DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXTAS E DA TERRA-CCET PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA E ESTATÍSTICA - PPGMAE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO CARACTERIZAÇÃO ESTATÍSTICA DE EXTREMOS DE PROCESSOS SÍSMICOS VIA DISTRIBUIÇÃO GENERALIZADA DE PARETO. ESTUDO DE CASO: JOÃO CÂMARA RN. Autor: Ramudo Noato Castro da Sva Oretador: Prof. Dr. Pauo Sérgo Luco Co-oretador: Prof. Dr. Aderso Faras do Nascmeto Nata RN, Dezembro de 8

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXTAS E DA TERRA-CCET PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA E ESTATÍSTICA - PPGMAE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO CARACTERIZAÇÃO ESTATÍSTICA DE EXTREMOS DE PROCESSOS SÍSMICOS VIA DISTRIBUIÇÃO GENERALIZADA DE PARETO. ESTUDO DE CASO: JOÃO CÂMARA RN. Autor: Ramudo Noato Castro da Sva Dssertação de mestrado apresetada em 5 de dezembro de 8, para a obteção do títuo de Mestre em Matemátca Apcada e Estatístca peo Programa de Pós-Graduação em Matemátca Apcada e Estatístca (PPGMAE) da Uversdade Federa do Ro Grade do Norte (UFRN). Comssão Eamadora: Prof. Dr. Pauo Sérgo Luco (Oretador) Prof. Dr. Aderso Faras do Nascmeto (Co-oretador) Prof. Dr. Water Eugêo de Mederos Profa. Dra. Síva Mara de Fretas Nata RN, Dezembro de 8

3 AGRADECIMENTOS Agradeço a todos que cotrbuíram, dreta ou dretamete, para a reazação deste trabaho. Ao meu oretador, Prof. Pauo Sérgo Luco, pea sua pacêca e ateção. À mha famía, especamete, meus pas. A todos os meus amgos, especamete, Fracsco Marco Barboza e Dae Matos de Carvaho peas dscussões matemátcas e estatístcas e peas dcas o R. Ao PPGMAE pea oportudade de cursar o mestrado.

4 SUMÁRIO Itrodução... 6 A Fosofa da Teora de Vaores Etremos A Dstrbução Geerazada de Vaores Etremos (GEV)...9. Iferêca sobre os Parâmetros da GEV Estmação dos quats etremos da GEV A Dstrbução Geerazada de Pareto (GPD) Seeção de um Lmar Iferêca sobre os Parâmetros da GPD Reação etre a Dstrbução q-epoeca e a GPD Agus Métodos de Estmação dos Parâmetros da GPD Máma Verossmhaça (MLE) Máma Verossmhaça Peazada (MPLE) Mometos (MOM) Pckads (PICKANDS) Mometos Poderado por Probabdades: (PWMB e PWMU) Dvergêca Méda da Desdade (MDPD) Medaa (MED) Mehor Quadade do Ajuste (MGF) Máma Etropa (POME) Especfcação das Restrções Costrução da Fução de Etropa Reação etre os Parâmetros da GPD e as Restrções Dagóstco de Adequação do Modeo Teste de Adequação do Modeo Estudo de Caso: João Câmara RN Caracterzação do Mucípo e o Ssmo Hstórco Aáse dos Dados Recostrução de Etremos va Smuação de Mote Caro Cosderações Fas...55 Referecas Bbográfcas Apêdces...6 3

5 RESUMO O objetvo desse trabaho é fazer uma breve dscussão dos métodos de estmação dos parâmetros da dstrbução geerazada de Pareto (GPD). Sedo abordadas as segutes téccas: máma verossmhaça (MLE), máma verossmhaça peazada (MPLE), métodos dos mometos (momets), Pckads (Pckads), mometos poderados pea probabdade: vesado e ão-vesado (PWMB, PWMU), dvergêca méda da desdade (MDPD), mehor quadade do ajuste (MGF), medaa (MED) e o método da máma etropa (POME), técca que este trabaho receberá uma maor ateção. A títuo de ustração foram fetos ajustes para a dstrbução geerazada de Pareto, para uma seqüêca de ssmos trapacas, ocorrdos o mucípo de João Câmara, NE Bras que fo motorado cotuamete durate dos aos (987 e 988). Verfcou-se que o MLE e o POME foram os métodos mas efcetes, dado bascamete os mesmos erros médos quadrátcos. Com base o mar de,5º fo estmado o rsco sísmco para o mucípo, sedo estmado o íve de retoro para os ssmos de tesdade,5º,,º,,5º, 3,º e para o ssmo mas teso já regstrado o mucípo, ocorrdo em ovembro de 986 que teve a magtude de 5,º. Paavras-Chave: Evetos Etremos, Smuação Estocástca, Máma Etropa, Rsco Sísmco. 4

6 ABSTRACT The work s to make a bref dscusso of methods to estmate the parameters of the Geerazed Pareto dstrbuto (GPD). Beg addressed the foowg techques: Momets (momets), Mamum Lkehood (MLE), Based Probabty Weghted Momets (PWMB), Ubased Probabty Weghted Momets (PWMU), Mea Power Desty Dvergece (MDPD), Meda (MED), Pckads (PICKANDS), Mamum Peazed Lkehood (MPLE), Mamum Goodess-of-ft (MGF) ad the Mamum Etropy (POME) techque, the focus of ths mauscrpt. By way of ustrato adjustmets were made for the Geerazed Pareto dstrbuto, for a sequece of earthquakes trapacas whch occurred the cty of João Câmara the ortheaster rego of Braz, whch was motored cotuousy for two years (987 ad 988). It was foud that the MLE ad POME were the most effcet methods, gvg them bascay mea squared errors. Based o the threshod of.5 degrees was estmated the sesmc rsk for the cty, ad estmated the eve of retur to earthquakes of testy.5,.,.5, 3. ad the most tese earthquake ever regstered the cty, whch occurred November 986 wth magtude of about 5.º. Key-words: Etreme Evets, Stochastc Smuato, Mamum Etropy, Sesmc Hazard. 5

7 CAPÍTULO : INTRODUÇÃO De forma gera, a prevsão probabístca da ocorrêca de evetos etremos é de vta mportâca para o paejameto das atvdades sujetas a seus efetos adversos, e uma das formas de modear esses evetos, é utzar a teora de vaores etremos (TEV) proposta por Fsher e Tppett (98). Ode segudo essa teora, estem três tpos de dstrbuções asstótcas de vaores etremos, a do tpo I cohecda como Gumbe, a do tpo II cohecda com Fréchet e a do tpo III cohecda com Webu. Outra forma para esse tpo de modeagem é utzar um mportate teorema mte cohecdo como dstrbuções acma de um mar (Peaks-over- Threshod - POT), cohecdo como teorema de Gedeko-Pckads-Bakema-Haa (94). De uma forma gera, o POT, refere-se à dstrbução dos evetos codcoados por vaores acma de um mar pré-fado. Esse teorema garate que sob certas codções (domío de atração do mámo), que o mte dessa dstrbução é a dstrbução geerazada de Pareto (GPD), observa-se etão que a déa é estmar a cauda da dstrbução, tato a TEV como o POT. Os ssmos podem ser cosderados como um eempo de evetos etremos, uma vez que ão é um feômeo que ocorre ormamete, sua preseça quado ocorre, aparece as caudas da dstrbução, dessa forma, tato a TEV como o POT, podem ser utzados para modear esses tpos de eveto. Se a modeagem do ssmo for através dos mámos observados em períodos de tempo, a abordagem deve ser feta através da TEV, mas Coes () dz que a prátca surge um probema em partcuar ao se escoher essa teora. Escohda a dstrbução o grau de certeza ão poderá ser meddo, uma vez, que se aceta o modeo, dessa forma ão podedo ser meddo o grau de certeza, mesmo que esse possa ser sgfcatvo. Portato, Jekso (955) ufcou os três tpos de dstrbuções asstótcas, uma úca famía cohecda como a dstrbução de vaores etremos Geerazadas (GEV), ode a mesma se basea os mámos de um boco. Outra ateratva sera seecoar um mar e a aasar os ssmos acma dee, esse caso sera utzada a dstrbução geerazada de Pareto (GPD), esse método tem a vatagem de ão dear etremos fora das aáses, por que Patutkof et. a (999) quado fez uma revsão dos métodos de aáse de etremos, utzado a teora cássca, observou que a mesma só cosdera o mámo detro de cada época, sso faz com que outros etremos que teham sdo observados aquea época, sejam gorados. 6

