PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO DE INCERTEZA DE MEDIÇÃO EM MEDIÇÕES DIRETAS E INDIRETAS

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1 PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO DE INCERTEZA DE MEDIÇÃO EM MEDIÇÕES DIRETAS E INDIRETAS Prof José Leoardo Noroha M Eg Departameto de Egehara de Prodção Escola Federal de Egehara de Itabá EFEI RESUMO: Neste trabalho são apresetados algs procedmetos de avalação de certeza de medção em medção dreta e dreta baseados o Ga para Expressão da Icerteza de Medção desevolvdo pelo Grpo Técco da ISO PALAVRAS CHAVES: Metrologa Icerteza de Medção Calbração INTRODUÇÃO Qado se relata o resltado de ma medção de ma gradeza físca é obrgatóro qe sea dada ma dcação qattatva da qaldade do resltado de forma tal qe aqeles qe o tlzam possam avalar sa faxa de dúvdas Sem esta dcação resltados das medções ão podem ser comparados sea etre eles mesmos o com valores de referêca dados ma especfcação o ma orma É portato ecessáro qe haa m procedmeto protamete mplemetado faclmete compreeddo e de acetação geral para caracterzar a qaldade de m resltado de ma medção sto é para avalar e expressar sa certeza Em 978 recohecedo a falta de m coseso teracoal para a expressão da certeza de medção o Comtê Iteracoal de Pesos e Meddas (CIPM solcto ao Brea Iteracoal de Pesos e Meddas (BIPM qe tratasse o problema em coto com os laboratóros acoas de metrologa e qe fzesse ma recomedação Este grpo cocl qe hava ecessdade de se obter m procedmeto teracoalmete aceto para expressar a certeza de medção e para combar os compoetes dvdas da certeza em ma úca certeza total Etretato ão se evdeco m coseso qato ao método a ser sado O BIPM etão covoco ma reão com o propósto de se chegar a m procedmeto forme e de acetação geral para a especfcação da certeza ; ela fo assstda por especalstas de laboratóros acoas Este Grpo de Trabalho desevolve em 980 a Recomedação INC- Expressão de Icertezas Expermetas O CIPM aprovo a recomedação em 98 e a ratfco em 986 CIPM trasfer a tarefa de desevolver m ga detalhado baseado a Recomedação do Grpo de Trabalho para a Orgazação Iteracoal de Normalzação (ISO A resposabldade fo coferda ao ISO Techcal Advsory Grop o Metrology (TAG 4 qe por sa vez estabelece o Grpo de Trabalho 3 (ISO/TAG 4/WG 3 Foram estabelecdos os segtes termos de referêca: Desevolver m docmeto - ga baseado a recomedação do Grpo de Trabalho do BIPM sobre a Declaração de Icertezas qe foreça regras sobre a certeza de medção para a tlzação em ormalzação calbração credecameto de laboratóros e servços de metrologa O propósto desta oretação é: - promover a formação tegral sobre a maera pela qal a declaração da certeza fo alcaçada; - prover ma base para a comparação teracoal de resltados de medção

