Obra publicada pela Universidade Federal de Pelotas

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4 Obra publcada pela Uversdade Federal de Pelotas Retor: Prof. Dr. Atoo Cesar Goçalves Bores Vce-Retor: Prof. Dr. Maoel Luz Breer de Moraes Pró-Retor de Etesão e Cultura: Prof. Dr. Luz Era Goçalves Ávla Pró-Retora de Graduação: Prof. Dra.Elaa Póvoas Brto Pró-Retor de Pesqusa e Pós-Graduação: Prof. Dr. Maoel de Souza Maa Pró-Retor Admstratvo: E. Fracsco Carlos Gomes Luzzard Pró-Retor de Plaejameto e Desevolvmeto: Prof. Ms. Élo Paulo Zota Pró-Retor de Recursos Humaos: Adm. Roberta Trerweler Pró-Retor de Ifra-Estrutura: Maro Reato Cardoso Amaral Pró-Retora de Assstêca Estudatl: Assstete Socal Carme de Fátma de Mattos do Nascmeto Prof. Dr. Atoo Jore Amaral Bezerra Prof. Dra. Isabel Porto Nouera Profa. Lía Atues Levas Prof. Dr. Reato Luz Mello Varoto Prof. Dr. Volmar Geraldo da Slva Nues CONSELHO EDITORIAL Prof. Dr. Elomar Atoo Callearo Tambara Prof. Dr. José Justo Faleros Profa. Dra. Neusa Marza Lete Rodrues Fel Prof. Ms. Valter Eloabalos Azambuja Prof. Dr. Wlso Marcelo Mrada Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca Coordeador do Coleado: Dr. Luz Alberto Brettas Cela Bastos Lemos Eduardo Harry Luerse Gulherme Camaro Projeto Gráfco e Daramação Mateus Das Vlela Rodro Pzarro dos Satos Grade Hotel por Marco Kzesk FOTOGRAFIA DA CAPA Edtora e Gráfca Uverstára R Lobo da Costa 7 Pelotas RS CEP 96-5 Foe/fa: e-mal: edtora@ufpel.edu.br Dretor da Edtora e Gráfca Uverstára: Prof. Dr.Volmar Geraldo da Slva Nu-es Gerêca Operacoal: Carlos Glberto Costa da Slva Impresso o Brasl Edção: 9 ISBN : Traem: eemplares Dados de Cataloação a Fote Iteracoal: Bblotecára Daae Schramm CRB-/88 Materal produzdo pelo Laboratóro de Eso de Matemátca a Dstâca - LEMAD Dretos autoras do Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca da UFPel

5 Apresetação A lteratura ddátca para o eso de matemátca recebe através dessa publcação um ovo fôleo em materal preparado para o eso. Trata-se de um ovo camho que começamos a trlhar aprededo através da pesqusa da dscussão e acma de tudo da dedcação de ossos professores. Esta obra asce a partr do esforço cojuto de professores da Uversdade Federal de Sata Catara da Uversdade Federal do Ro Grade do Sul da Uversdade Estadual de Mará da Uversdade Federal de Pelotas de aluos e téccos do Laboratóro de Eso de Matemátca a Dstâca. Estes profsssoas apoados em recursos do Mstéro da Educação acetaram o desafo de preparar os materas ecessáros para a eecução do Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca da UFPel. Esperamos que este lvro que ora apresetamos seja um strumeto útl as mãos de aluos e professores e srva de apoo para a melhora da educação em osso país. Dr. Luz Alberto Brettas Coordeador do Coleado do Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

6 Sumáro Capítulo Itrodução: Gradezas Físcas Represetação Vetoral e Sstemas de Udades. Erros..... Erro Ierete..... Erros de Dscretzação..... Erros de Arredodameto..... Erros a Fase da Resolução.... Coversão de Bases..... Coversão de Iteros da Base Decmal para a Base Bára Coversão de Iteros da Base Bára para a Base Decmal O Esquema de Horer - Que Cosste em Calcular a Seqüêca A Dvsão de Ruff - Que é equvalete ao prmero método e só dfere a dsposção dos coefcetes aj e bj Coversão de Números Fracoáros da Base Decmal para a Base Bára Coversão de Números Fracoáros da Base Bára para a Base Decmal O Esquema de Horer A Dvsão de Ruff...7. Artmétca de Poto Flutuate...8 Capítulo Equações Alébrcas e Trascedetas. Itrodução.... Métodos Dretos e Idretos..... Métodos Dretos..... Métodos Idretos..... Apromações Icas Geração de Apromates e Crtéros de Parada...6. Equações Alébrcas Polomas Teorema de Larae Rera de Sas de Descartes..... Seqüêca de Sturm.... Equações Trascedetas..... Método da Bsseção..... Método da Falsa Posção Método das Cordas Método de Newto-Raphso... Capítulo Sstemas de Equações Leares Alébrcas. Itrodução Métodos Dretos Rera de Cramer Elmação Gaussaa Elmação de Decomposção LU...5. Métodos Iteratvos Método de Jacob Método de Gauss-Sedel Coverêca dos Métodos Iteratvos...57 Capítulo Iterpolação. Itrodução...6. Iterpolação de Va der Mode...6. Iterpolação de Larae Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

7 . Iterpolação de Newto...69 Capítulo 5 Ajustes por Quadros Mímos 5. Ajuste Dscreto Lear por Quadrados Mímos Ajuste de uma Reta por Quadrados Mímos Ajuste Dscreto Não Lear por Quadrados Mímos Ajuste Cotíuo Lear por Quadrados Mímos...87 Capítulo 6 Iteração Numérca 6. Rera do Trapézo Rera de Smpso Téccas Compostas de Iteração Numérca Rera Composta do Trapézo Quadratura Gaussaa Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

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9 Itrodução a Aálse de Erros 9 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

10 O Cálculo Numérco correspode a um cojuto de ferrametas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemátcos de forma apromada. Esses métodos se aplcam prcpalmete a problemas que ão apresetam uma solução eata portato precsam ser resolvdos umercamete. Na resolução de um problema matemátco o objetvo eral é obter a solução. Esse objetvo pode ser alcaçado através de váras etapas que podem ser resumdas pela fura a seur. PROBLEMA REAL MODELAGEM MODELO MATEMÁTICO RESOLUÇÃO SOLUÇÃO FIGURA : Fases da resolução de um problema Nos problemas reas os dados são meddas e como tas ão são eatos. Uma medda físca ão é um úmero é um tervalo pela própra mprecsão das meddas. Daí trabalha-se sempre com a fura do erro erete à própra medção. Loo solução obtda para um problema real pode estar sujeta a alum tpo de erro a fase da modelaem e da resolução. Essas fases são as maores fotes de erros a resolução umérca de um problema real. O erro pode ser eteddo como a dfereça etre o valor real e o valor obtdo como solução para um determado problema. Eemplo : Calcular a área de uma crcuferêca de rao cm. Resultados Obtdos: a Área cm b Área 6 cm c Área 5965 cm Como justfcar as dfereças etre os resultados? É possível obter eatamete esta área? Eemplo : Efetuar os somatóros seutes em uma calculadora e em um computador: S para e para Resultados Obtdos: a Para : - Na calculadora: S - No computador: S b Para : - Na calculadora: S - No computador: S Como justfcar a dfereça etre os resultados obtdos pela calculadora e pelo computador para? Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