8 Os abaos sísmcos quado ocorrem, podem causar grades mpactos a socedade. No mucípo de João Câmara, stuado o estado do Ro Grade do Norte, por eempo, em ovembro de 986 ocorreu um ssmo que atgu a magtude de 5, graus a escaa de Rcther 3, sedo um dos maores já regstrado o Bras. Ssmos de tesdades moderadas, como o ocorrdo em João Câmara, podem causar daos as estruturas de casas e prédos, queda as redes de trasmssão de eerga eétrca e a vbração de estruturas e equpametos. A mportâca dos efetos deste feômeo geofísco está, portato, tmamete gado ao desevovmeto da tecooga dos materas e da egehara estrutura. Segudo Psareko et a. (8), os ssmos passaram a ser um grade probema á medda que as costruções toraram-se mas atas e os tsuams começaram a ocorrer. Este mauscrto fo desevovdo com o objetvo prcpa de apresetar a metodooga para se ajustar a dstrbução geerazada de Pareto aos dados sísmcos do mucípo de João Câmara, sedo feta também uma recostrução das séres de ssmos va smuações de mote Caro, para obter a probabdade de ocorrêca dára de ssmos acma de,5º a escaa Rcther e estmar o período de retoro para os ssmos de tesdade,5º,,5º, 3,º e o ssmo hstórco de 5,º a escaa Rcther. O teto ecotra-se estruturado em ses capítuos. No presete capítuo é feta a justfcatva do trabaho e deeado o seu objetvo, segue-se o capítuo - A fosofa da teora de vaores etremos, ode fo feta uma revsão de teratura sobre a dstrbução de etremos geerazadas (GEV), a dstrbução geerazada de Pareto (GPD) bem como a seeção de um mar e por fm a reação etre a dstrbução q- epoeca e a GPD. No capítuo 3 Métodos de estmação dos parâmetros da dstrbução geerazada de Pareto, mostramos város métodos de estmação dos parâmetro da GPD dado um maor destaque ao método da máma etropa (POME). Um ssmo, também chamado de terremoto, é um feômeo de vbração brusca e passagera da superfíce da Terra, resutate de movmetos subterrâeos de pacas rochosas, de atvdade vucâca, ou por desocametos (mgração) de gases o teror da Terra, prcpamete metao. O movmeto é causado pea beração rápda de grades quatdades de eerga sob a forma de odas sísmcas. Na faa de 5,-5,9 um ssmo é cosderado moderado, podedo causar daos maores em edfícos ma cocebdos em zoas restrtas. Provocam daos geros os edfícos bem costruídos, sua freqüêca é da ordem de 8 por ao 3 É uma escaa ogarítmca utzada para medr a magtude dos abaos sísmcos. Fo crada peos ssmógrafos Beo Guteberg e Chares Fracs Rchter que estudavam os ssmos da Cafóra e coocada em prátca em 935. A escaa Rchter vara de a 9 graus de acordo com a etesão do movmeto do soo meddo odas do tpo P e S. Odas do tpo P são odas prmáras que se espaham por movmetos de compressão e datação do oca que pode ser em terra frme ou em oceaos e mares. São as odas sísmcas mas rápdas, cuja veocdade adqurda o soo vara etre a adqurda em água. Odas do tpo S são odas secudáras que se espaham por movmetos oduatóros para cma e para bao aterado a forma dos eemetos. As odas S se desevovem somete o soo com veocdade feror às odas P. 7

9 No capítuo 4 Dagóstco de adequação do modeo, são mostradas téccas para verfcar e testar o ajuste do modeo. No capítuo 5 Estudo de caso: João Câmara-RN, apresetamos os prcpas resutados obtdos peo ajuste da GPD aos ssmos observados de forma cotua o mucípo durate o período de 3/5/987 a 7/7/988. No capítuo 6 Cosderações fas, apresetam-se os aspectos que se mostraram mas sgfcatvos o decorrer do estudo o que se refere aos resutados obtdos, bem como se cuem agumas sugestões sobre o que poderá ser a cotuação cada com esse trabaho. Nos apêdces costam rotas o R para ustrar as dstrbuções GEV e GPD e para fazer a aase dos dados, bem como os ajustes para os outros métodos que se mostraram meos efcete para estmar os da dstrbução geerazada de Pareto, cuja a cusão o teto parece desacoseháve por torar a etura meos agradáve ou peas formações eas apresetadas ão se cosderar esseca para a compreesão do teto. 8

10 CAPÍTULO : A FILOSOFIA DA TEORIA DE VALORES EXTREMOS A teora de vaores etremos tem como objetvo o estudo estatístco de feômeos de rsco eevado com mpactos catastrófcos, que surgem em dversos ramos das Cêcas tas como a Meteorooga e a Cmatooga. Vaores etremos podem ser cosderados aquees evetos raros que ocorrem as caudas das dstrbuções (feômeos caudas), sto é, dstates do agomerado ou da agomeração (méda e medaa) do amotoado da dstrbução. Não há, todava, uma defção que possa ser cosderada uversa de evetos etremos! Em mutas stâcas, evetos etremos podem ser defdos como aquees evetos que ecedem em magtude a agum mar ou patamar ou podem ser defdos como o mámo (ou mímo) de uma varáve aeatóra em determado período.. A dstrbução Geerazada de Vaores Etremos (GEV) Seja X uma varáve aeatóra, assumdo vaores os reas. A freqüêca reatva com que estes vaores ocorrem defe a dstrbução de freqüêca ou dstrbução de probabdade de X e é especfcada pea fução de dstrbução acumuada dada por: F ( ) ( ) P X, F () é uma fução ão-decrescete de, e F ( ) para todo o. Em gera, estamos teressados em varáves aeatóras cotuas, para o qua ( X ) P para todo, sto é, as probabdades potuas são uas. Neste caso, (.) é uma fução cotua e tem uma fução versa (.), a fução quat de X. Dado quaquer vaor z p, z <, (z p ) é o úco vaor que satsfaz: < p F ( ( z )) z p Para uma probabdade p, (p) é o quat da probabdade ão ecedete p, sto é, o vaor ta que a probabdade de X ão eceder (p) é p. O objetvo da aáse de freqüêca é estmar corretamete os quats da dstrbução de uma varáve aeatóra. A abordagem cássca da teora de vaores etremos cosste em caracterzar as caudas (superor ou feror) da dstrbução de F a partr da dstrbução do mámo. Assm, defmos M ( X,..., ) como o mámo de um cojuto de ma X varáves aeatóras depedetes e detcamete dstrbuídas. Para obter-se a dstrbução do mímo usa-se a reação: ( X,..., X ) ma( X,..., ) m X p F 9

