Sistema de Visualização Gráfica Tridimensional de Avaliação de Desgaste do Desgaste do Refratário de Cadinho do Alto-Forno

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1 Stma d Vualzação Gráfca Trdmnonal d Avalação d Dgat do Dgat do Rfratáro d Cadnho do Alto-Forno Thago A. S. Vtorno Rumo A ntgrdad do rfratáro do cadnho d altoforno é prmordal para a contnudad d ua campanha, ou a, m ntrrupçõ d longo prazo, como por mplo, a troca d rfratáro do cadnho. Nt trabalho, rlata- o dnvolvmnto a mplmntação d um oftwar d vualzação gráfca trdmnonal baado m um modlo computaconal d lmnto fnto. Softwar t, qu aval montor o dgat do rfratáro do cadnho poblt tomada d dcão a rpto da programação da rforma do mmo, d forma a vtar a ntrrupção prmatura da ua campanha ou tndê-la até um lmt guro d ua opração. Utlzou d técnca d lmnto fnto para contrur um modlo computaconal qu rprnta o modlo matmátco d tranfrênca d calor do cadnho, qu por ua vz é baado na avalação da otrma d 50 C, qu é a tmpratura d oldfcação do frro gua. Para a mplmntação do tma utlzou- o oftwar Borland C++ Buldr 6.0 como plataforma d dnvolvmnto, para o dnho trdmnona, fz- uo da bblotca gráfca OpnGL. O grand dfrncal dt proto é a vualzação gráfca trdmnonal on-ln da avalação do dgat do rfratáro do cadnho, am como conulta d dado htórco. Palavra chav Alto-Forno, Dgat do Cadnho, Tranfrênca d Calor, Modlo Computaconal, Método d Elmnto Fnto. A I. INTRODUÇÃO ntgrdad do rfratáro do cadnho d alto-forno é prmordal para a contnudad d ua campanha, ou a, m ntrrupçõ d longo prazo. Váro mcanmo qu cauam dgat do rfratáro do cadnho ão dntfcado m Laar t al (00), por mplo, ataqu trmomcânco pla pntração d frro-gua no poro do tolo rfratáro. Adotou- um modlo d dgat do cadnho, qu tm como obtvo dntfcar o prfl d roão baado na poção da otrma d oldfcação do frro-gua (tmpratura d 50 C), obtdo a partr da tranfrênca d calor no rfratáro do cadnho. A otrma d 50 C rprnta um lmt potncal da pntração do frro-gua dntro da pard do cadnho pla porodad do rfratáro. Et modlo upõ uma boa rtênca do rfratáro, ou a, matra d pouca porodad boa rtênca à pntração do frro-gua, condra qu a proprdad do rfratáro não ão gnfcatvamnt modfcada. Dta forma o modlo a r dnvolvdo prmt não omnt tr a nformação da poção atual da otrma 50 C, ma também abr a tuação htórca do dgat do cadnho, dntfcando am qual príodo d maor dgat do mmo. Am para prmtr a montoração do dgat do rfratáro do cadnho, dta forma vtar a ntrrupção prmatura da ua campanha ou tndê-la até um lmt guro d ua opração, propõ-, nt trabalho, o dnvolvmnto a mplmntação d um oftwar d vualzação gráfca trdmnonal (D), baado m um modlo computaconal bdmnonal (D) d lmnto fnto. Softwar t qu ralz a avalação do dgat do rfratáro do cadnho a partr do modlo d dgat propoto acma, poblt tomada d dcõ, como por mplo, a programação da rforma do rfratáro do cadnho. II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O modlo matmátco D, a r utlzado para rolvr o problma d dgat do rfratáro do