11 Os erros observados os dos problemas depedem da represetação dos úmeros a máqua utlzada. A represetação de um úmero depede da base escolhda ou dspoível a máqua em uso e do úmero de dítos usados a sua represetação. Qualquer cálculo que evolvam úmeros que ão podem ser represetados através de um úmero fto de dítos ão forecerá como resultado um valor eato. Quato maor o úmero de dítos utlzados melhor a precsão obtda. Por sso o valor obtdo o cálculo da área da crcuferêca é aquela obtda o caso c. O úmero π por eemplo ão pode ser represetado através de um úmero fto de dítos decmas. No eemplo o úmero π fo escrto como o prmero caso 6 o seudo e Em cada caso fo obtdo um resultado dstto e o erro depede eclusvamete da apromação escolhda para π. Qualquer que seja a crcuferêca a sua área uca será obtda eatamete pos o úmero π é um úmero rracoal. No eemplo observe o que acotece a teração etre o usuáro e o computador: os dados de etrada são evados ao computador pelo usuáro o sstema decmal e 9; toda essa formação é covertda para o sstema báro e e as operações todas serão efetuadas este sstema. Os resultados fas serão covertdos para o sstema decmal e falmete serão apresetados ao usuáro. Todo esse processo de coversão é uma fote de erros que afetam o resultado fal dos cálculos.. Erros Estem város tpos de erros e suas possíves causas. A seur serão abordados três tpos de erros: os eretes os de dscretzação e os de arredodameto... Erro Ierete Os erros eretes aparecem a cração ou smplfcação de um modelo matemátco de determado sstema ou ada as coletas das meddas em eral. Os valores de meddas como tempo temperatura dstâca tesdade lumosa e outras represetações de radezas físcas são obtdos de strumetos que têm precsão lmtada. Sobre sso o aalsta umérco ão tem meos de evtá-los ou mesmo mmzar seu efeto aplcados ao modelo em questão. Eemplo : Cosdere a equação de queda lvre de um corpo dada pela epressão h h v t t sedo: h: altura do corpo com relação ao solo o state t m; h : altura cal t do corpo com relação ao solo m; v : velocdade cal t do corpo m/s; : aceleração da ravdade m/s ; t: tempo s. A equação acma tem smplfcações tas como a ão clusão da resstêca do ar a velocdade e dreção do veto etc. Supoha que se quer determar a altura de um prédo medate um croômetro e uma bolha de metal utlzado a fórmula da queda lvre acma. Sobe-se o topo do edfíco e lara-se a bolha meddo o tempo que a bolha asta para tocar o solo. Se o croômetro marcou seudos etão como o solo a altura h resulta que h m. Mas este resultado pode ão ser cofável pos se cosderarmos um tempo de seudos a altura resultara em h 7m. A dfereça etre as medções pode ser devdo à percepção do observador bem como a mprecsões própras do strumeto utlzado. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

12 .. Erros de Dscretzação Os erros de dscretzação ou de apromação ou trucameto são erros cometdos quado se substtu qualquer processo fto por um processo fto ou dscreto. Eemplo : Determação do cálculo da costate e que é dada por. Se qusermos obter o valor de e por esta sére teremos de efetuar o cálculo de váras parcelas e depos parar ou seja trucado a sére esse caso cometemos um erro causado pelo abadoo das parcelas que ão foram somadas... Erros de Arredodameto Os erros de arredodameto surem quado trabalhamos com máquas dtas para represetar os úmeros reas. Em eral trabalhamos com arredodameto para o úmero de poto flutuate mas prómo ou com o arredodameto por falta. A dfereça etre o valor arredodado e o valor eato pode ser medda pelo erro absoluto ou relatvo. Defção : Seja o valor eato de um úmero e o seu valor apromado. O erro absoluto EA é defdo como a dfereça etre o valor eato e o valor apromado do úmero sto é EA. Defção : Seja o valor eato de um úmero e o seu valor apromado. O erro relatvo ER é defdo EA como o erro absoluto dvddo por sto é ER. Eemplo 5: Seja.6 e.5. Utlzado as epressões para determar os erros temos que:. EA. e ER..5 Neste caso podemos até dzer que EA é pequeo; o etato ão há dúvda a respeto do ER que é da ordem de %... Erros a Fase da Resolução O objetvo da fase da resolução é obter a solução do modelo matemátco juto com a formação dos dados medate a aplcação de métodos umércos. Nesta fase tem-se as seutes fotes de erros: Coversão umérca; Artmétca de poto flutuate.... Erros de coversão umérca: oram-se quado a formação dos dados umércos a base decmal é trasferda para a calculadora ou computador ou quado o resultado umérco obtdo o computador é trasferdo para o usuáro. Estes erros podem ser de arredodameto ou de trucameto.... Erros de artmétca de poto flutuate: que se oram quado os dados são processados o computador medate operações artmétcas. Cabe ressaltar que acotece um feômeo chamado propaação de erros que é um processo em que os erros cometdos em um cálculo fluecam os cálculos subseqüetes. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

13 Nas seções seutes estudam-se estes processos.. Coversão de Bases.. Coversão de Iteros da Base Decmal para a Base Bára Aplca-se o método das dvsões sucessvas que cosste em dvdr o úmero por e os sucessvos quocetes por até que o últmo quocete seja. A represetação esquemátca: N r r r q q r q r q- A represetação bára do úmero N será dada por N.r r... r r r. Este método pode ser utlzado para coverter qualquer úmero tero da base decmal para uma base β qualquer para sso basta dvdr o úmero pela base β desejada e os sucessvos quocetes por β até que o últmo quocete seja um tero q < β. Geeralzado para uma base qualquer β temos: N r q r r r q q r q - A represetação do úmero será dada por N q.r r... r r r β ode: N úmero; q quocete; r resto; β base. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

14 Eemplo 6: Faça a coversão dos úmeros teros a base decmal para a base bára. a 7? 7 8 Etão: 7 loo A costrução do úmero acompaha o setdo da últma fura. b? 5 Etão: loo Coversão de Iteros da Base Bára para a Base Decmal O úmero represetado por a m...a a a tem o valor decmal ual a a m m +...+a +a +a. Portato para cohecer o valor decmal do úmero a m...a a a basta calcular a soma ateror. Esta soma pode ser calculada dretamete ou utlzado dos métodos equvaletes:... O Esquema de Horer - Que Cosste em Calcular a Seqüêca b m a m b m a m + b m b m a m + b m... b a + b b a + b. Ode o valor decmal do úmero a m...a a a é etão smplesmete b. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