2 INCERTEZA DE MEDIÇÃO A certeza do resltado de ma medção reflete a falta de cohecmeto exato do mesrado O resltado de ma medção após a correção dos efetos sstemátcos recohecdos é ada tão somete ma estmatva do valor do mesrado por casa da certeza proveete dos efetos aleatóros e da correção mperfeta do resltado o qe dz respeto aos efetos sstemátcos Na prátca exstem mtas fotes possíves de certeza em ma medção cldo: a defção completa do mesrado; b realzação mperfeta da defção do mesrado; c amostragem ão represetatva - a amostra medda pode ão represetar o mesrado; d cohecmeto adeqado dos efetos das codções ambetas sobre a medção o medção mperfeta das codções ambetas; e erro de tedêca pessoal a letra de strmetos aalógcos; f resolção fta do strmeto o lmar de mobldade; g valores exatos dos padrões de medção e materas de referêca; h valores exatos de costates e de otros parâmetros obtdos de fotes exteras e sado o algortmo de redção de dados ; aproxmação e sposções corporadas ao método e procedmeto de medção; varações as observações repetdas do mesrado sob codções aparetemete dêtcas Estas fotes ão são ecessaramete depedetes e algmas das fotes de a a podem cotrbr para a fote Natralmete m efeto sstemátco ão recohecdo ão pode ser levado em cosderação a avalação da certeza do resltado de medção porém cotrb para se erro 3 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA PADRONIZADA A certeza padrozada o padrão de ma fote de erro é a faxa de dspersão em toro do valor cetral eqvalete a m desvo padrão A avalação da certeza padrozada pode ser classfcada em Tpo A e Tpo B O propósto de classfcação Tpo A e Tpo B é de dcar as das maeras dferetes de avalar as compoetes da certeza e serve apeas para dscssão a classfcação ão se propõe a dcar qe haa qalqer dfereça a atreza dos compoetes resltado dos tpos de avalação Ambos os tpos de avalação são baseados em dstrbções de probabldade e os compoetes de certeza resltates de cada tpo são qatfcados por varâcas o desvos padrão 3 AVALIAÇÃO DO TIPO A Método de avalação da certeza pela aálse estatístca de ma sére de observações 3 AVALIAÇÃO DO TIPO B Método de avalação da certeza por otros meos qe ão a aálse estatístca de ma sére de observações

3 A certeza padrozada (x é avalada por lgameto cetífco baseado-se em todas formações dspoíves sobre a possível varabldade de x O coto de formações pode clr: - dados de medções prévas; - a experêca o o cohecmeto geral do comportameto e propredades de materas e strmetos; - especfcações do fabrcate; - dados forecdos em certfcados de calbração e otros certfcados e; - certezas relacoadas a dados de referêca extraídos de maas Devem ser coletadas formações qe permtam estmar a certeza assocada a cada fote de erro Recomeda-se apresetar o valor assocado aos lmtes de varação da fote de certezas em sa dade atral e detfcar o tpo de dstrbção de probabldade evolvda (ormal retaglar traglar o otra Em fção do tpo de dstrbção será defdo o dvsor tlzado para coverter o valor cohecdo a certeza padrozada Para dstrbções ormas este valor geralmete é táro o caso da avalação de certeza tpo A o cocde com o fator de abragêca tlzado a fote de formação qado a avalação tpo B é cosderada Os dvsores para algmas dstrbções de probabldade são: - Retaglar = 3 - Traglar = 6 - U = 4 INCERTEZA PADRONIZADA COMBINADA A certeza padrozada combada de m resltado de medção é a certeza padrozada qado este resltado é obtdo por meo dos valores de váras otras gradezas sedo gal à raz qadrada postva de ma soma de termos sedo estes as varâcas o covarâcas destas otras gradezas poderadas de acordo com qato o resltado da medção vara com mdaças estas gradezas 4 GRANDEZAS ESTATISTICAMENTE INDEPENDENTES Este tem trata do caso ode todas as gradezas de etrada são depedetes (gradezas de etrada ão correlacoadas A certeza padrozada de y ode y é a estmatva do mesrado Y e desta maera o resltado da medção é obtdo pela combação aproprada de certezas padrão das estmatvas de etrada x x x Esta certeza padrozada combada da estmatva y é represetada por c (y A certeza padrozada combada c (y é a raz qadrada postva da varâca combada c (y qe é dada por: c f ( y = ( x = x (4 ode f é a fção dada a eqação : y = f ( x x x (4

