ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIO ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 ISS AÁLISE ÃO-LIEAR E ESTRUTURAS E PAVIETOS E EIÍCIO ATRAVÉS O ÉTOO OS ELEETOS E COTORO Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur Rumo t trabalho, a formulação lar do método do lmto d cotoro - EC, baada a hpót d Krchhoff, é adaptada à aál d trutura d pavmto d dfíco, lvado- m cota, além da flxão, o comportamto do lmto como mmbraa. A formulação tgral é dduzda a partr da prmra dtdad d Btt, od a laj vga ão codrada com rgdz cotat. A fm d rduzr o úmro d grau d lbrdad, aprta- um modlo od a vga ão rprtada por u xo médo. Etd- a formulação à aál ão-lar, atravé da cluão d campo d forço ca, od a tgra d domío ão calculada atravé da dcrtzação m célula tra. A olução ão-lar é obtda a partr da formulação mplícta, utlzado- o oprador tagt cott. O crtéro lato-plátco utlzado é o d Vo, do o forço m uma ção qualqur da placa calculado umrcamt a partr do valor da tõ. Palavra-chav: lxão d placa. Elmto d cotoro. Pavmto d dfíco. O-LIEAR AALYSIS O BUILIG LOOR STRUCTURES BY THE BOUARY ELEET ETHO Abtract I th work, th plat bdg lar formulato of th boudary lmt mthod - BE, bad o th Krchhoff' hypoth, xtdd to corporat bam lmt. A umrcal modl to aaly buldg floor tructur obtad, whch tff furthr crad by th prc of mmbra ffct. A altratv formulato whr th umbr of dgr of frdom furthr rducd alo vtgatd. Th, th formulato xtdd to prform o-lar aaly by corporatg tal ffort fld whr th o-lar oluto obtad ug th local cott tagt oprator. Th doma tgral rqurd, to valuat th tal ffort fluc, ar prformd by ug th wll-kow cll ub-dvo. Th o-lar bhavour valuatd by th Vo crtro, that vrfd at pot alog th plat thck, appropratly placd to allow prformg umrcal tgrato to approach momt ad ormal forc ug Gau pot chm. Kyword: Plat bdg. Boudary lmt. Buldg floor tructur. ITROUÇÃO O urgmto do método do lmto d cotoro a ua utlzação como uma altratva para a obtção d oluçõ umérca m qua todo o campo da ghara rprta um avaço gfcatvo qu ocorru a ára do cohcmto o últmo ao. Em muto problma, comprovadamt, método é uma altratva ma prca qu prmt a obtção d rpota ma cofáv quado comparada com a do método uua. Em alguma aplcaçõ a quaçõ tgra ão rprtaçõ xata do modlo matmátco utlzado para rprtar o problma fíco, o qu, m gral, é traduzdo como aumto d cofaça o rultado obtdo. E outora m Eghara d Etrutura - EESC-USP, gabrla.frad@pq,cpq.br Profor do partamto d Eghara d Etrutura da EESC-USP, vtur@c.up.br Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

2 56 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur método vm dprtado o pquador do grad ctro d pqua um tr crct qu tm rultado m orm progro. modo, o qu propõ a gur, é ma um trabalho o qual utlza como método umérco apa o método do lmto d cotoro od prtd dvolvr uma formulação ão-lar para aál d pavmto d dfíco. O pavmto é modlado por uma placa compota d ub-rgõ d dfrt rgdz, do cada ub-rgão a rprtação d uma vga ou laj. Icalmt, é dvolvda uma formulação para aál lar d placa ujta à flxão mpl, od a ub-rgõ ão rprtada por ua uprfíc méda. Em guda, é troduzdo a formulação o fto d mmbraa, para qu poa fazr a aál fora da uprfíc méda da ub-rgõ. Por últmo, é obtda a formulação ão-lar, atravé da cluão d forço ca a formulação lar. ETOOLOGIA A programação da formulação aprtada fo fta m lguagm ORTRA para mcrocomputador a fm d vrfcar o modlo propoto, foram aalado xmplo umérco cujo rultado ão comparado com o xtt a ltratura ou cuja rpota podm r obtda aaltcamt. Como método umérco, utlzou- o EC drto baado m colocação, tdo do codrado a aál ão-lar o oprador tagt cott. ESEVOLVIETO A gur rá aprtada a formulação lar do EC para flxão d placa compota d ub-rgõ d dfrt rgdz dfda m dfrt plao. Prtd- com a formulação rprtar o pavmto d um dfíco ujto à flxão, codrado- a prça d forço d mmbraa. A formulação é obtda atravé d um acoplamto da tora d chapa placa dlgada ujta à flxão mpl. A aál do pavmto rá fta rprtado- cada laj ou vga por uma ub-rgão. Icalmt, rá dvolvda a formulação dfdo- a varáv obr o cotoro xtro trfac da placa. modlo, ao logo do cotoro xtro do pavmto da trfac tr dua ub-rgõ rão codrado o gut grau d lbrdad por ó: o dlocamto travral (w), a drvada do dlocamto travral a drção ormal ao cotoro, rotação (w,) o dlocamto u, u o plao da placa, do a drção tagcal ao cotoro. a trfac, ada rão dfda a força p p.. Em guda, rá codrado o modlo altratvo, od a varáv ão dfda o xo da vga. modlo, rão dfda o xo da vga a mma varáv qu xtam a trfac do modlo atror ada a rotaçõ u, u,. O problma d placa m ub-rgõ ujta à flxão mpl pod r cotrado o trabalho d Vtur & Pava (988) Vtur (988). A formulação ão-lar é obtda a partr do prmro torma d Btt (87), como fo fto para obtr a formulação lar, codrado- porém, qu a placa é ujta também a campo d momto força orma ca. Ea formulação também podra r uada para fazr uma aál lar, od o forço ca ram orgáro d gradt d tmpratura, por xmplo. Cotudo, o proco tratvo da aál ão-lar, ta forço ca ão codrado como do o campo d momto força orma d corrção qu dvm r aplcado à placa, a fm d qu la alcac o u qulíbro. A aál ão-lar da placa ujta à flxão mpl pod r cotrada o trabalho d Chur (994) rad (998). Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