11 Na teora a fução de dstrbução eata do mámo pode ser obtda para todos os vaores de, da segute forma: para M ( ) P( X X ) P( X ) [ F ( X) ] F P M,...,, R e N. Todava, este resutado ão é út a prátca, vsto que ão cohecemos a fução de dstrbução de F. Segudo Coes (), uma possbdade é utzar téccas estatístcas para estmar F para dados observados, e substtur esta estmatva a equação acma. Ifezmete, pequeas dscrepâcas a estmatva de F podem coduzr a substacas dscrepâcas em [ ( )] Uma ateratva é acetar que apromadas dos modeos de [ F ( )] X F. X F seja descohecda, e ohar para as famías, que pode ser estmado com base somete em dados etremos. Isto é smar a prátca usua de apromar a dstrbução da méda amostra pea dstrbução orma, como justfcado peo teorema cetra do mte (TCL). Aém dsso, podemos pesar que o comportameto asstótco de estar reacoado com a cauda de M pode F prómo do mte superor do suporte da dstrbução de X, pos os vaores do mámo são aquees que se ocazam perto desse mte. Dessa maera, deotamos por: { R: F ( ) } F X sup <, o mte superor do suporte da dstrbução de F. Observamos que, para todo < F, e, o caso de <, temos para F ( M ) P[ F ( X) ], P,, > F que: ( M ) P[ F ( X) ] P, ogo, à medda que cresce a dstrbução de M é degeerada 4 sedo, portato, um resutado que ão forece muta formação. Esta dfcudade pode ser saada cosderado-se uma seqüêca de costates > e tas que: M * M covrja para uma fução ão-degeerada, para. O teorema segute forece o resutado de covergêca em dstrbução para o mámo cetrado e ormazado. 4 Em matemátca, uma dstrbução degeerada é a dstrbução de probabdade de uma varáve aeatóra dscreta cujo suporte cosste de somete um vaor.

12 Teorema (Fsher Tppett, 98): seja ( X ) uma seqüêca de varáves aeatóras depedetes e detcamete dstrbuídas. Se estrem seqüêca de costates ormazadoras > e e uma dstrbução ão-degeerada H ta que: M d H, ode d represeta covergêca em dstrbução, etão H é do tpo de uma das três fuções de dstrbução: -Tpo I de Gumbe: ( ) H I ( ) ep ep, R ; -Tpo II de Fréchet: H II ( ), se H I -Tpo III de Webu: ( ) ( ) ep, se > ; H III ( ) ( ) ep, se H III ( ), se >. A prova do teorema de Fsher-Tppett ão será apresetada aqu, o etato, uma demostração rgorosa desse resutado é apresetada por Gedeko (943). Ada sob o poto de vsta da modeagem as três dstrbuções de vaores etremos H I (), H II () e H III () sejam bem dferetes, do poto de vsta matemátco estão bastate reacoadas. Pode-se mostrar que se X>, etão: X ~ H II ( ) ( X ) ~ H I ( ) X ~ H III ( ). Coes (), afrma que estem dos probemas a prátca a serem resovdos, prmeramete uma técca para escoher qua das três famías é a mas aproprada, em seguda, tomada ta decsão e feto a cocusão, presumem que a escoha esteja correta e ão é meddo o grau de certeza, embora essa possa ser sgfcatva. Dessa forma Jekso (95), mostrou que as três famías poderam ser ufcadas em uma úca famía, a famía de vaores etremos geerazadas, dada da segute forma:

13 Defda o cojuto ( ) H ( ) ep +. :+ >, sedo que os parâmetros satsfazem, < <, > e < <, o modeo é tr-paramérco, sedo um parâmetro de ocazação, um de escaa e um de forma, ode o parâmetro é quem determa a forma da dstrbução, quado: > tem-se a dstrbução de Fréchet, < obtem-se a de Webu. Sedo que o mte de F() quado, a dstrbução assume a segute forma: H( ) ep ep, < <, que represeta a fução de dstrbução da Gumbe, com parâmetros de ocazação e escaa e, respectvamete, sedo >. Dessa forma, em vez de se ter que escoher uma famía camete, para depos estmar os parâmetros, a ferêca se faz dretamete sobre o parâmetro de forma. A Fgura, ode o apêdce B mostramos a rota o R para gerar a mesma, apreseta os gráfcos da fução de dstrbução para, 5 (Webu), tededo a zero (Gumbe) e, 5 (Fréchet), com e, 476. Para se ecotrar a fução desdade de probabdade (f.d.p.) da fução geerazada de vaores etremos (GEV), derva-se a fução de dstrbução da GEV em reação à, obtedo-se: ode + h ( ) + ep +, < <, para <, que correspode a desdade da Webu e < <, para >, gerado-se a desdade da Fréchet, por fm quado o mte para tededo a zero, tem-se: h( ) ep ep ep, defda em < < gerado a fução desdade da Gumbe.

14 Fgura : Iustração das três fuções de dstrbuções acumuadas da famía de vaores etremos geerazados (GEV). A Fgura apreseta os gráfcos da fução desdade de probabdade da GEV para, 4 (Webu), tededo a zero (Gumbe) e, 4 (Fréchet), com e, ode observa-se que o parâmetro é quem determa a atureza das caudas da dstrbução. Fazedo-se uso de uma guagem mas forma, o caso > é o caso das caudas pesada o qua H ( ) ~, < é o caso das caudas eves, em que a dstrbução tem um poto fa fto (o meor vaor de para o qua H() ) em que. Se, as caudas da dstrbução estão etre eves e pesadas, a qua H ( ) decresce epoecamete para grades vaores de. Isto mostra que em apcações as três famías são bastate dferetes os etremos. Quato às apcações, a dstrbução GEV tem sdo utzada em város estudos, por eempo, Hoskg e Was (997) utzou a GEV para aáse de freqüêcas de vazões, por outro ado, Bautsta () utzou a GEV para aasar as veocdades mámas do veto.. Iferêca sobre os Parâmetros da GEV Para se fazer ferêcas sobre os parâmetros da GEV, Coes () afrma que foram propostas váras téccas, etre eas, cuem-se métodos gráfcos, estmação peo método dos mometos, máma verossmhaça. Cada uma destas téccas apreseta potos fortes e fracos. Coes () afrma que o método da máma verossmhaça é o mas atraete devdo as suas característcas, cotato 3

15 que as codções de reguardades sejam satsfetas, ou seja, a fução de verossmhaça seja moótoa crescete. Fgura : Iustração das fuções desdade de probabdades das três formas da famía de vaores etremos geerazados (GEV). Smth (985) observou que depededo da estmatva do parâmetro de forma peo método da máma verossmhaça, essas codções em sempre são observadas, uma vez que: Se >, 5, os estmadores de máma verossmhaça são reguares, tedo suas propredades asstótcas habtuas; Se, < <, 5 o estmador de máma verossmhaça é geramete ecotrado, porém as codções de reguardades ão são observadas; Se, < ão é possíve obter os estmadores de máma verossmhaça. Hoskg et a (985b), ao utzar smuações computacoas para estmar os parâmetros da GEV peo método da máma verossmhaça através do processo teratvo de Newto-Raphso, observaram que podera estr probemas de covergêca, peo fato das codções de reguardades ão serem ateddas. Sedo que esse caso é muto raro, pos só ocorre quado <, 5, que de acordo com Coes (), correspode ao caso ode a cauda superor é muto curta. Hoskg et. a. (985b) também mostraram que ao se trabahar com dados reas o vaor de (,5;,5), esses resutados foram cofrmados através de smuações 4

