FORMULAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS DE ESTRUTURAS COMPOSTAS LAMINADAS AMORTECIDAS PASSIVAMENTE POR CIRCUITOS SHUNT

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1 6º OSMEC Unvrdad Fdral d Ubrlânda Faculdad d Ennhara Mcânca FORMULAÇÃO EM ELEMENOS FINIOS DE ESRUURAS COMOSAS LAMINADAS AMORECIDAS ASSIVAMENE OR CIRCUIOS SHUN Albrt Wllan Fara Unvrdad Fdral d Ubrlânda. Av. João Nav d Avla, 6, Bloco X, Sta. Mônca, Ubrlânda, MG. -mal: awfara@mcanca.ufu.br Domno Alv Rad Unvrdad Fdral d Ubrlânda. Av. João Nav d Avla, nº 6, Bloco M, Sta. Mônca, Ubrlânda, MG. -mal: rad@mcanca.ufu.br Raqul Santn Landro Rad Unvrdad Fdral d Ubrlânda. Av. João Nav d Avla, nº 6, Bloco X, Sta. Mônca, Ubrlânda, MG. -mal: rlr@ufu.br Rumo: Et arto aprnta a formulação por lmnto fnto d trutura compota lamnada dotada d matra pzlétrco acoplado a crcuto hunt m vta ao control pavo d vbraçõ. A trutura compota lamnada é formulada numrcamnt por mo da tora HSD na aproxmação da quantdad mcânca pla tora Layrw na aproxmação da varáv létrca, conttundo am a chamada ora Mta. O lmnto adotado na formulação numérca aprnta oto nó, onz rau d lbrdad mcânco por nó rau d lbrdad létrco por ntrfac d camada do lamnado. São aprntado o parâmtro ótmo d ntonzação do crcuto hunt rtvo ronant m ér parallo. Uma mulação numérca é ftuada para vdncar o amortcmnto d vbraçõ promovdo por mo da utlzação do crcuto hunt. A aplcação utlza uma va compota d raft/póx, m balanço dotada d uma patlha pzlétrca colada ob ua fac upror. A patlha é acoplada a um crcuto hunt na topoloa rtva ronant m ér parallo. O rultado numérco vdncam o aumnto do amortcmnto promovdo pla ntonzação ótma do parâmtro d rtênca ndutânca létrca do crcuto pavo tudado. alavra-chav: matra compoto lamnado, fto pzlétrco, amortcmnto pavo d vbraçõ, crcuto létrco hunt, lmnto fnto.. INRODUÇÃO Matra pzlétrco vêm ndo frqüntmnt uado como nor /ou atuador para o control d forma vbração d trutura flxív. O matra pzlétrco d uo ma corrnt nclum o fluorto d polvnldno (VDF) qu é um flm polmérco mcrtalno o ttanato zrconato d chumbo (Z) qu é um matral crâmco. Et matra dformam- quando xpoto a uma voltam létrca d manra nvra produzm cara létrca quando ofrm olctaçõ mcânca. E fto chamado fto pzlétrco drto nvro ão dvdo à prmannt polarzação nduzdo durant o proco d fabrcação dt matra ao rm xpoto a um fort campo létrco. Na aplcaçõ voltada ao control d vbraçõ, o matra pzlétrco ão colado à trutura ba uando um fort matral advo. Em uma aplcação típca d control atvo, um matral pzlétrco é uado como um atuador, nquanto outro é utlzado como um nor para mdr a vbraçõ da trutura ba. Um tma d control d voltam é ntão aplcado no atuador pzlétrco para mnmzar a vbraçõ não djáv da trutura ba.