3 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 57. EQUAÇÕES ITEGRAIS E PLACAS PARA OÍIOS COPOSTOS.. Rlaçõ báca o cao do problma d flxão, codrado- o fto d mmbraa, cada ub-rgão é rprtada pla uprfíc d rfrêca ão ma por ua uprfíc méda como ra o cao da flxão mpl. A uprfíc d rfrêca é aqula m rlação à qual dfm o valor da varáv o cotoro trfac. Codr- a placa rprtada a gura, od admt como uprfíc d rfrêca, a uprfíc méda do ubdomío Ω Suprfíc d rfrêca t / t / x x x t /c x x t / c gura Placa ubdvdda m ub-rgõ. od t, t t ão, rpctvamt, a pura da ub-rgõ Ω Ω Ω ; c c rprtam o dlocamto da uprfíc méda m qutão m rlação à uprfíc d rfrêca, ou ja, cao: c t / t / c t / t / ; x x ão o xo a drção x tdo como rfrêca a uprfíc méda da ub-rgõ Ω Ω ão dado por: x x c ; x x c. Para obtrm o tor d dformação d tão a placa, ujta à flxão compota, omam- o problma d chapa placa dlgada, od ão codrada a hpót d Krchhoff (850). Com o, o campo d dlocamto, além da compot travral w a drção x, também há a compot u u a drçõ x x do plao da placa. ot- qu o dlocamto u u trão uma parcla rfrt ao problma d placa ( u x w, ) outra rlatva ao problma d chapa. modo, o tor d dformaçõ é dado pla xprão: ε ε ε,j, () j j j od a parcla do problma d chapa rpctvamt, por ( u u ) ε j, j j, ε j x w, j. ε j aqula do problma d flxão ε j ão dada, Lmbrado- qu trata d um tado plao d tão, com o tor d tão dado por: σ σ σ,j, () j j j do σ j σ j dado, rpctvamt, por Ex [ νw, kk δj ( ν) w j ] ( ν ) σ. j, E ( ) ( ) [ νε kk δj ν εj ] ν σ j Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

4 58 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur Itgrado- a tõ ao logo da pura da ub-rgão, obtêm- o forço rultat a uprfíc méda da mma. Am, o forço ormal j o momto m j m uma ub-rgão, dfdo m ua uprfíc méda, ão dado rpctvamt, por: j E [ νε kk δj ( ν) εj ] ( ν ), j, () m [ νw, δ ( ν) w ] j kk j, j (, j, k,) (4) do ν o cofct d Poo; E o módulo d latcdad logtudal; E rprta a rgdz à flxão da placa. te, Et, ( ν ).. Equaçõ tgra do dlocamto o domío A quaçõ tgra podm r obtda a partr do prmro torma d Btt (87), qu é váldo para cada ubdomío Ω da gura, ou ja: σjεj dv σj εjdv (5) V V od ε j σ j ão a oluçõ fudamta para a ub-rgão Ω V u volum. É codrado apa o cao m qu toda a ub-rgõ têm o mmo cofct d Poo, logo a tõ fudamta ão mudam d um ub-domío para outro, ou ja: σ j σ j. Lvado- m cota a Eq. () (), pod- dzr qu ε jk () jk ε - x w σ σ σ. Itgrado- ao logo da pura t codrado- paradamt o problma bdmoal d flxão, obtêm-:, j jk () jk jk Ω ε () kj dω j εj dω (6) Ω kj w, Ω j m dω j Ω w, j j m dω (7) od jk m jk ão a cohcda oluçõ fudamta do problma bdmoal d flxão. Porém, a fm d obtrm a Eq. (6) (7) m fução do dlocamto força a uprfíc d rfrêca, codr a gut rlaçõ: ε j( Ω ) εj c w, j (8) Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

5 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 59 od ε j mj( Ω ) mj c j (9) m j ão a dformaçõ momto a uprfíc d rfrêca. Além do, para qu poa fazr o qulíbro do forço dlocamto a trfac, apó a tgração por part, é covt crvr a Eq. (6) (7) m fução da curvatura ( w, j ) dformaçõ ( ε kj ) fudamta do ub-domío od tá o poto d colocação. Am, codr a gut rlaçõ: () E ε kj εkj (0) E w, () j w, j od E ão rlatvo ao ub-domío od tá o poto d colocação. Subttudo- a Eq. (8) a (0) m (6) (7), chga- à: E ε kj jdω kj εj dω c kj w, jdω E Ω Ω Ω () c w, Ω j dω w, j Ω j m dω j Ω w, j j m dω () Codrado- um cao gérco d uma placa compota d ub-rgõ a xprõ do problma bdmoal d flxão ão dada rpctvamt, por: ε E kj j dω kjεj dω c Ω E Ω Ω kj w, jdω, k,j, (4) Ω c w, j dω j Ω w, j m dω j Ω w, j m dω j (5) Itgrado- a Eq. (4) (5) por part, chga- à quaçõ tgra do dlocamto d um poto do domío para o problma bdmoal d flxão, crta m fução d tgra ao logo do cotoro xtro da placa da trfac: E k k ( k k ) dγ [ c ( q) w, ( q) u ( q) ] u ( P) p ( q, P) u ( P) p ( q, P) E Γ ( E j E pa ) ( u ( P) p ( q, P) u ( P) p ( q, P) ) k k t E j Γj dγ j S E E Γ c [ p k ( q,p) w, ( P) Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

6 60 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur t ( q,p) w, ( P)] ( E jc j E pacpa ) Γ ( p k ( q,p) w, ( P) p k ( q,p) w, ( P) ) dγj p d Γ k E j Γj ( u ( q,p) p ( P) u ( q,p) p ( P) ) dγ u ( q,p) b ( p) u ( q,p) b ( p) ( k k ) k k dω kl,m Ωb (6) od q é o poto d colocação; o poto P dca um poto campo p pocoado obr o cotoro ou uma trfac; t é o úmro d trfac; Γ é o cotoro xtro da placa; Ω pa é a ub-rgão adjact; Γ j é a trfac prtct ao domío Ω j, qu dvd dua ub-rgõ qu dca o tdo m qu faz a tgração; ão a drçõ ormal tagcal ao cotoro; k a drção da carga fudamtal; m l ão a drçõ ormal tagcal ao cotoro od tá o poto d colocação. S w w (q) ( q,p) ( P) V ( q,p) w( P) dγ( P) Γ t j Γj j pa w ( q,p) ( P) V ( q,p) w( P) dγ ( P) j c () R c ( q,p) w ( P) c c V Γ j c pa R ( q,p) w ( P) ( ) R P w ( q, P ) cj c w c ( P) w ( q,p) ( P) ( q,p) dγ( P) c p ( P) w, ( q, P) c c [ Γ t p ( P) w, ( q, P)] dγ ( c j c pa ) [ p ( P) w, ( q,p) p ( P) w, ( q,p) ] dγj j Γj ( g( p) w ( q,p) ) dωg ( p) b ( p) w, ( q,p) b ( p) w, ( q,p) Ωg [ ] Ω c dω (7) od Ω g é a rgão m qu atua o carrgamto travral g; j é a rgdz rfrt ao domío Ω j ; pa a rgdz do domío adjact à Ω j ; c, c c ão o tpo d cato dfdo a gura. O cato c é um cato mpl volv apa um ub-domío. O cato c volv do ubdomío tá dfdo o cotro d dua vga d rgdz dfrt ou o cotro d uma vga com uma laj; já o cato c volv trê ub-domío (cao do cotro d dua vga com uma laj). o cao d c a rgdz pa rfr à vga qu é trrompda (a gura para o cato formado por V, V Ω j, pa v ). Para poto obr o cotoro ou trfac, a Eq. (6) (7) dvm r modfcada, adcoado o trmo lvr o lado qurdo da quação. Am, o lado qurdo da Eq. (6) traforma m: ( E t / Et) δ ( u c w, ). Para o problma d flxão (Eq. 7), o trmo lvr para o dfrt cao ão dado a Tabla. pa pa kj j j Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