16 computacoas por Brabso e Patutkof (), ode cocuíram que o vaor de (,5;,5), portato a efcêca das estmatvas de máma verossmhaça dos parâmetros a prátca, ão apreseta maores probemas. Todava, aém do estmador de máma verossmhaça, outros métodos têm sdo utzados para estmar os parâmetros da GEV, podemos ctar de acordo Hoskg et. a. (985b), por eempo: método dos mometos, probabdades poderadas, método dos mometos L, ode os mesmos mostraram-se mas efcetes que o método da máma verossmhaça, o que tage ao vés e as varâcas amostras, em amostras cujos tamahos varam etre 5 e. Porém, coforme Smth (), ehum dos métodos ctados permte a geerazação como faz o método da máma verossmhaça, portato desevoveremos agora esse método. Cosderado que X,..., X são uma sére de reazações aeatóras depedetes, detcamete dstrbuídas e ordeadas, com fução desdade de probabdade da GEV, a fução de verossmhaça L( ) L(,, ) h( ; θ ) dada por: L + ( θ) L(,, ) + ep θ é + que para <, assume vaores dferetes de zero, se todos os vaores de (,,...,), forem meores do que, ou seja, se >, sedo o maor vaor da sére de observações, e para > forem maores que observações. Caso cotráro ( ), se todos os vaores de (,,...,), ou seja, < o meor vaor da sére de L θ. É mas coveete (de forma matemátca, dada a mootocdade da fução) tomar o ogartmo e trabahar com o ogartmo da fução verossmhaça, que é dado por: (,, ) L(,, ) + [ ] + + 5

17 , para > e < ou < se >. Caso cotráro o ( ),, ão este! Os estmadores de máma verossmhaça de, e são obtdos mamzado o ogartmo da fução verossmhaça ( ),, em reação a cada parâmetro e a raz obtda, a sua soução. Assm: ( ),, ; ( ),, ; ( ),, ou, seja: + w + + w w ( ) w w w w, sedo + w. Como este sstema de equações ão possu soução aaítca, utzaram-se procedmetos teratvos para obter as estmatvas dos parâmetros de máma verossmhaça usado a matrz de formação de Fsher, M. A fórmua teratva é, para j, ( ) ( ) ( ) θ grad θ M θ θ j j j + + ode ( ) θ,, com: ( ) θ grad,, e E E E E E E E E E θ M, ode os eemetos de M podem ser epressos em termos da fução gama: () d e r r Γ e () ()dr r d r ψ Γ og

18 7 como: ( ) [ ] p E + Γ ( ) [ ] p E Γ ( ) { } p q γ E Γ p E + p q E p q γ π E 6, sedo ( ) ( ) p Γ, ( ) ( ) ( ) ψ q Γ e γ a costate de Eüer. No procedmeto teratvo, fa-se um vaor ca arbtráro para, e sugerem-se como vaores cas e para e, vaores tas que ( ) X X E e ( ) s X Var, sedo X a méda e s a varâca da sére de observações (amostras). Cosderado-se a fução desdade de probabdade, obtém-se: ( ) ( ) [ ] Γ + X E, se <, e ( ) ( ) ( ) [ ] X Var Γ Γ, se <, sedo as segutes epressões para os vaores cas: ( ) ( ) s Γ Γ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) s Γ Γ Γ Γ.

19 8 Jekso (955) sugeru que se deva usar a matrz formação de Fsher para amostras competas, etretato para amostras cesuradas estas esperaças ão estem o setdo usua, e fo observado um úmero de estudos smuados, que a covergêca para θ é cosderavemete mas rápda, usado a matrz θ V ao vés da matrz θ M. Assm é usua apromar a matrz θ M por esta ova matrz θ V, descrta por: θ V. Com esta ova matrz, o cácuo teratvo de θ, evove rapdez computacoa e coverge para 3 < grad em meos de 5 terações. Para o caso partcuar da dstrbução geerazada de vaores etremos com, temos a dstrbução Gumbe, o ogartmo da fução verossmhaça é dado por: ( ) ep,, e os estmadores de máma verossmhaça de e são obtdos pea soução de: ( ), ; ( ),, ou seja ep, ep. Mas uma vez, este sstema ão possu soução aaítca e deve-se usar o mesmo método teratvo descrto a cma para a obteção da soução umérca, tomado como vaores cas e para e a souções obtdas através do cácuo dos mometos. Para este caso tem-se:

20 ( X ) γ, ( X ) E + com γ a costate de Eüer, ogo π Var, γ s. 455 s, s s, π π que correspodem aos mtes quado... Estmação dos Quats Etremos da GEV Após terem sdo estmados os parâmetros da GEV, será possíve obter a estmação de quats ( z ) as probabdades (p), pos os mesmos depedem desses p parâmetros, para sso basta verter a fução de dstrbução de vaores etremos, ode os quats são dados da segute forma: ode: F( z p ) p período de retoro p. [ { og( )} ] z p p, se z p { og( p) } og, se,. Sedo que z p, correspode ao íve de retoro assocado ao Coes (), defe og ( p) y p [ y ] z p p, se z og, se. p y p, e a epressão dos quats, tem-se: Isso permte gerar um gráfco em escaa ogarítmca, ode o eo das abscssas represeta-se y p e o das ordeadas z p ou equvaetemete, o gráfco pode ser gerado com og y p cotra z p, ode o mesmo reacoa a freqüêca de evetos etremos, coforme o sa do parâmetro de forma..3 A Dstrbução Geerazada de Pareto (GPD) Supoha X,..., X varáves aeatóras depedetes e detcamete dstrbuídas, tedo fução de dstrbução F X. Seja F o mte superor da dstrbução de F X. Chamamos de um mar ato um vaor o suporte de X perto de F. 9

21 Deomamos ecedetes aquees vaores o úmero de ecedetes do mar u. Isto é, X tas que X > u. Deotamos por N u N u ( X > u) ( X > u), ode: ( X > u) se X > u, caso cotráro. Os ecessos (potos ecedetes) aém do mar u, deotados por Y,...,Yu são os vaores X u. A Fgura 3 mostra as observações X,..., X e os ecessos aém do mar u4. Esta abordagem se dfereca da abordagem cássca, pos a teora cássca se basea a aáse do vaor do mámo (ou mímo) em uma época. Como será vsto a defção que se segue, essa abordagem permte a aáse de todos os dados dspoíves que ecedem um mar, porém esse mar deverá garatr a dstrbução asstótca de vaores etremos, sem as quas ão será possíve fazer as ferêcas. Defção: Dado um mar u, a dstrbução dos vaores de acma de u é dada por: ( u + y) F( u) F P { X > u + y X > u}, y >, () que represeta a probabdade do vaor de utrapassa u por o mámo um motate y, ode y-u. Fgura 3: Iustração do gráfco de barras das observações de uma seqüêca de varáves aeatóras X,..., X, ode se destacam os ecessos acma do mar u4.

