NOVAS METODOLOGIAS E FORMULAÇÕES PARA O TRATAMENTO DE PROBLEMAS INELÁSTICOS COM ACOPLAMENTO PROGRESSIVO MEC/MEF

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1 ISSN NOVAS MTODOLOGIAS FORMLAÇÕS ARA O TRATAMNTO D ROBLMAS INLÁSTICOS COM ACOLAMNTO ROGRSSIVO MC/MF Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda 2 Rsumo Novas formulaçõs, téccas procdmtos são propostos para o tratamto d probas lástcos cosdrado-s acoplamto progrssvo. O procdmto aprsta-s bastat adquado para a cosdração d probas d tração b trdmsoas qu volvam modfcaçõs a gomtra varaçõs das codçõs d cotoro ao logo do tmpo. st prmt a clusão rtrada d sub-rgõs a cosdração d hpótss spcas para o rforço, d mara qu o msmo cotrbua adquadamt para o rcmto da strutura. As formulaçõs vscolástcas vscoplástcas são basadas m uma ova mtodologa proporcoam com smplcdad lgâca rsultados stávs bastat prcsos. As rprstaçõs vscosas para tos d cotoro são obtdas d duas formas, com o trmo vscoso obtdo através d tgras d domío d cotoro. sta últma prmt a aáls vscolástca d sóldos dscrtzado-s apas o cotoro do corpo, aprstado-s mas adquada para o tratamto d mos ftos ou sm-ftos. O comportamto plástco é lvado m cosdração através d algortmos mplíctos assocatvos ão-assocatvos, cuas xprssõs são obtdas d forma fchada, rsultado m uma cosdrávl cooma computacoal uma mlhor prcsão a rsposta ão-lar. alavras-chav: acoplamto; to fto; to d cotoro; vscolástco; vscoplástco; lastoplástco; mplícto. INTRODÇÃO A maora dos probas d ghara aprstam tração tr parts dfrts do sstma, tas como: tração solo-strutura, strutura-strutura fludostrutura. As fudaçõs das struturas tragm drtamt com o solo, trasmtdo as solctaçõs d mara qu a strutura sta m qulíbro státco ou dâmco. Fludos, tas como: ar, água ou lubrfcats, podm star tragdo com tos Doutor m ghara d struturas - SC-S, msquta@sc.usp.br 2 rofssor do Dpartamto d ghara d struturas da SC-S, hbcoda@sc.usp.br

2 2 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda struturas como: dfícos, rprsas, struturas offshor, compots mcâcos, tc. Cada part do sstma é rprstada por uma rgão físca, sobr a qual pod-s aplcar uma solução umérca partcular. orém, m mutos casos prátcos, por smplcdad, é possívl dsprzar a tração d uma part do sstma com a outra. m xmplo claro dss comportamto dsacoplado, sra a atuação drta das forças do vto sobr um dfíco suposto rígdo. Nst caso, dsprza-s a tração, aalsado o proba com forças quvalts atuado sobr a strutura, a ttatva d smular a prsça do fludo. trtato, m stuaçõs od s dsa aalsar o comportamto d todo o sstma ou msmo modlar o proba d forma mas ralsta cort, dvm-s utlzar téccas umércas spcífcas para cada part do sstma. ma mara fct d rprstar todo o proba sra através do acoplamto d tos d cotoro com tos ftos. tos d cotoro são mas adquados para tratar probas com domío fto ou sm-fto rgõs d coctração d tsõs fluxo. Já tos ftos são mas aproprados para probas volvdo matras compóstos ou asotrópcos. ma aplcação adquada d ambos os métodos a smulação d um proba d tração, tora o acoplamto uma frramta bastat atrat, possbltado uma mlhor rprstação d todo o proba, coduzdo à rsultados mas prcsos com um custo computacoal mor. ara lvar m cosdração o comportamto vscoplástco optou-s por uma ova mtodologa proposta plos autors qu aprsta mportats caractrístcas. A maora dos trabalhos dsvolvdos sta ára são basados os procdmtos cat propostos por RZYNA(966), va, por xmplo, ZINKIWICZ CORMA(974), ARGYRIS t al.(979), OWN DAMJANIC(982), TLLS BRBBIA(982) MNAIAR(998). sts são basados o cocto d potcal plástco orgado a tora da plastcdad. Assm, as caractrístcas vscosas são corporadas a xprssão da taxa d dformação vscoplástca por mo d fuçõs dpdts do crtéro d plastfcação cuo mbasamto rológco é bastat dscutívl. O procsso rca m um proba crmtal od a aáls é xcutada aplcado-s sucssvamt crmtos d força. sta abordagm é basada m procdmtos quas-státcos od a mposção d cargas xtras com dpdêca tmporal arbtrára o aust do tmpo ral aprstam algumas dfculdads. A prcpal dfrça tr o procdmto proposto aquls aprstados a ltratura é a solução tmporal. As abordags clásscas assumm um comportamto cohcdo (usuat costat) das tsõs totas durat um crmto d força. A partr dsta suposção, rsolv-s locat as rlaçõs dfrcas tmporas d tsão/dformação, cotrado a cotrbução vscosa. sta cotrbução é aplcada as quaçõs d qulíbro como um trmo corrtvo. Já a formulação proposta assum uma rlação rológca vscoplástca qu dv sr mposta o dsvolvmto das rprstaçõs tgras. Dsta rlação cotra-s um sstma d quaçõs dfrcas tmporal od o comportamto plástco do corpo é lvado m cosdração através d um trmo m tsão cal. st trmo é obtdo d forma usual plos procdmtos lastoplástcos do MC. Na prst formulação os crmtos são agora dfdos como crmtos d tmpo ão mas como crmtos d força, proporcoado um sgfcado bm mas dfdo para o tmpo as aálss vscoplástcas. A técca prmt mpor, d forma smpls drta, codçõs d cotoro (forças dslocamtos) qu varam com rlação ao tmpo, amplado o su campo d aplcação. Os algortmos utlzados a atualzação das tsõs o proba vscoplástco podm sr os msmos dsvolvdos para tratar os probas lastoplástco, ão havdo a cssdad d dsvolvr ovos procdmtos vscoplástcos, basta apas troduzr a formulação vscosa aquls á propostos pla plastcdad. Além dsso,