cadnho, é baado na quação dfrncal parcal d tranfrênca d calor d uma cção do cadnho, va a Equação, ond r z ão o o d rfrnca (rao altura, rpctvamnt), T é a varávl, tmpratura nt cao, k é a condutvdad térmca para ponto prtncnt ao domíno Ω, lutrado na Fgura, qu no cao rfr ao matral rfratáro. Et modlo aum tado taconáro, ou a, não há varação no tmpo da grandza T, mtra rotaconal, ou a, o óldo D, qu é o cadnho, é grado por uma rvolução complta do domíno Ω m torno do o z. T T T T kr k + 0 r r r z z ()

2 . No contorno, a tmpratura é mpota, portanto conhcda (Equação );. No contorno, condra- qu não há troca d calor, po a uprfíc é totalmnt olada, ou a, a varação d T m rlação à z é nula (Equação 4); v. No contorno 4, condra- qu há troca d calor por convcção (Equação 5) na qual h é o cofcnt d tranfrênca d calor por convcção ntr o contorno 4 o mo trno, qu ncontra a uma tmpratura T ; v. No contorno 5, condra- qu há troca d calor por convcção, Equação 6, na qual h é o cofcnt d tranfrênca d calor por convcção ntr o contorno 4 o mo trno, qu ncontra a uma tmpratura T ; Fg. : Domíno do problma. Fg. : Domíno condção d contorno para o problma nvro. A olução dt modlo pod r obtda, atacando o problma d dua forma dtnta, drta nvra. Na prmra, calcula a dtrbução d tmpratura do domíno do problma a partr da condçõ d contorno mpota. Na gunda, o calculo é ralzado am como na prmra, ó qu dvra vz, po dpotvo d mdda d tmpratura rrgularmnt dtrbuído obr a ba pard do cadnho ão utlzado para mnmzar o rro corrpondnt à dfrnça ntr o valor d tmpratura calculado o valor mddo, nquanto a tmpratura da condção d contorno T otrma é varada. A Fgura lutra o domíno do problma a condçõ d contorno para o problma nvro, cuo dtalhamnto gu abao:. No contorno, condra- qu não há troca d calor, plo fato do mmo urgr da mtra do problma, ou a, a varação d T m rlação à r é nula (Equação ); T k 0 r () () T T otrma T k 0 z T k h( T T ) r T k h( T T ) z Método numérco como Método d Elmnto Fnto (FEM), Método d Volum Fnto (FVM) o Método do Elmnto Contorno (BEM), ão utlzado para modlar dfrnt fnômno ta como dformação mcânca, tranfrênca d calor, vazão d fludo, propagação d onda ltromagnétca, mcânca quântca. Et método apromam numrcamnt a olução d uma Equação Dfrncal Parcal (PDE) lnar ou não-lnar, ubttundo um tma contnuo por um númro fnto d quaçõ algébrca, lnar ou não-lnar, acoplada. Et problma d dcrtzação aoca cada varávl a um do ponto no domíno do problma. Por mplo, para mular a condução do calor atravé d um componnt létrco, a tmpratura é dtrmnada m um numro d ponto, chamado nó, na uprfíc no ntror do componnt. Lu (007), utlza técnca d FVM para rolvr o problma d dgat do cadnho, dcrto antrormnt, am mplmntar um tma d montoramnto do dgat do rfratáro do cadnho. Nt trabalho prtnd- contrur um tma d montoramnto mlar, ma utlzando a técnca d FEM. Na técnca FEM, o domíno do problma dv r partconado m pdaço pquno d forma mpl, normalmnt trângulo ou quadrlátro (m D), ou ttradro (m D), qu ão chamado lmnto. Um nó é atrbuído para cada vértc do lmnto cada nó é tpcamnt comum a váro outro lmnto. Uma colção d lmnto é chamada d malha d lmnto fnto. (4) (5) (6)