7 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 6 c c c c c c c c c c c c c c β γ c V c c c c V Γ j Ω j c β c c c β c γ c c c gura Tpo d cato a placa com ub-rgõ. a Eq. (6) (7) a varávl w, é lmada, po la é aproxmada por dfrça fta. A fm d rduzr o úmro d grua d lbrdad do problma, rão fta aproxmaçõ para o dlocamto u, u, w w, para a força p p obr a trfac, qu pobltarão dfr a varáv apa a lha méda da vga. Para o, codr a gura. O vtor dcado o xo da vga (lha tracjada) rprtam o tdo da ormal da vga tra xtra ( v v ), am como o tdo ( v v ) m qu o lmto dvm r dclarado. a lha cotíua tão dcado o tdo d tgração do cotoro da vga, qu acompaham mpr a ortação do cotoro da laj. ot- qu o cao da vga tra, a mma for dfda a drção d y o lmto dvm r dclarado o tdo vro ao do xo y o cao dla r dfda a drção d x, dvm gur o tdo d x. Etrtato, para a vga xtra o lmto ão dclarado gudo a ortação do cotoro xtro da placa. Portato, o cao da vga xtra a tgra obr o cotoro da vga ão fta o mmo tdo da ua lha méda, logo gudo a mma drçõ da ormal do cotoro, to é, v. Porém, para a vga tra, a tgral rfrt ao domío Ω é fta Γ Γv v Γ Γv o tdo cotráro da lha méda, ou ja, v v. Γ v Γv Γ v Γv Tabla Valor d K(Q) VALOR E K(Q) POSIÇÃO E Q K(Q)0.5 Q o cotoro xtro K (Q) 0.5 ( / ) pa j Q a trfac; poto m j Γ da gura K β π ( Q) γ 0.5 π Q do tpo c (gura ), para (Q) laj, β é dfdo a laj γ a vga (trrompda) d rgdz. K(Q) β π pa j γ π Q do tpo c (gura ), para (Q) j ( j pa ão, rpctvamt, a rgdz da placa od dfm β γ) K (Q) β / π Q do tpo c (gura.). Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

8 6 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur v Γ v v v Γ v v Γ Γ Γv Γv y Γ Ω - v Ω x Γv a v a v Γ v Γv Γv a v a v Γ gura odlo d pavmto qu rprta a vga pla ua lha méda. od a largura da vga tra é dada por a v a da vga xtra por a v, do qu a largura dvm r dfda mpr a drção da ormal da vga. São fta a gut aproxmaçõ para o dlocamto: w (8.a) Γ w ( w, a v xo ( ) xo) ( ) ( ) v w w w w ( w, a ( ) ( ) Γ xo) v ( xo ) v v w ( w, a ( ) ( ) Γ xo) v ( xo ) v v w ( w, a ( ) ( ) Γ xo) v ( xo ) v v (8.b) (8.c) (8.d) (, ) w, v w, Γ w (9.a) xo Γv (, ) w, w, w (9.b) v xo Γ v Γv u Γ u u, a, (0.a) ( ) (xo) ( ) ( ) v v xo u u u, a Γ, (0.b) u ( ) (xo) ( ) v ( xo ) v v [ u u, a v ] ( ) (xo) ( ) v ( xo ) Γ, (0.c) v u u u, a Γ, (0.d) ( ) (xo) ( ) v ( xo ) v v (, ) ( u, ) ( u ) u,k, (.a) k v k Γ, k v Γ v (, ) ( u, ) ( u ) u,k, (.b) k v k Γ, k Γ v Com o, urgm a formulação a rotaçõ u, u, dfda o xo d vga. Sjam agora a força p p obr a trfac. Codrado- calmt qu a força tjam o tma global (x,x ), como tá rprtado a gura 4, a força p p da trfac qu atuam a vga, ão dcompota m dua parcla: Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

9 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 6 p p ( ) p Δp Γ, () ( ) p Δp Γ d () a Eq. () () a oma da parcla p / gra a rultat p o ctro, qu corrpod ao carrgamto atuat a vga. Ea parcla produz tõ gatva ao logo do cotoro Γ tõ potva ao logo d Γ d. A oma da parcla Δp, ão dá rultat o ctro produz tão cotat a vga. o tato, a quaçõ tgra ão crta utlzado- o tma local (,) da trfac, logo dv- ada crvr a Eq. () () m fução do tma local da trfac tão paar a força para o tma local adotado o xo (vr gura ). to o, a força Δp Δp ão ubttuída pla l d Hook, atravé da gut xprõ: u u Δp (4) E ν ( ν ) E u u Δp ( ) ν (5) od o dlocamto u, u, já ão cógta xtt o xo o dlocamto u, u, ão crto, rpctvamt, m fução do dlocamto u u, utlzado- dfrça fta. X Γ Γ d X p / p / p / p / Δp Δp Δp Δp gura 4 compoção d força a fac da vga. Subttudo- a aproxmaçõ (0) a () a Eq. (6) (7), obtêm- a quaçõ tgra crta m fução da varáv dfda o cotoro xtro m vga, xo d vga cato. Para obtrm a quaçõ do dlocamto u k, m w, m bata drvar m rlação à m, rpctvamt, a Eq. (6) (7). A quação da curvatura w, j é obtda drvado- dua vz a Eq. (7) do dlocamto travral... Equaçõ algébrca A tgra obr o cotoro trfac ão traformada m trmo algébrco, dvddo o cotoro xtro da placa a trfac m gmto, domado lmto d cotoro. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