3 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 3 como as tgras rfrts ao comportamto vscoso são trasformadas m tgras d cotoro, para tratar o proba vscoplástco plo MC basta apas dscrtzar o cotoro do corpo as rgõs tras od ocorrm plastfcação, rsultado m mor quatdad d dados d trada um mor custo computacoal. sta ova mtodologa proporcoa, com grad smplcdad, uma lvadíssma cooma computacoal uma ótma prcsão dos rsultados. O trabalho complto do autor aprsta d forma mas dtalhada as mtodologas aqu aprstadas. Na raldad, dvdo a falta d spaço apas a formulação vscoplástca com comportamto statâo srá xposta. orém, dv-s rssaltar qu muto mas fo dsvolvdo proposto plo autor com rlação a formulaçõs, lastoplástcas, vscolástcas, vscoplástcas algortmos d rtoro. Todas stas s cotram o txto fal da ts d doutorado, stado algumas dstas cotrbuçõs á publcadas m rvstas d mpacto tracoal. 2 MODLO VISCOLÁSTICO D BOLTZMANN st modlo é o mprgado a formulação d tos ftos. Cosdrou-s o comportamto a casca, to qu m mutos casos smulará o rforço a strutura, como possudo um comportamto vscolástco com comportamto statâo. O modlo d Boltzma (fg.) é rprstado plo arrao m sér do modlo d Klv-Vogt com uma mola. v η ε Fgura Modlo vscolástco d Boltzma (rprstação uaxal). εv st modlo s dfrca do modlo d Klv pla capacdad d smular dformaçõs lástcas statâas. Além do mas, st fca caractrzado pla gualdad das tsõs os dos trchos: lástco vscolástco. v = = () v od, são, rspctvamt, as tsõs totas, lástcas vscolástcas. Já as dformaçõs totas são dfdas pla soma das dformaçõs lástcas da prmra mola das dformaçõs vscolástcas rfrt ao couto mola-amortcdor. v ε = ε ε (2) Smlhatmt as dformaçõs, ε, ε ε v são, rspctvamt, as dformaçõs totas, lástcas vscolástcas. ara s obtr as quaçõs tgras é cssáro adotar como hpóts a gualdad dos cofcts d osso d ambos os trchos. sta smplfcação é bastat razoávl, pos a prátca o cofct d osso

4 4 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda rfrt ao trcho vscolástco pouco vara m rlação ao do trcho lástco. Além do mas, alado a sto, pod-s rssaltar o úmro lmtado d trabalhos ctífcos qu tratam do assuto a dfculdad m s obtr rsultados xprmtas razoavt prcsos. Assm, lvado m cosdração sta smplfcação, pod-s dfr as tsõs lástcas vscosas através das sguts rlaçõs: ε C = C v ε = ~ (3a) l v v = C ˆ ε = vc ε (3b) = η = γ C ε (3b) v ε v v l od são as tsõs lástcas rfrt a mola m parallo com o amortcdor. Not qu as tsõs vscosas são proporcoas a vlocdad d dformação, sdo v, rspctvamt, o modulo d lastcdad rfrt aos trchos lástco vscolástco. O cofct γ é o parâmtro rprstatvo da vscosdad do matral. st pod sr dtrmado através d rsultado d tsts d tração uaxal d csalhamto LMAITR CHABOCH(99) MNAIAR(998).O trmo η rprsta a matrz vscosa C a matrz costtutva lástca, dfda m uma forma dcal pla sgut xprssão: C = λδ δ µ δ δ δ δ ) (4) ( l m m l od λ µ são costats scrtas m fução do cofct d osso da sgut mara: ν λ = ( ν )( 2ν ) ; µ = (5) 2( ν ) Com rlação ao trcho vscolástco é possívl scrvr v l v v v ε v v ε = = = C γ C (6) Smlhatmt a xprssão (2), pod-s scrv uma rlação tr as vlocdads d dformação d ambos os trchos do modlo d Boltzma. v ε = ε ε (7) v od ε, ε ε são as vlocdads d dformaçõs totas, lástcas vscolástcas, rspctvamt. xplctado-s as dformaçõs lástcas a quação (3a) as dformaçõs vscolástcas a xprssão (6), fazdo-s uso da rlação (7), obtém-s: ε ε v C = (8a) = v C v γε = C v γ ( ε ε ) (8b)

5 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 5 Substtudo-s as xprssõs das dformaçõs lástcas ε vscolástcas ε v aprstadas as quaçõs (8a) (8b), rspctvamt, a dfção das dformaçõs totas ε m (2), obtém s a rlação rológca para st modlo. γ γ v v v = C ε C ε (9) v v v sdo a taxa d varação da tsão total com o tmpo. sta é a rlação qu dv sr mposta o dsvolvmto da quação tgral para s obtr a formulação vscolástca do método dos tos ftos spcífca para o modlo d Boltzma. 3 MODLO VISCOLÁSTICO (com comportamto statâo) O modlo vscoplástco aprstado st tm (fg. 2) é basado o modlo d Boltzma dscrto atrormt srá mprgado as sub-rgõs d tos d cotoro. st s dfrca do modlo vscoplástco aprstado o tm atror pla capacdad d smular dformaçõs lástcas statâas. O modlo é rprstado plo arrao m sér d um couto m parallo bloco/mola com a mola do trcho vscolástco do modlo d Boltzma. η ο v εvp H εv ε εvp Fgura 2 Modlo vscoplástco (rprstação uaxal). ε ara o modlo vscoplástco aprstado a fgura as dformaçõs são rlacoadas através da sgut xprssão: ε v vp v vp = ε ε ε ε = ε ε ε () od ε, ε, v ε ε vp são, rspctvamt, as dformaçõs totas, lástcas (comportamto statâo), vscolástcas vscoplástcas. Já as tsõs totas são dfdas pla soma das tsõs vscosas (o amortcdor) das tsõs lastoplástcas (o trcho lastoplástco), como: v p = ()

6 6 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda p v Smlhatmt as dformaçõs,, são, rspctvamt, as tsõs totas, lástoplástcas vscosas. ara s obtr as quaçõs tgras d cotoro é cssáro adotar como hpóts a gualdad dos cofcts d osso d ambos os trchos. sta smplfcação é bastat razoávl, pos a prátca o cofct d osso rfrt ao trcho vscolástco pouco vara m rlação ao do trcho lástco. Além do mas, alado a sto, pod-s rssaltar o úmro lmtado d trabalhos ctífcos qu tratam do assuto a dfculdad m s obtr rsultados xprmtas razoavt prcsos. Assm, lvado m cosdração sta smplfcação, pod-s dfr as tsõs através das sguts rlaçõs: p v ε v v ε = C ~ = C (2a) ε ε C = C v vp ~ vp = η ε = γc ε = γ = ˆ (2b) v C vp ε (2c) od são as tsõs lástcas rfrt a mola m sér com o amortcdor. Not qu as tsõs vscosas são proporcoas a vlocdad d dformação, sdo H o módulo plástco, v, rspctvamt, o modulo d lastcdad rfrt aos trchos statâo vscoplástco. O cofct γ é o parâmtro rprstatvo da vscosdad do matral. st pod sr dtrmado através d rsultado d tsts d tração uaxal d csalhamto LMAITR CHABOCH(99) MNAIAR(998).O trmo η rprsta a matrz vscosa a matrz C fca dfda m uma forma dcal pla sgut xprssão: C ~ = λ δ δ ~ µ ( δ δ δ δ ) (3) l m m l od λ ~ µ ~ são costats scrtas m fução do cofct d osso da sgut mara: ~ ν λ = ( ν )( 2ν ) ; ~ µ = ( ν ) (4) 2 Com rlação ao trcho vscoplástco é possívl scrvr p v v v ε v vp ε = = C γ C (5) Smlhatmt a xprssão (), pod-s scrv uma rlação tr as vlocdads d dformação d ambos os trchos do modlo proposto. v vp vp ε = ε ε ε = ε ε (6) od o poto sobr os trmos prsts a xprssão (6) dca a rspctva drvada com rlação ao tmpo, ou sa, vlocdad d dformação. xplctado-s as dformaçõs lástcas ε a quação (2b) as dformaçõs vscolástcas a xprssão (5), fazdo-s uso da rlação (6), obtém-s:

7 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 7 ε ε v C = (7a) = v C vp γε = C v γ ( ε ε ) (7b) Substtudo-s as xprssõs das dformaçõs lástcas ε vscolástcas ε v aprstadas as quaçõs (7a) (7b), rspctvamt, a dfção das dformaçõs totas ε m (), obtém s a rlação rológca para st modlo. v γ = C v v vp ( ε γε ) (8) v v sdo a taxa d varação da tsão total com o tmpo. sta é a rlação qu dv sr mposta o dsvolvmto da quação tgral d cotoro para s obtr a formulação vscoplástca do método dos tos d cotoro spcífca para o modlo aqu proposto. O trmo é orudo dos probas d tsão cal, sdo xprsso por: vp vp v vp ε = C (9) Not qu as xprssõs costtutvas srão cosdradas m sua forma total ão a forma crmtal como usuat é fto as formulaçõs lastoplástcas. Sdo assm, todos os trmos qu aparcm com um poto como sobrscrto rfrm-s ltrat a rspctva drvada o tmpo (ou sa: x = x t ) ão sgfcam crmtos ftsmas como usuat cotrado as ltraturas qu tratam da tora da plastcdad. 4 LMNTOS FINITOS A rprstação vscolástca d um corpo m qulíbro va MF, pod sr obtda a partr da quação d qulíbro státca., = b (2) od b são as compots das forças d volum rfrt a drção. od-s podrar o rro produzdo pla quação d qulíbro (2), quado a solução xata for substtuída por uma aproxmada, utlzado-s como fução podradora a fução d dslocamto vrtual δ u. Sdo assm, a quação d podração sobr todo o domío pod sr scrta como: δ u (, b ) d = (2) Itgrado-s por parts o prmro trmo da quação (2), obtém-s: δ u d δu d δu b d (22), =

8 8 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda sdo a varávl qu df o cotoro do corpo a compot do vrsor ormal a suprfíc. Sabdo-s qu = p qu δ u, = δε, od δε são as compots d dformaçõs vrtuas, a quação (22) fca δ u p d δε d δu b d = (23) A xprssão (23) é o tão cohcdo prcípo dos trabalhos vrtuas spcífco. A prmra a trcra tgras rprstam, rspctvamt, o trabalho das forças d suprfíc volumétrcas. A sguda tgral rfr-s ao trabalho das forças tras dá orgm a matrz d rgdz. A quação (23) é o poto d partda para a obtção da rprstação tgral vscolástca do MF. Nla s mpõ a rlação rológca dfda pla quação (9), d mara qu: v δu pd v δε C γ εd v v δε A quarta tgral pod sr scrta como: η γ v εd v δε d δu b d = δε d = δu, d (25) Itgrado-s por parts a quação (25) cotra-s: δε d = δu d δu d (26), Sabdo-s qu = p = b, a xprssão (26) tora-s: δε d = δu p d δu b d (27) Substtudo a xprssão (27) a quação tgral (24) obtém-s: (24) v δu pd γv v δu p d v δε C δu b d γ εd δu b d = v v δε C ε d (28) A xprssão (28) é a rprstação tgral vscolástca qu lva m cosdração o modlo rológco d Boltzma. Not qu a a, 2 a 6 a tgras são as msmas aprstadas a formulação lastostátca podm sr solucoadas sgudo o msmo prcípo. A trcra tgral é rsposávl plo comportamto vscoso. Já a quarta a quta tgras são rsposávs plo comportamto statâo, poddo cotrbur também para o comportamto vscoso caso ocorram varaçõs das solctaçõs com o tmpo. m gral, como o pso própro ão vara com o tmpo á

9 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 9 xsta ats da aplcação da cargas, pod-s cosdrara stas stuaçõs b = cosqütmt a quta tgral s aula. A quação tgral dfda atrormt pod sr trasformada m quação algébrca através do método dos tos ftos. Assm, o domío do corpo é dscrtzado com tos ftos, d tal sort qu as dsdads do domío sam rprstadas adquadamt, rsultado m: K ( t) V ( t) = L( t) Bb( t) L ( t) Bb ( t) (29) od t rprsta o tmpo, K é a ova matrz d rgdz da strutura, V a matrz vscosa, L L são as matrzs Lumpg rfrt rspctvamt a forças d suprfíc sua vlocdad. Os trmos B B são matrzs rfrt as forças volumétrcas a sua rspctva vlocdad. stas matrzs fcam dfdas como: K = V = L = = = s s= B = = L = B = γ s s s= = v v v v ~ β φ, φ, α α C C φ, φ, β m β m d d φ α φ d (3) φ α φ β γ v γ v d v v s b β s ~ β φ α φ d φ α φ β d s ara rsolvr a quação tmporal (3) faz-s uso d um adquado procdmto d tgração o tmpo. ara sto, pod-s fazr uso d téccas d tgração tmporal, tas como Nwmark β WARBRTON(976), Houbolt CODA VNTRINI(998) ou Wlso θ BATH(996), qu são usuat mprgadas m aálss dâmcas. Nst trabalho adotou-s uma smpls fct aproxmação lar para dfr as vlocdads. ( s s ) = (3a) s ( ) s s s = (3b) ( b b ) b s s s = (3c) od s rfr-s ao stat atual. Aplcado-s as xprssõs das vlocdads dfdas m (3) a xprssão (29), cotra-s o sgut sstma d quaçõs: K s F (32) = s

