FORMULAÇÃO ISOGEOMÉTRICA PARA VIGAS DE TIMOSHENKO

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1 Jamr Soua Cordro Pracano a Samr Parnt Auad a Evandro Parnt Junor a João Batta Marqu d Soua Junor a jamrcordro@gmal.com amrauad@gmal.com vandro@ufc.com joaobattaouajr@hotmal.com a Laboratóro d Mcânca Computaconal Vualzação (LMCV), Dpartamnto d Engnhara Etrutural Contrução Cvl, Unvrdad Fdral do Cará, Campu do Pc, Bloco 78, , Fortalza, Cará, Bral. Abtract. Vga ão lmnto trutura muto utlzado m Engnhara. Por o, la ão amplamnt tudada d forma analítca, computaconal xprmntal. Dntr a prncpa tora analítca tá a d mohnko, muto mportant m tudo d vga fna. Já ntr o método computacona ma utlzado dtaca- o conagrado Método do Elmnto Fnto. A Anál Iogométrca (AIG) é uma técnca ma rcnt, qu utlza como funçõ d aproxmação do dlocamnto a mma funçõ utlzada plo programa CAD para rprodução da gomtra, aprntando vantagn como a rprntação xata da gomtra a facldad d rfnamnto do modlo. Nt trabalho, a AIG rá utlzada para tudo d dlocamnto d vga ngatada ob dfrnt tpo d carga, varando a rlação comprmnto/pura da pça, o rfnamnto da malha a ordm d aproxmação polnomal da funçõ B-Spln. A vrfcação valdação dta abordagm foram ralzada atravé da comparação com rultado tórco dponív na ltratura. Além do, fo tudado o fto do travamnto qu aproxmaçõ d baxa ordm ofrm quando aplcada a ntgração por quadratura d Gau. al fnômno ocorr tanto m MEF quanto m AIG. Há vára pqua d dvro mcanmo para alvá-lo ou lmná-lo. No prnt trabalho, a ntgração rduzda fo aplcada, motrando qu é um bom método d alívo d bloquo, com rultado atfatóro. Uma técnca d tablzação da rgdz d calhamnto também fo utlzada, mlhorando a rpota do modlo m trmo d dlocamnto forço. Kyword: Vga d mohnko, Anál Iogométrca, ravamnto, Intgração Rduzda.

2 INRODUÇÃO A Anál Iogométrca (AIG) é uma mtodologa rcnt para anál d óldo trutura mlar ao Método do Elmnto Fnto (MEF), ma qu utlza na rprntação da gomtra na ntrpolação do dlocamnto a funçõ CAD (Computr Add Dgn), como B-Spln NURBS. A AIG fo propota com objtvo d facltar a ntgração ntr a modlagm gométrca a anál trutural (Hugh t al., 005). Wall t al. (008) tudaram a otmzação d forma uando AIG, motrando qu o problma d rlaconar corrtamnt o projto a anál é lmnado. Ao contráro do MEF, a AIG trabalha mpr com a gomtra xata, ndpndnt do rfnamnto. Além do, a AIG prmt rm fto trê tpo d rfnamnto da olução numérca. O rfnamnto p é rfrnt à lvação d grau do polnômo d ntrpolação. O rfnamnto h é a dvão m um númro maor d lmnto. Por fm, o rfnamnto k é o fto do antror combnado, podndo- aumntar a contnudad ntr o lmnto. Mmo com a vantagn ctada, a AIG não é capaz d lmnar o travamnto numérco d calhamnto (har lockng) nm d mmbrana (mmbran lockng), como fo tudado por Echtr Bchoff (00). Et problma urg quando tora para trutura pa (.g. vga d mohnko placa d Rnr-Mndln) ão uado na anál d trutura fna. Sgundo Bouclr t al. (0), o travamnto ocorr dvdo a ncompatbldad na ordm d ntrpolação do dfrnt trmo do dlocamnto. Adam t al. (04) anda cta qu o lmnto d baxa ordm, baado na hpót d mohnko, têm rultado run para vga fna, aprntado travamnto ma acntuado. Quando a ordm aumnta, fto é amnzado. El obtém rultado m lockng para vga curva uando NURBS com grau 4, aplcando ntgração ltva. Hu t al. (06) já aprntam uma nova formulação baada m B-Spln para vga curva d mohnko, não oparamétrca, chamada Método d Rdução da Ordm, qu lmna o travamnto modfcando a dformaçõ lmnto por lmnto, grando funçõ d ba com ordm ma baxa, qu, gundo o autor, aprntam mlhor prcão por grau d lbrdad quando comparado com outra altrnatva. Lyly t al. (993) propõ uma técnca d tablzação para o trmo do calhamnto m placa qu rduz o travamnto. El corrg a rgdz d calhamnto m função d parâmtro gométrco, nclundo o tamanho do lmnto m MEF. Já ha t al. (0) ua a mma formulação para a Anál Iogométrca. Echtr Bchoff (00) aprntam outra formulação baada no Método Dcrto do Calhamnto (Dcrt Shar Gap - DSG), orgnalmnt tudado por Bltzngr t al. (000) para placa caca, um método qu dnvolv uma nova cla d lmnto NURBS DSG lvr d travamnto, calculando ntrvalo d calhamnto dcrto no ponto d colocação do lmnto (qu corrpondm ao nó m MEF) para uprr a dfcênca d não podr rprntar o dlocamnto do calhamnto nulo no domíno. Fo fto o uo d Anál Iogométrca, dxando o lmnto lvr d bloquo, mmo m aproxmaçõ lnar. Dta forma, podmo vr qu o travamnto é um problma batant tudado, há váro método dnvolvdo vando a ua lmnação da anál d baxa ordm. Dta forma, t