2 do nrnt a Uma altrnatva a t tpo d control atvo é a adoção d um tma d control pavo utlzando um crcuto létrco dnomnado crcuto hunt, ao qual é tranfrda a nra d dformação da trutura vbratóra, qu é partcalmnt nl dpada. Ao lono da últma década uru uma rand vardad d publcaçõ obr o control pavo d vbração utlzando crcuto hunt, ta como, Wu Bco (997), Caruo (), Vana (5). Haood Von Flotow (99) ntrprtaram o funconamnto d um matral pzlétrco acoplado a um crcuto hunt ronant m trmo d uma analoa com um aborvdor dnâmco d vbraçõ (ADV). El acrcntaram um lmnto rtvo ao lmnto ndutvo ornando o crcuto ronant m ér (RL). Et crcuto pod r vto a ur, ndo CBpB capactânca nrnt da patlha pzlétrca. Etrutura ba zlétro Cp Crcuto Shunt R Etrutura ba zlétro Cp Crcuto Shunt R L Etrutura ba zlétro Cp Crcuto Shunt C R L (A) (B) (C) Fura. (A) Rprntação qumátca do crcuto hunt rtvo, (B) do crcuto hunt ronant ér (C) do crcuto hunt capactvo. O crcuto RL rultant é ajutado a uma pcífca frqüênca natural ωbb tma adotando valor aproprado d R d L. orém, dvdo à naturza pava do crcuto hunt a obtnção do nív ótmo d dmpnho do componnt do tma é uma tarfa dfícl. Am, um método ral para a colha d parâmtro ótmo do hunt é propoto por Bhrn Mohman () baa- na otmzação HB. Dvra outra publcaçõ foram nfluncada plo trabalho d Haood Von Flotow (99). Nt contxto, por xmplo, Wu Bco (997) dmontraram qu o crcuto hunt RL for ubttuído por um crcuto hunt ronant m parallo (RLp) o crcuto rultant trá prformanc mlhant, porém com prformanc ma nívl a mudança na rtênca do lmnto rtvo para o amortcmnto do modo d vbração d baxa ordm. Um mportant problma rlaconado ao uo d um crcuto RL qu fo tudo por Caruo () é qu alto valor d ndutânca L ão rqurdo para um fcnt amortcmnto da frqüênca natura corrpondnt ao modo d vbração d baxa ordm. E ndutor ntétco aplcado a crcuto hunt ronant foram analado xprmntalmnt por Vana (5) ob o ponto d vta létrco. Sundo Caruo, t problma pod r parcalmnt rolvdo atravé do uo d um ndutor ntétco capaz d forncr valor lvado d ndutânca. orém, ta técnca pod nctar do uo d rtênca létrca maor do qu o valor ótmo tablcdo na condção ncal. ark u colaborador (998), propuram um aprmoramnto do crcuto hunt RL adconando um capactor m parallo a tá ramfcação, ndo ntão o crcuto rultant conhcdo como hunt capactvo (RL-C), o qual é lutrado atravé da Fura -C. Nt tpo d crcuto, o capactor m parallo prmt a rdução do valor ótmo da ndutânca L por um fator (+α), ond α é a taxa ntr a capactânca xtrna C a capactânca CBpB do matral pzlétrco. Caruo () ralzou uma anál comparatva ntr trê tpo d crcuto (RLp, RL RLC). Nt trabalho condra- o amortcmnto mcânco nrnt da trutura obtêm- o valor ótmo do componnt d crcuto.

