Heterocedasticidade. Prof. José Francisco Moreira Pessanha

Transcrição

1 Heterocedastcdade Prof. José Fracsco Morera Pessaha

2 Hpóteses do modelo de regressão lear múltpla H : Relação lear etre a varável depedete (Y) e as varáves depedetes () Notação do Gjarat, Ecoometra Básca, 4ª ed. Y k k,,, 3, 3, em otação vetoral y y y y k k k,,,,,, k y ode Vetor de erros (Vetor aleatóro) Vetor de coefcetes de regressão Matrz das varáves explcatvas Vetor da varável depedete

3 Hpóteses do modelo de regressão lear múltpla H : E()= E E E E H : Var( )= para =,..., (erros com varâca costate gal a o homocedastcdade) Var E E E H 3 : Cov(, j )= para todo j (erros ão atocorrelacoados) Cov, E E E E j j = (hpótese H ) = (hpótese H ) j j

4 Hpóteses do modelo de regressão lear múltpla Hpóteses H e H 3 são resmdas a matrz de covarâcas do vetor de erros E E E Pela hpótese H E Var Pela hpótese H 3, j j E Cov Σ I E Varâcas a dagoal prcpal Covarâcas fora da dagoal prcpal I é a matrz detdade de ordem

5 Hpóteses do modelo de regressão lear múltpla H 4 : A matrz é ão aleatóra H 5 : A matrz tem posto k < (k é o º de varáves explcatvas e o úmero de observações). Isto sgfca qe ão pode haver combações leares etre as varáves explcatvas, H 6 : Cada erro ~N(, ) para =,...,, logo o vetor de erros tem dstrbção ormal mltvarada (-varada) com vetor méda lo e matrz de covarâcas, ~ N

6 Estmador de mímos qadrados ordáros (MQO),,,,,, Σ k k k k k Var Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Var E y k Estmador MQO Matrz de covarâcas do estmador MQO Vetor aleatóro Matrz de covarâcas do vetor aleatóro

7 Estmador de mímos qadrados ordáros (MQO) Estmador MQO tem dstrbção ormal mltvarada k ~ N k,σ

8 eorema de Gass-Markov Sob as hpóteses H até H 5 (clsve a hpótese H de homocedastcdade do erro) o estmador MQO é o melhor estmador lear ão tedecoso, o seja, o estmador MQO é BLUE (Best Lear Ubased Estmator) E Não tedecoso As varâcas a dagoal da matrz Σ são mímas e por sso o MQO é o melhor estmador lear ão tedecoso

9 Homocedastcdade A homocedastcdade sgfca qe o erro e a varável explcada (Y ) têm varâca costates, o seja, Var(Y )= Var( )= Note qe a varâca é a mesma depedetemete dos valores da varável explcatva. FRP:

10 Heterocedastcdade A heterocedastcdade dca qe a varâca de Y ão é costate, Var(Y )= Var( )= (observe o sbscrto ), o seja, a hpótese H : Var( ) costate é volada. Note qe as varâcas ão são as mesmas e depedem dos valores assmdos pela varável explcatva

11 Homocedastcdade x Heterocedastcdade Var( )= para =,..., erros com varâca costate gal a Var( )= = para =,..., erros com varâcas dferetes (ote qe a varâca está dexada por ) I Σ E I Σ E Matrz de covarâcas do vetor de erros Matrz de covarâcas do vetor de erros Homocedastcdade Heterocedastcdade

12 Exemplo lstratvo (MADDALA, 3) A tabela abaxo apreseta os gastos com cosmo e a reda de famílas. Famíla Cosmo (y) Reda (x) Famíla Cosmo (y) Reda (x) 9,9,3 8, 8, 3, 3,3 33, 34,5 3 3,8 36,6 3 33,5 38, 4,, 4 3, 4, 5 4,7 4,3 5 4,8 6,4 6 6, 6, 6,6 4, 7 38,6 44,7 7 9,3 3, 8 5,5 6, 8 5, 8,3 9,3,3 9 7,9 8, 38,8 4, 9,8, A relação etre o cosmo (y) e reda (x) pode ser especfcada pela segte eqação ecoométrca: Y Neste exemplo, os coefcetes e são estmados por MQO a partr da amostra de famílas.

13 Exemplo lstratvo (MADDALA, 3) Estmação da eqação de regressão por MQO 9,9 3, 3,8, 4,7 6, 38,6 5,5,3 38,8 8 33, 33,5 3, 4,8,6 9,3 5 7,9 9,8 y= =,3 3,3 36,6, 4,3 6, 44,7 6,,3 4, 8, 34,5 38 4, 6,4 4, 3, 8,3 8,,,847,8993 y Y,847, 8993

14 Exemplo lstratvo (MADDALA, 3) Cálclo dos resídos e da estmatva da varâca do erro Resídos = Y Y Y,847, 8993 û -,99,3476 -,9634,37,85 -,386 -,44687,857,899,8 -,358,65 -,539 -,4753 -, ,978,3838 -,9794,6854,8765 Estmatva da varâca do erro k k,99,3476,763 SQResídos k,8765

15 Resídos Exemplo lstratvo (MADDALA, 3),5,5,5 Gráfco dos resídos -,5 - -,5 - -, Reda Dspersão dos resídos cresce com a reda famlar (), dcado qe a varâca do erro ão é costate, o seja, a hpótese de homocedastcdade do erro ão é verfcada. Var( ) cresce com a varável explcatva Var( )=f( ) heterocedastcdade

16 Resídos Exemplo lstratvo (MADDALA, 3),5,5,5 A peqea dspersão reflete a meor varabldade etre os cosmos das famílas de meor reda, ode a maor parte da reda é cosmda (ão é popada) e as composções das despesas são parecdas. Gráfco dos resídos A elevada dspersão reflete a maor varabldade etre os cosmos das famílas de maor reda, em fção da maor certeza a parcela da reda qe é destada ao cosmo. -,5 - -,5 - -, Reda

17 ,3 3,3 36,6, 4,3 6, 44,7 6,,3 4, 8, 34,5 38 4, 6,4 4, 3, 8,3 8,, Exemplo lstratvo (MADDALA, 3) Erro padrão dos estmadores MQO Resltados obtdos sob a hpótese de homocedastcdade H. Como veremos mas adate, estas estmatvas são tedecosas, pos este caso o erro é heterocedástco. = Σ Σ,4947,67,67,64 Erro-padrão de s,4947,7336 Erro-padrão de s,64,53

18 Natreza da heterocedastcdade A heterocedastcdade ocorre com freqüêca qado trabalhamos com dados em corte trasversal o cross-secto (HILL et al, 3). O termo dados em corte trasversal se refere aos dados sobre dversas dades ecoômcas, tas como frmas, famílas, mcípos, estados o países em m dado poto o tempo, por exemplo, m ao. Os dados em corte trasversal varavelmete evolvem observações sobre dades ecoômcas de város tamahos: Dados sobre famílas evolvem famílas com dferetes úmeros de membros e dferetes íves de reda, tas como famílas de baxa, méda o alta reda Dados sobre frmas evolvem frmas de tamahos dferetes, com dsttos volmes de prodção, tas como peqeos, médos e grades frmas. Em geral, a medda qe ameta o tamaho da dade ecoômca, há maor certeza assocada aos resltados da varável depedete, coforme apresetado o exemplo lstratvo da relação etre reda e cosmo. Para qe o modelo ecoométrco descreva o processo de geração de dados com essa propredade, a varâca do erro deve ser tato maor qato maor for o tamaho da dade ecoômca, o seja o erro deve ser heterocedástco.

19 Natreza da heterocedastcdade A heterocedastcdade ão se restrge aos dados em corte trasversal, mas também pode ser observada em dados de séres temporas (HILL et al, 3). Uma sére temporal é formada por observações de ma dade ecoômca ao logo do tempo, sedo possível qe a varâca do se modfqe. Isso acotece qado m choqe o varação extera cra maor o meor certeza sobre a varável depedete. Uma classe de modelos para o tratameto da heterocedastcdade em séres temporas, em partclar a aálse de rsco de atvos faceros, são os modelos ARCH-GARCH (Geeralzed Atoregressve Codtoal Heterocedastcty) para prevsão da volatldade (MOREIN, 8), tas modelos estão fora do escopo do crso.

20 Natreza da heterocedastcdade A heterocedastcdade também srge qado estamos trabalhado com médas de dados o dados per capta de algm grpo o regão geográfca, em vez dos dados dvdas (WOOLDRIDGE, 6). Por exemplo, cosdere a eqação de regressão lear múltpla, ode deota a empresa e e o empregado desta empresa: cotrb gahos dade taxco,e,e 3,e 4,e e cotrb e = cotrbção aal do empregado e qe trabalha a empresa gahos e = gaho aal do empregado e dade e = dade do empregado e taxcot e = motate qe a empresa deposta a cota do empregado e para cada real pago em cotrbção pelo empregado e = termo aleatóro Se as hpoteses H -H 5 são satsfetas podemos estmar a eqação a partr dos dados dvdas por empregado etre város empregadores. Porém, se dspomos apeas dos valores médos por empresa (os dados dvdas ão são dspoíves) temos o segte modelo de regressão lear múltpla estmado a partr dos valores médos das varáves por empresa: cotrb gahos dade 3 taxco Se o erro a eqação com dados dvdas for homocedástco, o erro a eqação com dados médos por empresa será heterocedastco e a varâca dmrá com o tamaho da empresa. 4

21 Coseqüêcas da heterocedastcdade para o estmador MQO Na preseça da heterocedastcdade, o estmador MQO permaece ão tedecoso, cosstete e asstotcamete ormal, porém o estmador MQO tora-se efcete, o seja, ão tem varâca míma. Estmador MQO y Na preseça da heterocedastcdade o estmador MQO ão é mas BLUE. Além dsso, o estmador Σ da matrz de covarâca forece estmatvas corretas (tedecosas) dos erros-padrão dos estmadores MQO (raz qadrada da varâca a dagoal da matrz), pos este estmador assme o pressposto de homocedastcdade do erro.

22 Coseqüêcas da heterocedastcdade para o estmador MQO Não tedecosdade do Estmador MQO erro heterocedástco: E E E y E E y y E é ão aleatóro H 4 qado = H E Note qe para provar a ão tedecosdade ão fo ecessáro assmr a hpótese H sobre a varâca do erro, logo a heterocedastcdade ão afeta esta propredade do estmador MQO.

23 Coseqüêcas da heterocedastcdade para o estmador MQO Matrz de covarâca dos estmadores MQO Σ E y Σ E Σ E Desvo do estmador em relação a sa méda Valor esperado dos qadrados dos desvos em otação matrcal Sbsttdo o resltado a matrz tem-se: é ão aleatóro H 4 Matrz de covarâcas dos erros

24 Coseqüêcas da heterocedastcdade para o estmador MQO Matrz de covarâca dos estmadores MQO Σ E Caso homocedástco Σ E I Caso heterocedástco Σ E, I Σ I Σ Σ Σ As varâcas a dagoal da matrz ão são mímas, por sso o estmador MQO ão é efcete a preseça da heterocedastcdade O so do estmador mplca em perda de valdade da ferêca qado o erro é heterocedástco

25 Resídos Coseqüêcas da heterocedastcdade para o estmador MQO O MQO ajsta a eqação de regressão de maera a mmzar a soma dos qadrados dos resídos, o seja, defe os s como sedo a solção ótma do segte problema de otmzação: M, 3,,, k Y, 3 3, k k, Na preseça da heterocedastcdade, os qadrados dos resídos a regão com erros mas volátes (maor varâca) são maores qe os qadrados dos resídos a regão com erros meos volátes (meor varâca).,5,5,5 -,5 - -,5 - -, Meor volatldade Reda Maor volatldade

26 Coseqüêcas da heterocedastcdade para o estmador MQO Na preseça da heterocedastcdade, os qadrados dos resídos a regão de maor varabldade do erro domam a soma dos qadrados dos resídos. Para mmzar a soma dos qadrados dos resídos, o MQO faz m bom ajstameto da eqação de regressão às observações a regão de maor varabldade do erro, pos é esta regão qe se ecotram os maores resídos. O seja, a defção dos s é oretada o setdo de mmzar a soma dos qadrados dos resídos a regão de maor varabldade do erro. Portato, a heterocedastcdade mpõe ma poderação mplícta (PYNDICK & RUBINFELD, 4), em qe os qadrados dos resídos da regão mas volátl recebem pesos maores qe àqeles a regão meos volátl. Esta poderação mplícta tora o estmador MQO efcete, o seja, o estmador MQO perde a propredade de varâca míma e, portato ão é mas BLUE, embora cote sedo ão tedecoso e cosstete.

27 Coseqüêcas da heterocedastcdade para o estmador MQO Soma dos qadrados dos resídos a ser mmzada pelo estmador MQO: Y C A B C û A A ûb B û C Y Note qe o resído da observação C doma a soma dos qadrados dos resídos e por esta razão o MQO va oretar a defção dos s o setdo de mmzar mplícta. C. Este é o efeto da poderação Esta estratéga ão é correta, pos atrb maor mportâca ás observações dstates da méda, represetada pela reta de regressão, e meor mportâca às observações jto a méda.

28 Estmador de mímos qadrados geeralzados Admtdo qe as varâcas dos erros Var( )=, =,..., sejam cohecdas, a poderação mplícta o MQO, provocada pela heterocedastcdade, é compesada pela cosderação de m sstema de pesos, em qe o qadrado de cada resído é poderado pelo verso da respectva varâca do erro: M,,,, 3 k Y, 3 3, Note a dfereça etre a ova fção objetvo a ser mmzada e a fção cosderada pelo estmador MQO. Note qe as observações amplamete dstates da méda (reta de regressão), a regão de maor varâca do erro, recebem pesos meores, eqato as observações jto a méda, as regões com meor varabldade do erro, recebem pesos maores. O ovo estmador obtdo é cohecdo como estmador de mímos qadrados poderados (MQP) m caso partclar do mímos qadrados geeralzados (MQG). k k,

29 Deotado Iserdo a varâca detro do termo qadrátco obtém-se: Estmador de mímos qadrados geeralzados k k Y M k, 3, 3,,,,, 3 k k Y M k *, * 3, 3 *, *, *,,,, 3 k k ; Y Y, *, 3, * 3,, *, *, * ; ; ; ; Obtém-se ma fção objetvo semelhate a cosderada pelo MQO, porém escrta com as varáves trasformadas. Varáves trasformadas

30 Estmador de mímos qadrados geeralzados Isto sgfca qe para aplcar o MQP basta dvdr a eqação de regressão por, o desvo-padrão de, e aplcar o estmador MQO para obter as estmatvas dos coefcetes s. Note qe dvddo a eqação de regressão por Y Y, 3 3, k k,,,, 3, k, 3 k,, Obtém-se ma eqação de regressão com erro homocedástco: Var Var,,, Erro da eqação trasformada Dado qe os erros do modelo com varáves trasformadas são homocedástcos, os coefcetes de regressão do modelo trasformado podem ser estmados por MQO.

31 Lembrado qe,,, A costate pode ser sprmda e a poderação pode ser expressa em termos de A solção deste problema de mmzação prodz o estmador de MQP, m caso partclar do estmador de MQG, apresetado a segr em otação matrcal: y k MQG k k Y M k, 3, 3,,,,, 3 ω ω ω Estmador de mímos qadrados geeralzados Heterocedastcdade

32 ω ω ω Estmador de mímos qadrados geeralzados ω ω ω ω ω ω ω ω ω

33 y y MQG MQG Estmador de mímos qadrados geeralzados y y * * Fazedo * * * * y MQG Varáves trasformadas Em sma o MQG é o MQO aplcado as varáves trasformadas e a ferêca pode ser feta da maera sal pelos testes t e F. k k ; ; ; Y Y, *, 3, * 3,, *, *, * ; ; Semelhate ao MQO y

34 y MQG MQG MQG Estmador de mímos qadrados geeralzados Propredades do estmador MQG MQG MQG MQG MQG E E E E E é ão aleatóro H 4 = H MQG é ão tedecoso Desvo do estmador em relação a sa méda

35 Σ Σ σ σ MQG MQG Estmador de mímos qadrados geeralzados Σ MQG MQG MQG E Σ E MQG Σ E MQG Σ σ MQG Propredades do estmador MQG MQG Matrz de covarâcas dos erros I, Σ σ E Matrz de covarâca dos estmadores MQG

36 MQO, MQG, homocedastcdade, heterocedastcdade Estmador MQG Matrz de covarâca do estmador MQG Σ MQG MQG y σ homocedastcdade heterocedastcdade Σ I I Σ I MQO é m caso partclar do MQG O estmador MQG é efcete e o MQO é efcete. Σ MQO MQO y σ Matrz de covarâcas do MQO com erros heterocedástcos As varâcas em Σ Σ MQO MQO σ são maores qe as varâcas em Σ MQG

37 Estmador de mímos qadrados geeralzados exeqüível Na realdade as varâcas dos erros (o os elemetos da matrz ) ão são cohecdas e, portato, devem ser estmadas. No etato, dado qe a amostra tem observações, é mpossível estmar as varâcas e os k parâmetros da eqação de regressão. A saída é obter algma formação adcoal qe permta expressar a varâca do erro como ma fção dos valores de algma varável explcatva, está fção defe a forma de heterocedastcdade, por exemplo: h A detfcação da forma de heterocedastcdade h( ) ão é ma tarefa smples A forma de heterocedastcdade redz o º de parâmetros a serem estmados torado a estmação possível. Note qe ao vés de estmar as varâcas basta estmar apeas a costate de proporcoaldade. Assm, tem-se o segte estmador para a matrz : h h h

38 Sbsttdo a matrz por sa estmatva o estmador MQG tem-se o estmador MQG exeqível (MQGE): y k MQGE Estmador de mímos qadrados geeralzados exeqüível Σ σ MQGE O MQGE é tedecoso, mas asstotcamete terá as propredades desejáves se for m estmador cosstete de.

39 Estmador de mímos qadrados geeralzados exeqüível Cosdere a eqação de regressão a ser estmada: Y, 3 3, k k,,, Uma vez detfcado o padrão de heterocedastcdade, por exemplo, Var( ) proporcoal a,, (Var( )=,, ode é ma costate de proporcoaldade) a estmação da eqação de regressão por MQGE case com a trasformação das varáves, dvddo toda a eqação pelo desvo padrão de gorado-se a costate de proporcoaldade. Neste caso, basta dvdr a eqação por, resltado a segte eqação trasformada: Y, Var, Implemetação do MQGE,, Var 3 3,, k k,,,,,,, Admtdo qe o padrão de heterocedastcdade teha sdo detfcado corretamete, o erro * a eqação trasformada é homocedástco e, portato, o MQO poder ser tlzado para estmar a eqação trasformada: * varâca costate

40 despesa aal (US$ ) Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Neste exemplo vamos cosderar ovamete ma amostra com dados sobre redmeto e despesa famlar aal de m cojto com famílas. Grpo Despesas (em US$ ) Redmeto (US$ ),8,,,, 5, 3, 3, 3,5 3,5 3,6, 3 4, 4, 4,5 4,8 5, 5, 4 4,8 5, 5,7 6, 6,, 7 6 y =,37x +,89 R =, Note qe este caso o gráfco das observações de redmeto e despesas já sgere heterocedastcdade 5, 7, 9,, 3, 5, 7, 9, redmeto aal (US$ )

41 Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Mesmo com a sspeta de heterocedastcdade vale tlzar o MQO para estmar a eqação de regressão qe explca as despesas (Y) em fção do redmeto famlar (): Y 5, 5, 5, 5, 5,,,,, = Y=, 3,6 y 5, 5, 5, 5, 5,,,,,,,8,,,, 3, 3, 3,5 3,5 4, 4, 4,5 4,8 5, 4,8 5, 5,7 6, 6, MQO Mas resltados da estmação,89,37 Coeffcets Stadard Error t Stat P-vale Itercept,89,43 4,356,4 Varable,37,49 5,897, R =,9335 F= 5,73

42 resídos Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Aálse dos resídos MQO y û -,76 -,76 -,76 -,76,4 -,6 -,6,38,38,338 -,48 -,48,5,35,55 -,834 -,634,66,366,566,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - O gráfco do resídos cotra a varável explcatva sgere qe o erro é heterocedástco e sa varâca cresce com o redmeto aal redmeto aal (US$ )

43 Resídos Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Aálse dos resídos MQO Otra forma de detfcar a preseça de heterocedastcdade é por meo do gráfco dos resídos MQO cotra os valores ajstados (FO, 99) Y,8,6 O gráfco sgere heterocedastcdade do erro,4, -,,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 -,4 -,6 -,8 - Valores ajstados

44 Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Estmação por MQGE ) Padrão de heterocedastcdade: com base o gráfco ateror observa-se qe a dspersão dos resídos cresce com o redmeto, etão ma forma plasível para a heterocedastcdade é a segte: Var DP ) rasformação das varáves: este caso basta dvdr a eqação de regressão por, obtedo-se a segte eqação trasformada: Y 3) Estmação por MQO: por hpótese o erro da eqação trasformada é homocedástco e, portato, o MQO pode ser tlzado para estmar a eqação trasformada. Na eqação trasformada é o tercepto e a clação

45 Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Estmação por MQGE Cálclo das varáves trasformadas Varáves orgas Varáves trasformadas = 5, 5, 5, 5, 5,,,,,, 5, 5, 5, 5, 5,,,,,, Y =,8,,,, 3, 3, 3,5 3,5 3,6 4, 4, 4,5 4,8 5, 4,8 5, 5,7 6, 6, Y,36,4,4,4,4,3,3,35,35,36,8,8,3,3,333,4,5,85,3,3,,,,,,,,,,,667,667,667,667,667,5,5,5,5,5

46 Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Estmação por MQGE Aplcação do MQO aos dados trasformados Y *,36,4,4,4,4,3,3,35,35,36,8,8,3,3,333,4,5,85,3,3 MQO, * * * * y*,,,,,,,,,,667,667,667,667,667,5,5,5,5,5 Mas resltados da estmação,8875,36 Coeffcets Stadard Error t Stat P-vale Itercept,495,7,8, /,759,983 7,669, O R meor ão dca qe a correção da heterocedastcdade fo correta, pos as varáves foram trasformadas. Na verdade o R do modelo trasformado é poco formatvo. R =,7654 F= 58,76 Eqação estmada Y,759, 495

47 Resídos Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Resídos da estmação por MQGE x valores ajstados,4,3,,,5,7,9,3,33,35,37,39,4 -, -, Y -,3 -,4 -,5 -,6 O gráfco dos resídos da estmação por MQGE sgere homocedastcdade do erro da eqação trasformada Valores ajstados

48 Exemplo lstratvo (PINDYCK & RUBINFELD, 4) Comparação dos resltados MQO Y,89,37,43,49 MQG Y,759,495,983,7 Erro padrão etre parêteses A proxmdade das estmatvas potas reflete a ão tedecosdade do MQO qado o erro é heterocedastco, ote a peqea dfereça etre,37 e,495. Porém o erro padrão MQO está calclado de forma errada dada, ão é robsto em relação à heterocedastcdade. As estmatvas do MQG são mas precsas, ote o meor erro-padrão.

49 Estmador de Whte (procedmeto robsto em relação à heterocedastcdade) Na asêca de cohecmeto razoavelmete segro sobre a forma da heterocedastcdade, poderá cosderar-se a a estmação dos coefcetes por MQO, pos este é ão tedecoso mesmo a preseça de heterocedastcdade. MQO y Porém a estmação da matrz de covarâcas, o lgar da sal Σ σ deve-se tlzar a matrz MQO Σ,a especfcação correta da σ MQO matrz de covarâca qado o MQO é aplcado a estmação com erros heterocedástcos. Assm, o estmador de Whte para a matrz de covarâcas é dado por: Σ MQO S ode S Halbert L. Whte Jr. H. Whte: "A Heteroskedastcty- Cosstet Covarace Matrx Estmator ad a Drect est for Heteroskedastcty," Ecoometrca, 48, (98).,,, são os resídos obtdos a estmação por MQO Estmador estrtamete aproprado somete para grades amostras (WOOLDRIDGE, 6). Os testes t e F são somete váldos asstotcamete. Note qe este procedmeto cosste a aplcação do estmador MQO em ma stação com erro heterocedástco, assm os estmadores são efcetes, pos as varâcas são maores qe as obtdas pelo MQG (PYNDICK & RUBINFELD, 4),.

50 Comparação dos estmadores MQO, MQG e Whte a preseça de heterocedastcdade (GUJARAI, ) Uma comparação do desempeho dos três estmadores sob erro heterocedástco fo realzada por Davdso e MacKo. A comparação basea-se em smlações de Mote Carlo codzdas com o segte modelo de regressão lear smples: Y,, em qe ~ N, ~ U, James MacKo a/faclty/macko/ é m parâmetro pré-fxado, cja faldade é cotrolar a varabldade do erro Rssell Davdso ca/rssell.davdso/ Rssell Davdso ad James G. MacKo, Estmato ad Iferece Ecoometrcs, Oxford Uversty Press, New York Note qe o erro é heterocedástco para qalqer. Se = a varâca é proporcoal a, se = a varâca é proporcoal ao qadrado de, e assm por date. Para cada valor de eles smlaram. amostras, cada ma com observações e calclaram os estmadores MQO, MQG e o estmador de Whte.