3 Uma da prncpa dfculdad no uo d FEM tá na gração d malha. O rfnamnto d Dlaunay é uma técnca d gração d malha, baada na Trangulação d Dlaunay, Shwchuck (999). Malha d lmnto fnto d dua trê dmnõ ão lutrada na Fgura. S o lmnto têm forma mpl é fácl apromar o comportamnto d uma PDE, tal como a quação d calor, m cada lmnto. Por acumulação dt fto m todo o lmnto, chga- a um tma d quaçõ cua olução aproma um conunto d grandza fíca como a tmpratura m cada nó. lmt actávl; (6) Auta- o valor d Totrma para todo o ponto prtncnt ao contorno da Fgura, o rro não é actávl. O aut d Totrma pod r fto utlzando- o método do gradnt dcndnt (Lunbrgr, 984); (7) Gra- a vualzação do prfl d dtrbução d tmpratura do cadnho do dgat ( houvr), o rro é actávl, gundo uma lgnda d cor prvamnt dfnda; Fg. : Malha d lmnto fnto, bdmnonal trdmnonal. Font: Shwchuk. III. METODOLOGIA A olução do modlo d avalação do dgat para uma cção do cadnho rá obtda atravé do método numérco FEM, atacando o problma pla forma ndrta, como motrado m Radmor (998). O fluograma da Fgura 4 lutra, d forma mpl, a tapa nvolvda para rolvr o problma pla forma ndrta, cuo dtalhamnto, gu abao: () Para o dnvolvmnto do modlo d FEM ão ncára nformaçõ da gomtra do cadnho, para podr grar a malha d lmnto fnto da condutvdad térmca d todo o matra qu formam o rfratáro da nformaçõ obr a condçõ d contorno; () Obtnção do valor d tmpratura do nó qu poum mdda d tmpratura; () Atrbu- Totrma 50 C para todo o ponto prtncnt ao contorno da Fgura ; (4) Rolv- o tma d quaçõ do modlo FEM, obtdo no pao, para obtr o valor d tmpratura para o n nó do domíno. Eta tapa é a qu rqur maor cuto computaconal, po ncta- rolvr um tma d quaçõ d ordm n n; (5) Vrfca- para cada nó qu pou mdda d tmpratura, o rro da olução obtda plo modlo qu corrpond à dfrnça ntr a tmpratura calculada plo modlo a tmpratura mdda plo trmopar (obtda no pao ), tá dntro d um Fg. 4: Fluograma com a tapa da avalação do dgat. A mtodologa rprntada plo fluograma da Fgura 4 condra qu a condutbldad térmca k o cofcnt d tranfrênca d calor por convcção h ão não-lnar, ou a, varam com a tmpratura. Ma gundo Ban (996), a condutvdad térmca k do tolo rfratáro varam muto pouco com a tmpratura, podndo r condrado contant para mplfcar o cálculo. O valor d h, é cluvamnt dpndnt da forma como é fta a troca d calor por convcção (trna, ntrna, forçada, natural...), dta forma pod- calbrar um valor d h contant, qu a condznt a raldad do proco. Condrando ntão qu k h ão contant, a Equação rduz a Equação 7 o fluograma da Fgura 4 rduz ao fluograma da Fgura 5, cuo dtalhamnto gu abao. k T T + k 0 r r z (7)

