Mecânica Computacional no Balanceamento

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1 4 Mecâca Comptacoal o Balaceameto 4. Hstórco A grade maora das téccas exstetes para se fazer balaceameto de seções geológcas é baseada em metodologas empírcas, o seja, parte-se de premssas geológcas e através de algortmos geométrcos bsca-se smlar tas premssas. A aproxmação em geral vara em fção dos esforços tectôcos atates o terreo em estdo. Em fção dsso, este trabalho, será deomada essa lha empírca, de balaceameto tradcoal o covecoal. o balaceameto covecoal, aplcado à tectôca compressva, o mas comm é tlzar-se de ma metodologa baseada a preservação, tato dos comprmetos dvdas das camadas dos blocos deformados, qato das sas respectvas espessras. Fo desta forma qe Bally et al.[3], em 966 e Dalhstro [], em 969 calmete aplcaram tal técca a ctrões compressvos. A aplcação das téccas de balaceameto em terreos dstesvos, apesar de mas recete, é amplamete ecotrada a lteratra. A aplcação de csalhameto pro em plaos vertcas fo calmete tlzada por Gbbs [3] [3] e ao logo de plaos clados por Whte et al. [67] em 986, Rowa [5] em 989, Dla[4] em 99 e Ferraz [7] em 993. o balaceameto de terreos dessa atreza bsca-se em geral preservar as áreas dos blocos deformados, tato a costrção como a restaração da seção, tlzado-se a geometra da falha para modelar o processo deformacoal. [3]. Ao logo das décadas de 7 e 8 város estdos dcaram qe, em dversas stações, a cocepção tradcoal de balaceameto ão era a mas adeqada. O deslzameto em falhas prcpas represetam apeas ma fração da totaldade das deformações (Fscher 63

2 [9], em 98, e Protzma [47], em 99). Em 988 Katz e Sclater [36], tlzado-se de modelos físcos smlado crostas extesoas, compararam os deslocametos prodzdos as falhas aos já cohecdos deslocametos extesoas e observaram qe as deformações teras os blocos stáves apresetavam ma parcela de cotrbção de aproxmadamete 6% em relação ao total de extesão sofrda o modelo de argla e 3% em relação a modelos fetos a base de area. Em ambos os casos os blocos qe sofreram deformações teras ão apresetaram as sas áreas preservadas ao logo de sas seções deformadas e o mesmo observo-se com relação ao comprmeto das camadas da seção, ode também fo possível verfcar varações. Esses estdos dcaram qe as deformações teras do bloco são parâmetros qe precsavam ser melhor compreeddos e, qe, portato, ovas téccas de balaceameto deveram ser desevolvdas de forma qe tas deformações pdessem ser corporadas à essas metodologas. Para qe essas deformações possam ser meddas comptacoalmete, é ecessáro dscretzar o domío do bloco deformado, o seja, dscretzar o campo cotío de deformações em m bloco sbmetdo a esforços tectôcos e gravtacoas. A déa de se tlzar téccas de dscretzação para obter deformações o cotío através de terpolação por mímos qadrados dos elemetos de tamahos ftos fo orgalmete desevolvda por Etchecopar [6], em 974, qe so tal aproxmação em traslações, rotações e deslzameto tero dos elemetos para estdar deformações em m agregado crstalo. Cobbold [5], em 979, também tlzado-se de ma aproxmação por mímos qadrados em traslações e rotações, desevolve m método para obter o estado ão deformado de regões ftas ode a deformação era cohecda a pror, recostrdo desta forma o estado cal do bloco. Schwerdter [5], Woodward [69], Howard [33] e Wckham & Moeckel [68] também cosderaram as deformações em blocos com preseça de falhas em se cotoro como 64

3 dados de etrada já cohecdos, a pror, em cada poto da seção trasversal. O problema etretato dessas estratégas cossta o fato de qe em sempre era possível saber qal sera a deformação cal. Com ma técca smlar Borgeos et al. [7] fzeram a restaração de camadas tercáras a depressão de Tajk (Ása Cetral). Aq aplcado para ctrões compressvos, o prcípo do método é recostrr o estado cal ão deformado de ma camada estratfcada qe se ecotra atalmete com dobrametos. Cada horzote é represetado em mapa e apreseta espaços, ao lodo do se domío, qe represetam as descotdades provocadas pelas falhas, formado assm m mosaco de blocos lmtados por falhas. esse mosaco os blocos podem ser cotíos, separados por vazos, o podem apresetar-se até mesmo sobrepostos s aos otros, tdo sso em fção da atreza das falhas. Em segda, ao desdobrar os blocos, são trodzdas alterações as formas dos blocos bem como as espessras das sobreposções e/o vazos etre os blocos. Falmete a técca e os blocos por meo de traslações e rotações, sempre de corpo rígdo, vsado mmzar a área total de vazos e sobreposções, o qe determa falmete o mosaco restarado. Comparado este com o mosaco orgal é possível etão obter os campos de deformação de cada camada. As hpóteses fdametas evolvdas o trabalho em qestão são, prmero, cosderar as sperfíces a serem restaradas como sedo plaares horzotas e cotías ates de serem deformadas, e segdo, dvdr a regão em m úmero fto de blocos, cada m apresetado falhas em se cotoro. Ada com relação a tal dscretzação tem-se qe em todas essas falhas são orgas, a realdade algmas são trodzdas em tempo de pré-processameto e, falmete, a tercera hpótese evolvda é a de qe os blocos são cosderados rígdos. Ates dsso, Roby et al. [5] havam aplcado a mesma técca acma descrta a Baca de Campos, ode os esforços tectôcos são de atraza extesoal. Erckso et al. [5] também tlzo a mesma técca de terpolação dos blocos ctada em [7] para terreos extesoas, porém ao vés de dscretzar camadas sado estrtras baseadas em vsalzação de mapa, dscretzo as seções trasversas. O método é teratvo e bsca a 65

