfco do Aeo, qe a aálse dos erros obserados ( εˆ 's), a QQ-Plot, comproa também a ormaldade dos ε = coforme mposto pelo modelo loglear com as aráes redzdas. A segr, sado-se o Método de Regressão Stepwse obseramos qe é possíel redzr o cojto dos pts a apeas X com R = 99,79% o a apeas X 8 com R = 99,79%. Optamos pelo so apeas de X 8 o modelo, ma ez qe esta aráel também fora selecoada pelo Método I-O Stepwse, obtedo as efcêcas téccas e a méda destas qe se ecotram a Tabela do Aeo. O modelo ajstado é dado por: * * * log yˆ = 5,75 +,,893θ,999θ +,597θ. 8 (,439) (,93) (,39) (,48) (,596) O método de seleção de aráes proposto apreseta o coefcete de determação R = 99,79% e o parâmetro assocado ao pt X 8 é sgfcato (dferete de zero). Cabe ressaltar qe a abordagem tlzada aq só é álda o coteto de frotera estocástca com múltplos otpts, ma ez qe as aráes pts foram selecoadas tedo-se como base o modelo log-lear. Isto qer dzer qe ão é lícto tlzar a aráel X 8 como represetata m modelo ão paramétrco do DEA. 5 - Coclsões O modelo de frotera estocástca parece tradzr de forma mas real os efetos de fatores otros qe ão apeas os dedos à efcêca técca, represetados pelos 's. Isto pode ser comproado pelo fato de ão estr efcêca absolta (%) este modelo, pos o mesmo lea em 3 66

9 cosderação erros de mesração e otros fatores ão cotroláes, o qe o tora mas realsta do qe o modelo ão paramétrco, qe sempre recohece algmas DMU's com efcêca absolta (%) por se ecotrarem a frotera. É possíel bscar, atraés de ma regressão log-lear para os 's, ma eplcação para a efcêca técca das DMU's a partr de aráes eplcatas como o tempo e/o aráes dcadoras, como por eemplo: δ + δ + δ t + w ode N(, ) t = t w t ~ σ e w w t ( δ + δ t + δ t) com t =, se a -ésma DMU o state t ão passo por m treameto; t =, se a -ésma DMU o state t passo por m treameto. Esse modelo é capaz de tradzr os efetos do treameto e do tempo as efcêcas, decado possíes meddas gerecas e/o téccas de forma a gerar ma melhor efcêca das DMU's efcetes, caso, por eemplo, o coefcete δ seja sgfcato. Há qe se estrtrar melhor, bem como jstfcar de forma rgorosa, o so de ma determada dstrbção dos 's, tema potecal de pesqsa a área de frotera estocástca. Algs trabalhos têm-se dedcado à classe das dstrbções Gama para represetar a dstrbção dos 's, por ser ma classe ampla de represetações fcoas. Qato à redção a dmesão dos dados, mos qe, se a abordagem tlzada é a de frotera estocástca, o Método de Regressão Stepwse se mostra mas efcete a redção da dmesão dos dados (pts), pos parece forecer ma efcêca méda maor do qe qado feta com as aráes otpts e pts selecoadas pelo Método I-O Stepwse. Se se deseja sar m método ão-paramétrco para estmar meddas de efcêca, claramete o Método I-O Stepwse se mostra mas efcaz esse caso. 6 - Aeo Tabela : Dados sobre as Plataformas de Petróleo. t INPUTS OUTPUTS PLTF NP VU/ID* C.MAT C.PES C.SER C.ENC C.TOT ATIVO RECEITA ÓLEO GÁS EF.OP A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

10 Tabela : Efcêca Técca das Plataformas de Petróleo. PLTF Efcêca Modelo Completo ESTOCÁSTICA Efcêca Modelo Redzdo I-O Stepwse Efcêca Modelo Redzdo Regressão Stepwse NÃO PARAMÉTRICA Efcêca Modelo Completo Efcêca Modelo Redzdo I-O Stepwse Ef.Méda Gráfco 68

11 Gráfco 7 - Bblografa () AIGNER, D.& LOVELL, C. A. K & SCHMIDT, P. (977). Formlato ad Estmato of Stochastc Froter Prodcto Fcto Models. Joral of Ecoometrcs, 6, -37. () AIGNER, D. J. & CHU, S. F. (968). O Estmatg the Idstry Prodcto Fcto. Amerca Ecoomc Reew, 58, (3) BATTESE, G. E. & CORRA, G. S. (977). Estmato of a Prodcto Froter Model: wth Applcato to the Pastoral Zoe of Easter Astrala. Astrala Joral of Agrcltral Ecoomcs,, (4) BATESSE, G. E. & COELLI, T. (995). A Model for Techcal Ieffcecy Effects a Stochas tc Froter Prodctos Fcto. Emprcal Ecoomcs,, (5) BATESSE, G. E. & COELLI, T. (988). Predcto of Frm-Leel Techcal Effceces wth a Geeralzed Froter Prodcto Fcto ad Pael Data. Joral of Ecoometrcs, 38, (6) FÄRE, R. (988). Fdametals of Prodcto Theory, ol. 3 of Lectre Notes Ecoomcs ad Mathematcal System. Sprger-Verlag, Berl Hedelberg. (7) FARRELL, M. S. (957). The Measremet of Prodcte Effcecy. Joral of Royal Statst cal Socety, A,, (8) JONDROW, J. & LOVELL, C, A, K & MATEROV, I. S. & SCHMIDT, P. (98). O the Est mato of Techcal Ieffcecy the Stochastc Froter prodcto Model. (9) LINS, M. E. & MOREIRA, M. C. B. (997). Método I-O Stepwse para Seleção de aráes em Modelos de Aálse Eoltóra de Dados. () LÖTHGREN, M. (997) - A Mltple Otpt Stochastc Ray Froter Prodcto Model - Workg Paper Seres Ecoomcs ad Face, º 58. () MARDIA, K. V. & KENT, J. T. & BIBBY, J. M. (979). Mltarate Aalyss. Academc Press, Lodo. () MEEUSEN, W. & BROECK, J. V. D. (977). Effcecy Estmato from Cobb-Doglas Prodcto Fcto wth Composed Error. Iteratoal Ecoomc Reew, 8, (3) OLSON, J. A. & SCHMIDT, P. & WALDMAN, D. M. (98) - A Mote Carlo Stdy of Estmators of Stochastc Froter Prodcto Fctos - Joral of Ecoometrcs 3, (4) SHEPARD, R. W. (97). The Theory of Costs ad Prodcto Fctos. Prceto Uersty Press. (5) SCHMIDT, P. (986). Froter Prodcto Fctos. Ecoometrc Reews, 4,