15 ... A Dvsão de Ruff - Que é equvalete ao prmero método e só dfere a dsposção dos coefcetes a j e b j am am- a a a bm b b b bm bm- b b b Eemplo 7: O úmero forma a seqüêca de Horer etão tem-se: b a b a + b + ; b a + b + 7; b a + b + 7 ; b a + b + 9. Loo 9. Eemplo 8: O úmero forma o esquema de Ruff etão tem-se: 5 Portato. Um outro método prátco é realzar a operação de multplcação sobre o cojuto de dítos báros obedecedo a ordem decrescete dos epoetes sto é do epoete mas sfcatvo até o meor. Eemplo 8: Faça a coversão dos úmeros teros a base bára para a base decmal. a? Etão: Loo b? Etão: Loo 5 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

16 .. Coversão de Números Fracoáros da Base Decmal para a Base Bára Aplca-se o método das multplcações sucessvas que cosste em multplcar o úmero por e etrar a parte tera podedo ser. O processo se repete ode o resto fracoáro é multplcado ovamete por e a parte tera sempre é etraída. Quado o resultado da multplcação for maor que um etão o díto báro é caso cotráro o resultado será o díto báro. Este processo deve-se repetr até ter um resto fracoáro ual a ou até observar um padrão repettvo em cujo caso tratar-se-á de um úmero fracoáro peródco puro ou msto. Eemplo 9: Faça a coversão dos úmeros fracoáros a base decmal para a base bára. a 5? 5 65 resultado < dto báro 65 5 resultado > díto báro etra-se a parte tera 5 5 resultado < dto báro 5 resultado ual a dto báro para o processo. Etão: 5 b 8? 8 6 resultado > dto báro etra-se a parte tera 6 resultado > dto báro etra-se a parte tera resultado < dto báro 8 resultado < dto báro 8 6 resultado > dto báro etra-se a parte tera Observe que o últmo resultado é ual ao prmero esse caso começa o processo de repetção. Etão: 8... Cosdere o úmero composto por parte tera e fracoára por eemplo Para trasformá-lo para a base bára faz-se uso dos dos últmos processos sto é aplca-se sobre a parte tera o método das dvsões sucessvas e para a parte fracoára o método das multplcações sucessvas... Coversão de Números Fracoáros da Base Bára para a Base Decmal Cosdere o úmero fracoáro a base bára a a...a. Este úmero tem represetação fta e o valor decmal é dado por: a + a + + a. Esta soma pode ser calculada dretamete ou utlzado qualquer um dos dos métodos já eucados a subseção ateror com alumas modfcações. 6 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

17 ... O Esquema de Horer b a b a + ½.b b a +½ b... b a + ½ b b a + ½ b b b.. O valor decmal do úmero a a... a é etão smplesmete b.... A Dvsão de Ruff a a- a a a b b b b b b- b b b Eemplo : O úmero ora a seqüêca de Horer. Temos etão: b5 a5 b a + ½.b5 +½. / b a + ½.b +½./ 7/ b a + ½.b +½.7/ 7/8 b a + ½.b +½.7/8 /6 b ½.b ½./6 / Portato Eemplo : O úmero ora a dvsão de Ruff. Temos etão: ½ / 7/8 7/6 7/ / 7/ 7/8 7/6 7/ Portato 7/ 875. Se o úmero fracoáro tem represetação bára fta a sua represetação é: a a... a b b... b m 7 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

18 etão o valor decmal é dado por a + a + + a + b + b + + b m m + b m + b + + b m m + b m + b m + + b m m + que pode ser escrto como a + a + + a + b + b + + b m m. m / m ode as duas epressões etre parêteses tem a mesma forma que a soma a equação e podem ser calculadas dretamete ou utlzado qualquer dos métodos descrtos aterormete. Eemplo : Dado o úmero fracoáro determado o seu respectvo valor decmal temos: / - / + /+/./7 /. Portato / 7857 Em eral se o úmero fracoáro tem represetação fta a base β a a... a b b... bm β etão o valor decmal é: m m β aβ + aβ aβ + b β + bβ bmβ. m β ode as duas epressões etre parêteses podem ser calculadas dretamete ou utlzado qualquer um dos métodos descrtos aterormete Dvsão de Ruff ou Método de Horer.. Artmétca de Poto Flutuate As calculadoras e computadores possuem um úmero fto de dítos para represetar os úmeros. Formalzase esta afrmação a seute defção: Defção : Um sstema ormalzado de artmétca de poto flutuate cosste de zeros e todos os úmeros que ep podem ser represetados a forma ± d d... dt β. β ode é um tero maor ou ual que deomado base do sstema t é um tero maor ou ual que deomado úmero de dítos do sstema d j são teros tas que d j β j...t e < d < β e ep é um tero tal que satsfaz m < ep < M sedo m < M dos teros ep é deomado epoete do úmero. Tal sstema é represetado por Fβ t m M. Em um sstema ormalzado de artmétca de poto flutuate a parte fracoára de um úmero a base d d... d t é deomada matssa. Os parâmetros t m e M depedem eclusvamete do computador. Máqua t m M Burrouhs Burrouhs HP 5-98 Teas SR-5X -98 PDP IBM/ IBM/ Quartzl QI Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

19 No sstema Fβ t m Mpodem ser observadas as seutes característcas:. O meor úmero postvo possível de ser represetado este sstema é X MIN... β β m β m. A reão de uderflow é defda como o tervalo -X MIN ; X MIN sto é qualquer úmero real cujo valor verdadero está esse tervalo será cosderado zero este sstema.. O maor úmero postvo possível de ser represetado este sstema é t M β M MAX β β... β β. β β t β. A reão do chamado overflow é defda como sedo a uão de dos tervalos - X MAX X MAX sto é qualquer úmero real cujo valor verdadero está essa uão de tervalos será cosderado ou + depededo de se o úmero está o prmero ou o seudo tervalo respectvamete. 5. O úmero total de elemetos do sstema é t β M m β + +. Eemplo : Cosdere o sstema F -. Temos que: O meor elemeto postvo deste sstema é X MIN / portato a reão de uderflow é -/; /. 7 O maor elemeto postvo deste sstema é X MAX.. portato a reão de overflow deste sstema é - 7/ 7/ +. Mas ada como os valores dos parâmetros do sstema são pequeos os valores a base decmal dos elemetos postvos podem ser eumerados em um arrajo. Seue a tabela que demostra sso: Matssa ep- ep ep ep / / 5/6 5/8 5/ 5/ /8 / / 7/6 7/8 7/ 7/ O úmero de elemetos do sstema F - é t β M m + β Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