4 4 calcula- a função nvra da Equação, ou a, obtém- para cada ponto o valor R, dado o valor d T n. Dta forma um R m médo é calculado (6) Atrbu- T otrma R m para todo o ponto prtncnt ao contorno da Fgura, atravé da Equação, calcula- o valor da tmpratura T n para o n ponto do domíno Ω; (7) Gra- a vualzação do prfl d dtrbução d tmpratura do cadnho do dgat ( houvr), gundo uma lgnda d cor prvamnt dfnda; Fg. 5: Fluograma modfcado com a tapa da avalação do dgat. () Para o dnvolvmnto do modlo FEM ão ncára nformaçõ da gomtra do cadnho, para podr grar a malha d lmnto fnto da condutvdad térmca d todo o matra qu formam o rfratáro da nformaçõ obr a condçõ d contorno; () Rolv- o tma d quaçõ do modlo FEM, obtdo no pao, dua vz, para obtr o valor d tmpratura para o n nó do domíno, uma para T otrma R outra para T otrma R. Eta tapa é a qu rqur maor cuto computaconal, po prca rolvr um tma d quaçõ d ordm n n; () Com o dado d tmpratura d todo o n nó do domíno, para T otrma R para T otrma R, aproma- o valor d tmpratura para cada um do n nó, pla rta da Equação, ou a, o modlo d FEM é ubttuído por um modlo lnar, na qual T n é a tmpratura do némo ponto qu da obtr, R é a tmpratura d rfrênca T otrma da condção d contorno, A n B n ão o cofcnt d prmra zro ordm, rpctvamnt, para t ponto; Tn An R + Bn (8) (4) Obtnção do valor d tmpratura do nó qu poum mdda d tmpratura; (5) Para o ponto qu poum mdda d tmpratura, O pao do fluograma da Fgura 5 rfrm- ao cálculo da dtrbução d tmpratura do domíno do problma, para uma ção do cadnho m D, ou a, para um ângulo θ pcífco. A propota dt trabalho é dnvolvr um tma d vualzação gráfca D. Para tanto rá ncáro gur o pao do fluograma da Fgura 5 para váro ângulo dfrnt, d acordo com um θ (ncrmnto angular) colhdo. É mportant raltar qu a mplfcaçõ condrada para tranformar a mtodologa do fluograma da Fgura 4 para a mtodologa ncontrada no fluograma da Fgura 5, m trmo d cuto computaconal, pou uma dfrnça batant gnfcatva. Na prmra mtodologa, tm um laço tratvo nvolvndo o pao 4, 5 6, qu dpnd do rro calculado (método do gradnt dcndnt, por mplo). Obrv- qu a cada tração rá ncáro rolvr o tma d quaçõ n n do modlo d FEM, ond n é o númro d nó do domíno. Já na gunda mtodologa, é ncáro rolvr o tma d quaçõ apna dua vz (pao ) para obtr o dado qu rão utlzado para o calculo da rta qu rá modlar uma rta para cada ponto do domíno m função d T otrma, pao. IV. RESULTADOS A partr do dado da gomtra do cadnho, dfnu- uma rolução alta para grar a malha a r utlzada na pla técnca d FEM (pao do fluograma da Fgura 5). É mportant raltar qu a rolução da malha tá drtamnt lgada ao numro d nó conqüntmnt ao tamanho do lmnto utlzado, nflunca drtamnt no cuto computaconal nvolvdo na prcão da rpota obtda. A malha para o domíno do problma (Fgura ), qu fo grada plo rfnamnto d Dlaunay, pod r vualzada na Fgura 6. Com o domíno do problma modlado dcrtzado, ralzou- o cálculo d lmnto fnto dua vz, uma para T otrma 00 C outra para T otrma 600 C (pao do fluograma da Fgura 5) grando o dado ncáro para calcular o modlo lnar (pao do fluograma da Fgura 5) obtndo am um modlo lnar qu mapa, para cada ponto domíno, o cálculo quvalnt do FEM. Para o cálculo d FEM adotou- k,0 W/mK h 5000,0 W/mK (valor tablado m Ban, 996).