22 Seja F uma dstrbução geerazada de vaor etremo, ta que: ( ) + F ep para quaquer, > e R. Etão a probabdade codcoa, quado u X >, sabedo-se que ( ) + F, e que para vaores eevados de se deve fazer uma epasão à Tayor de forma que ( ) ( ) { } F F, substtudo e re-arrajado para u, tem-se ( ) + u u F e de uma forma smar para > y, ( ) y u y u F. Desta forma, tem-se: { } ( ) ( ) > + > ~ y u y u u F y u F u X y u X P, com ( ) u + ~. Assm, a fução dstrbução de ( ) X, codcoada a u X >, é apromadamete: ( ) + ~ y y H, defda em > + > : ~ y e y y, ode ( ) u + ~. Coes () afrma que a famía de dstrbuções defda acma é chamada famía geerazada de Pareto. A fução dstrbução codcoa é apromadamete a dstrbução geerazada de Pareto (GPD), que represeta as três dstrbuções em uma só forma, sob a γ-parametrzação: ( ) γ γ γ W ) ; ( +. Assm como as dstrbuções GEV são as dstrbuções mte para o mámo, as do tpo GPD são as formas paramétrcas para dstrbuções mte de ecessos (Teorema de Bakema-de

23 Haa). As dstrbuções geerazadas de Pareto são da forma Epoeca ( γ ), Pareto tpo II ( γ > ) e Pareto comum ou Beta ( γ < ). Os parâmetros da dstrbução geerazada de Pareto para ecessos que utrapassam mares (Peaks-over-Threshod - POT) são determados por aquees assocados às dstrbuções geerazadas de vaores etremos (GEV). No mte de ( ) F quado tem-se a dstrbução acumuada de Gumbe: F ( ) ep ep, e a fução dstrbução de ( X ), codcoa com y X > u, é apromadamete: H ( y) ep, com y >. A Fgura 4, ode a rota para mostrar a ustração ecotra-se o apêdce B,, apreseta os gráfcos da fução de dstrbução da GPD para, 4 (Pareto comum ou Beta), tededo a zero (epoeca) e, 4 (Pareto tpo II), todas com, observa-se que assm como a GEV o parâmetro é quem determa as caudas da dstrbução. Por fm, as dstrbuções GPD e GEV estão reacoadas da segute maera: ( H ( )), ( ( ) ) > G ( ) + H. Esta reação epca por que as desdades da GPD possuem cauda etrema asstotcamete equvaete às de uma GEV. A Fgura 5, ode também a rota mpemetado o R esta o apêdce B, ustra este fato e mostra a promdade das caudas de agumas dstrbuções GPD com agumas GEV.

24 Fgura 4: Iustração da fução desdade de probabdade das três formas da dstrbução geerazada de Pareto (GPD). Fgura 5: Desdades da GPD e GEV. (a) Pareto comum (Beta) e Webu, ambas com, ; (b) Pareto tpo II e Fréchet, ambas com,. As desdades da GEV todas possuem e todas as desdades possuem. 3

25 .3. Seeção do Lmar Na escoha do mar u os deparamos com agus probemas, pos um vaor para u muto ato mpcará em um úmero pequeo de observações a cauda, podedo resutar uma maor varabdade dos estmadores. Porém, um mar que ão seja sufcetemete ato ão satsfaz as suposções teórcas e pode resutar em estmatvas dstorcdas, portato uma déa é motorar os vaores etremos como será descrto. Para a determação do mar recorre-se à aáse gráfca da eardade de u observações que ecedem os város mares u determados a própra amostra. Assm, o gráfco de vda méda resdua, usado para a determação vsua de u é u costruído da segute forma: u, ( u) : u < ma, em que,,..., u u cosstem as observações que ecedem u e ma é o vaor mas eevado das observações. Na prátca dos métodos são avaados para esse propósto: uma técca eporatóra e a outra é avaar a estabdade dos parâmetros estmados, baseado o ajuste de uma gama de mares de acordo com o gráfco descrto acma. Coforme Coes (), o prmero método é baseado a méda da dstrbução da GPD. Se Y segur uma dstrbução geerazada de Pareto com parâmetros de escaa e forma,,, respectvamete, etão: E ( y), desde que <, uma vez que se a esperaça será fta; e ( ) Var Y, com <. Seja u o mar mas bao de uma sére X, X,..., X arbtrára, etão u E( Y ) E( X u X > u) com <, em que u é o parâmetro de escaa correspodete aos ecessos do mar u. Mas se a dstrbução de Pareto é váda para os ecessos de u, também é guamete vádo para os ecessos de mares u > u, sujetos a aproprada varação o parâmetro escaa para u. Etão, para: u > u, ( ) u u + u E X u X > u. Segudo Coes (), a GPD é um modeo razoáve para os ecessos acma do mar u, assm como para um mar mas eevado u. Os parâmetros de forma das duas dstrbuções são dêtcos. No etato, o vaor do parâmetro de escaa para o 4

26 mar u u > é + ( u ) u, que vara com u a meos que. Esta u u dfcudade pode ser remedada pea re-parametrzação do parâmetro de escaa como: * u u e ( ) u, com a méda dos ecessos para de cada mar u, e determado da méda e do desvo padrão dos ecessos de cada mar u, e coseqüetemete as estmatvas de ambos * e serão costates acma de u, se u é um mar vado para os ecessos que seguem uma GPD. Assm, são represetados os gráfcos de * e versus u, jutamete com os tervaos de cofaça que são obtdos pea matrz varâca e covarâca V para e para * peo método Deta, usado: Var ( ) * T * * * * T V, com, [ u] u, *..4 Iferêca sobre os Parâmetros da GPD A estmação dos parâmetros da GPD pode ser fetos por város métodos, etre ees, tem-se o da máma verossmhaça, Davso (984), Hoskg e Was (987), método dos mometos, método da máma etropa (POME) e o método dos mometos poderados, Sgh e Guo (995), ode a efcêca de cada método depede da stuação estudada, estes métodos serão detahados o capítuo 3, sedo dada esse capítuo somete uma abordagem baseada uma mportate propredade da GPD. L () mostra que uma mportate propredade da dstrbução geerazada de Pareto, ocorre quado >, ode a méda de ecessos, ao ogo de um mar, u, é uma fução ear de u: u E ( X u / X > u ), portato o gráfco da eardade da méda de + ecessos, poderá ser utzado como um dcador da adequação do modeo da GPD. Essa propredade permte estmar os parâmetros de forma e escaa da dstrbução geerazada de Pareto, da segute forma: Defe-se a méda de ecessos de uma amostra (MEA), como uma fução dada abao: 5