20 ANOTAÇÕES Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

21 Equações Alébrcas e Trascedetas Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

22 As equações alébrcas são ualdades que depedem de uma ou mas varáves relacoadas medate um úmero fto de adções subtrações multplcações dvsões e potecação e radcação teras. As operações mecoadas aterormete são deomadas operações alébrcas. Eemplos de equações alébrcas são / y Neste capítulo estudar-se-ão as equações + z polomas de uma varável ou seja equações da forma a + + a + a sedo a a a úmeros reas. As equações polomas são casos partculares de equações alébrcas. Uma equação trascedetal de uma ou mas varáves é uma ualdade que ão pode ser reduzda a uma / 8 + y equação alébrca. Por eemplo cos ou e l y. Em eral as equações trascedetas evolvem as assm chamadas fuções trascedetas: fuções epoecas loarítmcas troométrcas e hperbólcas etre outras. Os métodos umércos desevolvdos este capítulo servrão apeas para fuções trascedetas de uma varável.. Itrodução Uma equação alébrca ou trascedetal de uma varável pode ser escrta sempre como f sedo f uma fução a varável escalar. Defção.: Solução raz ou zero de uma equação Um úmero ξ é uma solução raz ou zero de uma equação f se f ξ f é válda quado ξ. ou seja se a ualdade Eemplo.: Cosdere a equação a varável. Etão observe que o úmero ξ é uma raz de tal equação pos quado substtu-se por a equação dada tem-se que Defção.: Multplcdade alébrca de uma raz Uma raz ξ da equação f é de multplcdade m se as dervadas até de ordem m de f em m m ξ estem f ξ f ' ξ f ξ e f ξ. Eemplo.: Sabe-se pelo eemplo ateror que ξ é uma raz da equação polomal Cosderado f + + tem-se que f ξ e t Assm ξ é uma raz de multplcdade m. Neste caso dz-se que ξ é uma raz smples. Eemplo.: Pode-se verfcar que 5 f + +. Assm 5 ξ é uma raz da equação polomal + + k f k k f ξ a + b + c + d Portato ξ é uma raz de multplcdade m.. Seja Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

23 Eemplo.: Pode-se verfcar que. Assm ξ é uma raz da equação trascedetal se. Seja f se k f k k f ξ se se + cos cos se Portato ξ é uma raz de multplcdade m. Observação.: No plao cartesao a raz ξ da equação 5 de f com o eo. Por eemplo cosdere a equação + + um recurso computacoal obtém-se f correspode ao tercepto do ráfco. Utlzado ATIVIDADE Classfque as seutes equações em alébrcas polomal ou ão ou trascedetas Justfque sua resposta. + + cos 5 e e Verfque se o valor de dado é solução da equação respectva. em l + em l + em Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

24 em em Determe a multplcdade alébrca das seutes raízes em relação à equação respectva. em l + em l + em cos em Métodos Dretos e Idretos Os métodos para resolver equações ou sstemas de equações alébrcas e trascedetas de uma ou váras podem ser classfcados em dretos e dretos... Métodos Dretos Os métodos dretos são de atureza aalítca ou seja sob certas codções eles forecem todas as soluções de uma equação medate fórmulas alébrcas fechadas. Dada uma equação lear ou de prmero rau em a + b com a a solução de tal equação é b. a Dada uma equação quadrátca ou de seudo rau em a + b + c com a as soluções em eral compleas estão dadas pela fórmula b ± b ac. a Dada uma equação cúbca ou de tercero rau em a + b + c + d com a as soluções podem ser obtdas medate procedmetos alébrcos baseados a fórmula de Tartála para equações do tpo y + py + q. Dada uma equação quártca ou de quarto rau em a + b + c + d + e com a as soluções podem ser obtdas medate procedmetos alébrcos baseados o método de Ferrar para equações do tpo y + py + q. 5 O matemátco Abel provou que ão este uma fórmula eral evolvedo operações alébrcas para ecotrar as soluções de uma equação polomal de rau maor que... Métodos Idretos Os métodos dretos são de atureza teratva ou seja eram em cada eecução medate equações em dfereça uma seqüêca de úmeros { k } deomados apromates ou teradas tas que lm k ξ k + sedo ξ uma raz da equação que se pretede resolver. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

25 Defção.: Método Iteratvo de m potos Um método teratvo de m potos está defdo medate uma equação recursva e certas codções cas como seue: úmeros cohecdos m k+ φ k k k m+ e para k m m m + ode φ é uma fução real de m varáves reas deomada a fução teratva do método e os valores formam o cojuto de codções cas do método. m O processo de ecotrar teratvamete uma raz ξ da equação. determação de um cojuto de m apromates da raz ξ e f pode ser dvddo em duas etapas:. escolha de uma certa fução teratva de m potos que ere a seqüêca fta de apromates { k } de ξ... Apromações Icas Com freqüêca as apromações cas de uma raz ξ são tomadas a partr de cosderações partculares do problema. Mas também estem recursos tas como a localzação das raízes medate crtéros aalítcos ou ráfcos. Por eemplo a equação f se é tomado um certo valor tal que f etão o valor pode forecer uma apromação cal adequada. Se estão dspoíves recursos ráfcos outra abordaem teressate é tomar como apromação cal alum valor tal que o ráfco da fução f corte o eo bem perto de. Eemplo.5: Seja f cos + +. Observe que f Assm pode ser uma boa apromação cal da raz da equação cos + +. Eemplo.6: Se o ráfco de certa fução é apresetado a fura a seur Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

26 pode-se dzer que uma boa apromação cal da solução da equação f está dada por 5. Outro método muto comum utlzado para obter uma apromação cal de uma raz está baseado o Teorema do Valor Itermedáro: Teorema.: Se f é uma fução cotíua o tervalo fechado [ a b] e f a f b < etão a equação f tem pelo meos uma raz o tervalo aberto a b. Uma abordaem teressate para determar uma apromação cal é costrur uma tabela de valores da fução f e observa os tervalos ode acotece a mudaça de sal da fução. Eemplo.7: Se f e se / etão tem-se a tabela de valores f Observa-se que a fução f é cotíua e este uma mudaça de sal etre e loo uma apromação cal adequada da raz da equação e se / sera que dá o valor mas prómo de zero... Geração de Apromates e Crtéros de Parada A partr de uma apromação cal um método teratvo era uma seqüêca de apromates k de uma raz da equação f. Devdo à lmtações físcas tal seqüêca ão pode ser fta. Etão este a ecessdade de estabelecer crtéros de parada para costrur uma seqüêca fta de apromates. Etre os crtéros mas utlzados tem-se os seutes k Número Fo de Iterações: ou seja o método teratvo deve erar um úmero prescrto N de apromates. Erro Absoluto prescrto do Apromate: dada uma tolerâca de erro ε deve-se parar se k k < ε. k k Erro Relatvo prescrto do Apromate: dada uma tolerâca de erro ε deve-se parar se < ε. Número de Dítos Sfcatvos Eatos do Apromate: prescrto um úmero de dítos sfcatvos k eatos M deve-se parar quado k k k + <. 5 M 6 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

