INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP PARA MODELOS DE REGRESSÃO COM ERROS DE MEDIDA

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1 INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP PARA MODELOS DE REGRESSÃO COM ERROS DE MEDIDA Wellgto José da CUNHA Erco Atôo COLOSIMO RESUMO: As meddas realzadas o da-a-da estão sjetas a erros Esses erros podem acotecer devdo a letra feta os strmetos, o regstro dos valores, a precsão dos strmetos, etc Nas stações em qe se deseja verfcar a assocação etre ma varável resposta e varáves eplcatvas através de m modelo de regressão, os estmadores podem ser vcados se estas últmas estverem sjetas a erros de medção Algs estmadores foram propostos para redzr o víco essas stações Etre os estmadores propostos, os qe os teressa são os chamados estmadores plg- Etretato, apesar desses estmadores mmzarem o víco e terem ma epressão smples, ão este ma epressão a lteratra para a varâca asstótca destes Isso pelo fato de serem ecessáras das etapas o processo de estmação dos parâmetros, gerado grade compledade a estrtra do modelo Desse modo se faz ecessára a tlzação de métodos comptacoas de reamostragem capazes de determar tervalos de cofaça Nos modelos em qe ão se pode estmar tervalos de cofaça pelos métodos sas, tlzaremos o método de reamostragem bootstrap para costrí-los Etre os tervalos bootstrap, serão tlzados este artgo os tervalos percetl, BCa e bootstrap-t Nas smlações de Mote Carlo cosderadas este trabalho, o bootstrap se mostro efcete a estmação de tervalos de cofaça, destacado-se o tervalo percetl pela sa maor smplcdade com galdade de performace em relação aos demas PALAVRAS-CHAVE: Erro de medda; bootstrap; tervalos de cofaça; modelos de regressão Itrodção Geralmete as meddas realzadas com tlzação o ão de aparelhos estão sjetas a erros de medção Ao agravar-se esses erros de medda, a aálse estatístca prodzrá resltados dferetes dos desejados o com m gra de qaldade feror ao preteddo Recohecedo a estêca do erro a medção e cosderado todas as certezas sgfcatvas atrbíves ao eqpameto de medção, aos procedmetos pessoas e ao Departameto de Cêcas da Comptação, Uversdade Federal de Mas Geras - UFMG, CEP: , Belo Horzote, Mas Geras, Brasl Departameto de Estatístca, Uversdade Federal de Mas Geras - UFMG, CEP: , Belo Horzote, Mas Geras, Brasl E-mal: ercoc@estfmgbr Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003 5

2 ambete, a orma ISO 00- assocada à Sére ISO 9000 apreseta reqstos de garata da qaldade das medções Para qe possamos tomar ações qe mmzem os efetos desses possíves erros, é ecessáro etedê-los melhor Esses erros podem ocorrer devdo a váras crcstâcas, cjas possíves casas são as segtes: métodos e téccas de coleta de dados, como etrevsta, observação o qestoáro Icldo erros de resposta por desoestdade, por cofsão, por gorâca, por falta de cdado, todos gerados por falta de treameto adeqado o pelo método sado para obter a resposta Iclímos também, essa possível casa, erros de coleta dos dados por falha os eqpametos, qe podem ser devdos a desgastes dos compoetes, falta de calbração o a codções ambetas, qe geram varabldade em strmetos de letra É mto comm também a cofsão a letra da resposta, em algs casos até letra errada da varável o aparelho com a dade de medda adeqada para a stação; processameto adeqado, como tlzação de técca de aálse e processameto de dados de poca cofaça o ão aproprados para o problema estdado; armazeameto com poca cofabldade, falhas a etrada dos dados para o processameto, o perda de formações; otros problemas qe podem ocorrer após a coleta de dados A aálse estatístca tlzado modelos de regressão evolve a estmação de parâmetros de teresse Os métodos clásscos de estmação spõem m processo de medção sem erro o com erro desprezível, sposção esta mtas vezes dfícl de ser obtda e de elevado csto Esqematcamete, podemos descrever o processo de estmação de parâmetros com o sem erro de medda pelas Fgras (a) e (b) Na asêca de erro de medda samos ma fção de estmação sal, qe pode ser de mímos qadrados o máma verossmlhaça, e obtemos ma estmatva do parâmetro de teresse (Fgra (a)) Na preseça de erro de medção, o valor verdadero ão é observado, pos o valor observado está cotamado com m erro devdo ao processo de medção qe é salmete adtvo (Fgra (b)), e qe prodz m víco a estmatva (Fller, 987) O estmador de regressão descohecdo esse processo de estmação, qe descosdera a estêca de erro, será chamado de sal ( ˆβ N ) e tede a zero com o ameto do erro O prejízo casado por ma medção certa pode levar a dagóstcos corretos Assm, se faz ecessára a tlzação de métodos estatístcos, para qe os efetos desse erro de medda, o processo qe sege a essa etapa, sejam mmzados São dos os modelos estatístcos para corporar o erro de medda: o modelo fcoal, qe cosdera como sedo fo e o estrtral, qe cosdera como sedo ma varável aleatóra Neste artgo cosderemos o modelo estrtral com sedo ma varável aleatóra ormal, N(0, σ ) Bscado mmzar esse efeto do erro de medda, algs estmadores foram propostos a lteratra, detre os qas podemos ctar os estmadores desevolvdos por Carroll e Stefask (990), James e Ste (James e Ste, 96; Whttemore, 989), Stefask (985), Fller (Fller,987; Lyles e Kpper, 999) e Whttemore e Keller (988) Classfcamos os estmadores para modelos de regressão com erro os regressores em dos tpos: estmadores plg- e de ateação do víco Os estmadores plg- estmam o valor verdadero através dos valores observados e, de posse desses valores ajstados, 6 Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