3 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. trabalho tm como objtvo aprntar a formulação ogométrca d uma vga d mohnko, tudar o fto da ntgração rduzda do uo d um fator d tablzação da rgdz d calhamnto obr o travamnto na AIG. Et trabalho é dvddo oto çõ. A Sção aprnta a funçõ B-Spln a Sção 3 dcut a tora da vga d mohnko. A Sção 4 aprnta a formulação dnvolvda nt trabalho a Sção 5 motra a ntgraçõ numérca utlzada. A Sção 6 dcut o problma d travamnto a Sção 7 aprnta o rultado dcuõ. Fnalmnt, a concluõ ão aprntada na Sção 8. B-SPLINES A B-Spln ão curva qu podm rprntar dfrnt gmnto dntro d uma mma rprntação paramétrca, apna lmtando a funçõ d ba m ntrvalo d paço paramétrco. Et ntrvalo ão conhcdo como knot pan, ou apna pan, ão dfndo m um vtor d knot. O vtor d knot é o conjunto d valor não ngatvo não dcrcnt qu tão dfndo dntro do ntrvalo paramétrco da curva [, n+p+ ], ndo n o númro d funçõ d ba, p o grau dta funçõ a coordnada paramétrca. Uma curva B-Spln (C) é obtda pla combnação lnar d ponto d control p funçõ d ba N,p (): C n N, p p () A funçõ d ba B-Spln podm r calculada uada a fórmula rcurva d Cox-d Boor (Pgl & llr, 997), a partr do vtor d knot = [,, 3,..., n+p+ ] : N N,0, 0, cao contráro p N N, p, p, p p n () (3) A prmra drvada da função d ba é mportant, po la é ncára no cálculo da matrz d rgdz. Drvando a Equação (3), tmo: d N d p p N N, p, p, p p n (4) Na Fgura tão xmplo d curva d ba B-Spln ua rpctva drvada. Podmo vr qu o vtor d knot do tm (c) tm um knot pan a ma qu o do tm (a), ou ja, l é ma dcrtzado. Io faz com qu l tnha uma função ba a ma. Além do, podmo prcbr no tm (c) qu a função N, (azul curo) contrbu apna no prmro pan [, 4 ], N, N,3 (vrd vrmlho, rpctvamnt) contrbum m todo o paço

4 paramétrco [, 7 ] N,4 (azul clara) atua apna no gundo pan [ 4, 7 ]. E comportamnto também tá prnt na drvada. a) = [0, 0, 0,,, ]. b) Drvada da funçõ d (a). c) = [0, 0, 0, 0.5,,, ]. d) Drvada da funçõ d (c). Fgura. Exmplo d funçõ B-Spln quadrátca ua rpctva drvada. Pgl llr (997) ctam alguma caractrítca mportant da funçõ B-Spln: Não ngatvdad: N,p () 0; Partção da undad: N ; n, p Suport compacto: N,p () = 0 tvr fora da rgão [, +p+ ]; Apna p+ funçõ d ba não ão nula m um knot pan [ j, j+ ]; oda a drvada d N,p () xtm no ntror do knot pan. Outra mportant caractrítca da B-Spln é pour contnudad C p- dntro do knot pan C p-m m um knot d multplcdad m. Quando um knot ntrno tm multplcdad gual ao grau da curva, ou ja, m = p, um ponto d control m rá ntrpolado pla curva. No cao d vtor d knot abrto, a multplcdad do xtrmo é m = p+, d forma qu o ponto d control xtrmo rão ntrpolado. A maora do vtor d knot utlzado na AIG pou ta proprdad. O númro d ponto d control (np), corrpondnt ao númro d ba B-Spln, é dada pla xprão: np nk p (5) ond nk é a dmnão do vtor d knot p o grau da funçõ ba. Por xmplo, uma B- Spln quadrátca (p = ), dvdda m 4 pan, com vtor d knot gual a = [0, 0, 0, 0.5, 0.50, 0.75,,, ], pou np = 9 = 6. A Fgura motra o ponto d control dta B-Spln () o lmt do pan (o). O lmt do pan o ponto d control ão

5 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. dfrnt no ntror do patch, porém concdm no xtrmo dvdo ao uo d vtor d knot abrto. Am, o ponto d control da xtrmdad ão ntrpolado pla B-Spln. Fgura. Ponto d control da vga. A Anál Iogométrca tm trê tpo d rfnamnto. El dão por nrção d knot /ou lvação do grau, a opraçõ altram a dcrção da curva m altrar a ua forma. O chamado rfnamnto h é obtdo adconando um novo knot ao vtor, como motrado na Fgura (a) (c), fazndo qu também jam grado uma nova função N,p um novo ponto d control. Ea técnca dá um control local mlhor da curva. Na Fgura 3 tão xmplo d rfnamnto h d uma B-Spln quadrátca, aumntando o u númro d pan. (a) 3 pan, np = 5 = [0, 0, 0, 0.33, 0.67,,, ] (b) 4 pan, np = 6 = [0, 0, 0, 0.5, 0.50, 0.75,,, ] Fgura 3. Exmplo d rfnamnto h m uma B-Spln quadrátca. O rfnamnto p é rfrnt à lvação do grau da curva. A multplcdad do knot é lvada m, porém a contnudad ncal não altra. Na AIG, rfnamnto mlhora a olução numérca, aumntando o númro d grau d lbrdad o grau da funçõ ba. O rfnamnto p é lutrado na Fgura 4 na Fgura 5. (a) = [0, 0, 0,,, ]. (b) = [0, 0, 0, 0,,,, ]. Fgura 4. Exmplo d funçõ d ba com lvação d grau d quadrátca para cúbca. (a) p =, np = 3 = [0, 0, 0,,, ] (b) p = 3, np = 4 = [0, 0, 0, 0,,,, ] Fgura 5. Exmplo d rfnamnto p d uma B-Spln quadrátca. O rfnamnto k é uma combnação do rfnamnto p h. Et rfnamnto é ralzado fazndo prmro a lvação do grau dpo a nrção d knot, aumntando o grau da

6 ba a contnudad ntr o pan, como lutrado na Fgura 6. E tpo d rfnamnto não xt no MEF. O rfnamnto k na vga lva tanto o grau, quanto o númro d pan, aumntando também o númro d ponto d control (np), como motrado na Fgura 7. (a) Curva ncal quadrátca: = [0, 0, 0,,, ]. (b) Elvação d grau p = 3 : = [0, 0, 0, 0,,,, ]. (c) Inrção d um knot na curva cúbca: = [0, 0, 0, 0, 0.5,,,, ]. Fgura 6. Exmplo d rfnamnto k. (a) p =, np = 3, pan = = [0, 0, 0,,, ] Elvação d Grau (b) p = 3, np = 4, pan = = [0, 0, 0, 0,,,, ] Inrção d knot (c) p = 3, np = 5, pan = = [0, 0, 0, 0, 0.5,,,, ]

7 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. Fgura 7. Exmplo d rfnamnto k, ond o proco nca d (a) para (b), com a lvação do grau, dpo d (b) para (c) com a nrção d um knot d (c) para (d) com a nrção d outro knot. 3 VIGA DE IMOSHENKO O modlo d mohnko condra o fto do calhamnto na çõ tranvra d uma vga ob forço d flxão. E fto é partcularmnt mportant m vga com lvada rlação altura/vão. A hpót cnmátca dta tora é qu çõ plana prpndcular ao xo da vga prmancm plana, porém não ncaramnt prpndcular ao xo apó a dformação, como motrado na Fgura 8. u v Fgura 8. Cnmátca da vga no modlo d mohnko. Am, o campo do dlocamnto da vga d mohnko é dado por x y y x, (6) x y vx, (7) ond u é o dlocamnto axal v o tranvral. A dformaçõ ão dada por x u y y x x (8) v y y 0 v u v xy x y x (9) (0) Am, a dformação d calhamnto não é nula, como na tora d Eulr-Brnoull, ma contant na ção. Aplcando a quação conttutva, obtmo a tnõ: x E x Ey ()

8 xy G xy v G x () A nrga ntrna d dformação U d uma vga d mohnko é dada pla oma da parcla d flxão U b d calhamnto U : U b V E dv V E y dv E y dadx L A L EI dx (3) U V G dv L A G dadx L k GA dx (4) Na tora d mohnko, a dformação d calhamnto é contant na ção, porém, gundo a ora da Elatcdad, ta dformação vara parabolcamnt ao longo da altura da ção tranvral. Am, é ncáro condrar o fator d forma k, dpndnt da forma da ção tranvral, para qu a nrga d calhamnto ja corrtamnt avalada. Rarranjando a Equaçõ (3) (4), tmo U E I dx L L G Ak dx (5) A nrga potncal total da vga d mohnko pod r crta como: U V (6) ond V é o potncal da carga xtrna. No cao d carga dtrbuída tmo qu V L v qdx (7) Fnalmnt, o momnto fltor é dado por M z y da E y A A da M z E I (8) o forço cortant é obtdo por Q y A da G A da Q y k GA (9) 4 ANÁLISE ISOGEOMÉRICA Nt trabalho, a gomtra, o dlocamnto a rotaçõ ão crto como:

9 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. x n n N x, v N v N n (0) ond N ão a ba B-Spln n é o númro d ponto d control do lmnto ogométrco. O dlocamnto podm r crto m formato matrcal como v N 0 0 N N 0 n v 0 u Nu N n vn n () D acordo com a Equaçõ (8) (), a curvatura é dada por n N, x BbuBb 0 N, x 0 Nn, x () D acordo com a Equaçõ (0), () (), a dformação d calhamnto é dado por n N v N B u B N N N N, x, x n, x n (3) A funçõ ba ua drvada ão obtda utlzando a Eq. (), (3) (4). A nrga potncal pod r calculada ntgrando m todo o domíno da vga. Contudo, ta abordagm não é ntrant, po dcondra a proprdad d uport compacto da ba B-Spln, gundo a qual apna p+ funçõ ão não nula m cada knot pan. Am, a nrga potncal total da vga pod r xpra pla oma da nrga m cada knot pan, qu podm r ntrprtado como o lmnto ogométrco: n n U V (4) ndo n o númro d lmnto ogométrco (knot pan). Utlzando a Equaçõ (5), () (3) podmo crvr a nrga ntrna d dformação como: U u Bb EIBbdxu u B GAk Bdxu ouu L L u K u K K K b (5) Am, a matrz d rgdz d flxão (K b ) d calhamnto (K ) ão dada por: K b L b B EIB dx b K L B GAk B dx (6)

10 O carrgamnto nodal quvalnt (f ) é obtdo a partr do potncal da força xtrna: V L v qdxu L N v qdx f L N qdx v (7) D po da matrz d rgdz da força xtrna, podmo dtrmnar o dlocamnto rolvndo o tma d quaçõ d qulíbro: Ku f (8) É mportant notar qu a matrz d rgdz global (K) o vtor d força xtrna global (f) ão obtdo a partr da oma da contrbuçõ do lmnto ogométrco (K f ) atravé do Método da Rgdz Drta, da mma forma qu é ralzado no MEF. A partr da formulação aprntada vrfcamo qu a AIG tm muta mlhança com o MEF, prncpalmnt quando o knot pan ão condrado como lmnto para fn d ntgração da matrz d rgdz. Contudo, o grau d lbrdad do MEF corrpondm ao dlocamnto do nó, qu ão ponto prtncnt à trutura, nquanto o grau d lbrdad da AIG não tm gnfcado fíco, po o ponto d control não ncaramnt prtncm à trutura. A xcção ão o ponto xtrmo do patch, qu ão ntrpolado. Dta forma, a AIG pod r ntrprtada como uma forma do Método d Raylgh-Rtz (MRR), na qual o domíno da trutura é dvddo m ub-rgõ (patch), ndo a olução aproxmada obtda por uma combnação lnar d funçõ dfnda m todo o patch o grau d lbrdad obtdo pla xtrmzação da nrga potncal total. Uma vz qu a gomtra do lmnto é dfnda a partr da Eq. (0), a matrz d rgdz d flxão d um lmnto dfndo no ntrvalo cartano x x pod r crta como: K b x Bb EIBbdxKb x B EIB b b J d (9) ond o Jacobano J é dado por: J dx N, x (30) d Am como no MEF, a ntgração da matrz d rgdz na AIG é ralzada utlzando a ntgração d Gau. Am, é ncáro mapar cada lmnto ogométrco (knot pan) do ntrvalo [, ] para o ntrvalo [-, ]. Ito pod r fto utlzando a rlação r r J r d dr (3) Dta forma: K b B EIB b b J d dx d B EIB drk d dr b B EIBJ J dr r (3)

11 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. Fnalmnt, ntgrando por quadratura d Gau, tmo K b npb dx d B CBJ W ond J J Jr d dr (33) ndo W npb o po o númro d ponto da quadratura colhda, rpctvamnt. O mmo procdmnto é utlzado para matrz d rgdz do calhamnto K : K B GAk B JdrK np B GAk BJ W (34) para o vtor d carga xtrna f : f N qj J drf v r npf N qj v W (35) ndo np npf o númro d ponto utlzado para ntgrar K f, rpctvamnt. 5 RAVAMENO A ntgração complta (full ntgraton) é aqula qu ntgra xatamnt um lmnto d Jacobano contant (.. não dtorcdo). Et númro pod r faclmnt obtdo lmbrando qu n ponto d Gau ntgram xatamnt um polnômo d grau n -. Sgundo Adam t al. (04), a nrga d calhamnto da vga (Eq. (4)) prca d um ponto a ma qu a d flxão (Eq. (3)) para ua ntgração. Contudo, dvdo ao dbalancamnto do trmo da matrz B, qu nvolvm tanto da funçõ d forma como ua drvada, a dformaçõ d calhamnto podm aprntar rro gnfcatvo ao longo do lmnto, rultando m rro na nrga d calhamnto (U ). Et rro crcm com a bltz da vga tndm a valor muto grand quando h/l tnd a zro, dxando o modlo numérco muto ma rígdo qu a vga ral. Na abla tão o númro d ponto d Gau ncáro para a flxão (npb) calhamnto (np) na ntgraçõ complta rduzda. abla. Númro d ponto d Gau. Grau Intgração Complta Intgração Rduzda npb np npb np Lnar Quadrátco 3 Cúbco A ntgração complta condra toda a contrbução do rro da dformaçõ d calhamnto ao longo do lmnto, lvando a uma uprtmação do valor da rgdz da modlo numérco. E fnômno é conhcdo como travamnto, bloquo ou lockng. O travamnto ocorr para toda a ordn, porém u fto é rduzdo na mdda m poqu o grau da aproxmação aumnta. E problma prt por caua do paradgma d ncontênca d campo, qu não é oluconado aumntando a ordm.

12 Dvra altrnatva foram propota para rolvr o problma do travamnto, tanto no cao do MEF quanto da AIG. Hu t al. (06) aprntaram uma formulação baada m B- Spln, chamada Método d Rdução da Ordm (Ordr Rducton - OR), qu lmna o travamnto modfcando a dformaçõ d calhamnto. O trabalho dl cta nov mportant método para lmnar o lockng m vga, placa caca: Método B, Dcrt Shar Gap (DSG), Sltv and Rducd Intgraton (SRI), Formulação Mta, Método d Colocação, Sngl Varabl (SV), Aumd Natural Stran (ANS), Movng Lat Squar (MLS) Coupld Polynomal Fld (CP). A olução ma mpl ma utlzada no cao do MEF é a ntgração rduzda, ond a matrz d rgdz d calhamnto (K ) é ntgrada com mno ponto qu o utlzado na ntgração complta, dxando o lmnto mno rígdo. Na ntgração rduzda unform (URI) utlza- na ntgração d K o mmo númro d ponto utlzado na ntgração da matrz d rgdz d flxão (K b ). Nt cao, o númro d ponto d Gau da ntgração rduzda é dado por npg p (36) No cao do MEF, a ntgração rduzda lmna totalmnt o travamnto d calhamnto do lmnto d vga d mohnko (Cook t al., 00). No cao da AIG utlzando funçõ B-Spln, é poívl tanto aumntar o grau, mantndo a contnudad (rfnamnto p), quanto aumntar o grau contnudad multanamnt (rfnamnto k). Na anál d óldo d problma d tado plano d tnõ, o aumnto da contnudad (rfnamnto k) normalmnt é bnéfco, po prmt uma convrgênca ma rápda utlzando mno grau d lbrdad qu o rfnamnto p. Contudo, Adam t al. (04) motraram qu o aumnto da contnudad torna o problma do travamnto ma éro. Am, a lmnação do travamnto na AIG é ma dfícl do qu no MEF, ond a contnudad é C 0. Em partcular, a ntgração rduzda não congu lmnar o travamnto m modlo AIG com contnudad maor qu C 0. Uma altrnatva à ntgração rduzda unform é o uo da ntgração ltva, com númro d ponto d Gau dfrnt para a matrz d rgdz d flxão d calhamnto. Eta técnca tm do utlzada com uco m lmnto fnto d placa caca (Cook t al., 00). Adam t al. (05) propuram um tpo d ntgração ltva qu lmna o travamnto na AIG com alta contnudad, porém comntam qu tpo d ntgração numérca é rum para problma não lnar, po a convrgênca da olução não é garantda m grand tma. Bouclr t al. (0) dz qu, mbora a ltva ja d fácl mplmntação baxo cuto computaconal, la é dfícl d r gnralzada para uma ordm polnomal uma contnudad quaqur. Além do, a ntgração ltva dfculta a utlzação da não lnardad fíca, uma vz qu a componnt d dformação d flxão calhamnto dvm r aplcada m ponto dfrnt. Quanto à mplmntação, a complxdad é maor do qu a da ntgração rduzda unform, prncpalmnt no cao d programa já xtnt. Lyly t al (993) propõ uma técnca d tablzação para o trmo do calhamnto m lmnto fnto d placa qu rduz o travamnto. Eta abordagm corrg a rgdz d calhamnto por um fator qu dpnd d parâmtro gométrco. ha t al. (0) adaptou

13 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. ta técnca para a AIG. Nta abordagm, o rgdz d calhamnto é dfnda como f t GAk, ond: f t h h l ndo h a altura da vga, uma contant ntr o ntrvalo l é comprmnto do lmnto (pan). Nt trabalho condrou- = 0.. A matrz d flxão é calculada normalmnt. (37) 6 EXEMPLOS Nta ção ão aprntado o xmplo numérco utlzado para vrfcação da formulação aprntada para tudo do fto do tpo d ntgração numérca utlzada: complta, rduzda rduzda com fator d tablzação (f t ). O fto do aumnto da dcrtzação do modlo ogométrco fo tudado utlzando o rfnamnto k, obtdo atravé da aplcação ncal da lvação d grau guda pla nrção d knot. Dta forma, toda a ba B-Spln utlzada poum contnudad C p-. O xmplo tratam d vga m balanço dfnda por um patch ujta a dfrnt carrgamnto. O dlocamnto foram tomado na xtrmdad lvr da vga. O dado utlzado ão aprntado na abla. O comprmnto L da vga fo varado, ndo condrada razõ d L/h d 0, 50, abla. Dado do problma. Proprdad Valor Undad Módulo d Elatcdad (E) kn/m² Cofcnt d Poon () 0. - Módulo d Elatcdad ranvral (G) kn/m² Ba da ção (b) 0. m Altura da ção (h) 0.8 m Fator d forma do calhamnto (k ) 5/6-6. Carga Momnto Et xmplo trata d uma vga ubmtda a uma carga d momnto M aplcada na xtrmdad lvr, como motrado na Fgura 9. A olução xata do dlocamnto é dado por: M x v EX EI (38) Et é o xmplo ma vro para o travamnto, po a vga tá ob flxão pura, m calhamnto tranvral.

14 vaprox/vx vaprox/vx Fgura 9. Vga m flxão pura.,0e+00 9,00E-0 7,00E-0 5,00E-0 3,00E-0,00E-0 -,00E-0 Razão do dlocamnto (p=) 0 00 Númro d pan L/h = 0 (C) L/h = 50 (C) L/h = 00 (C) L/h = 000 (C) L/h = 0 (R) L/h = 50 (R) L/h = 00 (R) L/h = 000 (R) L/h = 0 (Rft) L/h = 50 (Rft) L/h = 00 (Rft) L/h = 000 (Rft) Fgura 0. Gráfco da razão do dlocamnto para uma aproxmação lnar. Pla Fgura 0, podmo vr qu a ntgração complta (C) aprntou travamnto para toda a rlaçõ L/h condrada. E fto é ma acntuado quando a rlação L/h aumnta, ou ja, a vga va fcando ma fna. Apar dt problma, a rpota convrg com o rfnamnto do modlo. Por outro lado, quando a ntgração rduzda (R) é utlzada, não há travamnto gnfcatvo o dlocamnto tm boa aproxmação mmo com apna um lmnto (pan). Nt cao, o lmnto lnar aprnta contnudad C 0, a ntgração rduzda lmna o travamnto o fator d corrção não é ncáro.,0e+00,00e+00 9,00E-0 Fgura. Gráfco da razão do dlocamnto para uma aproxmação quadrátca. Como a rpota xata do dlocamnto da carga momnto é quadrátca, o dlocamnto obtdo utlzando ba quadrátca (p = ) ão xato, a mno d pquno rro numérco, para toda a rlaçõ L/h. Et fato é confrmado na Fgura, tanto para ntgração complta, rduzda Rf t, ndpndnt da rlação L/h. 6. Carga Dtrbuída Razão do dlocamnto (p=) 0 00 Númro d pan L/h = 0 (C) L/h = 50 (C) L/h = 00 (C) L/h = 000 (C) L/h = 0 (R) L/h = 50 (R) L/h = 00 (R) L/h = 000 (R) L/h = 0 (Rft) L/h = 50 (Rft) L/h = 00 (Rft) L/h = 000 (Rft) Nt xmplo uma carga dtrbuída q unform é aplcada ao longo da vga como motrado na Fgura. A olução xata do dlocamnto é xpra por uma quação d quarto grau:

15 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. v EX q EI 4 x Lx L x 4 q GAk x Lx (39) Fgura. Vga m balanço com carga dtrbuída. Por motvo d paço, a norma L fo calculada apna para a rotação, po o momnto fltor, qu é o fto domnant na vga, dpnd dla. Na Fgura 3 vmo o fto do travamnto quando a rlação L/h aumnta, dxando a vga ma fna. Na aproxmaçõ com ntgração complta (C), obrva- qu o fto do travamnto é ma vro. Quanto à ntgração rduzda (R), o rro ão mnor, porém não lmnam o travamnto, confrmando o rultado d Adam t al. (05). Na ntgração rduzda como fator d tablzação (Rf t ), há rro anda mnor, não lmnando, ma rduzndo gnfcatvamnt o travamnto. Vrfca- qu o travamnto aparc para todo o grau qu a partr d L/h = 000, o rro tablza. Norma L,E+00,E-0,E-0,E-03,E-04,E-05,E-06,E-07,E+00,E+0,E+0,E+03,E+04,E+05,E+06 L/h p = (C) p = (C) p = 3 (C) p = (R) p = (R) p = 3 (R) p = (Rft) p = (Rft) p = 3 (Rft) Fgura 3. Comportamnto da norma L da rotação com a bltz da vga. A Fgura 4 aprnta o rultado do rfnamnto do modlo para L/h = 000. A curva motram qu há convrgênca lnta da ntgraçõ complta rduzda no rgm préantótco. O lmnto lnar com ntgração complta não convrg, ma o outro têm convrgênca antótca. Fnalmnt, vrfca- qu o uo do fator d tablzação mlhora gnfcatvamnt o rultado dd o níco.

16 Norma L,00E+00,00E-0,00E-0,00E-03,00E-04,00E-05,00E-06,00E-07,00E-08,00E Nº pan p = (C) p = (C) p = 3 (C) p = (R) p = (R) p = 3 (R) p = (Rft) p = (Rft) p = 3 (Rft) Fgura 4. Comportamnto da norma L com o aumnto do númro d pan. O rultado m trmo do forço também foram tudado nt cao, adotando- uma malha d 4 pan, varando- tanto o grau d aproxmação quanto a rlação L/h para a ntgração rduzda com m fator d tablzação f t. Incalmnt, tmo o rultado para L/h = 0. (a) Rduzda. Fgura 5. Aproxmação lnar com L/h = 0. (b) Rduzda com fator d tablzação. (a) Rduzda. (b) Rduzda com fator d tablzação. Fgura 6. Aproxmação quadrátca com L/h = 0.

17 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. (a) Rduzda. (b) Rduzda com fator d tablzação. Fgura 7. Aproxmação cúbca com L/h = 0. Por fm, o rultado d L/h = 000. (a) Rduzda. Fgura 8. Aproxmação lnar com L/h = 000. (b) Rduzda com fator d tablzação. (a) Rduzda. (b) Rduzda com fator d tablzação. Fgura 9. Aproxmação quadrátca com L/h = 000.

18 (b) Rduzda. (b) Rduzda com fator d tablzação. Fgura 0. Aproxmação cúbca com L/h = 000. O rultado para L/h = 0 motram qu nt cao a ntgração rduzda já lva a bon rultado, po o travamnto não é gnfcatvo para ta rlação, qu corrpond à vga ua. Contudo, o uo do fator d tablzação lva uma mlhora no rultado da força cortant, prncpalmnt para ordn ma alta. Por outro lado, o travamnto é batant vdnt no rultado para L/h = 000. Nt cao, podmo prcbr a mlhora qu o fator d tablzação traz para o forço ntrno. O momnto fltor obtdo condrando t fator ão pratcamnt xato para p = 3, o qu não ocorr quando o fator não é condrado. O u uo lva a uma mlhora gnfcatva também no cortant ao longo do lmnto. Apar d não rm xato, o rultado no ponto d Gau ão muto bon, prncpalmnt no ponto localzado no cntro do lmnto, qu corrpond ao ponto utlzado na ntgração ltva d Adam t al. (05). É mportant notar qu o momnto fltor dpnd da curvatura (,x ), como a rotaçõ ão mlhorada pla tablzação, rultado ma prco ão obtdo para o momnto fltor ao longo d todo o lmnto. Por outro lado, o forço cortant dpnd da dformação d calhamnto ( = v,x ). Nt cao, o dbalancamnto do trmo vndo do dlocamnto da rotação mpd a obtnção d valor xato m todo o lmnto. 7 CONCLUSÃO Et trabalho aprntou uma formulação ogométrca para anál d vga pla tora d mohnko utlzando B-Spln como funçõ d aproxmação. A formulação fo avalada atravé da anál d vga cuja olução analítca é conhcda. O dmpnho da formulação fo tudado condrando dfrnt rlaçõ altura/vão, utlzando ntgração complta, ntgração rduzda ntgração rduzda com fator d tablzação. O rultado motraram qu a formulação ogométrca ofr d travamnto quando a ntgração complta é utlzada. Am como no MEF, o travamnto crc quando a bltz da vga aumnta, compromtndo o rultado obtdo para vga fna. Vrfca- anda qu o uo d aproxmaçõ d ordm ma alta alva, ma não lmna o travamnto. Por outro lado, o rultado obtdo nt trabalho confrmam o tudo d Adam t al. (04)

19 J. S. C. Pracano, S. P. Auad, E. Parnt Junor J.B.M. Soua Junor. motrando qu o ntgração rduzda unform não lmna o travamnto na AIG com contnudad upror a C 0 obtda por rfnamnto k. Fnalmnt, o uo do fator d tablzação motrou- uma altrnatva mpl fcnt, quando utlzado juntamnt com a ntgração rduzda. O rultado motraram uma mlhora gnfcatva no forço ntrno obtdo, motrando qu ta abordagm é uma forma ntrant para alvar o travamnto na anál ogométrca. AGRADECIMENOS O autor dt trabalho agradcm o uport fnancro dado pla CAPES. REFERÊNCIAS Adam, C., Bouabdallah, S., Zarroug, M., & Matournam, H., 04. Improvd numrcal ntgraton for lockng tratmnt n ogomtrc tructural lmnt, Part I: Bam. Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 79, pp. -8. Adam, C., Hugh,. J. R., Bouabdallah, S., Zarroug, M., & Matournam, H., 05. Slctv and rducd numrcal ntgraton for NURBS-bad ogomtrc analy. Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 84, pp Barroo, E. S., 05. Anál otmzação d trutura lamnada utlzando a formulação ogométrca. Drtação (Mtrado m Engnhara Cvl) Dpartamnto d Engnhara Etrutural Contrução Cvl, Unvrdad Fdral do Cará, Fortalza, Cará. Bltzngr, K., Bchoff, M., & Ramm, E., 000. A unfd approach for har-lockng-fr trangular and rctangular hll fnt lmnt, Computr & Structur, vol. 75, pp Bouclr, R., Elgudj,., & Combcur, A., 0. Lockng fr ogomtrc formulaton of curvd thck bam, Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol , pp Echtr, R., & Bchoff, M., 00. Numrcal ffcncy, lockng and unlockng of NURBS fnt lmnt, Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 99, pp Hu, P., Hu, Q., & Xa, Y., 06. Ordr rducton mthod for lockng fr ogomtrc analy of mohnko bam. Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 308, pp.. Hugh,., Cottrll, J., & Bazlv, Y., 005. Iogomtrc analy: CAD, fnt lmnt, NURBS, xact gomtry and mh rfnmnt. Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 94, pp Kndl, J., Aurccho, F., Hugh,. J. R. & Ral, A., 05. Sngl-varabl formulaton and ogomtrc dcrtzaton for har dformabl bam. Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 84, pp

20 Lyly, M., Stnbrg, R., & Vhnn,., 993. A tabl blnar lmnt for th Rnr- Mndln plat modl. Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 0, pp Pgl, L. & llr, W., 997. h NURBS Book. d. Grmany: Sprngr. Rank, E., Krau, R., & Pruch,K., 998. On th accuracy of p-vron lmnt for th Rnr Mndln plat problm. Intrnatonal Journal for Numrcal Mthod n Engnrgng. vol. 43, pp ha, C. H.; Nguyn-Xuan, H.; Nguyn-hanh, N.; L, -H.; Nguyn-ho,.; Rabczuk,., 0. Statc, fr vbraton, and bucklng analy of lamnatd compot Rnr Mndln plat ung NURBS-bad ogomtrc approach. Intrnatonal Journal for Numrcal Mthod n Engnrng, vol. 9, pp Wall, W. A., Frnzl, M. A., & Cyron, C., 008. Iogomtrc tructural hap optmzaton. Computr Mthod Appld Mchanc and Engnrng, vol. 97, pp