27 e ( u) ( X u) { í > u} +, o que dz respeto ao mar u, ode o + garate que apeas os vaores postvos de ( X u) serão cotados. Ou seja, a MEA é a soma dos ecessos durate o mar u, dvddo peo umero de potos dos dados que ecede ao mar u. Dessa forma a méda de ecessos da amostra é o estmador empírco da méda de ecessos de um mar (MEL), portato, e da GPD, podem ser determado pea cação e o tercepto da MEA utzado as segutes equações: Icação + e Itercepto. +.5 Reação etre a Dstrbução q-epoeca e a GPD Shaz (7), ao estudar o estmador de máma verossmhaça da dstrbução q-epoeca, também cohecda como dstrbução de T-sas, essa dstrbução é defda através do compemetar da fução de dstrbução, sedo mas cohecda como a fução de sobrevvêca, ode a mesma possu a segute forma: ( q) q Pk, q ( X ). k Essa reparametrzação ajuda a smpfcar a estmação dos parâmetros e fazer uma gação com a dstrbução de Pareto, para ecotrar o estmador de máma verossmhaça para a dstrbução q-epoeca, portato é mas fác utzar a reparametrzação e o fa retorar ao sstema ca, caso seja desejado. Shaz (7), defe a ova reparametrzação, da segute forma θ e q θ * k, para recuperar os parâmetros cas basta fazer: q + e θ a fução de sobrevvêca, em reação aos ovos parâmetros, é: θ k, ogo θ Pθ, ( X ) +, para se ecotrar a fução desdade de probabdade, basta dervar a fução acma em reação à, obtedo-se: 6

28 θ θ θ, ( ) + P parâmetro de forma α e poto de corte y. se P(y), quado y < y,, ode a mesma possu uma dstrbução de Pareto com α y P ( y). y Assm X tem uma dstrbução q-epoeca e +, tem uma dstrbução de Pareto com poto de corte gua a e parâmetro de forma θ, resutado em uma dstrbução de Pareto do tpo II, sedo sua forma padrão: Pθ, ( ) + ( ) que é uma dstrbução q-epoeca quado e θ. Neste capítuo fo vsta a fosofa da teora de vaores etremos, através de uma revsão de teratura da GEV, bem como sobre as ferêcas a respeto dos seus parâmetros, dado maor êfase ao estmador de máma verossmhaça, uma vez, que de acordo com a revsão de teratura feta é o que tem mostrado mehor desempeho para estmar os parâmetros da GEV, em seguda fo feta uma revsão de teratura também para a GPD e mostrado a mportate reação etre GEV e GPD, bem como a seeção do seu mar e para ecerrar fo vsta uma reação mportate etre a dstrbução q-epoeca e a GPD, sedo gerada a partr de uma reparametrzação a Pareto tpo II, esse artfíco facta bastate para ecotrar o estmador de máma veossmhaça da GPD quado o parâmetro de forma for postvo. Dessa forma, têm-se duas maeras de se modear o mámo de uma seqüêca de varáves aeatóras depedetes e detcamete dstrbuídas:. Mámo em Boco, ode se seecoa o mámo de cada período, porém essa abordagem corre-se o rsco de dearmos agus mámos de fora, dessa forma comprometedo as estmatvas bem como prevsões/predções;. Observações acma de um mar u, esse tpo de modeagem busca-se modear a seqüêcas de varáves aeatóras acma dee, ode a dstrbução mte é a dstrbução geerazada de Pareto, sedo que esse modeo o probema cosste a escoha desse mar, que pode ser feta por duas maeras: uma através de téccas eporatóras e a outra através de téccas gráfcas, ohado sempre a estabzação dos parâmetros e tomado o cudado α 7

29 a escoha do mesmo, para ão voar a covergêca asstótca e em fcar com poucas observações acma do mar seecoado. Assm, uma vez escohdo o modeo, o presete estudo a modeagem será va GPD, por essa razão a secção que trata das ferêcas dos parâmetros da GPD só fo abordado o método de estmação baseado a propredade da eardade da dstrbução geerazada de Pareto, pos o capítuo 3 será vsto os métodos de estmação dos parâmetros da GPD que foram utzados o estudo de caso, sedo que o método estudado com mas detahes fo o da máma etropa (POM), uma vez que esse método tem sdo bastate estudado os útmos aos, e sempre mostrado estar etre os métodos mas efcetes de estmação dos parâmetros da GPD. 8

30 CAPÍTULO 3: ALGUNS MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO GENERALIZADA DE PARETO (GPD) Város métodos de estmação dos parâmetros da GPD já foram propostos, sedo que os útmos aos o método da máma etropa (POME) tem sdo bastate utzado por város autores, em gera Sg e Guo (995), Oztek (4), ode o POME sempre que comparado com outros métodos, obteve meor erro quadrátco médo. Por essa razão as prómas secções, serão mostrados todos os métodos utzados o presete estudo, sedo que o da máma etropa será desevovdo de forma tegra. 3. Método da Máma Verossmhaça (MLE) Para se ecotrar o estmador de máma verossmhaça, precsamos ecotrar o og da fução de verossmhaça, que de acordo com Oztekm (4) é: L(,,, ) + ( ), ode os são vaores observados a amostra e o tamaho da amostra, o método se basea a mamzação dos parâmetros da equação acma. Para a mamzação, Rhebodt (998), utzou o método dreto ou de Newto- Rapso, para sso ee resoveu as equação parcas em reação a cada parâmetro descohecdo, ode as dervadas parcas em reação ao parâmetro de forma são dadas a segur: L ( ) + ( ) ( ), L ( ) ( ) ( ). Sedo que Sgh e Guo (995) mostraram que o og da fução de verossmhaça é vesado em reação ao parâmetro de ocazação, dessa forma ão é possíve ecotrar o estmador de máma verossmhaça para o parâmetro de ocazação. Para tato será escohdo o meor vaor da amostra para estmar o parâmetro de ocazação. 9

31 3. Método da Máma Verossmhaça Peazada (MPLE) Apesar do método da máma verossmhaça ser um dos mas efcetes, ee apreseta séros probemas em reação às especfcdades dos modeos de ssmos, uma vez que a severdade apreseta evetos etremos. Assm, este um maor teresse a cauda da dstrbução subjacete, sedo que o método da máma verossmhaça podera cada vaor da dstrbução guamete, por outro ado esse efeto da poderação guatára é resovdo por termédo do método da máma verossmhaça peazada. Coes e Do (999), sugerem para o estmador de máma verossmhaça peazada usar a segute a fução: f ( ) se ep α se, λ, se ode α e λ, são as costates peazadas. Coes e Do (999) sugerem ada que α λ. 3.3 Método dos Mometos (MOM) As característcas das dstrbuções de probabdades podem ser sumarzadas peos mometos popuacoas. O mometo de prmera ordem, em reação à orgem dos X, represeta a méda popuacoa ( ), e o mometo cetra de ordem r é, por defção, a varâca ( ) de X. As quatdades que podem ser deduzdas do mometo cetra de ordem são o desvo-padrão ( ) e o coefcete de varação (CV). Para r>, é usua descrever as característcas da fução de dstrbução através das razões admesoas e, das quas se destacam os coefcetes de r r assmetra ( C ) e de curtose (k), dados por: s 3 3 C e k. s Os mometos amostras são estmados por quatdades smares, cacuadas a partr dos dados de uma amostra de tamaho. Por eempo, o estmador atura de é a méda artmétca ou o mometo amostra de prmera ordem em reação à 4 3