3 tlzam a fção de estmação sal, o modelo estdado, para estmar o parâmetro de teresse (Fgra (a)) Já os estmadores qe fazem ma ateação do víco do estmador clássco, corrgem esse víco a partr do estmador sal A correção é feta através de ma fção de ajste desse parâmetro, como mostrado a Fgra (b) (a) (b) FIGURA - Processos de estmação em modelos: (a) sem erro de medção; (b) com erro de medção (a) Tpos de correção (b) FIGURA - Esqema da correção, em m modelo de regressão, tlzado m estmador: (a) plg- e (b) ateação do víco Os estmadores plg- são mas smples e depedem do modelo de regressão tlzado, motvo pelo qal se toram etremamete teressates Etretato, os deparamos Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003 7

4 com a dfcldade de obter as sas varâcas asstótcas, ecessáras à costrção de tervalos de cofaça Essa dfcldade se deve ao fato do processo de estmação ser realzado em das etapas, ma para a fção de estmação de e otra para estmação dos parâmetros do modelo, o algo semelhate, qado estvermos trabalhado com ateação do víco Devdo a essa dfcldade, tlzaremos este trabalho a técca de reamostragem bootstrap (Efro e Tbshra, 993) para a costrção de tervalos de cofaça Estmadores para o modelo de regressão com erro os regressores Etre os estmadores propostos a lteratra, avalaremos os estmadores plg- de James-Ste (Whttemore, 989) e Carrol e Stefask (990)), e os estmadores de ateação de Fller (987) e Stefask (985) Estmadores plg- O estmador de James-Ste O estmador de Ste fo proposto por Whttemore (989) para sbsttr o valor observado z, e em segda estmar os parâmetros do modelo de regressão da forma sal como se este estmador fosse o valor ão observado A estmatva qe sbsttrá a covarável observada z é e ( z) = Bˆ z + ( Bˆ) z,,,, = em qe Bˆ ( 3) = σ, S Sˆ ˆ = ( z k z) e σ é a varâca do erro de medda,, k = (Fgra ) A varâca σ pode ser estmada como apresetado em Gmeez; Bolfare e Colosmo (999), qado temos repetdas meddas da varável medda com erro Dessa forma, ˆ ˆ σ z ( z ) k =, sedo qe ˆ = ˆ σ ˆ z σ z e σ é estmado por σ z ˆ σ = k j= ( z j z ) k( k ) () () 8 Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