5 5 Fg. 6: Malha d lmnto fnto para o domíno do problma. Atravé do modlo lnar obtdo, ralzou- uma mulação para T otrma 500 C, obtndo a rpota do modlo lnar (pao 6 do fluograma da Fgura 5), ou a, a dtrbução d tmpratura para o domíno do problma (para cada nó do domíno m qutão). D po do valor d tmpratura m cada nó do domíno, grou- uma magm do prfl d tmpratura m cor, conform lutrado na Fgura 8. Para grar ta magm, fo fto um mapamnto térmco m cor, d forma mlar à fta m Vtorno t al (006), dfnndo uma cala d convrão qu dpnd d quatro cor ba, conform a Tabla, rultando na cala d mapamnto ou lgnda, lutrada na Fgura 7. Ralta- qu a tmpratura fora do ntrvalo dta cala d mapamnto foram mapada para a cor cnza. Tab. : Tmpratura da cor d rfrênca para a cor ba do mapamnto. Cor Tmpratura C Azul 0 Vrd 400 Amarlo 800 Vrmlho 50 Analando a Fgura 7, nfr- qu a poção da otrma d 50 C, rgão d oldfcação do frro-gua, corrpond ao contorno vrmlho a rgão cnza corrpond a rgão dgatada do rfratáro do cadnho. A Fgura 9 lutra a curva (formada plo ponto prto) da otrma d 50 C mapada na malha d lmnto fnto, qu é a rgão d ntrfac ntr o frro-gua o rfratáro corrpondnt ao prfl d tmpratura da Fgura 8. Grada a magm para uma cção do cadnho, dfnu- um θ 0, para grar a magm D corrpondnt a todo cadnho, o qu mplca m grar 6 magn corrpondnt a Fgura 8 mapar u contorno para um obto D qu rprnta o cadnho, conform a Fgura 0. O ponto dta fgura foram grado pla rotação do ponto prtncnt ao contorno da Fgura 9 d acordo com o θ dfndo, nt ponto aplcou- o rfnamnto d Dalaunay, para obtr a malha qu forma a uprfíc do obto D, conform lutrado também na Fgura 0. Com o obto D contruído o prfl calculado para a 6 cçõ D do cadnho, fo ncáro fazr um mapamnto d cada ponto do contorno da cção D para o corrpondnt ponto do obto D, para qu a nformação da tmpratura calculada no prmro pud r rpaada para o gundo. A Fgura lutra t mapamnto para T otrma 500 C. Uma dfculdad ncontrada durant o dnvolvmnto, rd na vualzação D da rgão do rfratáro dgatado, ou a, a capacdad d vualzar a rgão na qual ralmnt ncontra a ntrfac do rfratáro com o frro-gua, qu é corrpondnt a otrma d 50 C. Vrfqu qu ta rgão não aparc na Fgura, po o ponto prtncnt a curva da otrma d 50 C não tm no obto D, tm ram ntrno ao obto D, não podndo r vualzado a prncpo. Et ponto não tm porqu não foram crado nm mapado, á qu o ponto mapado d D para o D foram o ponto do contorno do domíno, também ó podm r calculado dnamcamnt, po dpndm do valor da condção d contorno T otrma. Para contornar a dfculdad da ntênca do ponto, o ponto prtncnt à otrma d cada cção foram crado mapado dnamcamnt, ou a, conform o cálculo d cada cção, cada um com u rpctvo ângulo, rultando no obto D corrpondnt à otrma d 50 C, conform a Fgura. Para contornar a dfculdad d vualzação, utlzou- o rcuro d tranparênca da OpnGL (bblotca gráfca utlzada para a vualzação D), pobltando a ntgração do obto da Fgura, conform lutrado na Fgura. Fg. 7:. Ecala d mapamnto.

6 6 Fg. 8 Prfl d tmpratura do domíno do problma para T otrma 500 C. Fg. 0 Obto D qu rprnta o cadnho. Fg. Obto D mapado para T otrma 500 C. Fg. 9 Iotrma d 50 C corrpondnt a T otrma 500 C. Fg.. Obto D mapado, rfrnt à otrma 50 C.

7 7 REFERÊNCIAS [] BEJAN, Adran. Tranfrênca d calor. São Paulo: E. Bluchr, c p, [] LAAR, R. V., CALLENFELS, E. S. V., GEERDS, M. Blat Furnac Harth Managmnt for Saf and Long Campagn. ISSTch 00 Confrnc Procdng, pp [] LIU, Kkan Kn. Nw Blat Furnac Harth Eroon Modl Dvlopmnt and Applcaton at U. S. Stl, AISTch 007 Confrnc [4] LUENBERGER, Davd G. Lnar and nonlnar programmng.. d. Radng, Ma.: Addon-Wly, c p. [5] OPENGL ARB. OpnGL - Th Indutry Standard for Hgh Prformanc Graphc. [Dponívl m [6] RADMOSER, Ethr. Scurty-Rlatd Part of a Blat Furnac Modl. ECMI 998 Nwlttr pp. 5 [Dponvl: [7] SHEWCHUK, J. R., Lctur Not on Dlaunay Mh Gnraton, 999, p.-0, 09 p [Dponívl m Fg.. Obto D mapado para T otrma 500 C, com a vualzação da otrma d 50 C. V. CONSIDERAÇÕES FINAIS Apó anál do rultado obtdo, pod- conclur qu o tma mplmntado atravé da técnca d FEM motrou capaz d avalar o dgat do rfratáro do cadnho, tanto para dado on-ln como para dado htórco mámo d tmpratura, po ambo ão dado d tmpratura, qu é o rquto d ntrada do tma. Um ponto crucal para qu a nformação forncda plo tma a válda é a calbração do tma, ou a, o aut do valor d k (condutvdad térmca do rfratáro) h (contant d troca d calor por convcção), d forma qu a tmpratura tmada no ponto qu poum mdda o dgat calculado, am o ma prómo da ral condção d opração do cadnho. Por t motvo, atualmnt o tma ncontra- m fa d mplantação tt para ua valdação. Plo tt ralzado até ntão, o tma dmontrou r d grand utldad para a qup d opração do AF da Grdau Açomna, prmtndo à tomada d dcõ, como por mplo, a programação da rforma do rfratáro do cadnho, d forma a vtar a ntrrupção prmatura do forno, tornando poívl tndê-la até um lmt guro d opração. [8] VITORINO, T. A. S., FIGUEIREDO, E. S., ROCHA, D. M., MESQUITA, R. C., CAMINHAS, W. M., Stma d vualzação gráfca trdmnonal da tmpratura do Stav do alto-forno da Grdau Açomna. In: Smnáro d Automação d Proco, 006, Blo Horzont/MG. Ana do X Smnáro d Automação d Proco, 006. v.. p. -6. BIBLIOGRAFIA [] ARAUJO, L. A., Manual d drurga. São Paulo: Art & Cênca, c.997. v. [] BASTOS, João P. A. Eltromagntmo calculo d campo. Floranopol: Ed. da UFSC, p. [] HUGHES, Thoma J. R. Th fnt lmnt mthod: lnar tatc and dynamc fnt lmnt analy. Englwood Clff: Prntc-Hall, c p. [4] JIN, Janmng. Th Fnt lmnt mthod n lctromagntc. J. Wly & Son, Nw York, 99, 464 p. [5] LEWIS, R. W. Th fnt lmnt mthod n hat tranfr analy. Chchtr: John Wly, c p. VI. AGRADECIMENTOS Agradço a todo o colga da Grdau Açomna qu contrbuíram d alguma forma para o dnvolvmnto dt trabalho ao profor colga do Mtrado m Engnhara Elétrca da Unvrdad Fdral d Mna Gra, plo apoo nnamnto.