32 orgem, -, os mometos amostras (m) de ordem (r) superor são estmadores vesados dos mometos popuacoas de mesma ordem, etretato podem ser corrgdos para produzr estmadores sem vés, por eempo, para varâca e assmetra, respectvamete: S m m, Cs s 3 ( )( ) Portato, de acordo com Hoskg e Was (987) os estmadores da dstrbução geerazada de Pareto peo método dos mometos (MOM), são: ode +, S [ ] ( + ) ( + )( + ), C s 3 ( )( ) ( + 3 ), S e C s, são a meda a varâca e a assmetra, respectvamete 3.4 Método de Pckads (Pckads) Os métodos de estmação do parâmetro de forma da dstrbução geerazada de Pareto têm ecotrados agus probemas o que tage ao vés e a varâca, com o tuto de amezar esses probemas, Pckads (975) propôs um estmador baseado em estatístcas robustas para o parâmetro de forma da GPD como pode ser vsto a segur: Seja X, X,,...,, estatístcas de ordem para uma amostra depedete de tamaho e fução de dstrbução da GPD. O estmador de Pckads é: og X og X k +, k +, X X k +, 4k +,, para k,..., 4 ode Dekkers e Haa (989), verfcaram a cosstêca e a ormadade asstótca do estmador. 3.5 Método do Mometo Poderado peas Probabdades: vesado e ão-vesado (PWMB, PWMU) Coforme Hoskg e Was (987), o estmador (PWMB), possu parâmetros especas de forma e escaa, esses parâmetros são chamados de Dagrama de Posção. Os mesmos recomedam que o parâmetro de forma camete seja de,35, equato o de posção assuma o vaor zero. Posterormete, pode ser testado dferetes vaores. 3

33 Para o PWMB, PWMU apromados, Dupus e Tsao (998), propõem a utzação de estmadores híbrdos, uma vez que o mesmo evta o fato de ão possur potos váves. 3.6 Dvergêca Méda da Desdade (MDPD) A estmação do parâmetro da dstrbução geerazada de Pareto peo MDPD fo proposta por Júarez e Schucay (4), ode os mesmos recomedam para o parâmetro de forma da dstrbução geerazada de Pareto (GPD) o vaor de,, esse mesmo trabaho são recomedados vaores pequeos para o parâmetro de forma. Para um α> o estmador para a GPD é o vaor equação abao: α,, que mmzam a α ( ) α X α (, ) α + α H ( α α ), + α α sobre ( ) { } + α, Θ : >,ma X <, < <, e, < < α < A restrção ma { } X, deve-se à depedêca do suporte dos parâmetros. A + α restrção < é ecessára para as codções de reguardades da tegra da α GPD. 3.7 Método da Medaa (MED) Wesh e Peg (), o artgo Robust Estmato of the Geerazed Pareto Dstrbuto, utza o mesmo prcípo que He e Fug (999), quado ees propuseram o método da medaa para a dstrbução de Webu com dos parâmetros, sedo os mesmos da segute forma: Medaa( X ), ode X, são os vaores observados da varáve aeatóra. X og + Medaa ( + ) X + X Z ( ) 3

34 dy. ( y ) > z( ) og y + < y<, 3.8 Método da Mehor Quadade do Ajuste (MGF) Para o estmador MGF, Luceño (5), propõem o segute agortmo para estmar os parâmetros de forma e escaa, e da dstrbução geerazada de Pareto. São os segutes passos o deeameto do pseudo-agortmo: () Cacue ~ ma(,..., e ) z ; ~ () se <, 75 e Z<,, cacue os MLEs padrozados para e ; (3) caso cotráro estme usado a equação do ~ e ma(,..., ). ~ ~ Segudo Luceño (5), a justfcatva para esse procedmeto é que quado é grade, a amptude da GPD é e o método da máma verossmhaça faha. Portato para uma ateratva é utzar ma(,..., ) ~. ~ 3.9 Método da Máma Etropa (POME) Shao (948) defu etropa como uma medda umérca de certeza, ou recprocamete o coteúdo de formação assocou com uma dstrbução de probabdade, f ( ; θ ), sedo θ o vetor de parâmetros, utzado para descrever uma 33

35 varáve aeatóra X. A fução de etropa de Shaoo H( f ) para X cotua, é dada da segute forma: H ( f ) f ( ; θ ) f ( ; θ ) d com f ( ; θ ) d, (3) ode H( f ) é a etropa para f ( ; θ ) que pode ser vsta como o vaor médo de f ( ; θ ). De acordo com Jayes (96), o vés mímo da dstrbução de X é o que mamza a etropa sujeta a determada formação ou que satsfaça o prcípo da máma etropa (POME). Portato os parâmetros da dstrbução podem ser obtdos acaçado o mámo de H( f ). O uso deste prcípo pode gerar as dstrbuções de probabdade meos vesadas em base de dados mtadas e competas dscutdas por város autores e pode ser apcada a probemas dversos, por eempo, Sgh e Foreto (99). Jayes (968) argumetou que o POME é o crtéro ógco e racoa para escoher uma fução especfca f ( ; θ ), que mamza H( f ) e satsfazedo a determada formação que epressa como restrção. Em outras paavras, para determar a formação, por eempo, méda, varâca, assmetra, mte superor, mte feror, etre outras, a dstrbução dervada peo prcípo da máma etropa é a que represeta mehor a varáve aeatóra X; mpctamete, esta dstrbução represeta mehor a amostra da qua a formação fo retrada. Iversamete, se era desejado ajustar uma dstrbução de probabdade especfca a uma amostra de dados, etão o POME pode especfcar as restrções ecusvamete (ou a formação) precsado dervar daquea formação. Os parâmetros da dstrbução são reacoados com essas restrções. Uma dscussão eceete da razão matemátca é determada por Leve e Trbus (979). Determado m restrções earmete depedetes C,,..., m da segute forma: ode C w ( ) f ( ; θ d,,,..., m, (4) ) w são agumas fuções cuja méda é cacuada em cma de f ( ; θ ) são especfcadas, etão o mámo de H( f ) sujeto a equação (4) é determada pea dstrbução: m f ( ; θ ) a a w ( ), (5) 34

36 sedo a,,,,..., m os mutpcadores de agrage, que são determados pea equação (4) e (5). Iserdo a equação (5) a equação (3) gera-se a etropa de f ( ; θ ), em termos das restrções e mutpcadores de Lagrage. m H ( f ) a + a C, (6) A mamzação de H( f ) estabeece o reacoameto etre as restrções e os mutpcadores de Lagrage. Dessa forma para estmar os parâmetros da GPD, peo prcípo da máma etropa (POME), devem-se: I. Especfcar as costates apropradas; II. Dervar a fução de dstrbução da etropa; III. Dervar em reação etre os mutpcadores de Lagrage e as restrções. Para uma formazação maor deste método veja Trbus (969), Jayes (968), Leve e Trbus (979) e Sg e Rajagopo (986) 3.9. Especfcação das Restrções A etropa para a dstrbução geerazada de Pareto pode ser obtda serdo a equação (6) a equação (3), obtedo: ( ) H ( f ) f ( ; θ ) d + f ( ; θ ) d. (7) Comparado a equação (7) com a equação (6), as restrções adequadas para a equação, podem ser escrtas coforme Sgh & Rajagopa, (986), como: f ( ; θ ) d, (8) e ( ) ( ) f ( ; ) E. (9) Essas restrções são úcas e especfcam as formações sufcetes para a dstrbução geerazada de Pareto (GPD). A prmera restrção especfca a probabdade tota. A seguda restrção especfca a méda do ogartmo da razão versa do parâmetro de escaa para a de taa de fracasso. Cocetuamete, sto defe o vaor esperado egatvo da taa de fracasso do parâmetro de escaa. Os parâmetros da dstrbução são reacoados com estas restrções Costrução da Fução de Etropa A fução de dstrbução de probabdade da GPD correspodete ao prcípo da máma etropa (POME) e cosstete com as equações (8) e (9), possu a segute forma: 35