10 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda od [ K V ] K = (33a) Fs = [ L L ] s [ B B ] bs V s Ls Bbs (33b) ss é o sstma rfrt a sub-rgão d tos ftos qu dvrá sr acoplado a outras sub-rgõs do MC do MF para rsolvr o proba do acoplamto progrssvo. 5 LMNTOS D CONTORNO As rprstaçõs tgras vscoplástcas d um corpo m qulíbro va MC, podm sr obtdas, smlhatmt a tos d cotoro, a partr da quação d qulíbro., b = (34) od b rprsta as compots das forças d volum. od-s podrar o rro produzdo pla quação d qulíbro (34), quado a solução xata for substtuída por uma aproxmada, utlzado-s como fução podradora a solução fudamtal para o proba spcífco. Sdo assm a quação d podração sobr todo o domío pod sr scrta. uk (, b ) d = (35) od u k é domado solução fudamtal rprsta fscamt o fto d uma carga coctrada utára státca atuado m um poto d um domío fto. Itgrado-s por parts o prmro trmo da quação (35), obtém-s: uk d uk, d ukb d = (36) sdo a varávl qu df o cotoro do corpo a compot do vrsor ormal a suprfíc. Sabdo-s qu = p qu uk, = ε k, od ε k é a solução fudamtal m dformaçõs, a quação (36) fca uk pd ε k d ukb d = (37) A quação (37) é o poto d partda para a obtção das rprstaçõs tgras vscoplástcas. Nla s mpõ a rlação rológca dfda pla quação (8), d mara qu:

11 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... * uk uk v pd bd v v ε k Sabdo-s qu ε k C vp γ v ε d d = v ε k C γv ε d v ε k d (38) k C ε = kε = kul, m = ku, ε (39a) k C ε = k ε = ku l, m = ku, ε (39b) ε k uk =, (39c) logo a quação (38) tora-s: * uk uk v pd bd v v k ε k u, vp γv d d = v k u, γv d v uk, d (4) Aplcado-s tgração por parts a sguda, trcra quarta tgras da quação (4), cotra-s: * uk γ v pd v v uk v d k uk, u d d k, uk γv ud bd v v k ε k u d vp d = k, u d Fazdo-s uso, rspctvamt, da quação d qulíbro fudamtal da quação d qulíbro do proba ral scrta m forma d taxas, ambas xprssas como: (42a) δ ( p, s) δ k, =, k = b (42b) (4) od b é a taxa d varação das compots das forças volumétrcas, δ ( p, s) é o cohcdo dlta d Drac, s rfr-s a uma posção do domío do sóldo p rprsta a posção do poto fot. Aplcado-s a quação (42a) (42b) m (4), lvado-s m cosdração as proprdads do dlta d Drac os artfícos para tgras sgulars, sabdo-s qu k = p k qu = p, cotra-s: Cku( p) = γ u k p d v v u * k p d u b k d v k p u d γ v k ukbd p u d γc u ( p) v k k vp ε d (43) O trmo k C é o msmo obtdo as formulaçõs lastostátcas sua xprssão pod sr fact cotrada as bblografas usuas do método dos tos d

12 2 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda cotoro BRBBIA t al.(984) BRBBIA DOMINGZ(992).A quação (43) é a rprstação tgral da formulação vscoplástca do MC qu lva m cosdração o modlo dfdo a fgura 2. A a, 2 a 6 a tgras são as msmas aprstadas a formulação lastostátca podm sr solucoadas sgudo os msmos prcípos. Not qu a quarta a quta tgras são rsposávs plo comportamto statâo podm cotrbur para a rsposta vscosa s houvr varação das solctaçõs com o tmpo. A trcra tgral o quarto trmo do lado drto da quação tgral (43) são rsposávs plo comportamto vscoso. Not qu a úca dfrça dsta rprstação para a rprstação vscolástca é a prsça do últmo trmo o lado drto da quação (43) rsposávl plo comportamto plástco do corpo. sta tgral 2 aprsta sgulardad do tpo / r para o caso bdmsoal / r para o caso trdmsoal st trabalho srá tratada utlzado-s células (apas as rgõs od ocorrrão plastfcação) uma fct técca d trasformação d coordadas. Rssalta-s ada qu a púltma a últma tgras podm sr trasformadas m tgras d cotoro assm é possívl obtr uma xprssão mas lgat para o MC. Cosdrado-s, por xmplo, a stuação od b é uma fução costat m todo o domío do corpo cosqutmt b é costat m. Nsta caso as quaçõs d domío m (43) podm sr trasformadas utlzado-s coordadas polars tgrado-s m r, da sgut forma: ara 2D r u b d = b ukd = b ukrdrdθ = bu kdr d = b θ Bkd r r (44a) r u kb d = b u = θ = = kd b u krdrd b u θ r kdr d b B r kd (44b) k ara 3D 2 r drdθdϕ = b d = b u dr Bkd r k (44c) r b d = b u d = b 2 u r θ drdθdϕ = b u dr d = b B d k k cos( ) ϕ θ k k r r (44d) u = = k b d b u d b u r θ k ϕ θ r k cos( ) uk Assumdo a solução fudamtal d Klv o trmo B k fca xprsso por: ara 2D B k r = (3 4ν ) l( r) δ k r, 6π ( ν ) G 2 = (3 4ν ) δ k r, k r, 32π ( ν ) G r ara 3D B [ ] k k r, r (45a) (45b) sdo r = r( p ou, S), od as ltras maúsculas sgfcam varávs do cotoro as músculas do domío. Logo a quação tgral (43) pod sr scrta como: C u ( p) γc k γ uk k p d b u ( p) = v v u Bkd v * k p d v b k p u d γ Bkd v p u d * k k vp ε d (46)

13 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 3 A quação tgral dfda atrormt pod sr trasformada m quação algébrcas através do método dos tos d cotoro. Assm, o cotoro do corpo é dscrtzado com tos d cotoro o domío, od ocorrrá a plastfcação, com c células c, d tal sort qu as dsdads do cotoro sam rprstadas adquadamt. Dssa forma, as varávs do proba podm sr aproxmadas, paramtrzado-as com rlação aos sus valors odas, fazdo-s uso d fuçõs trpoladoras apropradas, rsultado m: v v vp H ( t) γ H ( t) = G( t) γg ( t) γbb ( t) Bb( t) Q ( t) (47) v Smlarmt ao MF para s tgrar o tmpo a quação atror dv-s fazr uso d um tgrador tmporal. or smplcdad, adotou-s uma smpls aproxmação lar para dfr as vlocdads, d mara qu: v v s s s = ; s s s = ; b b b s s s = ; s s s = (48) Aplcado-s a xprssão das vlocdads aprstadas m (48) a quação (47), cotra-s o sgut sstma d quaçõs: H od H = s = Gs Fs (49) γ H (5a) G = v v γ G γ v vp Fs = Bbs H s Gs Bbs Q s v t v γ γ γ (5b) (5c) 6 ACOLAMNTO SAL O acoplamto tr as formulaçõs dscrtas é basado a técca d sub-rgõs CODA VNTRINI(999) BR WATSON(992). Va, por xmplo a fgura 3, duas sub-rgõs dfdas por um domío (tos d cotoro) (tos ftos) são acopladas através d uma trfac.