27 ATIVIDADE Faça uma tabela de valores para as fuções f para tero de 5 a 5 para descobrr um valor cal adequado que pode ser utlzado para começar um método umérco que aprome uma raz da equação f. 6 5 a f b 6 5 f + e c f e cos Dados os seutes ráfcos da fução f após observar o tercepto do ráfco com o eo da qual pode ser um valor cal adequado a b Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

28 Dados os ráfcos de e uma fução da qual sera um valor cal adequado para resolver a equação : a b Se um apromate de uma raz da equação é 675 com um erro relatvo ão maor que quatos dítos sfcatvos eatos possu tal apromate? 5 Faça uma pesqusa bbloráfca ou a teret para detalhar as fórmulas de Tartála e resolva alebrcamete a equação Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

29 . Equações Alébrcas Polomas Nesta seção o teresse está em obter as raízes de uma equação polomal p a + a + a + a ode a a a a são úmeros reas. Estem crtéros que permtem cohecer o úmero de raízes reas postvas e eatvas e compleas ou seja classfcar as raízes. Também estem crtéros para saber a localzação das raízes. Este será objeto de osso estudo as seutes subseções... Teorema de Larae É possível determar tervalos que cotem as raízes reas de uma equação polomal medate o seute teorema: Teorema.: Teorema de Larae Seja a equação polomal p a + a + a + a ode a >. Etão uma cota superor para as raízes postvas da equação polomal está dada por B L + k ode B é ual ao maor valor absoluto dos coefcetes eatvos estetes o a polômo ou zero em caso cotráro se ão estem coefcetes eatvos e k é a maor potêca de correspodete a um coefcete eatvo. O úmero L é deomado a cota de Larae da equação p a + a + a + a. 6 Eemplo.8: Cosdere a equação polomal Neste caso de acordo com as codções do teorema B 5 e k. Observe que 6. Assm uma cota superor para as raízes 5 postvas é L Coroláro.: Seja a equação polomal p a + a + a + a ode a >. Se L a cota de Larae da equação polomal p / etão uma cota feror postva das raízes postvas da equação p a + a + a + a é L. Se L a cota de Larae da equação polomal p etão uma cota feror eatva das raízes eatvas da equação p a + a + a + a é L. Se L a cota de Larae da equação polomal p / etão uma cota superor eatva das raízes eatvas da equação p a + a + a + a é. L Assm todas as raízes postvas da equação polomal p a + a + a + a ecotram-se o tervalo L L e todas as raízes eatvas ecotram-se o tervalo L. L Eemplo.9: Seja a equação polomal p + +. Etão 7 9 p / Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

30 p + + e 7 9 p / Etão 9 9 L + L L L L 6 77 e L L Loo as raízes postvas da equação polomal p se estrem 698; e as raízes eatvas da mesma equação se estrem ecotram-se ecotram-se o tervalo [ ] o tervalo [ 677; 58]. Eemplo.: Seja a equação polomal p Etão p / p e p / Observe que para satsfazer as codções do teorema de Larae o sal de p fo trocado. Etão L + 7 L L 8 L L 779 e L L 7 5 Loo as raízes postvas da equação polomal p se estrem ecotram-se o tervalo [ 95;] e as raízes eatvas da mesma equação se estrem ecotram-se 779; 99. o tervalo [ ].. Rera de Sas de Descartes Quato ao úmero de raízes reas ou compleas sabe-se pelo Teorema Fudametal da Álebra que uma equação polomal p a + a + a + a a possu raízes reas ou compleas cludo a multplcdade alébrca delas. Mas esta subseção são destacados alus crtéros mas específcos quato ao úmero de raízes reas postvas e eatvas de uma equação polomal. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

31 Defção.: Cosdere um polômo p com os termos escrtos em ordem decrescete em relação r à potêca de sem termos com coefcetes ulos. Etão se os coefcetes de dos termos a r e s a s cosecutvos sedo r > s tem sas uas dz-se que acoteceu uma permaêca de sal etre tas termos mas se estes coefcetes tem sas dferetes dz-se que ocorreu uma mudaça de sal etre esses termos. 7 Eemplo.: O polômo p + + tem três mudaças de sas e uma 7 cotuação de sas. De fato as três mudaças acotecem a prmera etre os termos e a seuda etre os termos e e a tercera etre os termos e. A permaêca de sas acotece etre os termos e. Teorema.: Rera de sas de Descartes O úmero de raízes postvas de uma equação polomal p é ual ao úmero de mudaças de sas em p ou este úmero meos um úmero par. O úmero de raízes eatvas de uma equação polomal p é ual ao úmero de mudaças de sas em p ou este úmero meos um úmero par. p Eemplo.: O polômo da equação polomal 5 tem quatro mudaças de sas e portato tem ou raízes postvas. O polômo p tem uma mudaça de sal e portato uma raz real eatva. Observa-se que o crtéro de Descartes proporcoa somete uma possível cotaem das raízes postvas ou eatvas de uma equação polomal. Porém este um crtéro mas precso embora mas trabalhoso para saber com precsão o úmero de raízes reas. Isto será vsto a próma subseção... Seqüêca de Sturm Defção.6: Seja p uma equação polomal com raízes smples. Deote por s p s D p s o eatvo do resto de dvdr s por s s o eatvo do resto de dvdr s por s e assm por date até chear em s c k sedo c uma costate. A s s s é deomada a seqüêca de Sturm de p. k seqüêca de polômos { } No caso que a equação polomal p teha uma raz múltpla pode-se coseur ada uma seqüêca de polômos ão ulos como seue seja t p t D p t o eatvo do resto de dvdr t por t t o eatvo do resto de dvdr t por t e assm por date até chear em t k ual ao mámo comum dvsor de t por t. Neste caso a seqüêca da Sturm está dada por: t t tk s s sk sk. t t t k k k Eemplo.: Seja p 6 +. A seqüêca de Sturm de p está formada por s s e s s s + Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

32 Eemplo.: Seja p Teta-se costrur a seqüêca de Sturm de p : t t t + 6 t. A s s m a s e q ü ê c a d e S t u r m é : t 6 s 7 t e s. t 6 s + t Teorema.: Teorema de Sturm O úmero de raízes reas da equação polomal p o tervalo [ a b] é ual ao valor absoluto da dfereça etre o úmero de mudaças de sal dos valores da seqüêca de Sturm em a e b sempre que f a e f b. Eemplo.5: Seja a equação polomal 6 +. Sabe-se pelo p eemplo. que a seqüêca de Sturm de p está formada por s 6 + s s + s e s. Deseja-se cohecer o úmero de raízes que se ecotram o tervalo [ ]. Faz-se uma tabela com os valores da seqüêca em e : s - s - - s 6/ 6/ s / 5 / 5 s -6/6-6/6 Em estem mudaças de sal os valores da seqüêca de Sturm e em estem mudaças de sal. Isto sfca que o tervalo [ ] este raz. Uma estratéa teressate para localzar e eumerar as raízes de uma equação polomal é estabelecer tervalos ode tas raízes estão localzadas medate as cotas de Larae e depos utlzar a seqüêca de Sturm para cotar as raízes. Isto é lustrado o eemplo a seur. Eemplo.6: Seja a equação polomal p 6 +. Prmero vão ser determados os tervalos para as raízes postvas e eatvas medate as cotas de Larae. Uma cota 6 superor para as raízes postvas é + L 7. Aora tem-se que p e uma cota feror para as raízes eatvas é L Sabe-se pelo eemplo. que a seqüêca de Sturm de p está formada por s 6 + s s + s e s. Faz-se uma Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