4 3 Cada (x é ma certeza padrozada avalada (avalação Tpo A o avalação Tpo B A certeza padrozada combada c (y é m desvo padrão estmado e caracterza a dspersão dos valores qe poderam razoavelmete ser atrbídos ao mesrado Y A eqação (4 e sa correspodete para gradezas de etrada correlacoadas eqação (43 ambas as qas são baseadas ma aproxmação da sére de Taylor de prmera ordem de Y = f(x X X N expressam o qe é deomado o Ga de Expressão de Icerteza de Medção como a le de propagação da certeza As dervadas parcas ƒ/ x são gas a ƒ/ X avaladas para X =x Os valores assmdos por estas dervadas freqüetemete deomadas coefcetes de sesbldade descrevem como estmatva de saída y vara com alterações os valores das estmatvas de etrada x x x N 4 GRANDEZAS ESTATISTICAMENTE DEPENDENTES A eqação (4 é válda somete se as gradezas se etrada X são depedetes o ão - correlacoadas Se algm dos X são sgfcatvamete correlacoados as correlações devem ser levadas em cosderação Qado as gradezas de etrada são correlacoadas a expressão aproprada para a varâca combada c (y assocada com o resltado de ma medção é : c N N N N N y x x x x f ( = ( x x x x x x = ( + ( = = = = = + (43 ode x e x são as estmatvas de X e X e (x x = (x x é a covarâca estmada assocada com x e x O gra de correlação é caracterzada pelo coefcete de correlação estmado: ( x x r( x x = (44 ( x ( x ode r (x x = r ( x x e - r ( x x + Se as estmatvas x x são depedetes r ( x x = 0 e a varação ma delas ão mplca em ma varação esperada a otra Em termos de coefcetes de correlação qe são mas protamete terpretados do qe covarâcas a eqação pode ser escrta como: f c( y = ( x x x x x x r x x + ( ( ( = = = + (45 Cosdere das médas artmétcas q e r qe estmas as expectatvas µ q e µ r de das gradezas

5 q e r varado aleatoramete e calcle q e r a partr de pares depedetes de observações smltâeas de q e r fetas sob as mesmas codções de medção Etão a covarâca de q e r é estmada por: 4 s( q r = ( k = ( q q( r r k k (46 ode q k e r k são as observações dvdas das gradezas q e r e q e r são calclados a partr das observações Se de fato as observações ão são correlacoadas espera-se qe a covarâca calclada fqe próxma de 0 Assm a covarâca estmada de das gradezas de etrada correlacoadas X e X qe são estmadas pelas médas X e X determadas por pares depedetes de observações smltâeas repetdas é dada por (x x = s( X X com s( X X calclado de acordo com a eqação (46 Esta aplcação da eqação (46 é ma avalação Tpo A da covarâca O coefcete de correlação estmado de X e X é obtdo da eqação (44 : r(x X = r( X e X = s( X X / s( X s( X 43 GRANDEZAS COM DEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA PARCIAL Há casos mas complexos ode as terações etre gradezas de etrada qe compõem ma medção dreta ão podem ser realstcamete modeladas como sedo completamete estatstcamete depedetes e em depedetes Pode haver depedêca estatístca parcal A forma de qatfcar a depedêca estatístca lear parcal é através do coefcete de correlação lear etre cada par de gradezas de etrada evolvdas Haverá depedêca parcal se o coefcete de correlação for m úmero ão tero 43 - Combação de gradezas estatstcamete depedetes e depedetes Será abordado o caso ode apeas combações de gradezas de etrada estatstcamete depedetes e depedetes são evolvdas Seam por exemplo as gradezas a b e c ode sabe-se a pror qe : a e b são estatstcamete depedetes (r(ab = a e c e b e c são estatstcamete depedetes etre s ( r(ac = 0 e r(bc = 0 A certeza padrozada combada da gradeza G dada por: G = f(a b c pode ser estmada por: f G a a f b b f ( = ( + ( + c ( c ( Caso Geral