10 64 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur A varáv ão aproxmada o lmto por fuçõ trpoladora, dfda m fução d poto prvamt colhdo m cada lmto, dto ó ou poto oda. trabalho, ão adotada fuçõ quadrátca. Am, a quaçõ tgra traformam- m quaçõ algébrca, qu ão crta m fução do valor da varáv o ó do cotoro xo d vga, domado d valor oda, como tá dcrto o trabalho d rad (998). o poto do cotoro xtro m vga, têm- oto varáv (u, u, p, p, w, w,, V ), da qua quatro varáv ão dada como codção d cotoro, logo é cáro crvr quatro quaçõ poto. o cao d tr c laj 0, qu rá o cao tratado a gur, têm- dz varáv o poto d vga xtra (u, u, p, p, w, w,, V,, u, u, ), do quatro dla cohcda, po ão mpota a codçõ d cotoro. a vga tra ão dfda oto varáv (u, u, p, p, w, w,, u, u, ), do qu cao toda a varáv ão cógta do problma. o cato têm- ada dua varáv (w R c ), do uma dla prcrta como codção d cotoro. Com o, para obtr a olução do problma d flxão compota d placa, para cada poto tuado obr o cotoro xtro m vga crv- dua Eq. (7) do dlocamto travral w (uma para o poto obr o cotoro outra para um poto xtro) uma Eq. (6) rlatva ao dlocamto u u. Cotudo, o poto prtcr ao xo d uma vga, crv- uma Eq. (7) do dlocamto travral w, uma quação da drvada d w, uma Eq. (6) rlatva ao dlocamto u u, ada, a quaçõ da rotaçõ u, u,. v- crvr ada a quaçõ da rotaçõ u, u,. omt para o poto d vga tra. Além do, dv r crta uma quação d w para cada cato. Ecrvdo- toda a quaçõ cára para a rolução do problma, chga- ao gut tma d quaçõ, do qual apó a mpoção da codçõ d cotoro, obtêm- a cógta o xo da vga, o cato o cotoro da placa m vga. [ H] [ H] [ H] C [ H] [] 0 [ H] { U { w { U C [ G] [ G] [ G] C [] 0 [] 0 [ G] { P { R { P C { T { T (6) od a part upror rfr ao problma d flxão a part fror ao problma d mmbraa; o vtor matrz ão dado por: U {... w w,... T cotêm o valor oda do dlocamto do cotoro xtro m vga do xo da vga, T P {... V... é o vtor do valor oda do forço o cotoro xtro m vga o xo da vga xtra, T c { w c... w c... w cc T { R... R... R w é o vtor do dlocamto o cato, R é o vtor da raçõ d cato, c c c cc [H ] é rultat da tgração do forço fudamta ( V do cotoro xtro trfac; [G ] é obtda a partr da tgração da fuçõ xtro ou xo d vga xtra; w w, ou ua drvada) ao logo, ou ua drvada, ao logo do cotoro Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

11 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 65 [H c ] [G c ] ão rlatva ao cato, do a prmra a matrz qu traz o trmo rlatvo ao forço fudamta ( R ou ua drvada) o cato a guda cotém o trmo rfrt ao cálculo d C w ou ua drvada o cato. T U {... u u u u...,,, é o vtor do dlocamto do problma d mmbraa o poto obr o cotoro xtro m vga xo d vga (ot- qu o dlocamto u, u, ão dfdo apa o poto obr o xo da vga); P {... p p... T é o vtor da força d uprfíc do problma d mmbraa, do poto obr o cotoro xtro m vga, xo d vga xtra tra; [ H ] é uma da matrz qu rprta a fluêca do problma d mmbraa o d flxão cujo trmo ão obtdo da tgração do dlocamto fudamta drvada) ao logo da trfac. w, w, (ou ua [ G ] é outra matrz qu rprta a fluêca do problma d mmbraa o d flxão cujo trmo ão obtdo da tgração do dlocamto fudamta w, w, (ou ua drvada) ao logo do cotoro xtro m vga do cotoro logtuda da vga xtra tra. {0 é um vtor od todo o trmo ão gua a zro; [H ], é a matrz do problma bdmoal, cujo trmo ão obtdo pla tgração da fuçõ p k p k, ou ua drvada, ao logo do cotoro xtro trfac; [ H ] rprta a fluêca do problma d flxão o problma d mmbraa do obtda pla tgração da fuçõ p k p k, ou ua drvada, ao logo do cotoro xtro trfac; [G ] é a matrz do problma d mmbraa, cujo trmo ão rlatvo à tgração da fuçõ u k u k, ou ua drvada, ao logo do cotoro xtro m vga ou o cao da vga xtra, u trmo ão dado pla méda daqul obtdo com a tgração da fuçõ ao logo do do cotoro logtuda da vga; T é o trmo corrpodt ao carrgamto o plao da placa T é o trmo corrpodt ao carrgamto travral da placa. AÁLISE ÃO LIEAR O PAVIETO ERIJECIO.. Equaçõ Itgra da placa rjcda ujta à flxão compota com a prça d campo d momto força orma ca A quaçõ tgra do problma ão-lar ão gua àqula do problma lar acrcda d tgra d domío volvdo o momto força orma ca. Para um poto q do domío da placa chga- à gut quaçõ tgra: S k w w (q) ( q,p) ( P) V ( q,p) w( P) dγ( P) k Γ Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

12 66 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur t k Γk k pa w ( q,p) ( P) V ( q, P) w( P) dγ ( P) k c k k R ck ( q,p) w ( P) ck k c V Γ k c pa R ( q,p) w ( P) ( ) R P w ( q, P ) ck ck w c k ( P) w ( q,p) ( P) ( q,p) dγ( P) c k p ( P) w, ( q, P) ck ck [ k Γk t p ( P) w, ( q, P)] dγk ( c k c pa ) [ p ( P) w, ( q, P) p ( P) w, ( q, P) ] dγk k Γk ( g( p) w ( q,p) ) dωg ( p) c k b ( p) w, ( q,p) b ( p) w, ( q,p) Ωg k Ω 0 ( mj (p)w, j (q,p)) dω(p 0 ( j(p)w, j (q,p)) ) Ω [ ] dω k dω(p) k Ω c,j, (7) b E k k ( k k ) dγ [ c ( q) w, ( q) u ( q) ] u ( P) p ( q, P) u ( P) p ( q, P) E Γ t ( E E ) S pa E c ( u ( P) p k ( q,p) u ( P) p k ( q,p) ) dγ [ E Γ E Γ p k ( q,p) w, ( P) t ( q,p) w, ( P)] ( E c E pacpa ) Γ ( p k ( q,p) w, ( P) p k ( q,p) w, ( P) ) dγ p d k E Γ ( u ( q,p) p ( P) u ( q,p) p ( P) ) dγ u ( q,p) b ( p) u ( q,p) b ( p) k k Γ Ωb ( ) dω 0 ( ) ( j (p) ε kj (q,p)) dω(p kl,m,j, ) Ω k k (8).. crtzação do domío m célula A fm d calcular a tgra d domío da Eq. (7) (8), qu volvm o forço ca a placa, dv- dcrtzar o domío da vga laj m célula, a qua o momto força orma ca d um poto p da placa rão aproxmado por fuçõ d trpolação. Porém, ão adotará o mmo tpo d dcrtzação para a vga laj. Para a vga rão codrada célula rtagular para a laj, célula tragular, od a vga tão dcrtzada m uma célula rtagular a laj m 4 célula tragular. a célula tragular da laj, rão utlzada fuçõ aproxmadora lar. a vga, o forço ca rão codrado cotat ao logo da largura, ma varáv ao logo do comprmto. Cada célula rtagular trá trê ó, qu ão cocdt com o ó do lmto, rá dvdda m quatro célula tragular od o forço ca trão aproxmação lar. o cotro d vga tm- uma célula rtagular com apa um ó, logo o forço trão aproxmação cotat. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

13 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 67.. Equaçõ algébrca A quaçõ algébrca ão obtda apó a dcrtzação do cotoro xtro m vga xo d vga m lmto do domío m célula. Am, a quação algébrca do momto látco m um poto tro é obtda a partr da Eq. (4), do a curvatura calculada drvado- dua vz a Eq. (7). A quação aproxmada do momto látco m todo o poto oda da célula, a forma matrcal, é dada por: { [ ] [ ] [ ] ] { U H H H { U C { U C [ ] [ ] [ ] ] { P G G G { P C { P C 0 { T [ E ] { [ E ] { 0 (9) rvado- uma vz a Eq. (7) codrado- a Eq. (), obtém- a quação matrcal rlatva à força ormal látca d um poto q. Ecrvdo- a quação m todo o poto oda da célula, chga- à: { [ ] [] [ ] ] { U H 0 H { U d { 0 { 0 { U C { P [[] 0 [] 0 [ G ] ] { P { P C { T ' [ E ] { 0 (0) ão, rpctvamt, o ríduo d força orma d momto azdo- alguma opraçõ matmátca a Eq. (9) (0), a podm r crta da gut forma mplfcada: 0 0 K S S () ' K' S S 0 ' 0 () a Eq. () () {K {K cotêm a rpota látca, m codrar o forço ca; [S ] [S ] rprtam, rpctvamt, a fluêca do momto força orma ca o ' ' valor do momto látco; [ S ] [ S ] rprtam, rpctvamt, a fluêca do momto força orma ca o valor da força orma látca. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

14 68 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur..4 ormulação ão-lar mplícta utlzado o oprador tagt cott A olução ão-lar é obtda atravé d um procdmto crmtal-tratvo, o qual a carga total é ubdvdda m crmto d carga. Em cada crmto, o qulíbro da trutura é vrfcado atravé do proco tratvo d corrção d forço. a formulação mplícta, a corrçõ qu dvm r dada ao tado d curvatura da dformaçõ d chapa m uma dtrmada tração, ão obtda atravé do oprador tagt cott, qu é atualzado a cada tração, da corrção do forço o poto da placa. O oprador tagt cott é dtrmado a partr da formulação com campo d forço ca, codrado- também o modlo cottutvo adotado. cotxto, é trat ctar o gut trabalho, ão caramt d placa, qu tratam d modlo qu utlzam o método do lmto d cotoro o oprador tagt cott: Bot (995), Bot & ukrj (996), udol (999) Botta (00). a olução ão-lar, o momto força orma a placa ão dado por: { { { 0 { { { 0, j, () do { { dado pla Eq. () (). A partr da Eq. () (4), chga- à gut quaçõ d qulíbro da placa: (4) { K [ S ][ ( C ]( { / r) { ) [][ I C ]( / r) { ( ) 0 m m [ S ] [ C ]{ { ' ' { K ' [ S ][ ( C ]{ ε { ) [][ I C ]{ ε [ S ] [ C ] ( / r) ε (5) ( { { ) 0 (6) od[c ] [C m ] ão o tor d rgdz látco obtdo a partr da l d Hook; {/r é o vtor d curvatura {ε o vtor d dformaçõ do problma bdmoal. Com o, ao aplcar- uma dtrmada carga à trutura, ta tvr qulbrada, a Eq. (5) (6) dvm r atfta. Cao o ão ocorra, dv- dvdr a carga total m crmto d carga, do qu m um dtrmado crmto, o qulíbro é vrfcado atravé da gut quaçõ: ( ) [ I][ C ] Δ( / r) { ΔK [ S ][ C ]{ Δ( / r) { Δ m ' { ΔK ' [ S ][ C ]{ Δε { Δ m { ( ) [ I][ C ]{ Δε ' [ S ][ C ]{ Δ( / r) { Δ ( ) 0 ( ) 0 [ S ][ C ]{ Δε { Δ (7) (8) { Δε T S a rlaçõ d qulíbro (7) (8) ão form vrfcada, dv- cotrar o valor d t Δ ( / r) Δε, qu atfaça a mma, to é, dv- cotrar o valor do Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

15 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 69 crmto d curvatura d dformação d chapa qu atfazm tato a quaçõ d qulíbro t tátco da trutura quato o modlo cottutvo. Para obtr { Δ ε cta- d um procdmto tratvo (wto), o qual o valor fal da varávl é obtdo omado- a t ucva corrçõ { Δ( ε ) δ qu dvm r aplcada ao tma d quaçõ ão-lar (Eq. 7 8) ao logo do proco tratvo do crmto. Em uma tração, a corrção é dada por: t t t { δδ( ε ) { ( ) { ( ) Δ ε Δ ε (vr gura ). O proco tratvo trma quado a rlaçõ (7) (8) form vrfcada dtro d uma margm d rro pré-tablcda, qu é traduzdo plo crtéro d covrgêca utlzado. Em uma tração, dv- atfazr a gut rlaçõ d qulíbro: Od xt t t { { { Δ 0 (9) xt t t { { { Δ 0 (40) xt { { ΔK Δ (4) t { Δ [ S ]{ ( Δ [ C ]{ Δ( / r) ) [][ I C ]{ Δ( / r) [ ] { Δ [ C ]{ Δε xt { Δ { ΔK' m t { Δ [ S ] { Δ [ C ]{ Δε [][ I C ]{ Δε ' [ S ]{ [ C ]{ Δ( / r) m S (4) ' ( ) (4) Δ (44) Utlzado- o método d wto Rapho a Eq. (9) (40) rultam m: xt t { { t { Δ t { δδ( ε ) 0 t { Δ( ε ) (45) xt t { { t { Δ t { δδ( ε ) 0 t { Δ( ε ) (46) T a gura 5 { é o vtor do forço a placa; [K TC ] é a matrz tagt, qu rlacoa o crmto d forço tro ou vrdadro o crmto d dformaçõ, a t tração, ( ) xt ε é o vtor d dformaçõ da tração, Ψ é o vtor d ríduo da tração, é o () vtor d momto força orma xtro do crmto, Δ é o crmto d momto força orma látco da tração, é o vtor do forço tro vrdadro da tração, t do crmto ( ε é o vtor d dformaçõ do crmto. ) Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

16 70 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur Eforço () xt [K TC ] 0 [K TC ] [K TC ] Ψ Δ () ΔK ΔK ' Δ Δ Ψ 0 () xt t Δ( ε ) t Δ( ε ) t δδ( ε ) t Δ( ε ) t t ( ε ) ( ) t ε ( ) t ε ( ε ) gura 5 étodo d wto Rapho padrão. ε Porém, codrado- qu o crmto d momto força orma látco a xt t tração ão dado por { Δ { { xt t { { { (46) podm r crta como: Δ, a Eq. (45) { Δ { Δ t { Δ { Δ( / r) t { Δ { Δ( / r) { δδ( / r) { δδ( / r) t { Δ { Δ( ε ) t { Δ { Δ( ε ) { δδ( ε ) 0 { δδ( ε ) 0 (47) (48) A Eq. (47) (48) podm r crta m uma mma quação matrcal: { Δ { Δ [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] δ δ { Δ( / r) { Δε (49) od: t [ ] { Δ p K [ ] [ C ] [ C ] [ I][ C ] { Δ( / r) t [ ] { Δ K { Δ( ε ) m S m m (50) p [ ] [ C ] [ C ] S (5) t [ ] { Δ p K [ K ] [ S' ][ ( Cm ] [ Cm ])] { Δ( / r) (5) Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

17 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 7 t [ ] { Δ K { Δε ' (5) p [ S ] [ C ] [ C ] [ I][ C ] do: ( ) ( ) t / t / p σ p [ C ] Δ( ε ) dx [ ] t / Δ() C dx ε t / ( ) t / ( ) ( ) p [ ] ( σ x ) ( σ ) Δ( ε) t / p C dx ( x ) [ C ] m Δ ( / r) t / σ Δ() ε Δ( / r) t / dx (54) (55) p od [ C ], qu é obtdo a partr do modlo cottutvo adotado, é a matrz tagt qu rlacoa a tão ral com o crmto d dformação ( trabalho é adotado o crtéro d Vo ). A Eq. (49) pod r crta d forma mplfcada como: TC() t { Δ [ ] { K () δ Δε (56) TC ( ) od [ K ] ( ), qu é o oprador tagt cott, é dado por: TC() [ K () ] [ K ] [ ] [ ] [ ] K K K (57) a rolução do tma (49), obtêm a corrçõ d curvatura dformaçõ d chapa qu dvm r dada à trutura. a Eq. (49) tm- ada qu: { Δ β { K { Δ { { { Δ Δ Ψ 0, (58.a) (58.b) { Δ β { K' { Δ { { { Δ Δ Ψ 0 (59.a) (59.b) od β é cofct d multplcação da carga, o crmto ; { rpctvamt, o ríduo d momto força orma da tração. Ψ { Ψ ão, Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

18 7 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur..5 odlo tratfcado Admt- qu a placa é dvdda m camada, a qua podm tr pura proprdad dfrt, codrado-, porém, cotat a proprdad obr cada camada, como é motrado o trabalho d gura (98). O cálculo m camada é mportat uma aál ãolar, po prmt rprtar a dtrbução ão-lar da tõ ao logo da pura é cal a aál d placa compota d matra dfrt, po matral modlo cottutvo dtto podm r admtdo para cada camada. Para cada camada, atrbu- um valor d tão aocado a ua uprfíc méda codra- qu a compot d tão ão cotat ao logo da pura t da camada (vr gura 6), do a tgração da tõ ao logo da pura da placa fta atravé da fórmula d quadratura d Gau. Camada d cocrto Camada d armadura C( ) σ j t x S( ) σ j ξ ξ - ξ ξ gura 6 odlo tratfcado para o cocrto armado. a gura tm- qu t / x t /, do t a pura da placa. o cao da placa d cocrto armado, o poto d Gau, dfdo ao logo da pura m fução da coordada homogêa ξ, rprtarão a camada d cocrto, como é motrado a gura, a armadura rão dtrbuída m poto adcoa, cuja poçõ ão prvamt tablcda. Para a placa d aço, qu rá ocao a r tratado aqu, o poto d Gau rprtam camada d aço. O momto força orma tro ou vrdadro, o cao da placa d cocrto armado, ão calculado a partr da quaçõ: j t 4 g g σ (g) j ξ g W g σ δ A x (60.a) k S(k) j j S(k) k S j t g (g) S(k) σ j Wg σj δjas(k) g k (60.b) od é o úmro d armadura, A a ára da ção travral da armadura x ua poção. Para a placa d aço, a Eq. (60) xt apa o prmro omatóro rfrt ao poto d Gau...6 Procdmto crmtal tratvo para a obtção da rpota ão-lar O algortmo é o gut: para uma tração d um crmto, gu- o gut pao: ) Calculam- o crmto d momto { Δ força orma { rfrt a todo o poto oda da célula, a partr da Eq. (58) (59). Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009 Δ látco,

19 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro ) S 0 calculam- o crmto d curvatura { Δ( / r) { Δε ) S atravé da l d Hook., atualza- a matrz tagt global [ ] TC )( ) dvm r dada ao crmto d curvatura { Δ( / r) ( 7 d dformaçõ d chapa K (Eq. 57) calculam- a corrçõ qu δ ao crmto da dformaçõ d chapa { δ Δε (Eq. 49), obtdo- o ovo tado d curvatura dformaçõ d chapa a placa: { Δ( / r) { ( ) { ( ) Δ / r δδ / r Δε Δε { { { 4) Para cada poto odal da célula, procd- da gut mara: 4. Vrfca- o modlo cottutvo para cada poto d Gau g dfdo ao logo da pura da placa, gudo o gut pao: a) S, calcula- a corrção o crmto d dformaçõ Δε δδε x δδ / r Δ ε Δε δδε { { ( ) ( ) δ { g, o crmto d dformaçõ { { { a dformaçõ tota: { { { { ε { Δε ( x ) Δ( / r) Δ. g{ δδε ε ε Δε. S 0, tm- qu b) Obtém- o crmto d tõ látca, ou d ttatva, { σ { Δσ [ C] δδ() ε ou a partr da quação { σ [ C] Δ() ε { ; Δ atravé da quação { Δ (do [C] o tor látco dado pla l d Hook) 0. Soma- últmo ao tado d tão vrdadro da tração atror, obtdo- a tõ tota { { { σ σ Δσ. c) Com a tõ tota vrfca- o modlo cottutvo, obtdo- o vtor d tão vrdadro { vrdadro { p σ, dado por { { { { σ σ Δσ Δσ, o crmto d tão Δ σ para o poto m qutão. S a tração ão for látca, dv- atualzar também a rlação cottutva lato-plátca [C p ]. Procddo-, da mma forma, para todo o poto d Gau, obtém- uma ova dtrbução d tão ao logo da pura. 4. Calculam- o momto força orma tro ou vrdadro { { do crmto d momto força orma tro ou vrdadro { Δ {, o vtor Δ, qu ão calculado a partr da Eq. (60). Calculam-, tão, o vtor d momto força orma rdua o poto plátco: 0 { Δ { Ψ { 0 { Δ { Ψ { Δ -{ Δ -{ Δ (6) Δ (6) 4. Para todo o poto ao logo da pura, vrfca- o crtéro d covrgêca. 5) Sgu- o mmo procdmto para todo o poto oda da célula. S o crtéro d covrgêca ão for vrfcado, para algum poto, qur dzr qu o tado d tão a trutura é tal qu vrfca o modlo cottutvo m todo o poto, ma ão é ma tatcamt admívl. Am, aplcam- { Ψ { Ψ ao tma como campo d forço ca paa- à tração (pao ). Cao o crtéro d covrgêca ja vrfcado, paa- ao crmto () gut (pao, 0). Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

20 74 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur Ao fal d um crmto, têm-: X L R R 0 0 (6) od {X é o vtor d cógta da placa; {L a rpota látca; { 0 { 0 ão o vtor do ríduo d momto força orma acumulado, qu ão obtdo omado- a cada tração o crmto da força rdua. o algortmo aprtado atrormt, ão fta modfcaçõ o qu dz rpto à vrfcação do crtéro para o poto prtct à vga ou para aqul qu rprtam o cotro d vga. Codr calmt, o poto dfdo ao logo d uma vga. Para poto rá corrgdo apa o crmto d tão Δ σ a drção v do cotoro o xo da vga. Am, o V V crmto d tão Δ σ V Δ σ V V V, do v a drção da ormal o xo da vga, rão codrado mpr látco. Com o, codrado- uma tração d um crmto, procd- da gut forma para o poto d vga: Obtém- o vtor da tõ tota d ttatva ({ mara aprtada atrormt. Calcula- a tão total σ a drção v da vga, atravé da quação: V V σ ) o tma (X, X ) da mma σ co ασ x x coα ασ x x ασ x x (64) V V do α o âgulo qu a drção v da vga faz com o xo X. Com σ vrfca o crtéro, obtdo- { p V V v v Δ σ. p ( ) Calcula- o crmto d tõ plátca { p ao crmto d tão{ Δ σ, ou ja: Δσ Δσ Δσ p() p() p() v v co α α Δσ co α α p V V Δ σ o tma (X, X ) rlatva apa p() Obtêm- a tõ vrdadra: { { { { (65) σ σ Δσ Δσ (66) o cao d um poto qu rprta o cotro d dua vga, gu- o mmo algortmo do poto prtct a uma vga, porém cao o crtéro dv r vrfcado, paradamt, m cada uma da drçõ v v,, qu ão a drçõ do xo da vga qu chgam o poto. 4 RESULTAOS OBTIOS 4. Exmplo umérco da formulação lar: placa rjcda com quatro vga xtra uma tra xmplo aala- o cao d um pavmto mpl, cotdo uma vga tra vga d cotoro (vr gura 7) cuja dmõ tão dada m m. oram codrado do lado lvr o outro do apoado. Para a laj foram adotado: pura t L 8cm, módulo d latcdad Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

21 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 75 E k/m, cofct d Poo ν0,5. Para a vga, adotaram- o mmo módulo d latcdad cofct d Poo, porém pura t V 0cm. Ao logo do lado apoado foram prcrto momto gua a x 000kxm/m, ma com a cotráro, prcrvu- ada pu 0 para todo o poto, a mo d um poto m uma da xtrmdad d um do lado od mpõ uu 0. o lado lvr tm-: pp 0. 0,,0 x 0,,0 0, 0, 4,0 0, gura 7 Placa rjcda com vga xtra uma vga tra gura 8 crtzação codrado mod gura 9 crtzação atravé da lha méda da vga (mod). o cao do modlo m qu a varáv ão dfda a trfac (mod), a aál fo ralzada codrado- uma malha d 84 lmto (vr gura 8) para o modlo m qu a varáv ão codrada o xo d vga (mod) foram codrada dua dcrtzaçõ: 4 lmto. a gura 9 tm- a dcrtzação d 4 lmto. Além do, comparam- rultado com aqul obtdo atravé d um programa m lmto fto dvolvdo por Sach (00). Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

22 76 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur w(cm) x(m) mod - 84 lm - flxão mpl mod - 4 lm - flxão mpl E - flxão mpl mod - lm flxão compota gura 0 locamto o xo da vga tra. a gura 0 aprtam- o rultado obtdo o xo da vga tra (xo x da gura 7), od pod obrvar, qu o valor obtdo com a formulação da placa ujta à flxão compota ão mor qu aqul da placa ujta à flxão mpl codrado- mod, do a dfrça rlatva o poto do maor dlocamto d 6%. o valor do maor momto a dfrça fo d 5 %. O dlocamto obtdo com o programa m lmto fto foram muto próxmo daqul obtdo com o modlo mod bm mor qu aqul do modlo mod. mx (0 km/m) ,6,,8,4,6 4, -9-4 x(m) mod - 84 lm - flxão mpl mod -4 lmflxão mpl mod - lm - flxão compota E - flxão mpl gura omto, a drção x, a vga tra. 4. Exmplo umérco da formulação ão-lar: placa rjcda com vga xtra uma vga tra com carga uformmt dtrbuída A placa aalada xmplo tá a gura, od a udad ão dada m mtro. A placa é mplmt apoada com carga uformmt dtrbuída. Adotou- E5000K/cm, K500K/cm, σ y 4k/cm, ν0,5, t V 5cm, t L 8cm carga dtrbuída q0/cm. oram codrada dua dcrtzaçõ. a prmra, a placa for dcrtzada m 4 lmto (vr xmplo 4.) cada laj m 6 célula. A dcrtzação do domío da laj gu o modlo daqula dcada a gura, porém codram- apa trê poto tro ao vé d cco. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

23 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 77 gura Placa mplmt apoada, rjcda com vga xtra uma tra. a guda dcrtzação, codraram- lmto 48 célula m cada laj. cao, a dcrtzação do domío da laj fo fta gudo o mmo modlo daqula dcada a gura 4, dvddo- porém, o lado maor m part gua, ao vé d quatro. A placa fo aalada codrado- flxão mpl flxão compota. Para o problma d chapa, foram codrada a gut codçõ d cotoro: p p 0 para o do lado xtro prpdcular à vga tra também para um do lado xtro o mmo tdo da vga. o outro lado, codrou-: u u 0 m um poto localzado m uma da xtrmdad do lado p u 0 para um poto da outra xtrmdad d lado gura crtzação da laj com 4 célula. gura 4 crtzação da laj com célula. O dlocamto do poto ctral da vga tra ao logo do proco crmtal tão rprtado a gura 5. o cálculo com a flxão mpl, a platfcação du o gudo crmto, od β,, a rgão ctral da vga tra. Com a malha mo rfada, o crmto od tha β,7, o cálculo ão covrgu ma. Com a outra dcrtzação o cálculo fo dvddo m 44 crmto a carga lmt obtda fo d q9,/cm quado o poto ctral da vga tra alcaçou o valor máxmo da dformação plátca ftva. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

24 78 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur 5 4 flxao compota - 96 cl flxao compota -cl flxao mpl - cl flxao mpl - 96 cl 0 0 0,5,5,5,5 4 w (cm) gura 5 Curva carga-dlocamto do poto ctral da vga tra. a aál com flxão compota a platfcação du para β a carga lmt d q5/cm fo atgda o crmto 9. O dlocamto travra crmto, para a malha ma rfada, tão a gura 6. cao, o dlocamto obtdo com a malha d lmto 96 célula foram muto mor qu aqul da malha d 4 lmto célula. Pod- vr a gura 5 qu a carga lmt obtda com a flxão mpl fo qua o dobro daqula codrado- flxão compota o dlocamto obtdo com a flxão compota foram muto mor qu aqul da flxão mpl. gura 6 locamto a vga tra o crmto 8 da aál d flxão compota com 96 célula. 5 COCLUSÕES O trabalho motra qu a aál d trutura plaa rjcda pod r fta atravé d uma formulação qu volva apa lmto d cotoro, dpado- portato a combação com o E tradcoalmt utlzada. O pavmto é codrado como do uma placa ubdvdda m ub-rgõ, do cada ub-rgão a rprtação d uma vga ou laj. Com o, ão é cáro dfr lmto d placa vga. A formulação uado- apa EC lva a um úmro mor d grau d lbrdad, rduzdo também a aproxmaçõ. O qulíbro d força ao logo da trfac é automatcamt atfto. A aplcação m trutura d dfíco é um objtvo trat; va prmtr uma grad rdução da dmõ do problma mlhorar a prcão da olução. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

