Exercícios de Cálculo Numérico Interpolação Polinomial e Método dos Mínimos Quadrados

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1 Eercícos e Cálculo Numérco Iterpolação Polomal e Métoo os Mímos Quaraos Para a ução aa, seja,, 6 e, 9 Costrua polômos e grau, para apromar, 5, e ecotre o valor o erro veraero a cos b c l Use o Teorema o Erro, e eterme uma cota superor o erro, para as apromações calculaas o eercíco Sabeo-se que, 8 6, 9, 8 7, 569, 86 8, 555 e, 87 8, 89, calcule um valor apromao e, 8, usao: a Polômo terpolaor e agrage e grau,, b Forma e Newto para polômo terpolaor e grau,, c Calcule uma cota superor o erro em caa caso, se possível Seja uma ução tabelaa os potos gualmete espaçaos Seja h o passo e supohamos que M em too tervalo a tabela Mostre que, ao se azer uma terpolação lear a ução o poto tomao os potos cosecutvos, com < <, o valor absoluto o erro cometo é o mámo ε 8 Mh 5 Deseja-se costrur uma tabela a ução e o tervalo, com potos gualmete espaçaos Seja h o passo Qual o valor mámo e h para que o erro a terpolação lear em qualquer poto o tervalo seja meor ou gual a ɛ 6 Cosere a tabela abao: Altura cm Pesokg a Usao um Polômo Iterpolaor e grau os, calcule a altura apromaa e uma pessoa com peso e 7 kg b Dê uma estmatva e erro para o caso ateror c Determe a melhor ução a orma ψ αseβ cos que ajusta estes potos e calcule a altura apromaa e uma pessoa com peso e 7 Kg 7 Sabe-se que ao logo a lha vermelha a velocae máma permta é e 9km/h e oram colocaos raares para mer a velocae statâea os

2 carros Supoha que uma stâca km, um motorsta coeru através o velocímetro supoha que o velocímetro seja eato as segutes velocae: Perguta-se: stâca 5 8 velocae a Cosere um raar colocao a posção, Usao um polômo terpolaor e grau os ou meor, calcule: Velocae apromaa este poto Erro a terpolação este poto Poemos coclur que o carro ão será multao? b Usao o Métoo os Mímos Quaraos aça uma regressão lear e calcule a velocae esperaa em, c Usao o Métoo os Mímos Quaraos eterme o polômo e seguo grau ótmo, e calcule a velocae esperaa em, O joral O Globo publcou a segute otíca: Em vrtue a estmatva e erro o raar ser e % etão os carros poeram aar a uma velocae máma e 99km/h sem serem multaos O que você pesa sobre sto? 8 A tabela abao represeta a lação bmestral mea pelo INPC o ao e bmestre jaero everero marco mao juho lação%, 75, 6,, 9, 7 a Estme qual o a lação em abrl, utlzao um polômo terpolaor e grau b Calcule o erro a estmatva ateror c Poemos garatr,usao o resultao o tem ateror, que a lação semestral o meor que 6%? Determe a lação o mês e julho, usao um polômo e grau 9 A tabela abao represeta o úmero ocal apromao e pessoas com DENGUE, ou seja, ectaos pelo vrus Aëes aegypt o Ro e Jaero: ata 999 úmeros Os aos relatvos, correspoem ao úmero e casos regstraos os meses e jaero e everero a Usao uma reta, estme o úmero e ectaos o mês e março e, pelo métoo os mímos quaraos

3 b Estme qual o o úmero e ectaos pelo vrus em everero e, utlzao um polômo terpolaor e grau c Estme o erro a apromação calculaa o tem c Qual é a ereça etre terpolação polomal e o ajuste e curvas pelo métoo os mímos quaraos? É possível obter um mesmo polômo que terpola e az o ajuste e curvas pelo métoo os mímos quaraos? O úmero e bactéras, por uae e volume, estete em uma cultura após horas é ao a tabela abao: úmero e horas 5 6 úmero e bactéras a Ajuste os aos acma a curva y ae b pelo métoo os mímos quaraos b Quatas horas seram ecessáras para que o úmero e bactéras por uae e volume ultrapasse? Daa a tabela abao, aça o gráco e spersão os aos e ajuste uma curva a melhor maera possível Iterpolação em uas varáves, 5, 75, 5,, 5, y, 8, 6,, 8 6, 7, Seja Ω um retâgulo R {, y; a b; c y } e as segutes partções: R : a < < < b e R y : c y < y < < y m Cosere os polômos e agrage { : } e { j y : j m} e grau e m respectvamete Deo P, y,m j, y j j, y obtemos um polômo terpolaor e grau em e m em y, oe Cosere a tabela abao: j, y j y Altura cm Pesokg Velocaekm/h Determe, a velocae apromaa e uma pessoa, que mee 75 cm e pesa 75 kg, usao um polômo terpolaor e grau em caa varável

4 Gabarto a sta e Iterpolação e Métoo os Mímos Quaraos Eercíco : a cos Prmera orma: Iterpolação e agrage,8,5 P cos,5 P -,89765,6,5,85,5,5,5 P,5 : : Erro Portato,,6 cos,9,9 ; -,5,6,9 -,9 -,6,5,5,5,85 cos,6,6 ;,5,9,6 -,6,9,5,5,5 cos ;,5,9,6,9,6,5,5,5 oe P Segua orma: Dereças Dvas e Newto oe P,,,,, :