33 tabela com os valores da seqüêca em e 7 : 7 s 79 s 996 s s 7 5 s Em estem mudaças de sal os valores da seqüêca de Sturm em estem mudaças de sal e em 7 este mudaça de sal. Isto sfca que o tervalo [ ] este raz e o tervalo [ 7] este raz. Resumdo pode-se dzer que estem duas raízes reas e duas raízes compleas quatro ao todo de detre as duas raízes reas uma é postva e uma é eatva. Até aqu o problema de resolver uma equação polomal está parcalmete abordado. Resta ada calcular as raízes. Na próma seção serão detalhados métodos para apromar raízes de equações trascedetas mas estes métodos podem ser utlzados também para apromar raízes de equações polomas. ATIVIDADE Determe as cotas de Larae para as possíves raízes reas das seutes equações polomas: 6 p p p p 7 p +. Medate a rera de sas de Descartes foreça estmatvas sobre o úmero de raízes postvas e eatvas das equações polomas da questão Medate as cotas de Larae e a seqüêca de Sturm de cada polômo determe o úmero eato de raízes postvas e eatvas das equações polomas da questão Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

34 . Equações Trascedetas Lembre que uma equação trascedetal é uma equação da forma f ode f cotem fuções troométrcas epoecas loarítmcas hperbólcas etc. Neste caso uma maera eral de localzar a raz é elaborado uma tabela f f f ode os valores... são escolhdos eralmete em forma crescete. Se a fução f é cotíua procurase uma mudaça de sal etre os valores da fução f e de acordo com o Teorema do Valor Itermedáro estrá uma raz o tervalo ] sedo que f f <. [ j j Nesta seção estamos teressados em métodos teratvos que calculem uma seqüêca de apromates { k } de uma raz da equação f. Estes métodos bem como a déa que fudameta cada um deles serão epostos as seutes subseções... Método da Bsseção Seja a equação f com f cotíua. Supoha que são cohecdos dos valores a e b com a < tas que f a f b. De acordo com o Teorema do Valor Itermedáro este pelo meos b < a b [ [ b a f > uma raz o tervalo. A déa do método da bsseção é calcular um apromate de aluma raz que a + b se ecotre o referdo tervalo como sedo o poto médo do tervalo. Depos pode-se determar se este mudaça de sal do valor da fução f o tervalo a ] ou ] ; escolhese o tervalo [ a ] se f a f < ou o tervalo [ b ] se f. Chamado de [ a b ] o tervalo ode acotece a mudaça de sal calcula-se um ovo apromate como a + b e procede-se de maera smlar com os tervalos [ a ] e [ b ]. O erro relatvo mámo esta teração está dado por E. E assm por date. Um passo deste processo pode ser resumdo como seue: dado o tervalo I k [ ak bk ] que cotem uma raz ak + bk da equação f bsseca-se tal tervalo o poto k e escolhe-se aquela metade do tervalo que cotem a raz medate o seute teste [ ak k ] se f ak f k < Ik + [ ak + bk + ] [ k bk ] se f ak f k > se evetualmete f k etão k será o valor da raz procurada. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

35 Para facltar o processo artmétco do método recomeda-se elaborar uma tabela com a seute estrutura: k ak bk k Ek sal de f a k sal de f k a b + ou - + ou - a b E + ou - + ou - a b E + ou - + ou - r ar br r Er ak + bk ode k e f que é f. k. Cada passo deste método requer uma ova avalação da fução k k Ek k Este método costró uma seqüêca de tervalos I I I I r tal que cada tervalo cotém uma raz da equação f. Depos de repetr o procedmeto r vezes é obtdo um tervalo I r de b a comprmeto br ar. r Para determar quatas terações do método r são ecessáras o mímo para coseur um apromate com um erro absoluto meor que ε pode-se utlzar a relação b a r < ε l b l ou a ε r >. l O úmero mímo de terações requerdo para apromar uma raz o tervalo [ ] para um ε > é dado a tabela a seur: ε r Loo o método da bsseção requer um rade úmero de terações para atr um rau razoável de precsão para a raz. Eemplo.7: Cosdere a equação cos. Sedo f cos tem-se que f e f Desde que a fução f é cotíua este pelo meos uma raz da equação cos o tervalo [ ]. Será aplcado o método da bsseção até k 6 para apromar tal raz. 5 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

36 ak bk k Ek sal de a k k f sal de f k Aqu têm sdo calculados os valores de: f 5 5 cos5 7 f 5 5 cos f cos f cos75 8 f cos f cos Assm o apromate de uma raz de cos o tervalo [ ] está dado por 6 55 com um erro relatvo ão maor que 75 ou 75%. Eemplo.8: Do eemplo.5 sabe-se que a equação p 6 + tem uma raz postva o tervalo [ 7]. Faz-se a seute tabela para localzar melhor esta raz: p para fs prátcos as avalações fucoas termaram após detectar a mudaça de sal ou seja quado. Observa-se que p e p 9. Como p é cotíua a verdade todo polômo é este uma raz da equação p 6 + o tervalo [ ]. Será aplcado o método da bsseção até k 6 para apromar tal raz. 6 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

37 k ak bk k Ek sal de p a k sal de f k Aqu têm sdo calculados os valores de: p p p p p 55 9 p Assm o apromate da raz de p 6 + o tervalo [ ] está dado por com um erro relatvo ão maor que 98 ou %... Método da Falsa Posção Cosdere a equação f com f cotíua. A déa do método da falsa posção ou reula fals como também é cohecdo é a semelhaça do método da bsseção dvdr um tervalo a b com a < b tas que f a f b. A déa do método da falsa posção é calcular um apromate de aluma raz que se < ecotre o referdo tervalo como sedo a méda poderada dos etremos do tervalo a e b com pesos a f b b f a f b e f a respectvamete; assm. Depos pode-se determar se este f b f a mudaça de sal do valor da fução f o tervalo a ] ou ] ; escolhe-se o tervalo a ] [ [ b [ se f a f < ou o tervalo [ b ] se f a f >. Chamado de [ a b ] o tervalo ode a f b b f a acotece a mudaça de sal calcula-se um ovo apromate como e procede-se f b f a de maera smlar à ateror com os tervalos [ a ] e [ b ]. O erro relatvo mámo esta teração está dado por E. E o processo seue adate. A déa do método da falsa posção tem uma característca eométrca lustrada a fura a seur. 7 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