5 com =,, e j =,, k, sabedo-se qe é o tamaho da amostra, k é o úmero de k repetções de meddas da varável e z = z j k j= O estmador de Carroll-Stefask Neste caso estmamos a varável ão observada por sa esperaça codcoal, dado o valor observado z; sto é, com E ˆ( z ) = Bˆ' z + ( Bˆ' ) z ( ) Bˆ' = σ e ˆ Sˆ ( z z) = S Se σ ão for cohecdo, estmamos (3) σ como descrto pela Epressão () O estmador proposto por Carroll e Stefask (990) dfere do apresetado por Whttemore (989) apeas pela costate -3 qe é sbsttída por - o merador de ˆB ' Estmadores de ateação do víco O estmador de Fller No coteto de regressão lear smples, o estmador proposto por Fller (987) é baseado a determação do víco prodzdo pelo erro a medção dos dados O víco descrto por Fller (987) determa o fator k σ +σ =, σ qe é o ateador de Fller Assm, para obter m estmador de meor víco basta qe se mltplqe o estmador sal pelo ateador de Fller, o seja ˆ β ˆ F = β N k Caso k seja cohecdo, o parâmetro estmado por Fller é mto smples de ser obtdo Um dos problemas para se obter k é devdo ao fato de qe σ ão é salmete cohecdo Mas podemos resolver este problema sado σ z qe é estmado pelos dados da medção (4) Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003 9

6 Observemos qe k σ + σ = σ z z σ σ + σ = σ σ z z σ = σ σ (5) O estmador de Stefask Stefask (985) propôs m estmador qe é tlzado tato em modelos leares qato em modelos ão-leares, os casos estrtral e fcoal de erro de medda Cosdere m modelo em qe a sa resposta tem fção de desdade dada por f β ( y, z) e y é a varável resposta O parâmetro β pode ser estmado pelo método de mímos qadrados os modelos leares, o os casos ão leares pela solção da eqação em qe ψ é o compoete da fção escore ψ ( y, z, β ) = 0, (6) ( l( f ( y, z ))) ψ ( y, z, β ) = β β O estmador proposto por Stefask (985), chamado de atrbído ao erro de medda é defdo por ˆ β S = ˆ ψ ( y, z, ˆ) β β N + σ ˆ β βˆ S ) ψ ( y, z, ˆ β z, qe atea o víco em qe σ é a varâca do erro de medda, qe se ão for cohecdo é estmado como descrto pela Epressão (), e ψ é dado pela eqação (6) Uma jstfcatva para a epressão (7) pode ser ecotrada em Stefask (985) 3 Bootstrap Descreveremos sctamete o método de reamostragem chamado de bootstrap, trodzdo por Efro (979), e sado para estmar a dstrbção das estatístcas de teresse, qe mtas vezes são etremamete dfíces de serem obtdas pelos métodos tradcoas (eatos e asstótcos) O bootstrap pode ser paramétrco o ão-paramétrco O bootstrap ão-paramétrco cosdera qe a fção de dstrbção F, dos dados, é descohecda e estmada através da dstrbção empírca Fˆ Já o bootstrap paramétrco cosdera qe a fção de dstrbção F pode ser estmada por Fˆ par a partr de m modelo paramétrco cohecdo para os dados, (7) 30 Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

7 Spohamos qe seja observada ma amostra aleatóra, w w de ma w,, dstrbção F estmada pela dstrbção Fˆ, qe pode ser paramétrca o ão Assm, w = ( w, w,, w ) represeta o vetor dos dados, para os qas se calcla o estmador ˆ β = s( Fˆ ) de m parâmetro de teresse β = s(f) Cosderaremos qe Fˆ é a dstrbção empírca de w Etão ma amostra bootstrap w = ( w, w,, w ) é costrída escolhedo-se aleatoramete, com reposção, elemetos da amostra w = ( w, w,, w ) Por eemplo, com = 6, poderíamos pesar em w = ( w5, w3, w6, w, w4, w ) A replcação bootstrap do parâmetro de teresse para essa amostra bootstrap é deotada por ˆβ Se forem geradas B amostras bootstrap B w, w,, w, a replcação bootstrap do parâmetro de teresse para a b-ésma amostra é dada por ˆ b β ( b ) = s( w o seja, é o valor de βˆ para a amostra bootstrap ), b w (8) 3 Estmatva do erro-padrão A epressão para o estmador bootstrap do erro-padrão (Efro e Tbshra, 993) é dada por em qe ˆ σ boot = B ˆ β ( b) ˆ β B b= ( ) B ˆ ˆ β ( b) β ( ) =, ˆ β ( b) é descrta em (8) e B é o úmero de replcações B b= bootstrap, o seja, o estmador bootstrap do erro-padrão amostral é o desvo-padrão de sas replcações 3 Itervalos de Cofaça Bootstrap Através do so do bootstrap podemos obter tervalos apromados de 00(-α)% de cofaça para o parâmetro de teresse β Descreveremos, as seções 3, 3 e 33, dferetes métodos para a costrção de tervalos de cofaça bootstrap chamados de bootstrap-t, percets bootstrap e BCa, (9) Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003 3