6 5 A expressão sada para estmar a certeza padrão combada de ma gradeza G=f(x x x 3 x cosderado qe pode haver depedêca estatístca parcal etre cada par das gradezas de etrada x x x 3 x é dada por: f ( G = ( x x x x x x r x x + ( ( ( = = = + (47 5- INCERTEZA EXPANDIDA Embora a certeza padrozada combada c (y possa ser versalmete sada para expressar a certeza de m resltado de medção em algmas aplcações comercas dstras e reglametadoras e qado a saúde e a segraça estão em qestão é mtas vezes ecessáro dar ma medda de certeza qe defe m tervalo em toro do resltado da medção com o qal se espera abrager ma extesa fração da dstrbção de valores qe poderam ser razoavelmete atrbídos ao mesrado A medda adcoal de certeza qe satsfaz o reqsto de forecer m tervalo do tpo dcado aterormete deomada certeza expadda e é represetada por U A certeza expadda U é obtda mltplcado-se a certeza padrozada combada c por m fator de abragêca k: U=k c (y (5 O resltado de ma medção é etão coveetemete expresso como Y = y ± U qe é terpretado de forma a sgfcar qe a melhor estmatva do valor atrbível ao mesrado Y é y e qe y - U a y + U é o tervalo com o qal se espera abrager ma extesa fração da dstrbção de valores qe podem ser razoavelmete atrbídos a Y Tal tervalo é também expresso como: y - U Y y + U U é terpretado como defdo m tervalo em toro do resltado de medção qe abrage ma extesa fração P da dstrbção de probabldade caracterzada por aqele resltado e sa certeza padrozada combada e P é a probabldade de abragêca o ível da cofaça do tervalo Sempre qe pratcável o ível da cofaça P assocado com tervalo defdo por U deve ser estmado e declarado Deve ser recohecdo qe mltplcado c (y por ma costate ão acresceta formação ova porém se apreseta a formação prevamete dspoível de forma dferete Etretato também deve ser recohecdo qe a maora dos casos o ível da cofaça P (especalmete para valores de P próxmos de é m tato certo ão somete por casa do cohecmeto lmtado da dstrbção de probaldade caracterzada por y e c (y (especalmete as extremdades mas também por casa da certeza da própra c (y 5- FATOR DE ABRANGÊNCIA O valor do fator de abragêca k deve levar em cota além do ível de cofaça deseado o úmero de gras de lberdade efetvos assocados ao caso para o tervalo y-u a y+u O valor de k geralmete está etre e 3 mas pode assmr dversos otros valores

7 6 É comm calclar o úmero de gras de lberdade efetvos (υ ef através da eqação de Welch- Satterthwate: ode: υ ef = 4 c N 4 = υ (5 c é a certeza combada; é a certeza padrozada assocada à -ésma fote de certeza; υ é o úmero de gras de lberdade assocado à -ésma fote de certeza; N é o úmero total de fotes de certezas aalsadas Da aplcação da eqação (5 reslta o úmero de gras de lberdade efetvo O valor de k para ível de cofaça de 95% pode etão ser obtdo da segte tabela: υ ef k υ ef k Para valores fracoáros de υ ef terpolação lear pode ser sada se υ ef > 3 Alteratvamete o valor de k 95 correspode ao valor de υ ef medatamete feror a tabela pode ser adotado 6 - PROCEDIMENTO DE AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO Caso Geral : a- Determar o modelo matemátco qe relacoa a gradeza de etrada com a saída; y = f ( x x x b- Idetfcar todas as correções a serem fetas ao resltado de medção; c- Lstar compoetes sstemátcos da certeza assocada a correções e tratar efetos sstemátcos ão corrgdos com parcelas de certeza; d- Atrbr valores de certezas e dstrbção de probabldades com base em cohecmetos expermetas prátcos o teórcos; e- Calclar a Icerteza Padrozada ( para cada compoete de certeza; f- Calclar a Icerteza Combada ( c o c (y; g- Calclar a Icerteza Expadda (U

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