3 No tocant a publcaçõ qu utlzam o Método do Elmnto Fnto (MEF) para a modlam d matra compoto lamnado amortcdo pavamnt por crcuto hunt, Saravano (999) aprntou uma formulação numérca aplcada ao tudo d va, placa caca compota lamnada dotada d componnt létrco pavo do tpo hunt rtvo. Et autor utlzou a ora da Dformação Calhant d rmra Ordm (FSD) para a aproxmação da varáv mcânca a tora Layrw na aproxmação da varáv létrca, conttundo am a ora Mta. Foram aprntada a frqüênca amortcmnto moda para trutura compota do tpo va, placa caca clíndrca dotada d crcuto hunt rtvo. Etudo analítco xprmnta foram aprntado lutrando a dpndênca do amortcmnto modal da frqüênca natura m rlação ao valor da rtênca do crcuto hunt. Além do, motraram- o fto da forma curvatura da trutura ba no amortcmnto trutural. Kuculuolu Royton (5) modlaram por lmnto fnto trutura compota lamnada dotada d crcuto hunt ronant. A varáv mcânca létrca foram formulada atravé da tora Layrw uaram uma aproxmação cláca, conhcda como ora d Mndln, na aproxmação da varáv para cada camada do lamnado. Um tma d control pavo d vbraçõ RL é mplmntado numrcamnt um rulador quadrátco lnar é adconado como técnca d control ótmo do parâmtro L R. orém, o arto d Kuculuolu Royton lmta a modlam d uma placa otrópca d alumíno não propramnt d um matral compoto lamnado. É bm conhcdo na ltratura qu a ora Layrw aplcada à aproxmação do campo d dlocamnto mcânco do potncal létrco m matra compoto lamnado ntlnt aprnta alun nconvnnt, obrtudo m rlação ao cuto computaconal rqurdo qu aumnta conform o númro d camada (nc) do compoto lamnado (Fara, 6, Ch t al., ). A ora Mta, qu rprnta a varáv mcânca m uma únca camada quvalnt a varáv létrca m camada dcrta ao lono da pura do tratfcado qu fo utlzada por Saravano (999), upra a dvantam do lvado cuto computaconal aprntado pla ora Layrw. No ntanto, Saravano utlza a tora FSD para aproxmar a varáv mcânca. Eta tora, undo Ch t al. (), aprnta o nconvnnt da ncdad d corrção do calhamnto tranvra (εbxzb, εbyzb) conduz a uma rdz xcva (har lockn) na modlam d placa compota lamnada fna. Uma altrnatva para uprar nconvnnt é o uo da ora da Dformação Calhant d Ordm Supror (HSD) na aproxmação da varáv mcânca. No ntanto, até o prnt momnto não fo ncontrado na ltratura trabalho qu utlzm a tora para a modlam d trutura compota ntlnt amortcda pavamnt por crcuto hunt. Em vta do, t trabalho buca ao lono do u dnvolvmnto a aprntação da formulação mta, ncorporando a tora HSD, acoplada a crcuto hunt na topoloa: rtvo, ronant m ér parallo, para o amortcmnto da vbraçõ d va ou placa compota lamnada. A déa prncpal do tudo rportado nt arto é a aplcação d dfrnt topoloa d crcuto hunt a trutura conttuída d matral compoto lamnado, o qu vm complmntar o tudo antror ralzado plo rupo d pqua do LMEt ddcado a trutura formada por matra mtálco otrópco.. FORMULAÇÃO DE ELEMENOS FINIOS.. Campo d Dlocamnto Mcânco da ora Mta Na ora Mta o comportamnto mcânco da trutura é modlado por um campo d dlocamnto d trcra ordm (HSD) ou d prmra ordm (FSD). A ur é xpro o campo d dlocamnto da HSD. 3

4 ão ão u v 3 ( x, y,z,t) = u ( x,y,t) + zψ x ( x,y,t) + z ζ x ( x,y,t) + z Φ x ( x,y,t) 3 ( x, y,z,t) v ( x,y,t) + zψ y ( x,y,t) + z ζ y ( x,y,t) + z Φ y ( x,y,t) ( x, y,z,t) = w ( x,y,t) + zψ ( x,y,t) + z ( x,y,t) w = () z ζ z ond: ubob, v BoB, wbob ão o dlocamnto na drçõ coordnada (x-y-z) d um ponto matral do plano médo d rfrênca (x-y), ψbxb, ψbyb ψbzb rotaçõ do mnto norma à uprfíc d rfrênca m torno do xo y, x z rpctvamnt. A funçõ ζbxb, ζbyb, ζbzb, B ΦBx ΦByB funçõ qu não aprntam nfcado fíco vdnt, ma podm r vta como rotaçõ d ordm upror qu dcrvm a dformação d uma lnha normal ao plano rfrênca (Fara, 6). A vantan da tora HSD ão: () la é aproprada para a modlam placa compota fna pa, () dpna o uo d fator d corrção da dformaçõ d calhamnto tranvra (γbxzb, γbyzb), () não rqur funçõ prtncnt ao paço CBB, ou ja, funçõ contínua (v) a dformação normal tranvral também é ncluída no modlo. A varáv mcânca aprntada na Equação ão convrtda para ua formulação m lmnto fnto uando funçõ d forma varáv mcânca noda aproprada. O lmnto condrado é um lmnto d placa qu aprnta trê nó por arta, num total d 8 nó, conhcdo como lmnto Srndpty (Rddy, 997). A matrz d tranformação lnar ntr a coordnada loba (x-y) loca (ξ-η) lmntar é ndcada por Rddy (997), ndo a oto funçõ d ntrpolação (funçõ d forma) NBB, com = a 8, ão forncda também por Fara (6). O campo d dlocamnto mcânco da tora HSD é rcrto m coordnada loca lmntar como ndo: { U (, η,z,t) } x3 = [ A u ( z) 3 [ N u ( ξ, η) 88 { u } 88 x ξ () ond: {U(ξ, η, z, t)}={u(ξ, η, z, t) v(ξ, η, z, t) w(ξ, η, z, t)}, {ubb} é o vtor qu contém a 88 varáv mcânca noda [NBuB(ξ, η) é a matrz d funçõ d forma mcânca. A dformaçõ mcânca ão aprntada m trmo da funçõ d forma do dlocamnto mcânco noda, a partr da Equação, ob a forma: { ( ξ, η,z,t) } 6 = [ D( z) 6 [ N u ( ξ, η) 88 { u } 88 = [ B u ( ξ, η,z) 6 88 { u } 88 ε (3) ond a matrz [D(z), [BBuB(ξ, η, z), [NBuB(ξ, η) [ABuB(z) ão ndcada no trabalho d Fara (6)... otncal Elétrco Lnar Dtrbuído por Camada ara a aproxmação do potncal létrco na ora Mta a coordnada z na drção da pura da placa é dacoplada da coordnada na uprfíc méda (x-y) d rfrênca, como xpro a ur. nc ( x,y,z,t) L ( z) ( x,y,t) = + j j (4) j= ond LBjB(z) é chamada d função m camada quvalnt (layrw functon) BjB(x, y, t) ão funçõ d ntrfac da j-éma ntrfac do compoto lamnado conttuído por nc camada. O potncal létrco m coordnada loca para a k-éma camada lmntar do -émo lmnto é xpro na formulação m lmnto fnto ob a forma: k ( ξ η,z,t) N ( ξ, η,z) [ ( ) { } 8( nc + ) (5), = ϕ 8 nc+ 4

5 ão ond [NB B(ξ, η, z) é a matrz d funçõ d forma létrca qu ncorpora a funçõ d forma Srndpty a funçõ d ntrpolação Laranana. Uando a dfnção uual do campo létrco como o radnt natvo do potncal létrco a Equação 5, a xpanão m camada do campo létrco é xpra da unt forma: r k { ( ξ, η,z,t) } N ( ξ, η,z) ([ ϕ ( ) ) [ ( ) () ( ) t = B ξ, η,z k ( ) t 8 ( n+ ) 8( n + ) E = ϕ 3 8 n+ 3 8 n+ 3. FORMULAÇÃO DAS MARIZES ELEMENARES Como uma trutura é compota d matra atvo (nor atuador) pavo (truturaba), o acoplamnto ntr lmnto dv r ncluído no modlo va rncípo Varaconal d Hamlton, qu ncorpora toda a contrbuçõ nrétca prnt na trutura. Sundo procdmnto dtalhado por Ch t al. () ão obtda a unt matrz m nívl lmntar: [ Kuu [ Ku [ K [ K u = nc + + zk + [ [ N [ A [ A [ N [ Bu [ c[ Bu [ Bu [ [ B [ B [[ B [ B [ χ[ B k= ξ= η z= zk u Jdzdηdξ ρ m u u u u dv (8) = V V S { F } [ N [ A { F } dv + [ N [ A { F } ds [ N [ A { F } u u u u + V S = (9) S = [ N { Q } Q ds () S ond [ Kuu é conhcda como matrz d rdz látca m nívl lmntar, a matrz [ u [ K ão a matrz d rdz ao acoplamnto ltromcânco m nívl lmntar [ u u u (6) (7) K K é conhcda como matrz dlétrca lmntar. [m é a matrz d maa lmntar ρ é a dndad do matral. [c, [ [χ ão, rpctvamnt, a matrz da contant d rdz látca, da contant pzlétrca d tnão prmvdad létrca. {F } {Q } ão rpctvamnt o vtor d força cara noda nralzada m nívl lmntar, V S dfndo rpctvamnt com volum ára lmntar. J é o jacobano da matrz. Utlzando o procdmnto padrão m lmnto fnto d montam da matrz loba o modlo matmátco do tma é xpro a ur plo tma d quaçõ lobal do tma ltromcânco acoplado (o ubcrto ndca quantdad loba). [ M { u&& () t } {&& () t } + [ Kuu [ Ku [ K [ K u { u } () t 4. ACOLAMENO DO CIRCUIO SHUN = { F } Q () t Como a uprfíc do matral pzlétrco ão uprfíc qupotnca, para a ncorporação do crcuto hunt no tma ltromcânco acoplado dv- ntroduzr uma matrz d tranformação [ a fm d tablcr um únco.d.l létrco mtr para cada uprfíc qupotncal. Am, [ é dfnda por: () 5

6 { () t } ( ( )) = [ ( n( nc ) ) ( n( nc ) ) n nc+ + + n( nc + ) () ond: () t é o vtor do.d.l létrco, é o vtor qu contém todo o.d.l colhdo como mtr, n é o númro total d.d.l létrco nc é o númro d camada do lmnto pzlétrco. Am, a matrz d tranformação [, rlacona o n(nc+).d.l létrco a omnt do.d.l létrco mtr por camada pzlétrca, um localzado m ua uprfíc upror o outro na F ão modfcado como u. nfror. Então, [ K,{ U} [ K = [ K [ K [ [ [ K [ [ K [ [ I uu u { U () t } u u [ I = [ K uu [ K u [ K [ K [ I u [ [ { () t } = [{ u () t } { } [ I = (4) { () t } F [ [ { Q () t } [{ F } { Q } F = = (5) ond: [ K u, [ K u [ K [ [ (3) ão a matrz d rdz tranformada pla matrz d tranformação I é a matrz dntdad. Utlzando a Equaçõ (3), (4) (5), o tma ltromcânco acoplado aprntado m () é rcrto ob a forma: [ M { u () t } && {&& () t } + [ K uu [ K u [ K [ K u { u } () t = { F } Q () t Et tma pod r rcrto no domíno d Laplac com auxílo da unt tranformaçõ: { u& () t } & () t [ { u () } { () } & (7) [{ u () t } { () t } u () [ { () } (8) { Q () t } [ dt dt I () = K (9) { F () t } F () () ond (t) é a corrnt létrca no domíno do tmpo I ( ) a corrnt létrca no domíno d Laplac. Utlzando a Equaçõ (7), (8),(9) (), a Equação (6) tranformada para o domíno d Laplac é rcrta da forma unt: (6) 6

7 ão ( [ M [ K uu ) [ K u [ K [ K + u { u () } () = { F () } { ()} I () A corrnt létrca pod r crta, undo Santana (5), como: { I () } Z ()[ L ( ) = () ond [ L é a matrz d tranformação, dfnda d tal forma qu: () () () () M ( n( nc+ ) ) = M K K K M ( ) () () ( n( nc+ ) ) (3) ond rpctvamnt o potnca létrco colhdo como o mtr na ntrfac upror nfror da patlha pzlétrca. Subttundo a Equação() na Equação (), o tma ltromcânco aprntado m (6) no domíno do tmpo pod r rcrto no domíno d Laplac como: ( [ M [ K uu ) [ K u * [ K [ K + u { u () } () = { F () } {} (4) ndo qu: [ K [ K * Z ()[ L = (5) Dnvolvndo o tma matrcal da Equação (4) m dua quaçõ ubttundo a unda quação na prmra, a quação rultant fornc a função d rpota m frqüênca (FRF) do tma ltromcânco acoplado com o crcuto hunt. Am: (6) [ uu u u F () * { u () } [ M + [ K [ K [ K [ K = D po da quação antror rta dfnr o parâmtro ótmo d ntona do crcuto m tudo o qua foram nuncado no trabalho d Vana (5) tão tablada a ur. 7

8 L B R B colada abla - arâmtro ótmo do crcuto hunt rtvo ronant m ér/parallo. po d crcuto hunt Ronant m ér ( + k ) 3 Ronant m parallo C C pzt n * ω k 3 pztωn Rtvo - k 3 C pztωn + k3 C pztω n k3 d3 E C pztωn χ 33 * pzt O cofcnt d acoplamnto ltromcânco kb3b aprntado na abla é obtdo, undo Vana (5), por mo da unt xprão: k ond 3 o c ( wn ) ( wn ) c ( w ) n = (7) o wn é a frqüênca natural m crcuto abrto 5. ALICAÇÃO NUMÉRICA c wn é a frqüênca natural m curto crcuto. A formulação dnvolvda fo avalada atravé d uma aplcação numérca cujo propóto ra vdncar o amortcmnto pavo d vbraçõ d uma va compota lamnada natada dotada d uma patlha pzocrâmca acoplada a dfrnt topoloa d hunt. A topoloa mplmntada foram a rtva, ronant m ér m parallo a modlam numérca do tma va-pzt fo ralzada na plataforma Matlab. A va compota lamnada pou 34mm d comprmnto, 5,4mm d larura 4,9mm d pura é dotada d uma patlha d crâmca pzlétrca d dmnõ 5,8x5,4mm m ua fac upror a mm d dtânca do nat. O compoto lamnado pou um total d quatro camada fabrcada d raft/póx orntada a [º/9ºBB. A drção da fbra da camada orntada a º é paralla ao xo x, a pura d cada camada do compoto é d,48cm, nquanto qu a pura da patlha pzocrâmca é,76mm. O valor da contant látca do compoto lamnado 3/934 adotado ão: EB B= 3,4 Ga; EB B= EB33B =,8 Ga; GB3B = 3,6; GB3B = GB = 5,6 Ga; µbb = µb3 B=,4; µb3b =,49. A do Z-4 ão: EB B= EB B= 8,3 Ga; EB33B = 64,5 Ga; GB3B = GB3B = 5,6 Ga; GB = 3,6Ga; µbb =,33; µb3 B= µb3b =,43. Já o cofcnt pzlétrco da patlha pzlétrca ão m ( m/v): db3b = db3b = -; db4b = db5b = 495 o cofcnt d prmvdad létrca normalzado - pla contant dlétrca do ar χ (ual a 8,85x F/m) ão: χbb = χbb = 475 χb33b = 3. A 3 dndad, m k/m, do matral compoto da patlha ão, rpctvamnt, ua a A va fo dcrtzada m 5x lmnto foram adotado o parâmtro ótmo d ntona do dfrnt crcuto hunt dfndo na abla. A abla aprnta a cnco prmra frqüênca natura do tma va-z obtda na condçõ d curto crcuto. Em um crcuto fchado uma voltam nula é mpota multanamnt ao ltrodo upror nfror do matral pzlétrco, num crcuto abrto o ltrodo mtr nfror é atrrado o upror prmanc lvr. - 8