8 8 ANEXO FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS I. FORMA FORTE A forma fort para um problma d lmnto fnto cont m dcrvr a quaçõ qu rgm o problma, unto com a condçõ d contorno corrpondnt, para um dtrmnado domíno. A Fgura lutra o domíno do problma m qutão, qu é rgdo pla Equação 0, na qual a condçõ d contorno ão dado pla Equaçõ 0, 0, A Equação 0 modla o problma d tranfrênca d calor m coordnada clíndrca, á qu o problma m qutão é amétrco. valor d tmpratura nquanto a outra dfn o campo norma tangnt. II. FORMA FRACA APLICANDO O MÉTODO DE GALERKIN O método d Galrkn utlza a quação qu dfn o problma, ao nvé d um funconal nrgétco como fto no método varaconal d forma a obtr a formulação numérca para a ua rolução. Et método dfn um ríduo R, ndo t dfndo pla gunt quação: R f ( v) f ( u) (7) Sndo qu a função a olução ata v é ubttuída por uma apromada u o ríduo é obtdo da dfrnça ntr ta oluçõ. No cao do método Galrkn, aplcado a lmnto fnto, ta condção para a convrgênca do método cont m crv N quaçõ ta qu: w R dω 0 (8) Ω Sndo w uma função d pondração, qu anda rá dfnda. O ríduo para o problma d tranfrênca d calor bdmnonal, m coordnada clíndrca, é dfndo como: R kr + k r r r z z (9) Fg.. Domíno do problma. T T T T kr k + 0 () r r r z z T k 0 () r T T otrma () T k 0 z (4) T k h( T T ) r (5) T k h( T T ) z (6) A Equação 0 é um tpo d condçõ d contorno d Drchlt, qu é aplcado ao contorno da Fgura, a Equaçõ 0, 04, 05, 06 ão tpo d condçõ d contorno d Robn (condção mta), qu ão aplcada ao contorno,, 4 5 da Fgura. O prmro tpo d condção, mpõ um A dcrtzação do domíno m lmnto é o prmro pao na rolução do problma utlzando o método d lmnto fnto. O domíno Ω é dvddo m pquno ubdomíno dnomnado Ω, no qua a proprdad ão upota contant o grandza qu da calcular vara lnarmnt. O problma é, ubqüntmnt, formulado tal qu a função dconhcda é aocada a cada nó do lmnto. Para o cao bdmnonal, normalmnt lmnto trangular d prmra ordm ão utlzado, como dfnda abao: (, ) r z a b r c z + + (0) Dfnndo uma função com a mma proprdad vta antrormnt, ta pou um valor untáro no nó m qu tá é dfnda um valor nulo para o nó vznho, a Equação 0 pod r rcrta da gunt forma: ( r, z) N N N + + () ond a funçõ d cuto ão dfnda a partr mplmnt da coordnada do nó do trângulo, no qua a grandza m qutão,,, tão dtrmnado.

9 9 N r z a b r c z (, ) ( + + ) () ond a r z k r k z, b z z k c r k r, ndo k,, k prmutam m ordm natural, para formarm N, N N, rpctvamnt, é a ára do trângulo, dada por: r z r z b c b c r z ( ) () A formulação plo método d Galrkn, toma a forma dcrta pla Equação 4: R π N k + k rdrdz r r r z z (4) Ω Intgrando por part o trmo com a drvada m gundo grau utlzando o torma da dvrgênca, obtêm-: N N N N R π k + k rdrdz π N k dγ r r z z nˆ Ω Γ ond ( r, z) tmpratura (5) nˆ é o vtor normal à uprfíc do lmnto a fo ubttuída pla Equação. Novamnt, para o domíno contndo M lmnto, o tma matrcal é obtdo omando a contrbução d cada um dt, ndo M M (6) { R} { R } K { } { g } { 0} ond o índc da matrz dvrão r obrvado d modo a colocar a contrbução do lmnto m ua dvda poção. O rtant da matrz rá prnchdo com zro crando uma matrz métrca para. Am: [ K ]{ } { g} (7) III. CÁLCULO DAS