5 Vamos motar a segute tabela:,,9,6,85,,,8,,677,9,6 P,5,9, 5,8, 5,5,6,8979 Eercíco : Cota Superor o Erro: E P M! oe : M má para, Etão, E P! má cos se ;,6,565 ;,9,78 E,5 Eercíco :,78! Mámo,5,5,6,5,9,965 a Devemos este tem costrur por agrage P, P, P tas que: P oe : ; ; com,8 e,86

6 P oe : ; ; com,8,,86 e,87 lembrao que escolhemos para o valor mas prómo e P oe : ; ; com,8,,8,,86 e,87 b Usao Dereças Dvas e Newto: Devemos este tem costrur P, P, P tas que: P P P e usar tabelas como usamos o eercíco c Se a ução é aa a orma e tabela, o valor absoluto o erro E só poe ser estmao Isto porque, este caso, ão é possível calcular M ; mas, se costrurmos a tabela e ereças vas até orem, poemos usar o maor valor em móulo estas ereças como uma apromação para M! Neste caso, zemos que: E o tervalo, má ereças vas e orem Etão, este eercíco: E má E má E má

7 Pela tabela: Assm,,8 6,9,,8 7,569 6 má, -,87,86 8,555 5,875,576,87 8,89 6, E,8,8,8,8,86 5,8,998 E,8,8,8,8,86,8,87 Não é possível etermar E porque ão temos as ereças vas e orem Eercíco : Neste eercíco, temos potos gualmete espaçaos Seo h o passo, temos: h Cota superor para o erro a terpolação lear: E P! má Também são aos o eercíco : M ; ; Para achar má,basta vercarmos que que cotém ovalor mámo para w como se trata e uma parábola, a cooreaa é, y vértce vértce, y vértce Etão, E M! M M h h Mh 8 Eercíco 5: Aplcar o resultao o eercíco ateror Também é válo aqu o segute coroláro para o Teorema o Erro: Para potos gualmete espaçaos, ou seja: oe h é o passo, temos: h E P h M <

8 Eercíco 6: a Vamos orear a tabela por peso: Alturacm Peso Kg Usao P, temos: 6 6 5/ / 5/ / 9/55 5/6 9/88 má /5 5/ P ,75 cm b Estmatva o erro: 7 E / 88,7885 c A curva que apromaremos para os potos a tabela é a orma: Ù Â se à cos Vamos ajustá-la aos aos a tabela através o Métoo os Mímos Quaraos, azeo: SÂ, à  se à cos oe : S   se à cos -se S à  se à cos -cos Rearrumao e, temos : α se β se se

9 α se cos β cos Formamos a segute tabela: y se cos se yse ycos 79 8,96,6,75 79,68, ,87,8,669 6,59 6, ,98,9,76 86,7 6,65 6 6,79,6,89 5, 7, 7 78,95,85,559 7, 5, SOMAS,56,7,688 8,77 9, Assm, temos o sstema: 9,5α,688 β 685,56,688α,98 β 98,6 Resolveo esse sstema, achamos : α 9,77 β -5,87 Portato, a melhor ução que ajusta estes potos é : ψ 9,77 se - 5,87 cos Agora, vamos usar essa equação para achar a altura apromaa e uma pessoa e7 Kg : ψ7 9,77 se7º - 5,87 cos 7º 7, cm Eercíco : Daos :,,,,, m ϕ, ϕ,, ϕ Tabela e Fuções quasquer cotíuas Determar uma ução o tpo : g c ϕ c ϕ c ϕ oe c R,,,, que seajuste à tabela aa por,,,,,m

10 A éa mas gêua e atural que os ocorre para ajustar g à é mpormos a coção e que g coca com os potos aos; ou seja, g,,,, m Teríamos etão: c ϕ cϕ cϕ cϕ cϕ cϕ c ϕ m cϕ m cϕ m m que é um sstema e m equações e cógtas c, c,, c a Quao m, ϕ POINOMIA b Quao e os potos ' s são sttos teremos um problema e INTERPOAÇÃO m > teremos um sstema com mas equações o que cógtas e um os métoos mas usaos este caso é o MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MMQ É possível obter um mesmo polômo que terpola e az oajuste ecurvas pelo MMQ se o moelo ajustar eatamete os aos Dessa orma, o mímo e Sc a terpolação é um caso especal etro o MMQ, c,, c m k k g k será zero e, portato, Eercíco : Por orem e peso, a tabela ca: PesoKg Alturacm Velocaekm/h O eercíco pee para usar um polômo bmesoal e grau Etão: P y y y y y y y y y Para a varável : 7, 79, 8 75 /7 ; 75 7/9 ; 75 8/7

11 Para a varável y : y 7, y 79, y 8 75 /5 ; 75 6/5 ; 75 /5 Etão, azeo agora y, temos : j j 75,75 56/5, 75,75 /675, 75,75 /5, 75,75 8/75, 75,75 /5, 5 75,75 -/5, 75,75 -/5, 75,75-8/675, 75,75 8/5, Observação: a hora e calcular, y j, colocamos como poto o que ão vara Depos, vercamos o valor e, y j, a velocae represetaa este eercíco, o poto y j Portato, 56 P 75, ,8 km/h