38 f a[] [] b[] Cosderado o ráfco da fução f e os potos a e b tas que f a f b < etão o poto f b f. é a abscssa do tercepto da secate etre os potos a e a b Um passo deste processo pode ser resumdo como seue: dado o tervalo I k [ ak bk ] que cotem uma raz ak f bk bk f ak da equação f dvde-se tal tervalo o poto k e escolhe-se aquela parte f bk f ak do tervalo que cotem a raz medate o seute teste [ ak k ] se f ak f k < Ik + [ ak + bk + ] [ k bk ] se f ak f k > se evetualmete f k etão k será o valor da raz procurada. Para facltar o processo artmétco do método recomeda-se elaborar uma tabela com a seute estrutura: k ak bk k a b Ek sal de a k f sal de f k + ou - + ou - a b E + ou - + ou - a b E + ou - + ou - r a b E r r r r ode k ak f bk bk f ak e f b f a k k. k k Ek k 8 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

39 Eemplo.9: Cosdere a equação cos. Sedo f cos tem-se que f e f Será aplcado o método da falsa posção até k para apromar tal raz. k ak bk k Ek sal de p a k sal de p k Aqu têm sdo calculados os valores de: f cos f cos65 89 f cos Assm o apromate de uma raz de cos o tervalo [ ] está dado por 558 com um erro relatvo ão maor que 6 ou 6%. Eemplo.: Do eemplo.8 sabe-se que a equação p 6 + tem uma raz postva o tervalo [ ]. Será aplcado o método da falsa posção até k para apromar tal raz. k ak bk k Ek sal de p a k sal de f k Aqu têm sdo calculados os valores de: p p p Assm o apromate da raz de p 6 + o tervalo [ ] está dado por 589 com um erro relatvo ão maor que ou %.. Método das Cordas O método das cordas está fudametado o fato seute: sedo j e j dos apromates de uma raz da equação f a fução f f é substtuída pela reta que ue os potos f e j j j j e desse modo o tercepto dessa reta com o eo é o prómo apromate j+ ou seja j f j j f j j+ que tem semelhaça com a fórmula utlzada o método da falsa posção. f j f j j j Observe que o apromate j+ também pode ser escrto como j+ j f j. f f j j 9 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

40 Os resultados podem ser orazados por eemplo mtado o formato a seur: k k E k E f k k k f f f f f k k f f f E f r E r f r r r f r f r r E r r r k k ode e são dados e é utlzada a fórmula k k f k para k. f f Eemplo.: Cosdere a equação cos. Sedo f cos tem-se que f e f Será aplcado o método das cordas até k 5 para apromar tal raz. k k E k f k k k f k f k Assm o apromate de uma raz de cos o tervalo [ ] está dado por 5 58 com um erro relatvo ão maor que 67 ou 67%. Na verdade é desejável car o método com valores ode a fução muda de sal; mas sto ão é ecessáro como mostram os resultados seutes: supõe-se e. Observe que f e f 6. Loo aplcado o método até k k k k k E k f k k k f k f k Assm o apromate de uma raz de cos o tervalo [ ] está dado por 58 com um erro relatvo ão maor que ou %. Eemplo.: Do eemplo.8 sabe-se que a equação p 6 + tem uma raz postva o tervalo [ ]. Será aplcado o método das cordas até k 5 para apromar tal raz. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

41 k k E k p k k k p p k k Assm o apromate da raz de p 6 + o tervalo [ ] está dado por com um erro relatvo ão maor que 86 ou 9%.. Método de Newto-Raphso O método de Newto-Raphso está baseado assm como o método das cordas a substtução da fução f por uma reta. Especfcamete se dervável etão substtu-se é um apromate de uma raz da equação f ode f é j f pela reta que passa pelo poto f e com coefcete aular ual j j à dervada da fução em j f ' j. O apromate j+ está dado pelo tercepto dessa reta com o eo f j que é j+ j. Pode-se dzer que este método é o caso lmte do método das cordas quado f ' j j j. Os resultados podem ser orazados por eemplo mtado o formato a seur: k k E f f ' k k f f k ' E f f ' E f f ' r E r f r f ' r r E r r r ode é dado e é utlzada a fórmula f k k k para k. f ' Eemplo.: Cosdere a equação cos. Sedo f cos tem-se que f ' + se. Será aplcado o método de Newto até k com para apromar tal raz. k k k E k f k f ' k Assm o apromate de uma raz de cos o tervalo [ ] está dado por 58 com um erro relatvo ão maor que 5 ou 5%. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

42 Pode-se observar que a rapdez de coverêca deste método é superor aos aterores. Eemplo.: Do eemplo.8 sabe-se que a equação p 6 + tem uma raz postva o tervalo [ ]. Será aplcado o método de Newto até k 5 com para apromar tal raz. k k E k f k f ' k Assm o apromate da raz de p 6 + o tervalo [ ] está dado por com um erro relatvo ão maor que ou %. Eemplo.5: O método de Newto pode ser utlzado para erar uma equação recursva que covere à raz quadrada de um úmero N >. Basta observar que uma equação em que uma das soluções é N pode ser escrta como f N. Dado a equação que era os apromates é f k k N N N + k k k k ou seja f ' k k k k + para k k k. Assumdo N e começado com tem-se que e Este últmo valor tem um erro relatvo ão maor que 55 8 ou seja pelo meos ove dítos sfcatvos eatos. ATIVIDADE Medate uma tabela de valores da fução f localze uma possível raz real da equação f. A seur pelo método da bsseção calcule um apromate desta raz com um erro relatvo meor que sedo: 5 a f + b f cos c f + l. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

43 Utlzado as mesmas fuções f do eercíco calcule o apromate de uma raz real da equação f medate o método da falsa posção com um erro relatvo ão maor que. Utlzado as mesmas fuções f do eercíco calcule o apromate de uma raz real da equação f medate o método das cordas com um erro relatvo ão maor que. Utlzado as mesmas fuções f do eercíco calcule o apromate de uma raz real da equação f medate o método de Newto-Raphso com um erro relatvo ão maor que. Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