INTEGRAIS Em problma ltromagnétco, uma condção d contorno gral, para o cao do campo normal é comumnt dcrta da forma dcrta na Equação 06, ond Ф é a grandza m qutão. A Equaçõ 4 ão drvaçõ da Equação 8, fazndo α k q γ 0 conhcda como condção d Numann - a Equaçõ 5 6 ão drvaçõ da Equação 8, fazndo α k q ht oo γ h. Am daqu m dant rá utlzada ta notação. A ntgral qu aparc no prmro trmo, da Equação 5, ou a, a contrbução d um lmnto na matrz K, é rolvda analtcamnt, condrando qu o lmnto m qutão é ufcntmnt pquno para upor qu o rao não pou varação gnfcatva. Am é r contant, poundo o valor corrpondnt à méda do rao do vértc do lmnto r m, ndo a olução da ntgral dada por, π rm k K ( bb + cc ) 4 (9) A condção d contorno mta trá ua contrbução na matrz g. No cao m qu o a proprdad ão homogêna ao longo do domíno a contrbução rá dtrmnada, para um nó gral, por: g N k d N k Γ + nˆ d Γ (0) S nˆ S+ Γ Γ ond Γ é a frontra à drta do lmnto Γ + é o gmnto à qurda dt. O índc ão índc loca tão rlaconado com d acordo com o mapamnto dt para o índc globa. No cao da condção d contorno d Robn, a quação ubqünt rá: g g ( q ) dγ + N ( q γ) N S S+ Γ Γ γ dγ () N q γ N l d N q γ N l d () 0 0 ond l é o comprmnto do gmnto Γ l + é o comprmnto do gmnto Γ + é a dtânca normalzada ntr o nó, poundo valor untáro no nó valor nulo no nó. A Fgura lutra o cao para o qual ta formulação tá ndo fta, na qual o númro dntro do lmnto rprntam o índc loca do nó. A ntgral dada na Equação rulta m: (6) g g K g K α q γ n (8)

10 0 A rolução da ntgral rá drta um mplo d rultado á tá dcrto na formulação D para o cálculo da condçõ d contorno. Para o lmnto trangular d prmra ordm, ao o o d rfrênca rá (,), como motra a Fgura 4. Fg. : Trangulo d Rfrnca. Fg. Elmnto da frontra u nó. O trmo trão contrbução na matrz b K. Io rá + fto omando- b b K m b, K m, n(, ) + K K, n(, + ) m. O ub-índc n(,) é um vtor qu rlacona o índc local, local ao gmnto, ao u índc global. Para o lmnto lnar, a gunt contrbuçõ rão fta: b q l K l γ, p / 6 l γ, p / (4) A rolução dta ntgra é baada no lmnto d rfrênca como dmontrado no tm abao. IV. ELEMENTOS DE REFERÊNCIA O problma matrca podm r ralzado m dfculdad partcular cao o tma rfrncal a altrado para um normalzado. Como no cao d um gmnto, lutrado na Fgura. O gmnto qu ra dcrto plo o y paa a r dcrto plo o normalzado. Am, a ntgra fcam dfnda ntr 0 a funçõ d pondração paam a r: N & N (5) A rlação ntr o trângulo fta por ntrmédo d uma função d tranfrênca gométrca, N(,) qu, para o lmnto d prmra ordm é dfnda como: [ ] N (6) Am, um ponto dfndo na abca rá dcrto como: [ ] (7) D manra análoga dfn- o ponto na ordnada: y y y (8) y [ ] Como no cao do gmnto normalzado, a função d tranformação gométrca rá utlzada como função d ntrpolação do potnca dfndo no nó do trângulo: [ ] (9) Am o gundo trmo da Equação 5 pod r rcrto, na forma matrcal, como:

11 S R R T S d d J N ddy N γ γ (0) ond a matrz acobana, JR, é rlatva à tranformação d varáv, é dada por: y y y y y J R () O dtrmnant dta é o dobro da ára do trângulo. A ntgral da Equação 0 fca da gunt forma, apó a panão do trmo: [ ] γ γ d d () Et rultado pod r mplfcado para o qu á fo poto na Equação 4: p p K /, 6 /, γ γ ()