14 4 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda boudary t ft t Fgura 3 Couplg btw boudary ad ft ts sub-rgos. É possívl scrvr para ambas as sub-rgõs um sstma d quaçõs como aqul dscrto a quação (49), scrto para o prst stat. H H t t G t Ft = (5a) t t G t Ft = (5b) As codçõs d compatbldad qulíbro ao logo da trfac são scrtas como: t t t = (52a) t t t = (52b) od os valors t t t t são rspctvamt, os dslocamtos as forcs d suprfíc ao logo da trfac o prst stat. Já t t t são valors d dslocamto força d suprfíc qu ão prtcm a trfac, rspctvamt. Substtudo quação (52) dtro da q.(5), rsulta: H H H G G H t t t t G = G G t t G t t Ft Ft (53) od rprsta valors prscrto a suprfíc d cotato. sta xprssão pod sr fact stdda para um arbtráro úmro d sub-rgõs CODA t al.(999). 7 ACOLAMNTO DO RFORÇO sta abordagm é mas dcada para tratar probas d acoplamto progrssvo qu volv srção d rgõs o corpo m tmpos pré-dtrmados, tas como os probas d rforço strutural d scavaçõs. O rforço é tratado como uma sub-rgão qu srá acoplada durat o procsso umérco. A trfac qu rcbrá

15 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 5 rforço, m gral, aprsta-s m uma forma dslocada. xcutado-s o acoplamto como dscrto o tm atror, matdo as codçõs d compatbldad qulíbro, mplctamt mpõ-s qu a trfac do rforço qu srá acoplada possurá dslocamtos forças d suprfícs prscrtas guas aos potos da trfac qu rcb o rforço. (t ) (t ) o rf st Fgura 4 tapas d um rforço strutural. S o acoplamto for cosdrado dsta forma for mprgado um rforço com as msmas proprdads físcas do mo rforçado, ocorrrá qu a strutura rcuprará a rgdz cal d uma strutura ítgra com a msma gomtra proprdads físcas da strutura rforçada, provocado uma dscotudad a curva dslocamto x tmpo, o qu ão é corrto. ara s vtar st proba, é cssáro fazr uma corrção o sstma d quaçõs, d mara qu as hpótss do rforço sam troduzdas corrtamt. sta corrção pod sr mlhor comprdda vsualzados a fgura 4. A fgura 4 aprsta as tapas d um proba d rforço. A strutura a sr rforçada, cat m rpouso, é solctada por uma força, orgado uma ova cofguração dslocada para a strutura, até qu, m um dtrmado stat, o rforço é acoplado. Not qu as codçõs d compatbldad qulíbro, para a trfac d cotato tr o rforço a strutura, cosdrado a hpóts d pquos dslocamtos, são agora xprssas como: Codção d compatbldad st = rf o (54a) Codção d qulíbro = (54b) rf sdo o o vtor d dslocamtos da trfac qu rcb o rforço o stat atror ao acoplamto do rforço. Os subscrtos rf st dcam os trmos rlacoados, rspctvamt, ao rforço a strutura a sr rforçada, ambos rfrts ao stat atual. É mportat obsrvar qu a codção d compatbldad para o proba d rforço é dfrt daqula aprstada a quação (52a). As quaçõs do proba o stat m qu o rforço é coctado são: st

16 6 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda ara ara st st st [ H st H st ] [ Gst ] [ Gst Gst ] B = st st st st (55a) (55b) rf rf rf [ H rf H rf ] [ Grf ] [ Grf Grf ] B = rf rf rf rf Substtudo as codçõs d compatbldad qulíbro, spcífcas para o proba d rforço, as quaçõs (55), cotra-s: H st st st H st Gst rf Gst Gst rf Bst H st o = H rf H rf Grf rf Grf Grf st Brf st rf (56) No sstma d quaçõs rfrt à sub-rgão qu rcb o rforço, aparc um trmo adcoal, orudo da quação d compatbldad. st trmo é a corrção qu dv sr mposta ao sstma, para qu as hpótss do rforço sam atddas. Após a rsolução do sstma d quaçõs, obtém-s st através das quaçõs (54), cotrado assm todas as cógtas solucoado compltamt o proba d rforço. Not qu, m um proba vscoso, a corrção dv sr mposta m todos os passos d tmpo, a partr do stat da srção do rforço. rf 8 ROCDIMNTO COM ACOLAMNTO ROGRSSIVO ara probas d progrssão, od parts d um sóldo são xtraídas srdas m tmpos pré-dtrmados, tal como m probas d scavaçõs rforçadas m tús, o procdmto d acoplamto das sub-rgõs é xatamt o msmo. As parts do corpo qu srão fxas, aqulas qu srão rmovdas aqulas qu srão troduzdas são rprstadas por sub-rgõs, d mara qu m uma dtrmada tapa do proba d progrssão sa possívl xcutar a xtração d parts do corpo a srção d outras. É dspsávl adoção d um modlo vscoso para st tpo d proba, pos st possblta xcutar a aáls m fução do tmpo, prmtdo dtrmar os tmpos d xtração clusão das sub-rgõs. O procdmto é dvddo m tapas. m cada tapa é dfda uma ova gomtra do proba, ou sa, é d uma tapa para a outra qu parts do corpo, caractrzadas por sub-rgõs d tos ftos ou tos d cotoro, são srdas ou xtraídas. As tapas são dvddas m passos d tmpo orudos das formulaçõs vscosas. O tmpo, com um sgfcado físco bm dfdo, prmac cotíuo d uma tapa para outra. S o proba cosdrado for vscoplástco, tora-s cssáro um procdmto tratvo dtro d cada passo d tmpo para s corrgr o rro d aproxmação, d mara qu o qulíbro sa ovamt stablcdo. ma dscrção sstmatzada d todo o procdmto com acoplamto progrssvo pod sr vsta os passos a sgur. asso - ara cada tapa do proba mota-s o sstma d quaçõs com as subrgõs acopladas. As matrzs d todas as sub-rgõs volvdas o proba só prcsam sr calculadas uma úca vz. stas dvm sr armazadas ldas o stat da motagm do sstma total da tapa atual. S o proba volv varação das

17 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 7 proprdads físcas com o tmpo, como é o caso do cocrto protado as dads cas, o sstma dv sr motado m todo passo d tmpo, acarrtado m maor custo computacoal. ) ( ) ( ) ( t B t G t H = (57) Not qu é possívl motar os sstmas d todas as formulaçõs dscrtas a ts smlhatmt a quação (57). Assm, para cada sub-rgão obtêm-s o vtor B as matrzs H, G com as codçõs d cotoro á mpostas pla forma padrão do MC. asso 2 - No íco d cada passo d tmpo calculam-s os valors prscrtos o stat atual dos dslocamtos, forças odas, forças d suprfíc forças volumétrcas, d mara qu: ( t) t t t = (58a) ( t) t B B t t = (58b) Os valors prscrtos podm varar sgudo qualqur fução dpdt do tmpo, smlhatmt as clásscas formulaçõs dâmcas WARBRTON(976) CODA VNTRINI(995). asso 3 Motagm do sstma d quaçõs total com a cotrbução d todas as subrgõs volvdas a tapa. = o o H H B B G G G G G H H G H H ) ( ) ( (59) Not qu o vtor d dslocamtos o ) (, rfrt aos graus d lbrdad das trfacs da sub-rgão coctados a sub-rgõs d rforço, obtdo o stat atror ao acoplamto do rspctvo rforço, dv sr ldo ats da motagm do sstma para s ftuar o cálculo do vtor d corrção. st dv sr salvo ão mas altrados, pos su valor srá smpr cssáro a motagm do sstma (59) m todos os stats a partr da srção do rforço. asso 4 Rsolvdo o sstma d quaçõs (59) solucoa-s o proba d cotoro, cotrado todas as cógtas rfrts às trfacs por mo das quaçõs (52), para acoplamto smpls, ou das quaçõs (54), para acoplamto com rforço. ara o caso mas gral, com m sub-rgõs coctadas a uma trfac, as codçõs d compatbldad qulíbro fcam scrtas como: = = = m m 2 sm rforço (6a)

18 8 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda = = 2 = m = rf m o com rforço (6b) sdo o o msmo dfdo o tm 7. Obtdas todas as varávs do proba d cotoro, dv-s rorda-las para cada sub-rgão salva-las m arquvos, para postrormt srm utlzadas asso 5 ara cada sub-rgão xcuta-s a ltura do(s) rspctvo(s) arquvo(s) com as varávs do proba d cotoro. Assm, cotram-s as tsõs totas, lástcas vscosas d acordo com tpo d sub-rgão (MC ou MF) da formulação adotada. v ( t), ( t), ( t) (6) Smlhatmt, stas dvm sr salvas m arquvos para srm postrormt utlzadas. S o proba cosdrado for vscolástco, o procsso s crra aqu dás íco a um ovo passo d tmpo /ou uma ova tapa rtorado-s ao passo 2,. D outra forma, s a sub-rgão cosdrada for do tpo vscoplástca é cssáro vrfcar s as tsõs ão volam o crtéro, caso cotráro dv-s fazr uma corrção através d um algortmo lastoplástco. Dvdo a falta d spaços st artgo, sts algortmos ão srão aprstados. orém, uma vsão dtalhada dls pod sr cotrada o txto fal da ts. sts algortmos são do tpo mplícto com xprssõs fchadas, basados m ls assocatvas ão-assocatvas. p p t p t = t d t (62) v p t = t t Dtrmadas as varávs tras, vrfca s a solução cosdrada é sufctmt prcsa por mo d crtéros d covrgêca. Vrfcada a covrgêca para todas as sub-rgõs, atualzam-s todas as varávs rfrts ao stat t, armazado-as as varávs rfrts ao stat t. Após sto, rtora-s ao passo, dado íco a um ovo passo d tmpo /ou uma ova tapa. Caso cotráro, atualzam-s as varávs rfrts ao stat t rtora-s ao passo 2, calculado-s os valors cógtos para o msmo stat da últma tração, raplcado-s o rsíduo d força (ou tsão cal) fazdo-s uso da quação (59) para a obtção das varávs d cotoro, caractrzado assm o procsso tratvo. Obtda a covrgêca m todos os passos d tmpo da tapa para todas as subrgõs, dá-s íco a uma outra tapa dtfcado quas as sub-rgõs qu dvrão sr srdas ou aqulas qu dvrão sr xtraídas. Mota-s ovamt o sstma rpt-s todo o procdmto dscrto atrormt.

19 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto XMLOS NMÉRICOS 9. xmplo : órtco 2D sobr solos dfrts A strutura aalsada é um pórtco d dos pavmtos solctado por cargas coctradas costats o tmpo, aplcadas as xtrmdads do ívl mas alto. O pórtco é smétrco sus dos plars stão coctados a sapatas qu s cotram acopladas ao solo. As proprdads físcas dos solos coctados às sapatas são dfrts, d mara qu stas aprstarão rcalqus dsttos. A aáls fo xcutada com um crmto d tmpo () d, mês lvou o tmpo total d 48 mss. Tabla : roprdads físcas gométrcas RORIDADS FÍSICAS GOMËTRICAS Solo Solo2 órtco = 2, Ga = 2, Ga = 2, Ga v = 2, Ga v =, Ga A =,3 m 2 ν =,4 ν =,4 I =,225 m 4 γ=mss γ=5mss O pórtco, dscrtzado como uma sub-rgão m tos ftos, é cosdrado lástco as sub-rgõs qu caractrzam os solos são ambas dscrtzadas por tos d cotoro cosdradas como vscolástcas sgudo o modlo d Boltzma. A gomtra a dscrtzação do proba são aprstados a fgura 5 as proprdads físcas são xpostas a tabla. Cosdrou-s um macço rochoso dformávl, localzado a 24m abaxo da suprfíc, rstrgdo-s os graus d lbrdad localzados sta posção. 6m h 3m b A 3m y x 2 2 2m 2m 3 24m 26m 26m Fgura 5 Gomtra dscrtzação.

20 2 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda O qu s dsa é aalsar o comportamto do pórtco solctado acoplado aos solos com dfrts proprdads físcas assm, vrfcar como as proprdads vscosas trfrm o comportamto global da strutura. A fgura 6 aprsta os rsultados do rcalqu com o tmpo d ambas as sapatas., Dslocamto (m) -, -,2 -,3 -,4 Sapata Sapata 2 -, Tmpo (mss) Fgura 6 Rcalqu das sapatas. É possívl vrfcar qu as proprdads vscosas dfrts dos solos troduzram um rcalqu dfrcal a strutura, provocado uma rdstrbução dos sforços o pórtco. ssa rdstrbução d sforços pod sr vsualzada a fgura 7 qu xpõ rsultados do momto prst a xtrmdad drta da barra horzotal do prmro ívl do pórtco (poto A). 3, 2,5 Momto (kn/m) 2,,5,,5, Momto Tmpo (mss) Fgura 7 Momto o poto A. Dv-s otar qu, caso os solos tvssm as msmas proprdads vscolástcas, dvdo a smtra do proba, o rcalqu m ambas as sapatas sra o msmo