8 3 Itervalo bootstrap-t O tervalo de 00(-α)% de cofaça bootstrap-t é dado por, ( ˆ β ˆ ( α ) α ˆ, σ ˆ β ˆ ( ) T T ˆ σ ) em qe foram geradas B amostras bootstrap w, w,, w B Para cada ma delas calclamos ˆ ˆ β ( b) β T ( b) =, com b =,,, B, ˆ σ ( b) em qe ˆ β ( b) é o valor de βˆ para a amostra bootstrap w b dado em (8) e ˆ σ ( b) é o erro-padrão bootstrap do estmador ˆ β ( b) com base a amostra w b, coforme a Epressão (9) O α -ésmo percetl de T é estmado pelo valor ˆ ( α) T tal qe # α { T Tˆ ( )} α 3 Itervalo de cofaça baseado os percets bootstrap B Um cojto de dados bootstrap w é gerado de acordo com w De posse desse cojto de dados são calcladas replcações bootstrap ˆ β = s( w ) Cosderado qe Ĝ é a estmatva da fção descohecda da dstrbção acmlada de ˆβ O tervalo percetl de 00(-α)% de cofaça é defdo pelos percets α e -α de Ĝ : ˆ ˆ ˆ [, ] [ ( ), ˆ β%, f β%,sp = G α G ( α)] ) Já qe pela defção ˆ ˆ ( α G ( α ) = β é o (00-α)-ésmo percetl da dstrbção bootstrap de ˆβ, podemos escrever tervalos percets como [ ˆ β %,f ˆ β %,sp ] = = [ ˆ( ) ˆ ( α ), ] α β β As epressões (0) e () referem-se à stação deal do bootstrap a qal o úmero de replcações é fto Fˆ (0) () 3 Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

9 Na prátca devemos sar m úmero fto B de replcações Para o processo, geramos B B cojtos de dados bootstrap w, w,, w e calclamos as replcações bootstrap ˆ (b) β ( b ) = s( w ), b =,,, B ( ) Seja ˆ α β B o 00α -ésmo percetl empírco dos valores ˆ β ( b), o seja, o valor ( B α )-ésmo a lsta ordeada das B replcações de ˆβ Assm, se B = 000 e α = 0, 05, ˆ ( α ) β B é o 00-ésmo valor ordeado das 000 replcações Se ( B α ) ão é m tero, tlza-se o maor tero meor o gal a ( B + ) α Como a dstrbção bootstrap de ˆβ é apromada, melhores resltados serão obtdos para amostras de tamaho grade, e qato maor for B, melhores serão os tervalos estmados Assm, o tervalo percetl apromado de 00 ( α )% de cofaça é [ ˆ β %,f, ˆ β %,sp ] [ ˆ ( ) ˆ ( α ), ] α β β = B B Estem das versões melhoradas do método percetl chamadas de BC a e ABC O método BC a é a abrevação-padrão de "bas-corrected ad acelerated" e o ABC é a abrevação padrão de "appromate bootstrap cofdece tervals" Neste artgo ão costrremos tervalos pelo método ABC Maores formações sobre esse método podem ser ecotradas em Efro e Tbshra (993, p88) 33 Itervalos percets BC a O tervalo BC a de cobertra desejada 00 ( α )% é dado por sedo, α Φ zˆ [ ˆ β, ˆ β ] = [ ˆ β %,f zˆ 0 + Z + aˆ %,sp α ( zˆ + Z ) 0 = 0 α, ˆ β ( α ) ( α ) α Φ zˆ em qe Φ é a fção de dstrbção da ormal padrão e ormal padrão Para calclarmos â e ẑ 0 tlzamos as epressões: ] ( α ) zˆ 0 + Z + aˆ zˆ + Z = 0 ( α ), ( ) e 0 () α Z é o α -ésmo percetl da Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4,