25 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 79 O do modlo dvolvdo para aál da flxão mpl d placa rjcda com vga motraram- r batat fct. Porém, o modlo m qu dcrtza- todo o cotoro da vga, cta- d um úmro muto lvado d ó a dcrtzação, o qu lva muto o cuto computacoal, além d dfcultar codravlmt a trada d dado. O modlo altratvo, m qu dcrtzam- apa a lha méda da vga motrou- r ma trat, dvdo à rdução do úmro d grau d lbrdad do problma. A dfrça obtda o rultado do do modlo ão foram gfcatva, quado matêm a mma dtâca tr a lha od prcrvm a codçõ d cotoro. Cao cotráro, a dmõ da laj vga form xatamt gua, a dua aál, qu é o cao do xmplo aprtado aqu, m qua todo o xmplo, o modlo altratvo motrou- r ma rígdo, dvdo à aproxmaçõ fta o dlocamto rotaçõ da vga. Com rlação à aál lar do pavmto codrado- o fto d mmbraa, m todo o xmplo, a mo da placa coa, o dlocamto foram mor qu aqul obtdo com a formulação d flxão mpl, como ra d prar. O xmplo da placa coa é muto complxo, do dfícl jutfcar porqu o rultado ram maor a flxão compota, porém uma jutfcatva poívl ra o fto da torção a vga provocada pla xctrcdad. o xmplo umérco, cuja rpota podam r vrfcada aaltcamt, o modlo aprtou ótmo rultado. Em todo o modlo, codrado- flxão mpl ou compota, o rultado aprtaram boa covrgêca com o rfamto da malha, grado rpota com boa prcão mmo com malha ão muto rfada. A cluão d campo d forço ca a formulação obtda codrado- carrgamto travra o plao da placa, poblta a aál d placa ujta a fto d tmpratura rtração, bm como a aál ão-lar. a aál ão-lar utlzou- um algortmo crmtal-tratvo, baado o étodo d wto-rapho, computado- a corrção a partr do procdmto d aplcação d campo d tõ ca, od a matrz volvda ão atualzada a cada tração. A utlzação do oprador tagt cott, aocada à formulação mplícta d lmto d cotoro, motrou- r bm fct. o xmplo, cujo valor do forço podam r vrfcado aaltcamt, o rultado foram muto bo. O modlo ão-lar motrou- r távl, po fo capaz d cotrar a carga lmt aprtou boa covrgêca do rultado com o rfamto da malha. O procdmto para obtção da corrção o tado d curvatura d dformaçõ d chapa, a r aplcada m uma dada tração, m qu o poto plátco ão parado do látco, dmuu codravlmt o forço computacoal, po ao vé d vrtr a matrz tagt rlatva a todo o poto da trutura, vrta apa a parcla rlatva ao poto plátco. a aál ão-lar, o cálculo do forço tro a placa fo fto codrado- um modlo tratfcado, od a placa é dvdda m camada, a qua vrfcam- o modlo cottutvo adotado para cada camada. trabalho, fo codrado apa o cao m qu a placa é compota d apa um matral, cujo comportamto ão-lar poa r bm rprtado plo crtéro d Vo, como é o cao do aço. o tato, o modlo pod r faclmt tddo para o cao d placa compota d dfrt matra, como é o cao do cocrto armado. O tor d momto força orma tro é obtdo, tgrado- umrcamt a tõ ao logo da pura da placa. 6 AGRAECIETOS Agradcmo à APESP plo apoo facro, m o qual ta pqua ão podra tr do ralzada. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

26 80 Gabrla Rzd rad & Wlo Srgo Vtur 7 REERÊCIAS BETTI, E. Tora dll latcta. Il uovo Cmto, p.7-0, 87. BOET,.; UKHERJEE, S. Implct BE formulato for uual ad vty problm latoplatcty ug th cott tagt oprator cocpt. It. J. Sold Structur, v.,. 0, p , 996. BOET,. Équato Itégral t élémt d frotèr. Par: CRS Édto/Eyroll, 995. BOTTA, A. S. Uma formulação do método do lmto d cotoro para o tudo do comportamto d pça d cocrto armado com êfa o fômo d prda d rgdz localzação. 00. T (outorado m Eghara d Etrutura) Ecola d Eghara d São Carlo, Uvrdad d São Paulo, São Carlo, 00. CHUEIRI, L. H.. ormulação do método do lmto d cotoro para aál latoplátca d placa São Carlo. 9p. T (outorado m Eghara d Etrutura) Ecola d Eghara d São Carlo, Uvrdad d São Paulo, São Carlo, 994. ERAES, G. R. O método do lmto d cotoro aplcado à aál ão lar d placa São Carlo. 78p. rtação (trado) Ecola d Eghara d São Carlo, Uvrdad d São Paulo, São Carlo, 998. ERAES, G. R. Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro. 00. São Carlo. T (outorado m Eghara d Etrutura) Ecola d Eghara d São Carlo, Uvrdad d São Paulo, São Carlo, 00. IGUEIRAS, J. A. Ultmat load aaly of aotropc ad rforcd cocrt plat ad hll. Swaa. T (outorado) Uvrty Collg of Swaa, 98. UOLI, C. A. ormulação do método do lmto d cotoro platcdad com gradt T (outorado m Eghara d Etrutura) Ecola d Eghara d São Carlo, Uvrdad d São Paulo, São Carlo, 999. KIRCHHO, G. Ubr da glchgwcht ud d bwgug r latch clb. J. ath.,. 40, p. 5-58, 850. SACHES, J.. volvmto d modlo umérco para a aál d pavmto d dfíco d cocrto armado. 00. T (outorado m Eghara d Etrutura) Ecola d Eghara d São Carlo, Uvrdad d São Paulo, São Carlo, 00. VETURII, W. S.; PAIVA, J. B. Plat aaly by th boudary lmt mthod codrg zod thck doma. Softwar for Egrg Worktato., v. 4,. 4, p.8-85, Oct Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009

27 Aál ão-lar d trutura d pavmto d dfíco atravé do método do lmto d cotoro 8 VETURII, W. S. Um tudo obr o método do lmto d cotoro ua aplcaçõ m problma d ghara T (Lvr-ocêca) Ecola d Eghara d São Carlo, Uvrdad d São Paulo, São Carlo, 988. Cadro d Eghara d Etrutura, São Carlo, v.,. 48, p. 55-8, 009