51 Comparação dos estmadores MQO, MQG e Whte a preseça de heterocedastcdade (GUJARAI, ) Erro-padrão da estmatva de (MQO) Especfcação correta da matrz de covarâcas Especfcação correta da matrz de covarâcas Erropadrão da estmatva de (MQG) Especfcação correta da matrz de covarâcas (MQO) Especfcação robsta em relação à heterocedastcdade (MQO) Especfcação da matrz de covarâcas (MQG) Erro-padrão da estmatva de (MQO) Especfcação correta da matrz de covarâcas Σ Σ Σ MQO σ σ MQO σ Especfcação correta da matrz de covarâcas,5,64,34,,85,77,43,,4,,48,46,47,7,,6,74,73,,,9 3,,,64,3,73,6,56 4,,89,59,3,54,95,7 Erropadrão da estmatva de (MQG) MQG Os resltados mostram a efcêca do estmador MQO (maores errospadrão).o MQO sperestma o verdadero erro-padrão estmado pelo MQG, em especal para grades valores de. Coclsão: a preseça de heterocedastcdade tlze MQG (GUJARAI, )

52 Detectado a heterocedastcdade Há város procedmetos para testar se a hpótese de homocedastcdade é plasível: Aálse dos resídos do modelo orgal estmado por MQO este de Goldfeld-Qadt este Park este de Glejser H : homocedastcdade H : heterocedastcdade este Bresch-Paga este de Whte

53 Resídos este de Goldfeld-Qadt Assme qe a varâca do erro é ma fção moótoa de algma varável explcatva (em geral ma varável de tamaho), mas ão assme especfcação para esta fção f.,5,5,5 -, ,5 - -,5-3 Reda Var f O teste basea-se em ma déa mto smples: Prmero dvde-se a amostra em das sbamostras, Em cada sbamostra estma-se o modelo sob aálse y=+ e obtém-se a sére de resídos de cada m. A partr das séres de resídos obtém-se as estmatvas para a varâca do erro em cada sbamostra. Por fm, aplca-se o teste F para testar a hpótese de galdade das varâcas. Sbamostra I I Sbamostra II II H : I II homocedastcdade H : heterocedastcdade Sob H I II II ~ I R.E.Qadt S.M. Goldfeld & R.E.Qadt "Some ests for Homoscedastcty," Joral of the Amerca Statstcal Assocato, 6 (965), F

54 este de Goldfeld-Qadt ) Ordee as observações por ordem crescete da varável, se f() for ma fção crescete, o por ordem decrescete da varável, se f() for decrescete. ) Elme as c observações cetras (c é m úmero arbtráro, por exemplo, Pdyck & Rblfeld sgerem /5 da amostra). As -c observações restates são dvddas em das sbamostras, ma cldo os valores meores de (sbamostra I) de tamaho e otra ses valores mas elevados (sbamostra II) de tamaho. 3) Estme o modelo de regressão sob aálse y=+ em cada sbamostra e obteha os respectvos resídos, (I,) para =,..., I e (,) para =,...,. 4) Calcle as somas dos qadrados dos resídos para obter as estmatvas das varâcas do erro em cada sb-amostra: I I, I k II II II, k K = º de parâmetros o modelo de regressão lear 5) Faça o teste F para galdade de varâcas: H H : : I I II II homocedastcdade heterocedastcdade Sob H II I ~ F II k, I k

55 este de Goldfeld-Qadt Mas aproprado para grades amostras, de modo qe seja possível estmar as das regressões adeqadamete. Reqer a ormaldade dos resídos. Reqer a asêca de atocorrelação seral para qe teha valdade.

56 este de Park Assme a segte relação etre a varâca do erro e a varável explcatva >: C Var > é ma costate de proporcoaldade C é ma costate a ser estmada (C sgere heterocedastcdade) Aplcado ma trasformação logarítmca tem-se: l l C l Como Var( ) ão é cohecda, sbstt-se a varâca pelo qadrado do resído MQO do modelo y=+ sob aálse. ambém admte-se ma relação estocástca: l l C l v Rído braco O modelo acma é ma eqação de regressão lear smples qe pode ser estmada por MQO. Ao fal, por meo de m teste t avala-se a sgfcâca de C: H H : C : C homocedastcdade heterocedastcdade Sob H : C S C ~ t

57 este de Bresch-Paga Assme qe a varâca do erro é ma fção da combação lear de p varáves Z,...,Z p qe podem ser o ão as varáves explcatvas do modelo de regressão lear sob aálse: Var f Z, p Z p, ) Estme o modelo de teresse y= + por mímos qadrados ordáros. Obteha a sére dos qadrados dos resídos û e calcle a estmatva de máxma verossmlhaça da varâca do erro sob a hpótese de homocedastcdade ( é o úmero de observações) ) Estme por MQO o modelo de regressão axlar 3) Calcle a SQExplcada da regressão axlar o passo. Se a estatístca teste calclada for maor qe o q-qadrado tabelado ao ível de sgfcâca deve-se rejetar a hpótese la. Z, pz p, 4) este a hpótese la H : = 3 =... = p = (homocedastcdade) cotra a hpótese alteratva H : o 3... o p (heterocedastcdade). Sob a hpótese la, a estatístca teste SQExplcad a tem dstrbção p- v

58 este de Whte ) Estme o modelo de teresse y= + por mímos qadrados ordáros. Obteha a sére dos qadrados dos resídos û. ) Estme por mímos qadrados ordáros o modelo de regressão axlar em qe û é explcado pelas varáves explcatvas do modelo de regressão orgal, ses qadrados e terações etre elas: 3) Obteha o R da regressão axlar. k j j j, k j 4) este a hpótese la H : = 3 =... = k = =...= k = 3 =...= k-,k = (homocedastcdade) cotra a hpótese alteratva H : pelo meos m dos coefcetes é dferete de zero (heterocedastcdade). Sob a hpótese la, a estatístca teste R tem dstrbção com gras de lberdade gal ao úmero de varáves explcatvas o modelo de regressão axlar, Se a estatístca teste calclada for maor qe o q-qadrado tabelado ao ível de sgfcâca deve-se rejetar a hpótese la. j j, k k j l3 j, l j, l, v

59 Exemplo Cosdere o segte modelo de regressão lear múltpla aplcado ao corte trasversal (referete ao ao de 97) formado pelos 5 estados orte amercaos: EP AID 3POP 4 INC =, 5 observações Ode: EP = gastos do govero o estado AID = ajda do govero federal ao estado POP = poplação do estado INC = reda agregada do estado Para este modelo a expectatva é qe o termo aleatóro seja heterocedástco, pos trata-se de ma cross-secto formada por dades (estados) de tamahos dferetes. Neste caso, a poplação é a varável assocada ao tamaho das dades e, portato, é a varável qe explca a possível heterocedastcdade.

60 Exemplo EP 74, 56, 4, 5.65,98 699,.545,99.749,37 5.9, 8.84, , 3.456, , , , ,99.8, 3.56, 475, 5,.5,.55,99 57, 3.39, ,.5,.938,.5, 3.97, 4.77,.63,.446,.4,.47,.4,.69,99.767, 7.46, 587, 5, 368,.99,99 83,.5,99 8, 543, 3.7,.766,.5,97 698, 94,3 y = = AID POP INC 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Estmação por MQO 3 4 y 46,856 3,383,5966 Raz qadrada dos elemetos da matrz,9 Σ Coefcetes Erro padrão Stat t valor-p Iterseção -46,856 84, -,56,58 AID 3,383,4 3,64, POP -,5966, -5,7, INC,9, 8,,

61 Resídos Exemplo Eqação estmada por MQO (erros padrão etre parêtess) EP 46,856 3,383 AID,5966POP, 9INC (84,) (,4) (,) (,3) Resídos: û EP 46,856 3,383 AID,5966POP,9INC 5 5 O gráfco sgere qe a varâca do erro cresce com a poplação Poplação

62 EP tercepto AID POP INC 698, 85, , 7, , 8, , 95, , 97, , 7, , 3, , 8, , 35, , 95, ,3 64, , 78, , 9, , 98, ,, , 4, , 45, ,99 94, , 399, , 439, , 575, ,99 99, ,99 43, , 5, , 4, , 35, ,99 446, , 598, , 68, , 679, ,99 73, ,99 63, ,98 546, , 7, ,99 55, , 84, , 76, , 64, , 736, ,99 544, ,98., , 837, ,.36, ,4.34, ,., ,4.754, ,.636, ,6.69, , , ,97 4.8, Exemplo teste de Goldfeld-Qadt Sbamostra I I = 8 observações cetras (c=8) Sbamostra II II = ) Ordee a amostra a ordem crescete da poplação dos estados ) Retre algmas observações cetras e forme das sbamostras

63 EP tercepto AID POP INC 698, 85, , 7, , 8, , 95, , 97, , 7, , 3, , 8, , 35, , 95, ,3 64, , 78, , 9, , 98, ,, , 4, , 45, ,99 94, , 399, , 439, , 575, ,99 99, ,99 43, , 5, , 4, , 35, ,99 446, , 598, , 68, , 679, ,99 73, ,99 63, ,98 546, , 7, ,99 55, , 84, , 76, , 64, , 736, ,99 544, ,98., , 837, ,.36, ,4.34, ,., ,4.754, ,.636, ,6.69, , , ,97 4.8, Exemplo teste de Goldfeld-Qadt Sbamostra I I = 3) Estme o modelo de regressão EP em cada sbamostra e obteha a respectva SQResídos Sbamostra II II = AID 3POP 4 INC

64 EP tercepto AID POP INC 698, 85, , 7, , 8, , 95, , 97, , 7, , 3, , 8, , 35, , 95, ,3 64, , 78, , 9, , 98, ,, , 4, , 45, ,99 94, , 399, , 439, , 575, ,99 99, ,99 43, , 5, , 4, , 35, ,99 446, , 598, , 68, , 679, ,99 73, ,99 63, ,98 546, , 7, ,99 55, , 84, , 76, , 64, , 736, ,99 544, ,98., , 837, ,.36, ,4.34, ,., ,4.754, ,.636, ,6.69, , , ,97 4.8, Exemplo teste de Goldfeld-Qadt Sbamostra I I = ANOVA df SS MS F Sgfcace F Regresso , ,6 89,77,8874E-3 Resdal , ,64 otal ,65 SQResídos Sbamostra II II = SQResídos ANOVA df SS MS F Sgfcace F Regresso , ,76 65,64,5635E-7 Resdal ,9 3.83,36 otal ,39

65 Exemplo teste de Goldfeld-Qadt 4) Calcle a estatístca teste SQ Re sídos II k SQ Re sídos k I II I , , , ,84 7 6,76 k = úmero de parâmetros leares, este caso qatro Ao ível de sgfcâca de 5%, o F 7,7 é,7 Como 6,76 >,7 rejeta-se a hpótese la de homocedastcdade do erro

66 Exemplo teste de Park ) Estme o modelo EP AID 3POP 4INC =,5 por MQO e obteha a sére de resídos: û EP 46,856 3,383 AID,5966POP,9INC ) Idetfqe a varável relacoada com a heterocedastcdade do erro, este caso é a poplação. Em segda estme o modelo de regressão lear smples, ode o logartmo dos qadrados dos resídos é explcado pelo logartmo da poplação: l l POP 6 4 L û Coeffcets Stadard Error t Stat P-vale Itercept -,636,785 -,653,568 LPOP,433,55 6,675, P-valor < 5%, logo é sgfcatvamete dferete de zero e o erro é heterocedástco 8 6 LPOP

67 Exemplo teste de Park 3) Com base estes resltados obtemos a segte especfcação para o padrão de heterocedastcdade: Var, 433 é proporcoal a POP

68 Exemplo este de Bresch-Paga ) Estme o modelo orgal por mímos qadrados ordáros: EP AID 3POP 4 INC obteha a sére dos qadrados dos resídos û. =, 5 observações EP 46,856 3,383 AID,5966POP,9INC e o estmador de máxma verossmlhaça do erro a hpótese de homocedastcdade ) Estme a regressão axlar por mímos qadrados ordáros: AID 3POP 4INC v 3) Calcle a SQExplcada da regressão axlar, este caso, 88,648 4) O valor da estatístca teste (SQExplcada/) é 88,648/ = 44,3738. Sob H a estatístca teste tem dstrbção q-qadrado com 3 gras de lberdade. O p-valor P3 44,3738 5% logo rejeta-se a hpótese de homocedastcdade ,3

69 Exemplo este de Whte ) Estme o modelo orgal por mímos qadrados ordáros: EP AID 3POP 4 INC e obteha a sére dos qadrados dos resídos û. =, 5 observações EP 46,856 3,383 AID,5966POP,9INC ) Estme a regressão axlar por mímos qadrados ordáros:,3 AID AID POP POP 4 3 AID INC INC 4 3,4 AID POPINC v POP 3 INC 4 3) Calcle o R da regressão axlar, este caso se valor é, ) O valor da estatístca teste (R ) é 5 x,5644 = 8,. Sob H a estatístca teste tem dstrbção q-qadrado com 9 gras de lberdade. O p-valor P9 8,,88 5% logo rejeta-se a hpótese de homocedastcdade

70 Exemplo estmação por mímos qadrados poderados ) Pelo resltado do teste de Park, estmamos o padrão de heterocedastcdade como sedo Var, 433 é proporcoal a POP Assm, podemos trasformar a eqação de regressão orgal: EP POP,433 POP,433 AID POP,433 3 POP POP,433 4 INC POP,433 * ) Estme a eqação trasformada por MQO, pos por hpótese * é homocedástco (erro-padrão etre parêtess) EP POP,433 5,89 POP,433,39 AID POP,433,6 POP POP,433, INC POP,433 (7,96) (,5) (,9) (,9)

71 Exemplo estmação por mímos qadrados poderados Resídos da eqação trasformada x poplação EP POP,433 POP,433 AID POP,433 3 POP POP,433 4 INC POP,433 * ) Estme a eqação trasformada por MQO, pos por hpótese * é homocedástco (erro-padrão etre parêtess) EP POP,433 5,89 POP,433,39 AID POP,433,6 POP POP,433, INC POP,433 (7,96) (,5) (,9) (,9) 3) Estmatva da eqação orgal por mímos qadrados poderados: EP 5,89,39AID,6POP, INC

72 Referêcas bblográfcas FO, J. Regresso Dagostcs, Sage Uversty Paper Seres o Qattatve Applcatos o the Socal Scece, seres, º 7-79, 99. GUJARAI, D.N. Ecoometra Básca, 3ª edção, Pearso Makro Books, São Palo,. HILL, R.C.; GRIFFIHS, W.E. & JUDGE, G.G. Ecoometra, ª edção, Edtora Sarava, São Palo, 3. MADDALA, G.S. Itrodção à ecoometra, LC, Ro de Jaero, 3. MOREIN, P.A. Ecoometra Facera: m crso em séres temporas faceras, Edtora Blcher, São Palo, 8. PYNDICK, R.S. & RUBINFELD, D.L. Ecoometra: Modelos & Prevsões, Elsever, Ro de Jaero, 4. WOOLDRIDGE, J.M. Itrodção à ecoometra: ma abordagem modera, homso, São Palo, 6.