21 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto... 2 cosqutmt ão aparcra momto o poto A. orém, dvdo ao rcalqu dfrcal, cosqüêca das proprdads vscolástcas dfrts dos solos, é possívl vrfcar o aparcmto d sforços troduzdos a strutura. O momto atg um valor máxmo logo dpos s stablza m um valor um pouco mor. Isto é dvdo aos dfrts valors dos cofcts vscosos qu duzm vlocdads d dformação dfrts para os solos. Ou sa, o stat od o momto atg o su máxmo, o rcalqu dfrcal tr as sapatas é máxmo, porém, com o tmpo a sapata dsloca-s mas, atgdo o su máxmo dslocamto, dmudo o valor do rcalqu dfrcal cosqütmt do momto. 9.2 xmplo 2 Rforço progrssvo d túl 2D ma cavdad clídrca solctada por uma prssão tra aalsada para a stuação d stado plao d tsão. As rspostas foram obtdas, va fgura 8, para o túl sm rforço para o msmo rforçado, sdo qu st últmo o rforço é srdo ats da aplcação da carga, o íco do procsso. A cavdad é solctada sm hum rforço, até qu m uma sguda tapa (após t=das) o rforço é srdo d duas maras. A prmra cosdrado o acoplamto com as hpótss usuas d compatbldad qulíbro. Já a sguda é ralzada lvado m cosdração as hpótss spcífcas para o rforço. solo ª tapa ( t das) y r x 2ª tapa roprdads físcas ( das < t 9 das) Solo (rocha brada) Suport y = 34, kgf/cm 2 kgf/cm 2 = 268, v = 45, kgf/cm 2 v = solo ν =,5 γ =, da suport γ = 7,4285 das x Gomtra rssão r = 254, cm = 7,3kgf/cm 2 r = 3, cm arâmtros da aáls =,5 da N o d =8 Fgura 8 Rforço d uma cavdad clídrca. Na fgura 9, a rsposta dstas duas aálss são plotadas utamt com a rsposta aalítca do proba sm rforço, a rsposta do MC sm rforço a rsposta do MC com o rforço a partr do stat cal.

22 22 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda Dslocamto (cm) Aalítco MC MC/MF Rforço sm hpóts Rforço com hpóts Tmpo (das) Fgura 9 Dslocamto radal do túl. É mportat obsrvar qu a xcução umérca do acoplamto sm as hpótss do rforço faz com qu a strutura rcupr sua rgdz cal como s foss uma strutura tgra, o qu ão ocorr a prátca. A mposção das hpótss do rforço o acoplamto prmt smular cortmt a cotrbução dst o comportamto global da strutura. 9.3 xmplo 3 Rforço progrssvo d um buraco sférco ma cavdad sférca localzada m um mo fto é aalsado. A strutura com 2m d rao é solctado por uma prssão tra. O solo, cosdrado como um matral vscolástco, é rforçado por um suport lástco acoplado o stat t = 2das. O mo fto é dscrtzado com tos d cotoro tragulars d três ós o suport com o to fto d casca proposto m MSQITA(998). As tapas, a dscrtzação utlzada para ambas as sub-rgõs os dados do proba são aprstados a fgura. solo solo ª tapa ( t 2das) y x r 2ª tapa (2 < t 8das) y suport x r roprdads físcas Solo Suport = 3, ka = 2, ka v = 35, ka v = 2, ka ν =,3 ν =,3 γ = 9,5 das γ =, Gomtra r = 2, m =, m arâmtros da aáls =,5 da N o d =6 rssão = 2, ka Fgura Dados do proba d rforço.

23 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto Rsultados do dslocamto radal d um poto localzado a 8m do ctro da cavdad sférca são aprstados a fgura. Os rsultados foram obtdos cosdrado-s o acoplamto do suport com sm as hpótss do rforço. Rsultados da aáls vscolástca da cavdad sférca sm qualqur tpo d acoplamto são também plotados para mlhor lustrar a cotrbução do rforço para o rcmto global.,5 Dslocamto(m),2,9,6,3 Sm rforço Sm hpótss Com hpótss Tmpo(das) Fgura Dslocamto radal da cavdad sférca. Smlhatmt, a fgura 2 aprstam-s rsultados das tsõs r (total, lástca vscosa) xtraídas a msma posção od foram calculados os dslocamtos da fgura para a codção d rforço progrssvo. Tsão(ka) -,5 - -,5-2 -2,5 Total lástca Vscosa Tmpo(das) Fgura 2 Tsõs r (total, lástca vscosa). Na fgura 2 obsrva-s a rdução dos ívs d tsão com a trodução do rforço. Not qu a soma da tsão lástca da tsão vscosa é smpr gual a tsão total, vdcado a satsfação do modlo rológco.

24 24 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda 9.4 xmplo 4 Bloco 3D lastoplástco submtdo ao pso própro O xmplo fo proposto com o tuto d dmostrar uma aplcação do acoplamto progrssvo vscoplástco. m bloco paralppédco submtdo a ação do pso própro é costtuído por um matral vscoplástco. ª tapa ( t 25h) 2ª tapa (25h < t h) z 4 cm 2 cm 2 cm y bx = 5 kgf/cm 3 roprdads físcas Bloco Atparo = 2, 5 kgf/cm 2 = 2, 5 kgf/cm 2 v = 5, 4 kgf/cm 2 v = 5, 4 kgf/cm 2 ν =, ν =, γ =,5 h γ =, so própro do bloco bx = 5, kgf/cm 3 arâmtros da aáls =,5 h N o d =2 x Fgura 3 Dados do proba. O proba é aalsado lvado-s m cosdração os crtéros d vo Mss 2 Druckr-pragr. ara a prmra stuação adotou-s t =,kgf / cm a tsão d 2 plastfcação y = 3,kgf / cm. O proba aalsado com o modlo d Druckr a 2 cosão, o âgulo d atrto módulo tagt plástco são adotados como:,73kgf / cm, 2 o 2, t =,kgf / cm, rspctvamt. O modlo vscoplástco utlzado fo aqul com comportamto statâo o algortmo para atualzação das tsõs mprgada é aqul com l d fluxo ão-assocatva. Os dados, a gomtra a dscrtzação do proba são aprstados a fgura 3. Rsultados do dslocamto axal da fac lvr do bloco vscoplástco são aprstados a fgura 4 para ambos os modlos d Drukr- ragr(d) vo Mss(VM).