4 mmzação de m certo valor D, ode D é defdo como a soma dos qadrados de todas as dstâcas etre blocos calmete cotígos. A seção é calmete separada em domíos defdos como blocos de falhas, o seja, blocos qe apresetam falhas em se cotoro. Para cada bloco, ses cotoros são dvdalmete sbdvddos em segmetos de retas. Para cada m desses segmetos são defdos os vetores dt, dstâca etre o se poto médo e o poto médo do segmeto, de m otro bloco, mas próxmo deste. É também defdo dr, a dstâca etre o poto extremo de cada segmeto e sas projeções ortogoas o bloco vzho mas próxmo. Os blocos são compactados através de ma sére de traslações e rotações, em toro dos cetródes dos blocos de falha, de forma a mmzar D, ode as traslações são meddas pela méda dos vetores dt, e as rotações são defdas de forma a mmzar D, até qe se obteha m valor deste, meor qe ma dada tolerâca. Para qe seja possível obter o estado de deformações da seção, cada bloco de falha é, por sa vez, dscretzado em elemetos traglares. Cada cremeto o processo de restaração é determado através da remoção da camada estratgráfca speror e o materal qe acomoda a camada removda é restarado em dos passos dsttos. Drate o prmero passo cosdera-se qe os blocos se desloqem rgdamete por termédo de traslações e rotações, sedo assm reagrpados de forma a se ajstarem de acordo com ma dada geometra horzotal mposta, o qe smla a bsca da estratgrafa orgal da seção. Acompahado o movmeto dos blocos, os ses elemetos traglares são trasladados e rotacoados, o qe trodz provsoramete a seção vazos e sobreposções. Em m segdo passo, os blocos de falha são deformados com o objetvo de elmar os vazos e as sobreposções trodzdas o referdo passo ateror. As deformações teras dos blocos são acomodadas pelos elemetos traglares, qe são re-agrpados através mas ma vez da terpolação por mímos qadrados já descrta. Após obter-se o ajste dos elemetos traglares, os vértces, calmete cocdetes, são trazdos para m mesmo poto comm, o caso m poto médo, devolvedo a cotdade da malha e trodzdo deformações em cada elemeto traglar frto da varação de sas respectvas formas orgas. Com sso, através do mapeameto etre as das geometras, para cada trâglo é medda a sa deformação, dada como costate. 66

5 4. Uma Otra Abordagem Detro deste apahado observa-se qe a evolção em toro das téccas de balaceameto geológco bsca cada vez mas abadoar o cojto de certezas das metodologas tradcoas e camhar a dreção de modelages qe bsqem acrescetar meddores relacoados com o feômeo físco evolvdo a formação das estrtras geológcas. Mto embora sejam de peqea escala qato as sas magtdes, serr meddas de deformação ao processo é certamete m gaho, já qe permte ma restaração m poco mas precsa e sobretdo mas sestva. A obteção de magtdes e dreções de deformação os blocos ajdam a predção de tesdade, oretação e tempo de fratras [5]. Para qe esse cremeto de realsmo possa ter cotdade, o etato, faz-se ecessára a serção de parâmetros otros a este processo. As metodologas apresetadas até etão, mesmo cosderado deformação como parte do processo, ão dexam de represetar ferrametas bascamete geométrcas para o balaceameto. Uma modelagem fdametada a mecâca do processo reqer a pror qe se lace mão das relações costttvas do materal deformado, o qe mplca em defr as sas propredades físcas tas como módlo de elastcdade logtdal, peso própro, coefcete de Posso, etc. Se for cosderado qe as téccas mas recetes são baseadas em dscretzação do domío e aálse de deformações, ada mas atral do qe tlzarse de algm método mérco capaz de fazer essa smlação. Em otras palavras, m dos objetvos deste trabalho é estdar as deformações eretes ao balaceameto geológco tedo como base os prcípos da mecâca do cotío, e de forma ão tão empírca obter a geometra de m bloco deformado medate sa movmetação sobre ma falha. Para tato, o método de trasformação move-sobrefalha, qe a forma covecoal é obtdo pela combação de ma traslação com m csalhameto smples, é revstado tlzado-se m método mérco qe cosdera as propredades físcas dos materas geológcos e sas respectvas les costttvas. 67