9 abla - Frqüênca natura m crcuto abrto fchado do tma va-z. Frqüênca natural m crcuto abrto (Hz) Frqüênca natural m crcuto fchado (Hz) 9,47 8,7 56, 56, 699,66 697,8 766,9 766,9 876,9 876,3 Utlzando a Equação (7), a abla, o parâmtro ótmo d rtênca ndutânca para a dfrnt topoloa hunt ão obtdo tablado a ur. abla 3 - arâmtro ótmo do crcuto hunt rtvo ronant. Crcuto hunt arâmtro ótmo Rtênca (kω) Indutor (H) Rtvo 45,77 - Ronant m ér 7,6 64,5 Ronant m parallo 33,8 65,7 A ur, lutra- o amortcmnto na ampltud d vbração na vznhança da prmra frqüênca natural do tma va-pzt obtdo por mo da ralzação da anál harmônca com o mpro da Equação (6). Fura - Amortcmnto da ampltud d vbração da prmra frqüênca natural utlzando crcuto hunt rtvo ronant m ér/parallo. 9

10 Obrva- pla Fura qu o amortcmnto promovdo plo hunt ronant m ér m parallo é bm upror ao promovdo plo hunt rtvo. Já o dmpnho do crcuto hunt ronant m ér m parallo ão muto mlhant. No ntanto, comparando o parâmtro ótmo d rtênca ndutânca rqurdo plo crcuto para o a obtnção do máxmo amortcmnto da prmra frqüênca natural, obrva- qu, a rtênca létrca ótma do ronant m ér é nfror à rqura plo crcuto m parallo ua ndutânca létrca ótma ão pratcamnt ua. 5. CONCLUSÕES O procdmnto d modlam numérca por lmnto fnto d trutura compota lamnada dotada d nor atuador pzlétrco prmtm avalar a fcênca d tma d control pavo conttuído por crcuto létrco pavo d dvro tpo, acoplado ao lmnto pzlétrco d forma batant abrannt. Nt ntdo, a tora mta mprada prmt condrar um poconamnto arbtráro do lmnto pzlétrco ao lono da pura do tratfcado, o qu traduz m uma rand flxbldad d projto. Fo contatado qu, para cada modo d vbração xt um valor ótmo d ntona do parâmtro do crcuto hunt (ndutor, rtor capactor) para obtnção da maor taxa d amortcmnto modal. No tudo do hunt rtvo o amortcmnto é obrvado numa lara banda d frqüênca, nquanto qu, no crcuto hunt ronant l é ma pronuncando m um modo pcífco d vbração. O amortcmnto do tma trutura-pzt ob ntona ótma do parâmtro do crcuto hunt ão maor quando o crcuto é ronant m vz d rtvo. O rultado urm a ralzação d xprmnto para a valdação da modlam numérca ftuada para trutura compota lamnada amortcda pavamnt plo mpro d crcuto hunt. Até o prnt momnto raro trabalho utlzaram a tora HSD aplcada na modlam d matra compoto lamnado amortcdo pavamnt por crcuto hunt, o qu motvou o tudo aqu rportado. 9. AGRADECIMENOS Ao CNq pla bola d Doutorado d Fara, A. W. plo apoo fnancro do projto d pqua d Rad, D. A ao rorama d ó-graduação m En. Mcânca pla oportundad.. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bhrn, S. Mohman, O. R.,, Optmal Rtv Elmnt for Multpl Shuntdampn of a zlctrc Lamnat Bam, IEEE Conf. Dcon Control, Sydny, Autrála. Caruo, G., A Crtcal Analy of Elctrc Shunt Crcut Employd n zlctrc av Vbraton Dampn, Journal of Smart Matr. Struct., pp Ch, C.; on, L.; Stvn, G..,, Statc Shap Control of Compot lat Un a Curvatur-dplacmnt Bad Alorthm, Intrnatonal Journal of Sold and Structur, Vol. 38, pp Fara, A. W., 6, Modlam por Elmnto Fnto d laca Compota Dotada d Snor Atuador zlétrco: Implmntação Computaconal Avalação Numérca, Drtação d Mtrado - Unvrdad Fdral d Ubrlânda, Ubrlânda, MG. Haood, N. W. Von. Flotow, A., 99, Dampn of Structural Vbraton wth zlctrc Matral and av Elctrcal Ntwork, Journal of Sound and Vbraton, Vol. 46, n., pp

11 Kuculuolu, Z. K. Royton,. J., 5, Fnt Elmnt Formulaton for Compot lat wth zocramc Layr for Optmal Vbraton Control Applcaton, Journal of Smart Matr. Struct., pp ark, C. H.; Kabya, k. Inman, D. J., 998, Enhancd zlctrc Shunt Dn, Adapt. Struct. Smart Matr. Syt. ran. ASME., Vol. 57, pp Rddy, J. N., 997, Mchanc of Lamnatd Compot lat: hory and Analy, Florda: CRC r,.d. Santana, D. C., 5, Contrbução ao Dnvolvmnto d écnca d Control d Vbraçõ Emprando zocrâmca Combnada com Crcuto Shunt, Qualfcação do Doutorado - Unvrdad Fdral d Ubrlânda, Ubrlânda, MG. Saravano, D. A., 999, avly Dampd Lamnatd zlctrc Shll Structur wth Intratd Elctrc Ntwork, Natonal Aronautc and Spac Admntraton -NASA, pp. -9. Vana, F. A. C. 5, Amortcmnto d Vbraçõ uando atlha zlétrca Crcuto Shunt Ronant, Drtação d Mtrado - Unvrdad Fdral d Ubrlânda. Wu, S. Y. Bco, A. S., 997, Structural Vbraton Dampn Exprmnt Un Improvd zlctrc Shunt In roc. SIE Conf. av Dampn Iolaton: SI. Vol. 345, pp DIREIOS AUORAIS O autor ão o únco rponáv plo contúdo do matral mpro. ELEMEN FINIE FORMULAION OF COMOSIE LAMINAED SRUCURES DAMING WIH ASSIVE ELECRICAL NEWORKS Albrt Wllan Fara Fdral Unvrty of Ubrlânda. Av. João Nav d Avla, nº 6, Bloco X, Sta. Mônca, Ubrlânda, MG. -mal: awfara@mcanca.ufu.br Domno Alv Rad Fdral Unvrty of Ubrlânda. Av. João Nav d Avla, nº 6, Bloco M, Sta. Mônca, Ubrlânda, MG. -mal: rad@mcanca.ufu.br Raqul Santn Landro Rad Unvrdad Fdral d Ubrlânda. Av. João Nav d Avla, nº 6, Bloco X, Sta. Mônca, Ubrlânda, MG. -mal: rlr@ufu.br Abtract: h papr rport th fnt lmnt formulaton of compot lamnatd tructur wth dtrbutd huntd pzlctrc layr. h approxmaton of mchancal and lctrcal dplacmnt of th compot tructur numrcally formulatd by man of Hhr-ordr Shar Dformaton (HSD) combnd wth a Layrw hory for th lctrcal dr-of-frdom. Both thor rult n th o-calld Mxd hory. h fnt lmnt ud n th formulaton prnt ht nod, lvn mchancal dr-of-frdom pr nod and a nl lctrcal dr-of-frdom pr nod pr pzlctrc layr. h artcl nclud th optmal valu of tunn of th lctrcal rtanc and nductor. A numrcal mulaton prntd to put n vdnc th dampn nhancmnt promotd by of th crcut hunt. Numrcal rult for a cro-ply rapht/poxy cantlvr bam wth huntd pzocramc layr ar prntd. h rtv, ronant n r and paralll hunt crcut ar tudd. Kyword: compot lamnatd tructur, pzlctrc ffct, dampd vbraton, huntd crcut, fnt lmnt.