25 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto Dslocamto(cm) Vscolástco Vscoplástco_VM Vscoplástco_D Tmpo(h) Fgura 4 Dslocamto axal do ó ctral da fac lvr do bloco. A volução da força d cotato a trfac d cotato tr os dos blocos pod sr vsualzada a fgura 5. Força d Cotato(kgf/cm 2 ) Vscolástco Vscoplást_VM Vscoplást_D Tmpo(h) Fgura 5 Força d cotato a trfac d cotato do bloco. or fm, a rsposta da tsão lástca x, vscosa v x total x xtraídas o ctród do bloco são aprstadas a fgura 6 para o crtéro d vo Mss a fgura 7 para o modlo d Druckr, ambos cosdrado o acoplamto com as hpótss do rforço.

26 26 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda Tsão(kgf/cm 2 ) Total lástca Vscosa Tmpo(h) Fgura 6 Tsõs o ctród do bloco (vo Mss). Tsão(kgf/cm 2 ) Total lástca Vscosa Tmpo(h) Fgura 7 Tsõs o ctród do bloco (Druckr-ragr). Algumas coclusõs podm sr xtraídas dst últmo xmplo. Smlhatmt ao proba vscolástco, obsrv qu, para aáls com o modlo d vo Mss, o valor da força d cotato o stat t=h (com a hpóts do rforço) é d 67,4kgf/cm 2. st valor dv sr gual a rdução da tsão total o fal da aáls qu é 67,8kgf/cm 2. Lvado m cosdração as complxdads volvdas qu o proba é aalsado d forma aproxmada, pod-s dzr qu sts valors stão bm próxmos. st rsultado rprsta o stado d qulíbro do corpo. ara o proba com o modlo d Druckr a força d cotato m t=h é 7,8kgf/cm 2 á a rdução da tsão total é 793,9kgf/cm 2.

27 Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto CONCLSÕS O acoplamto s aprsta como uma frramta adquada para o tratamto d probas d tração, tas como: solo-strutura strutura-strutura. tos d cotoro são mas adquados para tratar probas com domío fto ou smfto rgõs d coctração d tsõs fluxo. Já tos ftos são mas aproprados para probas volvdo matras compóstos, asotrópcos, struturas m cascas rtculadas. Cosqutmt, a aplcação adquada d ambos os métodos a smulação d um proba d tração, possblta uma mlhor rprstação d todo o proba, torado o acoplamto uma frramta bastat fct. As ovas hpótss adotadas para o acoplamto do rforço prmtram caractrzar d forma mas ralsta a cotrbução dst para o rcmto global Os algortmos mprgados tato a formulação lastoplástca quato as formulaçõs vscoplástcas foram dsvolvdos sgudo a mtodologa d algortmos do tpo rtur mappg. sts, além d possbltar uma fct atualzação das tsõs, prmtm a obtção da matrz costtutva lastoplástca cosstt com o algortmo d rtoro, prsrvado a taxa d covrgêca quadrátca do método d Nwto-Raphso. As xprssõs do multplcador plástco d todos os algortmos aprstados foram obtdas d forma fchada, ão havdo a cssdad d procdmtos tratvos para solucoar a codção d cosstêca As formulaçõs vscolástcas vscoplástcas s aprstaram bastat fcts, prcsas stávs. Além do mas, stas possbltam com smplcdad lgâca o acoplamto progrssvo a aplcação d codçõs d cotoro (forças dslocamtos) varado ao logo do tmpo. m partcular, para tos d cotoro, sta ova abordagm prmt aalsar probas vscolástco dscrtzados apas o cotoro do corpo rsultado m uma baxíssmo custo computacoal. ara o caso vscoplástco plo MC xst a cssdad d s dscrtzar, além do cotoro, apas as rgõs od ocorrrão plastfcação, rsultado ada m cooma computacoal. AGRADCIMNTOS Agradcmos à Fudação d Amparo à squsa do stado d São aulo - FAS plo apoo facro cocddo para o dsvolvmto dst trabalho. 2 RFRÊNCIAS ARGYRIS, J. H.; DOLTSINIS, J. S. T.; WILLAM, K. J. (979). Nw dvlopmts th lastc aalyss of quasstatc ad dyamc probs. It. J. Num. Mth. g., v.4, p BATH, K. J. (996). Ft t procdur. glwood Clffs, SA: rtc Hall. BR, G.; WATSON, J. O. (992). Itroducto to Ft ad Boudary t Mthods for grs. Nw York: Joh Wly Sos.

28 28 Arthur Das Msquta Humbrto Brvs Coda BRBBIA, C. A.; DOMINGZ, J. (992). Boudary ts: a troductory cours. 2.d. Grat Brta: McGraw-Hll Book Compay. BRBBIA, C. A.; TLLS, J. C. F.; WROBL, L. C. (984). Boudary t tchqus: thory ad applcatos grg. Brl: Sprgr-Vrlag. CODA. H. B.; VNTRINI, W. S. (995). Thr dmsoal trast BM aalyss. Computr of Structurs, rgamo, v. 56,. 5, p CODA, H. B.; VNTRINI, W. S. (998). Boudary t Dyamc o-lar Strss Aalyss by Mass Matrx Approach. I: BONDARY LMNTS, 2., Computatoal Mchacs ublcatos, Southampto, p LMAITR, J.; CHABOCH, J. L. (99). Mchacs of Solds. Cambrdg vrsty rss. MSQITA, A. D. (998). ma formulação do método dos tos ftos aplcada à aáls lastoplástca d cascas. São Carlos. 44p. Dssrtação (Mstrado) - scola d ghara d São Carlos - vrsdad d São aulo. MSQITA, A. D. (22). Novas mtodologas formulaçõs para o tratamto d probas lástcos com acoplamto MC/MF progrssvo. São Carlos. Ts (Doutorado) - scola d ghara d São Carlos - vrsdad d São aulo. MNAIAR NTO, J. (998). m studo da formulação d modlos costtutvos vscolástcos lasto-vscoplástcos do mprgo d algortmos mplíctos para a sua tgração umérca. São Carlos. 24p. Ts (Doutorado) - scola d ghara d São Carlos - vrsdad d São aulo. OWN, D. R. J.; DAMJANIC, F. (982). Vscoplastc aalyss of solds, stablty cosdratos. I: RCNT ADVANCS IN NON-LINAR COMTATIONAL MCHANICS. k: rdg rss. RZYNA,. (966). Fudamtal probs vscosplastcty. Adv. Appl. Mch., v.9, p TLLS, J. C. F.; BRBBIA, C. A. (982). lastc/vscoplastc probs usg boudary ts. It. J. Mch. Sc., v.4,., p WARBRTON, G. B. (976). Th dyamcal bhavour of structurs. 2. d. Oxford: rgamo rss. ZINKIWICZ, O. C.; CORMA, I. C. (974). Vsco-plastcty-plastcty ad crp lastc solds-a ufd umrcal soluto approach. It. J. Numr. Mth. gg., v. 8, p