10 { ˆ β ( b) ˆ β} # < zˆ = Φ 0 e B aˆ = 6 ( ˆ ˆ β( ) β( ) ) ( ˆ ˆ β( ) β( ) ) 3 3 /, (3) em qe ˆ β ( ) = s( w ( ) ), com w () sedo a amostra orgal com o -ésmo valor, w, removdo e cosderado ˆ β = ˆ ( ) β( ) Maores detalhes sobre o cálclo de (3) podem ser ecotrados em Efro e Tbshra (993, p84-6) 34 Número de replcações bootstrap Efro e Tbshra (993, Capítlo 9), Kedall e Start (977, Capítlo 0) e Efro (987, Seções 6 e 9) dsctem os úmeros de replcações bootstrap ecessáras para ma boa estmatva do erro-padrão e do tervalo de cofaça Efro e Tbshra (993) afrmam qe para obtermos ma boa estmatva do erro-padrão através do bootstrap são ecessáras etre 5 e 00 replcações e qe para ma boa estmatva dos lmtes de cofaça seram ecessáras mas de 500 replcações Utlzaremos este trabalho 000 replcações para a costrção de tervalos de cofaça e 30 para o erro-padrão 4 Smlações de Mote Carlo Foram realzadas smlações para os modelos de regressão lear smples e epoecal com amostras de tamaho e varâca do erro de medda σ As smlações foram repetdas 500 vezes para dferetes valores de e σ Nas stações de regressão lear smples, em qe temos ma resposta cotía y, tlzamos o modelo clássco com ma varável regressora =,,, em qe s modelo e varâca y = β + β + e, 0 ' são valores da varável regressora, β 0 e β os parâmetros do e ' s são varáves aleatóras depedetes com dstrbção ormal, méda zero e σ e Nesses problemas samos o método dos mímos qadrados para estmar β e cosderamos β 0 =0 No modelo epoecal, a fção de desdade de Y dado é defda por (4) 34 Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

11 f λ y ( y ) = λ e y > 0 em qe é m vetor de varáves eplcatvas e λ = E( Y ) Váras formas de fções são possíves para λ, etretato cosderamos qe, Assm, temos qe λ = e β f ( y, β ) = e qe tem como fção de verossmlhaça e log-verossmlhaça L ( β ) = Dervado (5), ecotramos a fção e β β e β e e e β β y y, l( β ) = β e y (5) β l' ( β ) = ( e y ), (6) e, portato, o estmador de máma verossmlhaça de β é dado pela solção da eqação l ' ( β ) = 0, formada a partr de (6) Como essa eqação ão é lear, βˆ é obtdo pelo método de Newto-Rapso Deve-se destacar qe essas smlações cosderamos qe o valor σ é cohecdo e portato ão será estmado Geramos dferetes amostras aleatóras de tamaho gal a 5, 50 e 00 Essas amostras foram tomadas como valores verdaderos Logo após, geramos as respostas y para esses valores em cada modelo: epoecal e lear smples Depos, geramos m erro qe fo adcoado à varável verdadera, determado os valores cotamados z O erro para a cotamação fo gerado por ma amostra aleatóra da dstrbção N(0, σ ) com σ assmdo os valores 0,; 0,5; 0,5 e A varável cotamada fo tlzada para gerar os estmadores dos parâmetros de teresse descrtos a Seção e respectvos tervalos de 95% de cofaça descrtos a Seção 3 Objetvamos, com sso, comparar e verfcar o comportameto dos tervalos de 95% de cofaça para os parâmetros de teresse Assm, calclamos o comprmeto médo dos tervalos costrídos em 500 repetções, a porcetagem de vezes em qe o valor verdadero pertece aos tervalos, a porcetagem de vezes em qe o valor verdadero estava acma do, Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4,

12 lmte speror desses tervalos, e a porcetagem de vezes em qe o valor verdadero estava abao do lmte feror destes Para os tervalos costrídos pelo bootstrap foram realzadas 000 replcações com 30 replcações para a estmação do erro bootstrap qe são ecessáras apeas para calclar o tervalo de cofaça bootstrap-t 4 O modelo de Regressão Lear Foram costrídos os tervalos eato (sem erro de medda); o tervalo sal, qe descosdera a estêca de erro de medda; o tervalo proposto por Fller (987); e os tervalos bootstrap percetl, BC a e bootstrap-t Através de comparações poderemos avalar os tervalos Os tervalos eato e sal para β foram obtdos através da segte epressão (Seber, 977, p08) sedo qe, 36 S ˆ β S ˆ yy y ± t α, ( ) S β t α é o ( α) (7) -ésmo percetl com - gras de lberdade da dstrbção t, e cosderado S = ) ( ; Sy = ( y y)( ); e S yy = ( y y) O tervalo eato sa valores verdaderos para a varável e o sal valores cotamados com erro O tervalo de Fller fo determado pela epressão dada em Lyles e Kpper (999) e Fller (987), ˆ β α ( ) [ y ( ) F ± Z kˆ y ˆ β ( z N ( z z) z)] em qe k é dado pela epressão (5), z é o valor cotamado com erro e βˆ F é dado pela epressão (4) Os resltados dessa smlação são apresetados a Tabela Nessa tabela chamaremos de f ao úmero percetal de vezes em qe o valor verdadero para o parâmetro estmado fo meor do qe o etremo feror do tervalo de cofaça ecotrado De modo semelhate, chamaremos de sp ao úmero percetal de vezes em qe o valor verdadero fo maor do qe o etremo speror do tervalo de cofaça e certo ao úmero percetal de vezes em qe o valor verdadero pertece a esse tervalo Observamos, a partr da Tabela, qe à medda qe ametamos o erro de medda a cobertra omal dos tervalos é redzda Essa perda de efcêca é mmzada com o, (8) Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

13 Tabela - Probabldade de cobertra e comprmetos médos dos tervalos de 95% de cofaça para o parâmetro β o modelo Yt = β t + et, t =,,3,, tlzado os estmadores Usal, Fller, James Ste (Ste), Stefask (Stef) e Carroll-Stefask (CSt) =5 =50 N=00 σ Itervalo f certo sp comp f certo sp comp f certo sp comp Eato 0,08 0,95 0,00 0,859 0,06 0,944 0,030 0,576 0,036 0,98 0,036 0,40 Usal 0,04 0,96 0,060 0,859 0,00 0,886 0,04 0,573 0,00 0,84 0,56 0,399 Fller 0,044 0,934 0,0 0,909 0,03 0,93 0,036 0,69 0,03 0,936 0,03 0,435 Perc 0,056 0,94 0,030 0,90 0,034 0,90 0,046 0,64 0,034 0,94 0,04 0,43 Boot-t 0,036 0,930 0,034,05 0,030 0,934 0,036 0,677 0,08 0,944 0,08 0,463 BCa 0,05 0,90 0,038 0,905 0,038 0,94 0,048 0,65 0,03 0,94 0,044 0,43 Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Ste Stef CSt Usal 0,000 0,85 0,48 0,848 0,00 0,70 0,88 0,565 0,000 0,44 0,558 0,39 Fller 0,066 0,906 0,08,054 0,038 0,96 0,036 0,70 0,06 0,93 0,04 0,489 Perc 0,060 0,906 0,034,030 0,038 0,94 0,048 0,688 0,06 0,90 0,054 0,48 Boot-t 0,040 0,90 0,040,06 0,03 0,9 0,046 0,76 0,0 0,936 0,04 0,56 BCa 0,058 0,90 0,040,03 0,040 0,908 0,05 0,69 0,04 0,9 0,054 0,483 Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Ste Stef CSt Usal 0,000 0,630 0,370 0,89 0,000 0,38 0,68 0,544 0,000 0,07 0,98 0,377 Fller 0,064 0,89 0,044,7 0,054 0,904 0,04 0,839 0,04 0,908 0,050 0,57 Perc 0,06 0,886 0,05,88 0,048 0,90 0,050 0,80 0,040 0,890 0,070 0,559 Boot-t 0,04 0,90 0,048,5 0,040 0,9 0,048 0,894 0,034 0,906 0,060 0,596 BCa 0,058 0,88 0,060,87 0,048 0,89 0,060 0,8 0,040 0,89 0,068 0,560 Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Ste Stef CSt Usal 0,000 0,48 0,75 0,754 0,000 0,040 0,960 0,50 0,000 0,00 0,998 0,346 Fller 0,078 0,85 0,070,549 0,078 0,854 0,068,3 0,078 0,840 0,08 0,753 Perc 0,06 0,844 0,094,740 0,07 0,84 0,086,8 0,058 0,848 0,094 0,75 Boot-t 0,048 0,878 0,074 3,36 0,054 0,868 0,078,88 0,064 0,844 0,09 0,760 BCa 0,064 0,834 0,0,75 0,070 0,840 0,090,85 0,064 0,838 0,098 0,77 Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Ste Stef CSt Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4,

14 ameto do tamaho da amostra, eceto para os tervalos Usal e Stefask, cjo ameto da amostra parece redzr a efcêca Esse fato pode ser eplcado pela dmção da varâca desses estmadores, com o ameto da amostra, promovedo ma redção o comprmeto do tervalo de cofaça para esses estmadores Assm, esses tervalos fcaram mas sesíves a peqeas pertrbações Percebemos, também, qe o tervalo bootstrap-t é geralmete o de maor comprmeto e o Usal o de meor A cobertra de todos os tervalos de cofaça fca abao da omal com o ameto do erro de medda E sso cota ocorredo mesmo com o ameto do tamaho da amostra O tervalo de cofaça dervado do estmador de Stefask tem ma cobertra loge da omal qado o erro de medda cresce mto Como era esperado, a cobertra do tervalo de cofaça baseado o estmador Usal é mto rm, mesmo qado σ ão é mto grade Uma partclardade observada é a de qe o comprmeto do tervalo de cofaça bootstrap-t é salmete maor do qe o do boostrap percetl e do BCa 4 O modelo de Regressão Epoecal O estmador de Fller e o tervalo Fller foram desevolvdos para o modelo lear, etretato o avalamos também o modelo epoecal Os tervalos eato e sal foram obtdos através da formação de qe ˆ β ~ N( β,i 0 ) (Lawless, 98, p85), sto é, ( ) ˆ ˆ α ± β β Z e, (9) em qe Z (α) é o α -ésmo percetl da dstrbção ormal Os resltados da smlação para este caso são apresetados a Tabela Nessa tabela os valores f, sp e certo têm o mesmo sgfcado qe a Tabela, o seja, chamaremos de f ao úmero percetal de vezes em qe o valor verdadero para o parâmetro estmado fo meor do qe o etremo feror do tervalo de cofaça ecotrado De modo semelhate, chamaremos de sp ao úmero percetal de vezes em qe o valor verdadero fo maor do qe o etremo speror do tervalo de cofaça e Certo ao úmero percetal de vezes em qe o valor verdadero pertece a esse tervalo As coclsões são semelhates às do caso lear, eceto para os tervalos baseados o estmador Fller O tervalo de cofaça baseado o estmador de Fller é stável e prodz resltados acma dos valores omas com, coseqüetemete, m comprmeto mto grade Coclsões Nos modelos de regressão em qe a medção sofre algm tpo de erro, os métodos tradcoas de estmação, qe descosderam a estêca desse erro, prodzem estmadores vcados Qato maor for o erro de medção, mas prómo de zero será o valor estmado, o seja, o estmador tede a zero qado o erro de medção ameta Este víco prodzdo pela gedade de cosderar qe as medções estão lvres de erro os leva à costrção de 38 Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

15 Tabela - Probabldade de cobertra e comprmetos médos dos tervalos de 95% de cofaça para o parâmetro β o modelo de regressão epoecal, com méda z e β, tlzado os estmadores Usal, Fller, James Ste (Ste), Stefask (Stef) e Carroll-Stefask (CSt) =5 =50 =00 σ Itervalo f certo sp comp f certo sp comp f certo sp comp Eato Usal Fller Per Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Ste Stef CSt Ste Stef CSt Ste Stef CSt Ste Stef CSt Usal Fller Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Usal Fller Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Usal Fller Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Perc Boot-t BCa Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4,

16 tervalos de cofaça com meor gra de cofabldade com cetro deslocado a dreção do zero Etre os tervalos bootstrap o qe se destaco em ossas smlações, tato o modelo lear qato o modelo epoecal, fo o tervalo percetl, qe além de ser mas smples e egr meos tempo comptacoal, mostro-se tão efcete qato os demas, sedo o qe geralmete apreseto meor comprmeto O estmador Ste e o Carroll-Stefask prodzram, de modo geral, tervalos de cofaça de melhor performace e o estmador Usal, os tervalos de por performace perate a estêca de erro de medda De modo geral, os tervalos de cofaça bootstrap baseados o estmador de Stefask e o baseado o estmador Usal têm ma cobertra feror à omal e à dos demas tervalos costrídos; o comportameto dos tervalos Ste e C Stefask são bastate smlares; o comportameto dos três tervalos bootstrap são bastates smlares com relação à cobertra, mas o bootstrap-t tem m comprmeto sstematcamete maor; os tervalos parecem ser smétrcos o com ma save assmetra, ecetado os tervalos bootstrap para os estmadores de Stefask e Usal em qe a assmetra é bastate acetada À medda qe σ ameta os tervalos Stefask e Usal acetam sa assmetra No modelo epoecal, o tervalo de cofaça para o estmador de Fller ão é aproprado, pos o se comprmeto é mto grade, com cobertra próma de 00%, como era esperado, ma vez qe fo costrído para atear o erro de medção em modelos leares e ormas CUNHA, W J da; COLOSIMO, E A Bootstrap cofdece tervals regresso models wth measremet error Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003 ABSTRACT: Rote measres are sbjected to errors These errors ca occr de to strmet precso, wrog vales regstered, strmet readgs etc It s well kow that the estmators of a regresso model ca get based ths stato Some estmators have bee proposed to redce the bas Plg- estmators are specal case of them These plg- estmators are very attractve bt there s ot a epresso avalable for ther asymptotc varace Ths happes becase of the two steps procedres of these estmators, whch geerate a sophstcated model strctre Therefore, resample methods are ecessary to determe cofdece tervals for the plg- estmators Bootstrap methods, are sed ths paper to make ths task I partclar, percetle, BCa e bootstrap-t methods are sed to bld cofdece tervals The reslts obtaed from Mote Carlo smlatos dcate that the resample cofdece tervals preset ce featres I partclar, percetle cofdece tervals have same featres of the other two bt t s less comptatoal tesve KEYWORDS: Measremet error; bootstrap; cofdece tervals; regresso models Referêcas CARROLL, RJ; STEFANSKI, LA Appromate qas-lkelhood estmato model wth srrogate predctors J Am Stat Assoc, v85, p65-63, 990 EFRON, B Bootstrap methods: aother look at the jackkfe A Stat, v7, p-6, Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003

17 Better bootstrap cofdece tervals (Wth dscsso) J Am Stat Assoc, v8, p7-00, 987 EFRON, B; TIBSHIRANI, RJ A trodcto to the bootstrap Lodo: Chapma & Hall, p FULLER, WA Measremet error models New York: Joh Wley, p GIMENEZ, P; BOLFARINE, H; COLOSIMO, EA Estmato webll regresso model wth measremet error Comm Stat, Theory Methods, v8, p495-50, 999 JAMES, W; STEIN, C Estmato wth qadratc loss I: BERKELEY SYMPOSIUM ON MATHEMATICS, STATISTICS AND PROBABILITY, 4, 96, Berkeley Proceedgs Berkeley: Uversty of Calfora Press, 96 v, p36-80 KENDALL, M G; STUART, A The advaced theory of statstcs 4ed Lodo: Grff, 977 v, 483p LAWLESS, JF Statstcal models ad methods for lfetme data New York: Joh Wley, p LYLES, R H; KUPPER, L A ote o cofdece terval estmato measremet error adjstmet Am Stat, v53, 3, p47-53, 999 SEBER, GAF Lear regresso aalyss New York: Joh Wley, p STEFANSKI, L A The effect of measremet error o parameter estmato Bometrka, v7, p583-9, 985 WHITTEMORE, AS; KELLER, JB Appromatos for error--varables regresso J Am Stat Assoc, v83, p057-66, 988 WHITTEMORE, A S Errors--varables regresso sg Ste estmates Am Stat, v43, 4, p6-8, 989 Recebdo em 0800 Aprovado após revsão em 00 Rev Mat Estat, São Palo, v,, p5-4, 003 4