6 o capítlo 5 são apresetadas as ferrametas e os algortmos mplemetados afm de vablzar a modelagem físca detro de m sstema de balaceameto úco. Como pode ser observado o capítlo 4, as ferrametas para se fazer o balaceameto de seções geológcas o sstema Reco, adotado como plataforma de desevolvmeto, são covecoas, o seja, baseadas a preservação da área e dos comprmetos e espessras das camadas e composto de algortmos pramete geométrcos. 4.3 Método dos Elemetos Ftos O Método dos Elemetos Ftos (MEF) pode ser defdo, de ma forma smplfcada, como m método o qal dvde-se m determado meo cotío em m cojto de pedaços o elemetos, qe por sa vez são defdos por ses ós e sas coectvdades [6]. Em todas as sas aplcações bsca-se sempre obter o campo de ma determada gradeza (calor, tesão, deformação, etc) o domío de m meo cotío. Formla-se o comportameto do elemeto de acordo com a gradeza em estdo, e após processados dvdalmete, os elemetos são dos de forma a mater a cotdade do modelo (sem lacas). Esse processo reslta m cojto de eqações algébrcas smltâeas. A solção qe o método obtém são os valores odas referetes a gradeza em estdo. Para cada elemeto, esses resltados odas são extrapolados para o se domío, através de terpolações em geral polomas. Ao r os elemetos, esses valores são terpolados, desta feta em todo o domío do meo cotío, por termédo de expressões polomas assocadas a cada m desses elemetos. Os valores ótmos odas são aqeles qe mmzam algma fção, como por exemplo a eerga total do meo. O processo de mmzação gera m cojto de eqações algébrcas smltâeas para esses valores odas. De ma forma bem geral, o cojto dessas eqações pode ser expresso em sa forma matrcal de acordo com a expressão (4.): [ ][ D] [ R] K = (4.) 68

7 Ode {D} represeta o vetor com as cógtas odas do problema, {R} o vetor odal de carregameto e [K] a matrz de valores costates qe determa as característcas do materal, relacoado {D} com {R} Formlação Para Aálses Tesão Deformação Plaas Para aálses de tesão e deformação, objetvo desse trabalho, [K] represeta a matrz de rgdez do meo, qe determa as sas propredades físcas e o comportameto do materal qado sbmetdo a algm carregameto. A matrz de rgdez assoca forças a deslocametos, o caso a cógta do problema. As dmesões das matrzes e vetores da expressão (4.) depede exclsvamete do úmero de ós da malha e do úmero de gras de lberdade para o deslocameto. A teora do MEF cl maplação matrcal, tegração mérca, solção de eqações, etre otros. O sáro do método em geral o sa através de sstemas comptacoas, prcpalmete em fção da qatdade de eqações evolvdas qe é tão maor qato mas refada for a malha. Para qe o programa possa exectar ma aálse, é ecessáro qe sejam estrtrados os ses dados de etrada, como por exemplo defr carregametos, apoos, propredades dos materas evolvdos, além da geração da malha. Além dsso, ma vez ecerrada a aálse, ovas ferrametas são ecessáras para a vsalzação das respostas obtdas. Os ós de m elemeto, represetados a Fgra 4. por potos amarelos, aparecem em sa frotera e fcoam como coectores qe fxam os elemetos s aos otros. De ma forma geral os elemetos podem ser traglares, como a Fgra 4., o qadrlateras. 69

8 7 Fgra 4. Dscretzação do Meo Cotío Por Elemetos T3. Todos os elemetos qe compartlham m mesmo ó apresetam as mesmas compoetes de deslocametos esse ó, o qe garate a ão exstêca de vazos ao logo do domío. Para o elemeto em destaqe a Fgra 4., pode-se defr o se campo de deslocametos de acordo com: {} [ ]{} d y x y x = = ), ( ), ( (4.) Ode e são os campos de deslocametos respectvamete as dreções x e y, o vetor {d} é composto dos deslocametos os ós dos elemetos em ambas as dreções e [] represeta a matrz cotedo as fções de forma o polômos de terpolação. Assm a expressão (4.3) também pode ser defda como: {} = = ), ( ), ( v v v y x y x (4.3)

9 Com represetado as fções de terpolação, chamadas de fções de forma para cada ó do elemeto. Por otro lado, as deformações ε x, ε y e γ xy, qado defdas ftesmalmete, podem ser obtdas de acordo com: ε x = x (4.4) ε y = y (4.5) γ xy = + y x (4.6) O matrcalmete, coforme: ε x x ε y = γ xy x ( x, y) x ( x, y) x (4.7) De forma mas smplfcada, a eqação (4.7) pode ser reescrta coforme a eqação (4.8) abaxo, ode [D] represeta a matrz de operações dferecas qe assoca o campo de deslocametos às deformações {} = [ D][ ] ε (4.8) Jtado-se as expressões (4.3) com (4.7) pode-se obter a relação etre os deslocametos e as deformações e qe pode ser tradzda por: {} = [ B][ d] ε (4.9) Ode [B] represeta a matrz qe assoca deslocametos à deformações e qe é defda por: 7

10 { B} = [ D][ ], =, x y, y, x, x, y, y, x 3, x 3, y 3, y 3, x (4.) Com,x e,y sedo defdas como sedo as dervadas das fções de forma com relação a x e y. O fcoal de eerga de m elemeto, ão cosderado tesões e deformações resdas, pode ser expresso pela expressão (4.) abaxo, ode [E] represeta a matrz das propredades do materal, o matrz costttva, [F] represeta as forças de volme, {Φ} as forças de sperfíce. = + ve t t t t t t {}[ d B] [ E] [ B] {} d dve {}[ d ] { F} dve { d} [ ] {} φ ve se ds e (4.) A prmera parcela correspode a eerga tera de deformação do elemeto, tegrado em todo o se volme, a segda parcela represeta a eerga das forças de volme aplcadas e a tercera a eerga das forças de sperfíce aplcadas. Com sso é possível obter o fcoal de eerga de todo o cotío através da expressão (4.) abaxo: p =. elem = ( ) { D} t { P} (4.) Obtdo através do somatóro dos fcoas de eerga de cada m dos elemetos dvdalmete mas a parcela do potecal adqrdo pelas forças exteras aplcadas os ós da malha. a eqação (4.), {D} represeta o vetor de deslocametos globas de todo o cotío. Sbsttdo (4.) em (4.), obtém-se a expressão para o fcoal de eerga: = p t t { D}[ K ]{ D} { D}{ R} (4.3) 7

11 Ode [K] é a matrz de rgdez global do cotío e é expressa pela eqação:: t [ K] = [ B] [ E][ B] dve ve (4.4) A matrz de rgdez assoca o vetor de cargas aplcadas o cotío {R} aos deslocametos odas {D}, coforme observa-se a expressão (4.), qe é o resltado da mmzação do fcoal de eerga da expressão (4.3): Uma vez trodzdas as codções de cotoro e resolvdo o sstema de eqações, resta calclar as deformações e tesões em cada elemeto, através das expressões: {} d [ A] { D} = (4.5) { } = [ B] { D} ε (4.6) { σ } [ E]{} ε = (4.7) Ode [A] é a matrz de cdêca cemátca do elemeto e qe assoca os deslocametos odas da malha com os deslocametos os ós do elemeto. O módlo de elastcdade, E, e o coefcete de Posso, υ, fazem parte da defção da matrz costttva do materal [E]. A expressão (4.7) pode ser reescrta através da eqação (4.8) para o estado plao de deformações, qe é tlzado para aálses cja represetação do meo é a de ma fata de espessra tára. esses casos, as deformações (ε zz, ε yz e γ zx ) o plao ormal a esta fata são las [4]. σ xx σ yy = τ xy E ( υ) ( + υ)( υ ) υ υ ε xx ε yy υ ( ) γ xy υ (4.8) 73

12 O problema do MEF se resme a dscretzação do domío em város elemetos e a determação das fções de terpolação, o de forma, em cada elemeto, de forma qe garata a covergêca da solção obtda [8]. 4.4 Relaxação Dâmca Itrodção O sstema de eqações resltates do MEF, expresso a eqação (4.), pode ser resolvdo de dversas maeras, depededo da complexdade do problema, como por exemplo comportameto do materal (lear o ão lear), gradeza dos deslocametos (peqeas o grades comparadas com as dmesões do modelo), o codções de cotoro (fxas o varado com o tempo). Coforme será vsto a seção 4.5, m dos prcpas objetvos deste trabalho é smlar através da mecâca do cotío o movmeto de m bloco de ma seção geológca através de ma falha. Este tpo de problema evolve grades deslocametos e ma modfcação das codções de cotoro para cada posção do bloco deformado. Como hpóteses smplfcadoras deste problema adota-se deformações ftesmas e m comportameto elástco-lear para o materal. Mesmo assm, o sstema de eqações do MEF é ão lear, pos a geometra do modelo tem grades varações ao logo do processo (grades deslocametos) e as codções de cotoro também varam depededo da posção do bloco ao logo da falha. Para obter a solção do problema estas codções, é empregada a técca de Relaxação Dâmca, qe é descrta esta seção. De ma forma mas geérca, pode-se dzer qe a déa do algortmo da Relaxação Dâmca (RD) é obter a solção de regme permaete a partr de m algortmo de aálse trasete. A técca de RD está assocada a m método teratvo smltâeo, explcto o tempo, de tegração das eqações de movmeto crtcamete amortecdas e dscretzadas por dfereças ftas cetras [54]. A RD está cojgada à cosderação 74

13 depedete das eqações costttvas, qe por sa vez são também dscretzadas por termédo de m otro método aproxmado qalqer, este trabalho, o MEF. Trata-se portato de ma técca teratva de solção do problema de eqlíbro do sstema através da mmzação das forças deseqlbradas. Para cada teração faz-se o so das les qe descrevem o problema mecâco. Em sa formlação global, defe-se a eqação de movmeto qe descreve o problema dâmco, resolvedo-a teratvamete, ode cada teração resolve o problema estátco de eqlíbro através do MEF, preparado etão ma ova cofgração para o passo segte O Algortmo O algortmo avala a cada passo as forças deseqlbradas, o seja, é avalado o eqlíbro etre as forças exteras e as forças teras do módlo em trasformação. A covergêca do algortmo está assocada, etão, à mmzação desta dfereça. Portato, para cada teração, faz-se o so da eqação qe rege as les de movmeto (segda le de ewto) e a eqação costttva. O emprego qe se faz das les qe descrevem o problema mecâco é feto de forma estagada e seqüecal, o qe faclta a trodção das codções de cotoro mstas, sto é, em termos de deslocametos e/o velocdades prescrtas e de forças aplcadas. Para cada teração, as forças deseqlbradas etre elemetos da malha provocam a movmetação dos ós da malha, coectado-os. Resltam deslocametos qe são obtdos por scessvas tegrações mércas, o tempo, de acelerações e velocdades. Deslocados os potos odas, procede-se a determação das deformações de cada elemeto, as qas trodzdas em ma relação costttva forecem as tesões correspodetes. Destas ecotram-se forças teras os ós, qe devdamete descotadas das forças aplcadas à malha, orgam as ovas forças deseqlbradas, recado a teração [8]. A Fgra 4. apreseta de forma esqemátca como fcoa o algortmo de Relaxação Dâmca. Está acoplado portato ao algortmo da Relaxação 75

14 Dâmca algm método mérco qe mote a relação costttva do materal, o caso, o MEF. codçõesde cotoro ε F() = K F Le de movmeto ü (Σ F)/m codções de cotoro Itegrações mércas. ü Fgra 4. Método da Relaxação Dâmca. Os deslocametos são lmtados em cada etapa em fção da atreza explícta do método. Um cremeto de peqea magtde t é reqerdo de modo a mpedr a comcação físca etre os ós cotígos a malha. Isto é possível por haver ma velocdade de propagação fta para vbrações mecâcas, qe é fção das propredades de rgdez e érca do meo. Esta restrção mposta ao t represeta o desacoplameto das eqações de movmeto referetes a cada poto odal. Por ser m método explícto o tempo, tem-se qe as operações são realzadas somete com vetores e o eqlíbro é estabelecdo em t com vstas a obteção de ma cofgração em t + t. Em otras palavras, o qe teressa é a resposta estátca, o de regme permaete e portato as massas ercas ão tem sgfcado físco, apeas servem para a obteção de ma covergêca estável do algortmo da Relaxação Dâmca. Com sso e com a eqação fdametal do movmeto pode-se obter deslocametos através de tegrações seqüecas de acelerações e velocdades. Estas 76

15 tegrações por sa vez são calcladas através de expressões de dfereças ftas cetras obtdas em relação ao tempo t. Comptacoalmete, em fção da dagoaldade e versbldade da matrz de massa, é possível obter cada m dos compoetes do vetor solção comptados soladamete. Em otras palavras, ão há operações matrcas e o desacoplameto odal é garatdo A Formlação esta formlação parte-se da cosderação de qe as eqações de eqlíbro para m meo dscreto sejam dervadas a partr de Dfereças Ftas [54] o elemetos ftos [4]. Partdo-se da eqação de eqlíbro tem-se qe: { F {} )} = { f } ( (4.9) ode {F} é o vetor das forças teras, o vetor de varáves dscretas depedetes, aq, mas especfcamete o vetor de deslocametos resltates e {f} represetam as forças exteras aplcadas. Em geral, pode-se obter {F} através de prcípos varacoas: E( ) F( ) = (4.) em qe E represeta a eerga tera de deformação. Para problemas leares tem-se: { } [ K ]{} F = (4.) Em problemas ão-leares é comm apresetar-se {F} a forma cremetal, atalzado-se a matrz de rgdez a cada passo: { F} = [ K { } )]{ } ( (4.) 77

16 Aq, [K()] represeta a matrz de rgdez tagete obtda de: [ K( ) ] F( ) E( ) = = (4.3) A eqação de eqlíbro por sa vez é obtda através da segte expressão (4.4) abaxo: [ K ) ]{} = { f } ( (4.4) ode [K()] é a matrz de rgdez secate. A eqação (4.4) represeta m sstema de eqações smltâeas cja solção {} * é procrada, o seja: { * } [ K ] { f } = (4.5) Para obter a solção por Relaxação Dâmca, as eqações acma descrtas são trasformadas em eqações de movmeto descrevedo a resposta trasete [44] através da serção das forças de massa e das forças de amortecmeto vscosas, proporcoas a velocdade: [ M ]{} & + [ C]{} & + [ K]{} = { f } & (4.6) ode [M] é a matrz de massa, [C] é a matrz de coefcetes de amortecmeto, [K] é a matrz de rgdez e {f} represeta o vetor das forças exteras e compreededo ao eésmo cremeto do algortmo. Para qe seja possível desevolver o algortmo de tegração das eqações de movmeto são ecessáros os cálclos de sas acelerações, velocdades e deslocametos, o qe é obtdo através de ma terpolação por dfereças ftas cetras [54], forecedo as segtes respectvas expressões: 78

17 {} & + ({} & {} & ) & = (4.7) t {} ({} {} ) & = (4.8) t {} + ({} {} ) & = (4.9) t Aq, t represeta m passo de tempo fxado pelos reqstos de establdade e a velocdade o eésmo passo pode ser obtda através da expressão: {} + ({} & + {} & ) & = (4.3) Sbsttdo as expressões (4.7) e (4.9) em (4.6) obtém-se as segtes expressões cremetas: {} ( ) {} / [{ } { ({ })}] f F & + M t + C ([ M ] t [ C] ) [ M ] t + [ C] + / & = (4.3) + + {} = {} + {} t [ ] [ ] & (4.3) As eqações (4.3) e (4.3) costtem ma tegração seqüecal de acelerações e velocdades forecedo deslocametos. As velocdades são calcladas o cetro do tervalo do tempo, eqato qe as acelerações e deslocametos os extremos. Estas, através da eqação (4.3) forece os deslocametos do passo segte. As forças teras são etão obtdas por termédo da relação costttva adotada, o qe depede do método de dscretzação. Assm, para cada passo, as forças deseqlbradas são obtdas de acordo com os deslocametos defdos pelas tegrações o tempo acma defdas. O processo é repetdo até qe o sstema etre em eqlíbro, o seja, qado as forças teras forem mmzadas. 79

18 Defdo-se qe a matrz [M] como ma matrz de massas cocetradas, teremos [M] dagoal. Cosderado-se também qe a matrz [C] seja obtda através do Amortecmeto de Raylegh.[4] [ C] α [ M ] + β [ K ] = (4.33) Isto é, a matrz [C] é ma combação lear das matrzes de massa e rgdez, e cosderado β sedo lo, temos etão qe a matrz de amortecmeto é obtda através da mltplcação da matrz de massa, dagoal, por m escalar, o qe garate a [C] desta forma galmete a sa dagoaldade e com sso temos: [ C] α [ M ] = (4.34) Assm o tegrador de dfereças cetras pode ser defdo pela expressão: + {} = {} & { )} [ M ] R( {} (/ t α / ) & + (4.35) (/ t + α / ) (/ t + α / ) + + {} = {} + {} t & (4.36) aode [M] - é a versa da matrz de massas e {R({ })} é o vetor de forças deseqlbradas resltate da eésma teração e pode ser obtdo pela expressão: { R( {} )} { f } F( { } { )} = (4.37) Se for garatdo qe ehm dos compoetes da dagoal prcpal da matrz de massas é lo, garate-se também a sa versbldade e a sa ão sglardade, o qe determa qe para o tegrador apresetado as eqações (4.36) e (4.37) cada compoete do vetor solção possa ser comptado soladamete e as referdas eqações 8

19 podem etão ser reescrtas de forma desacoplada como se sege as expressões (4.38) e (4.39) abaxo:. ( / / ). + / t α / R ( ) = + (4.38) (/ t + α / ) m (/ t + α / ) + = + t (4.39). + / ode o ídce represeta o -ésmo compoete vetoral e m a -ésma posção a dagoal prcpal de [M]. A meos do prmero passo, qado é mposto m procedmeto específco para calzação das varáves, em todos os demas passos são tlzadas as expressões acma para se obter os deslocametos os ós da malha. Para o prmero passo ão são cohecdas as velocdades em t = /, mas sm em t =. Com sso, as codções cas podem ser dadas pelas expressões 4.4 e 4.4 abaxo: (4.4). = (4.4) Recorredo-se a (4.3) e (4.4), pode-se chegar a segte expressão:. / =. / (4.4) qe por vez sbsttída em (4.35) determa qe:. / = [ M R( )] t / (4.43) A tegração completa das eqações de movmeto, cosderado-se massas cocetradas e defdo-se a matrz de amortecmeto como proporcoal a matrz de massa, fca composta pela eqação (4.43) para o prmero passo e por (4.7) os demas passos. O esqema abaxo lstra de ma forma mas global o fcoameto do algortmo da Relaxação Dâmca. 8

20 a. atrbção das codções cas dado. = b. seleção de parâmetros m α, t c. cálclo das forças deseqlbradas R( ) = f F( ) d. codção de ecerrameto se R pare e. cálclo das velocdades se = seão. /. + / f. cálclo dos deslocametos ( R ) = t / m + / t α / ). = (/ t + α / ) ( / + / = + t g. cremeto de passo = + h. retore: para c (aálse lear) para b (se ão lear). + m R ( ) (/ t + α / ) 8

21 Detro da formlação da Relaxação Dâmca as matrzes [M], [C] e o tervalo de tempo t ão apresetam sgfcado físco algm. Aq, o qe teressa é a resposta de regme permaete. Com sso as massas ercas devem ser defdas com o úco objetvo de se obter a covergêca e o fato da matrz ser dagoal apeas cotrb para qe a tegração seja mas smples e o csto comptacoal meor. Com relação a matrz de amortecmeto [C], vale a mesma observação. A cosderação do amortecmeto de Raylegh é amplamete tlzada os métodos de tegração dreta de aálses dâmcas de osclações amortecdas. Os parâmetros α e β são calclados a partr das frações, cohecdas a pror, reqerdas do amortecmeto crítco de ao meos dos modos de vbrações dferetes. o caso da Relaxação Dâmca, cosderar β com valor lo sgfca qe α correspode a ma fração de % o próxma para o respectvo modo fdametal [8]. Os crtéros de covergêca e establdade podem ser ecotrados detalhadamete em [8]. Maores detalhes da formlação do algortmo de Relaxação Dâmca aq apresetado podem ser ecotrados em Uderwood [6]. É apresetado abaxo, de forma esqemátca e smplfcada, o algortmo de Relaxação Dâmca de acordo com a descrção ateror: 4.5. A Estratéga a presete seção apreseta-se a estratéga adotada para a tlzação do algortmo de Relaxação Dâmca o cotexto da movmetação de m bloco sobre ma falha. Detalhes de mplemetação podem ser ecotrados as seções 5.3 e 5.4. Ates porém, cometa-se sctamete o algortmo de move-sobre-falha covecoal do sstema Reco, em especal os ses dados de etrada. 83

22 4.5. O Move-Sobre-Falha Covecoal A trasformação de move-sobre-falha orgal, lstrada a Fgra 4.3, reqer os segtes parâmetros de etrada: geometra da falha vetor de deslocameto âglo de csalhameto O resltado dessa operação é a realdade a combação etre as trasformações geométrcas de traslação e de csalhameto pro. A geometra desto (o bordo speror do módlo deformado) é obtda de acordo com o âglo de csalhameto e ão é parâmetro de etrada do problema. -t Fgra Move sobre falha covecoal. O vetor defe a traslação qe costt a parcela da trasformação de corpo rígdo, o seja, qe ão trodz deformações ao bloco. O campo de deslocametos para a parcela de csalhameto smples combado com a traslação defe os deslocametos dos demas vértces. O úco vértce qe apreseta o se vetor de deslocametos já defdo a pror é o vértce mas elevado em cotato com a falha. Todos os demas vértces, clsve os do topo da últma camada, terão ses valores de deslocametos obtdos em fção da matrz de trasformação geométrca. Exstem cco classes de dados qe são forecdos ao algortmo: atrbtos globas da aálse, atrbtos do meo cotío, geometra do modelo, restrções ao deslocameto e cargas aplcadas. Detre esses destaca-se essa seção os dos últmos, qe estão 84

23 assocados a abordagem adotada para a tlzação do algortmo de Relaxação Dâmca detro do cotexto do trabalho. Estes cco tes são apresetados de forma detalhada a seção 5.4., qado são descrtas as mplemetações evolvdas Codções de Cotoro O qe se deseja é defr ma restrção aos deslocametos dos ós da malha de elemetos ftos qe se ecotram sobre a falha. Defdo m exo de sstemas locas para esses vértces de acordo com a clação do tramo da falha sobre o qal esse ó se ecotra. Com sso é permtdo a estes ós o deslocameto a dreção logtdal do segmeto de falha, eqato qe a dreção ormal, o deslocameto é restrgdo. De acordo com a Fgra 4.4, vê-se qe para a dreção, ao logo do segmeto da falha, é permtdo ao ó se deslocar, eqato qe a dreção ormal à falha, dreção, o deslocameto está restrgdo Fgra 4.4 Sstema de coordeadas locas em m tramo da falha. Essas codções de cotoro merecem m cdado especal e a realdade são a chave para a garata de qe o deslocameto de fato ocorrerá sobre a falha, smlado assm o deslzameto do bloco alto sobre o bloco baxo. Ao logo da falha, a terface com o bloco sjeto à deformação, são mpostas restrções ormas ao plao de falha, coforme observado aterormete. Com sso é motada a cofgração cal da seção ates de se car a aálse. Para o caso de falhas lístrcas, o etato, essa dreção ormal restrgda pode varar ao logo do deslocameto, pos m ó pode mdar de tramo etre das terações. Isso sgfca qe, ao fal de cada teração o algortmo deve atalzar o perfl de restrções ao logo da falha. Os ós restrgdos deslocam-se sempre sobre a 85

24 geometra da polgoal qe defe a falha, a meos de m erro provocado jstamete qado m ó mda de tramo, coforme observa-se a Fgra 4.5 abaxo: módlo de trabalho módlo dscretzado (a) (b) t = teração t = + teração + Ajste (c) (d) ε : correção (e) falha Fgra 4.5 Estratéga de tlzação do algortmo de Relaxação Dâmca. esse caso, o ó após sar do lmte do tramo o qal se ecotrava, matém o se deslocameto goverado pela restrção desse tramo, perdedo cotato com a geometra da falha. Para retorar o ó de volta para a falha é ecessáro m ajste geométrco, o caso projetado esse ó sobre o tramo segte coforme pode-se observar a Fgra 4.5. A garata de qe o erro ão será grade está o fato de qe o algortmo ao dscretzar o tempo e obter para cada passo a sa solção em regme permaete estará trabalhado com peqeos deslocametos e, com sso, a correção do deslocameto orgal para o deslocameto sobre a falha será peqea o sfcete para garatr qe o erro seja peqeo e a covergêca seja garatda.. A Fgra 4.5 resme essa operação. O módlo em destaqe as fgras aterores é dscretzado em ma malha de elemetos ftos traglar (Fgras 4.5a e 4.5b). A segr é aplcado o campo de deslocametos ao módlo e com sso, atomatcamete, o sstema 86

25 chama o módlo de aálse descrto aterormete. As Fgras 4.5c, 4.5d e 4.5e lstram o procedmeto adotado em cada teração, qado são obtdos os deslocametos odas referetes a m passo qalqer Tpos de Carregameto São prevstos dos efoqes dsttos para se aalsar a movmetação do bloco sobre a falha. Uma detro da flosofa do balaceameto de seções geológcas, qado formlase o problema verso, o seja, o setdo cotráro do tempo e o segdo para modelar o problema de forma dreta, o seja, o deslzameto do bloco como ocorre o passado, o setdo real do tempo. Para resolver o problema verso há qe se defr os deslocametos prescrtos, o qe calmete gera m campo de forças teras o bloco, para o fal do processo obterse as cógtas do problema, o seja, os deslocametos e as deformações, de acordo com as expressões (4.5) e (4.6). Detro desse efoqe, exstem das abordages dsttas para aplcar-se os deslocametos prescrtos e qe podem ser melhor compreeddas através da Fgra 4.6. Deslocametos prescrtos Restrções de deslocameto (a) Bordo lvre (b) Fgra 4.6 Codções de Cotoro e de Carregameto. O bloco da Fgra 4.6 é solado e o se cotoro dvddo em três regões qe estão sbmetdas a esforços e codções de cotoro dsttas. A regão em azl represeta o bordo do bloco em cotato com a falha, gal em ambas as stações. Em verde represeta-se as regões da frotera qe ão estão sbmetdas a ehm tpo de carregameto o restrção e falmete em vermelho as regões do cotoro ode são 87

26 aplcados os deslocametos prescrtos. a prmera (Fgra 4.6a) todo o bordo speror é sbmetdo a m campo de deslocametos. O seja, o geólogo defe a geometra desto do bloco como pode-se observar a Fgra 4.7 abaxo: geometra desto campo de deslocametos geometra orgem restrção de deslocametos Fgra 4.7 Defção do campo de deslocametos prescrtos. São coletados do sáro m perfl de paleobatmetra, qe defe a geometra, desto e a geometra orgem qado é selecoado o bordo sbmetdo aos deslocametos prescrtos. Esse últmo por sa vez é calclado em fção das geometras orgem e desto, de acordo com a Fgra 4.7. A segda opção, qe é represetada pela Fgra 4.6b, assoca apeas a m ó da malha os deslocametos prescrtos, jstamete o ó do bordo speror qe faz terseção com a falha. esse caso o domío da frotera, qe represeta o bordo lvre, é gal ao do move-sobre-falha orgal. Sob o poto de vsta do balaceameto de seções geológcas, ão faz setdo amarrar a geometra do bordo speror, como é feto a prmera abordagem, pos o qe se deseja jstamete é valdar a seção. esse caso, poder-se-a estar obtedo deslocametos referetes a ma restrção goverada pela geometra de ma falha correta. Mas, ma 88

27 vez assegrada a valdade daqela terpretação, essa pode se trasformar em mas ma ferrameta de avalação e comparação com otros algortmos. Já a segda abordagem, represetada pela Fgra 4.6b, em fção do bordo speror estar totalmete lvre para se deslocar, permte-se qe o algortmo de Relaxação Dâmca obteha a ova cofgração do bordo speror. Com base essa ova geometra o geólogo poderá decdr pela valdade o ão desse resltado. O segdo efoqe bsca smlar o setdo croológco do tempo o deslzameto do bloco atvo sobre ma falha. esse caso, é aplcada a aceleração da gravdade e o programa de aálse rá obter passo a passo ma ova geometra para o bloco, drate o se deslzameto galmete sjeto às mesmas restrções de deslocametos odas dsctdas aterormete. O capítlo 5, a seqüêca, descreve as ovas mplemetações fetas o sstema Reco e o programa de aálse adotado, corporado ao sstema com o objetvo de vablzar as téccas acma descrtas. 89