37 ( ) f ( ; θ ) ep a a, () ode: a e a são os mutpcadores de Lagrage. A justfcatva matemátca para a equação () fo apresetada por Trbus (969). Apcado a equação da Dstrbução de Vaores Etremos com a restrção da probabdade tota, obtemos: que retora a fução de partção: ( ) ep( a ) ep a d, () ep( a ) a O zero do mutpcador de Lagrage é dado por: a a. () (3) serdo a equação () a equação (), obtemos: a ( ) ( ) f ( ; θ ). (4) Comparado a equação (4) com a equação (6), obtem-se: a. (5) Tomado o ogartmo da equação (4), tem-se: ( ) f ( ; θ ) + ( a ) a (6) Dessa forma, a etropa H( f ) da GPD é: ( ) H ( f ) ( a ) + + ae (7) Reação Etre os Parâmetros da GPD e as Restrções De acordo com Sgh e Rajagopo (986), a reação etre os parâmetros da GPD e as restrções é obtda através das dervadas parcas da etropa H( f) em reação aos mutpcadores de Lagrage, bem como a dstrbução dos parâmetros e, em seguda, guaar a as dervadas a zero, e utzar as restrções. Por fm utzar as 36

38 37 dervadas parcas da equação (7), em reação à a,, e separadamete e guaado as dervadas de cada equação em reação à zero, temos: ( ) + E a a H (8) ( ) ( ) E a H (9) ( ) ( ) + E a H () ( ) + E a H. () Smpfcado as equações (8) em reação a (), temos, respectvamete: ( ) a E () ( ) ( ) a E (3) ( ) ( ) a E (4) ( ) E (5) Observa-se que a equação (5) ão tem soução váve. As equações (3) e (4) são as mesmas. Para se obter uma soução úca, será precso adcoar equações, que serão obtdas através da dferecação dos mutpcadores de agrage e guaado a zero. Para fazar em termos da equação (), será escrta como:

39 38 ( ) d a a ep, (6) Dferecado-se a equação (6), em reação à a, tem-se: ( ) ( ) ( ) d a d a a a ep ep ( ) ( ) d a a a a ep ( ) E a a. (7) De acordo com Trbus (969): ( ) a a var (8) ode var [.] represeta a varâca da quatdade etre chaves. Da equação (), temos: ( ) a a (9) dferecado a equação (39) em reação à a, tem-se: a a a (3) ( ) a a a (3) comparado a equação (4), com a equação, com a equação (37), obtem-se: ( ) ( ) a E (3) Que por sua vez é gua à equação (3). Comparado a equação (4) com a equação (37), tem-se: ( ) ( ) var a (33) Portato, a equação de estmação dos parâmetros da dstrbução geerazada de Pareto peo prcípo da máma etropa cosste das equações (), (3) e (33).

40 Da equação (5), ota-se que (3) e (33), tem-se: a, substtudo esse vaor as equações (), E E var ( ) ( ) ( ). Nesse capítuo fo estudada a forma aaítca dos métodos de estmação dos parâmetros da GPD, em reação ao estmador de máma verossmhaça verfcamos que o mesmo ão possu soução aaítca, devedo ser utzados souções umércas para ecotrá-os. O estmador de máma etropa fo desevovdo de forma tegra, partdo desde a costrução da fução de etropa da GPD até ecotrar a forma aaítca dos mesmos, uma vez que esse método tem-se mostrado bastate efcete para estmar os parâmetros da GPD. O capítuo 4 vem da ecessdade de como em quaquer aáse estatístca verfcar a quadade do ajuste dos dados, por essa razão o capítuo segute serão abordados dos métodos para dagostcar o ajuste do modeo aos dados. Um será através de métodos gráfcos e o outro para testar reamete o ajuste, o qua será feto através do teste Aderso-Darg. 39

41 CAPÍTULO 4: DIAGNÓSTICO DE ADEQUAÇÃO DO MODELO Na prátca, em gera, dspõe-se de dados de uma varáve aeatóra cuja dstrbução da popuação é descohecda. Assm, é ecessáro, detfcar a dstrbução de probabdade com mehor aderêca aos resutados epermetas. Em agumas stuações, é possíve utzar formações de outras varáves que descrevem feômeos aeatóros smares. Dessa maera, sera estmada uma possíve dstrbução de probabdade, etão o probema sera estabeecer um crtéro de acetação ou rejeção do modeo. Por outro ado, em mutos casos ão se tem déa da dstrbução da varáve. Quado sso acotece os métodos gráfcos, podem ser utzados para ver se a dstrbução de probabdade se adere aos dados, coforme descrto a segur. Coes (), os ecessos do mar u, ( )... ( k ) e um modeo estmado H, o gráfco de probabdades cosste dos potos:, G( ( ) ),,..., k k + Ode G ( ) é dado de acordo com a equação (). O gráfco dos quats, de acordo com Coes (), quado é costtuído do cojuto de potos: G, ( ),,..., k, ode k + G u + ( u) Coes () afrma, ada, que se o modeo estmado for razoáve para os ecessos de u, tato o gráfco de probabdades orma como os de quats devem ser apromadamete eares. O íve de retoro, coforme Coes () cosste do cojuto de potos, z m para vaores grade de m, ode m m íve de retoro: são estmatvas de m-observaçoes do 4

42 z m u + mς u A escaa utzada é ogarítmca, por tato é de fudameta mportâca testar o ajuste do modeo, uma vez que a estmação errada do parâmetro de forma pode evar a prevsão bastate dstorcda da readade. 4. Teste de Adequação do Modeo Os métodos gráfcos descrto acma dão apeas um dagóstco do ajuste do modeo, para cofrmar a aderêca dos dados é ecessáro testar reamete o ajuste, ode agus testes de hpóteses ão paramétrcos podem ser utzados para esse fm, uma vez que. Estes cosderam a forma da dstrbução da popuação em ugar dos parâmetros por esse motvo são chamados de testes ão paramétrcos, sedo que o caso de etremos, a déa e pegar um teste que ão seja sesíve as caudas, como é o caso do teste de Aderso-Darg. O teste de Aderso-Darg é um dos testes estatístcos mas poderosos para detectar a aderêca dos dados às dstrbuções caudas. É uma geerazação do teste de Kmogorov-Smrov (KS), porém dado mas peso às caudas. Ee é também uma ateratva ao teste Qu-Quadrado. Pode ser usado com tamahos de amostra pequeos 5. O teste avaa, em gera, se a amostra vem de uma dstrbução quaquer especfcada. A fórmua para o teste estatístco A para avaar se os dados ( Y,...,Y ), ordeados vêm de uma dstrbução com fução de dstrbução F, é dado por: A S, ode k [ F( Y ) + ( F( ))] S k Y + k O teste estatístco pode etão ser comparado cotra os vaores crítcos da dstrbução teórca (depededo de qua fução de dstrbução F é usada) para determar o vaor-p. Por fm, depos de escohdo o método de estmação do mámo, ode presete estudo será através da escoha de um mar u, portato a modeagem será va GPD. Feto sso a déa segute é escoher o mar de acordo com os métodos sugerdos o capítuo e em seguda estmar os parâmetros da dstrbução geerazada de Pareto, peos métodos vstos o capítuo 3, feto sso o 4