44 ANOTAÇÕES Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

45 Sstema de Equações Leares Alébrcas 5 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

46 . Itrodução Mutos problemas de Matemátca Numérca são modelados em termos de um Sstema de Equações Leares Alébrcas. Isso vale em eral para o tratameto umérco de equações fucoas leares que ocorrem etre outras como equações dferecas parcas ou ordáras e equações teras que surem em dversos problemas da Físca e Eehara. Cosdere um sstema de m equações leares alébrcas com cótas a + a a b a + a a b a + a a b m m m m ode a j são valores escalares cohecdos b... m são valores cohecdos e... são as cótas a serem determadas. Itroduz-se a seute otação e defções: A matrz de ordem m a j A - deta A M j C j elemeto a -ésma lha e j-ésma colua da matrz A versa de A determate de A meor de a j em A cofator de a j em A matrz ula I matrz detdade D matrz daoal de ordem L matrz traular feror de ordem U matrz traular superor de ordem P matrz de permutação vetor colua com elemetos... b vetor colua com elemetos b... O sstema de equações pode ser escrto de maera matrcal como A. b ode b e am... a m b a... a b A b 6 Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

47 Os métodos de solução de um sstema de equações alébrcas leares podem ser classfcados de maera ampla em dos tpos: Métodos Dretos: Estes métodos produzem a solução eata após um Os métodos de solução de um sstema de equações alébrcas leares podem ser classfcados de maera ampla úmero em dos fto tpos: de passos sem levar em cota os erros de arredodameto. Métodos Iteratvos: Estes métodos oram uma seqüêca de Métodos Dretos: Estes métodos produzem a solução eata após um úmero fto de passos sem levar em cota soluções os erros de apromadas arredodameto. que covere quado o úmero de passos tede a fto. II Métodos Iteratvos: Estes métodos oram uma seqüêca de soluções apromadas que covere quado o úmero de Os passos métodos tede a fto. dretos e teratvos estudados aqu serão aplcados para sstemas quadrados sto é o caso que m ou seja o úmero de equações Os métodos dretos e teratvos estudados aqu serão aplcados para sstemas quadrados sto é o caso que m cocde ou seja com o úmero o úmero de equações de cótas. cocde com o úmero de cótas.. MÉTODOS DIRETOS. Métodos Dretos O sstema de equações pode ser resolvdo dretamete pela rera de O Cramer. sstema de equações pode ser resolvdo dretamete pela rera de Cramer... Rera de Cramer:.. Rera de Cramer: Tem-se que... B Tem-se que... A ode B é o determate da matrz obtda por substtur a -ésma colua de A ode B é o determate da matrz obtda por substtur a -ésma colua de A pelo vetor b. pelo vetor b. O vetor está O vetor dado por está dado por ode ode C j é Co j cofator é o correspodete cofator correspodete ao elemeto a j da matrz ao elemeto A. Esta epressão a j é da equvalete matrz à A. equação Esta. A rera de Cramer forece um método de obter a solução medatamete mas estas soluções evolvem + epressão é equvalete à equação. A rera de Cramer forece um método determates de ordem. Esta característca tora a rera de Cramer mpratcável a resolução de sstemas. de obter a solução medatamete mas estas soluções evolvem + Eemplo determates : Resolva o sstema de ordem abao utlzado. Esta a rera característca de Cramer. tora a rera de Cramer mpratcável a resolução de sstemas. Eemplo : Resolva o sstema abao utlzado a rera de Cramer. A solução ser... ção das equações A solução A das solução das podem equações das equações podem ser podem escrtas ser ser como escrtas como... ode ode ode ou ou ou ou que forece a solução: que forece a solução: rece a solução: e. que forece a solução: Eemplo : Resolva o sstema abao utlzado e a equação.. : e. Eemplo : : Resolva o sstema abao utlzado a equação : : plo : Resolva o sstema abao utlzado a equação : 7 Tem-se que Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca

48 ou ou que forece a solução: que forece a solução: e. Eemplo : Resolva o sstema abao utlzado e a equação. : Eemplo : Resolva : Resolva o sstema o abao sstema utlzado abao a equação utlzado : a equação : Tem-se que Tem-se que Tem-se que e e Assm utlzado a equação obtem-se Assm utlzado a equação obtem-se Assm utlzado a equação obtem-se..... Elmação Gaussaa.. Elmação Gaussaa: Outro método Outro.. Elmação dreto é o método dreto Gaussaa: de elmação é o aussaa. método A de déa elmação prcpal cosste aussaa. em trasformar A o déa sstema A. b em um sstema equvalete cuja matrz assocada é do tpo traular superor. Isto pode ser feto medate prcpal cosste Outro em método trasformar o dreto é o sstema método A. de elmação b em um sstema equvalete alumas operações elemetares de matrzes: como troca de lhas e soma de uma lha aussaa. com um múltplo A déa escalar de cuja outra matrz prcpal lha. Se assocada cosste acotecer troca é em trasformar do de lhas tpo traular o processo de superor. o sstema elmação Isto A. b deoma-se pode em ser um sstema com feto pvoteameto medate equvalete parcal e se ão acotecer o processo deoma-se sem pvoteameto. alumas operações cuja matrz elemetares assocada de é do tpo traular matrzes: como superor. troca Isto de pode lhas ser e feto soma medate de A déa do método é trasformar a matrz aumetada uma lha alumas com operações um múltplo escalar elemetares de de outra matrzes: lha. Se como acotecer troca troca de lhas de e lhas soma de o a processo uma matrz de lha com elmação um deoma-se múltplo escalar com de outra pvoteameto lha. parcal Se acotecer e troca se de ão lhas acotecer o o processo processo de deoma-se elmação sem deoma-se pvoteameto. a matrz com pvoteameto parcal e se ão A déa acotecer do método é o processo trasformar a deoma-se matrz aumetada a a matrz matrz sem pvoteameto. A déa do método é trasformar a matrz aumetada medate a troca de lhas e soma de uma lha com um múltplo escalar de medate outra a medate lha. troca de a troca A lhas últma e soma de lhas matrz de uma e soma represeta lha com um de uma um múltplo lha sstema escalar com um traular de outra lha. múltplo superor A últma matrz escalar de de represeta um sstema traular superor de equações leares que pode ser resolvdo faclmete medate a equações outra medate lha. a leares troca A últma de que lhas pode matrz e soma ser resolvdo represeta de uma um lha faclmete sstema com um medate traular múltplo superor escalar a técca técca deomada retro-substtução. de deomada equações outra lha. leares retro-substtução. A últma que matrz pode represeta ser resolvdo um faclmete sstema traular medate superor a técca de Eemplo : Resolver o sstema de equações leares Eemplo deomada equações : leares Resolver retro-substtução. que o sstema pode de ser equações resolvdo leares faclmete medate a técca Eemplo deomada : Resolver retro-substtução. o sstema de equações leares Eemplo : Resolver o sstema de equações leares medate medate a elmação a elmação aussaa aussaa sem pvotameto. sem pvotameto. 8 medate a elmação aussaa sem pvotameto. A medate matrz aumetada a elmação do aussaa sstema é trasformada sem pvotameto. a forma traular superor: Curso de Lcecatura em Matemátca a Dstâca A matrz aumetada do sstema é trasformada a forma traular superor: A matrz aumetada do sstema é trasformada a forma traular superor: