MECÂNICA DOS FLUIDOS APLICADA A ESCOAMENTO DO SANGUE NA MICROCIRCULAÇÃO

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1 6º POSMEC Univridad Fdral d Ubrlândia Faculdad d Engnharia Mcânica MECÂNICA DOS FLUIDOS APLICADA A ESCOAMENTO DO SANGUE NA MICROCIRCULAÇÃO Jona Antonio Albuqurqu d Carvalho Univridad d Braília Braília DF Tiago Tolntino d Olivira Rumo: Et trabalho tm como objtivo aprntar modlo do angu humano coando m microvao. E modlo prmitm a obrvação d propridad rológica important do angu, como a vicoidad aparnt, vlocidad da célula, concntração, dformabilidad da célula vrmlha ntr outra. O modlo bm ucdido, prmit qu jam fita corrpondência com patologia, d modo qu a rologia vnha a r um novo intrumnto d diagnótico prvnção d donça. Para tanto, a formulação uada para modlar o angu gu uma qüência volutiva, m qu primiro propõ um modlo contínuo com fluido nwtoniano não nwtoniano m guida tm- o uo d modlo d mulõ com gota protótipo d baixa dformação, também tudo m difuão hidrodinâmica qu vêm a xplicar a prnça da camada livr d célula próximo a pard d microvao. Nt artigo ão aprntado primiro modlo na calada d microvao d diâmtro d ordm d m, n pod- vrificar a influência da camada livr d célula próxima a pard do microvao, da concntração, o fito har thinning do angu a taxa d cialhamnto modrada, também uma abordagm m difuão hidrodinâmica prmit ntndr o mcanimo d formação da camada livr d célula a configuração d célula vrmlha branca na microcirculação. Em guida tm- o modlo da microcirculação m capilar, ond o diâmtro do vao é aproximadamnt o diâmtro da célula por vz mnor. N cao a agrgação d célula, a vlocidad a concntração, ão ignificant na análi dnvolvida. E tudo prmitm um ntndimnto mcânico do comportamnto do angu na microcirculação tudo voltado a diagnoticar patologia por mio da análi d propridad rológica do angu. Palavra-chav: micro-circulação, vicoidad do angu,fahrau-lindqvit. INTRODUÇÃO Vário tudo motram a importância do tudo da rologia do angu na microcirculação. Ito porqu divra donça podm altrar a propridad rológica do angu, como, por xmplo, a vicoidad do plama a propridad mcânica do ritrócito como dformabilidad, formato, vicoidad da mmbrana. O Diabt é um xmplo d donça qu afta a rologia do angu, tndo m vita qu a mma rduz a dformabilidad do glóbulo vrmlho (Schmid-Schönbin (98)). Outro xmplo conhcido é a anmia falciform qu aumnta a vicoidad do plama a tndência da célula vrmlha d agrgarm (Schmid-Schönbin (98)). Malária, drram algun tipo d câncr também podm altrar a rologia do angu. Conidrando todo problma, comprndr o comportamnto do angu na microcirculação é d fundamntal importância, tndo m vita qu oitnta por cnto (8%) da quda d prão ntr a aorta a vna cava ocorrm na microcirulação (Popl & Johnon (5)). O angu é uma upnão d célula m plama. A célula anguína ão dnominada ritrócito, lucócito plaquta.

2 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. O ritrócito dmpnham papl primordial na propridad rológica do angu. O glóbulo vrmlho no tado d quilíbrio, ito é, não dformado, tm o formato d doi dico bicôncavo com diâmtro d 7 m a 8 m com pura d aproximadamnt.5 m na borda d m no cntro (Boryczko, Dzwinl & Yun (3)). A figura () é a rprntação gráfica d um ritrócito. Figura : Ilutração d um glóbulo vrmlho com ua dimnõ aproximada. O angu é aproximadamnt uma mulão polidipra compota por uma fração volumétrica d aproximadamnt 5% d célula vrmlha (a fração volumétrica é dnominada hmatócrito), rponávi plo tranport d oxigênio ao tcido do corpo plaquta, rponávi pla coagulação do angu. O angu é um fluido não nwtoniano complxo qu aprnta caractrítica d fluido Bingham, pudo-plático mulõ concntrada. O cálculo d u movimnto nvolv a dtrminação do comportamnto do glóbulo vrmlho, caractrizado por dformação, orintação agrgação. Em microvao, a célula chgam a dformar adquirir uma largura muito mnor qu u comprimnto caractrítico, organizam m fila m uma dipoição conhcida como rolaux com um formato caractrítico tudado por Scomb & Gro (983). Para comprndr o movimnto do angu, t trabalho xib difrnt modlo uado para tudar a rologia do angu na microcirculação. O modlo ão dividido m dua cala, uma microcirculção d vao com diâmtro d aproximadamnt m modlo para microcirculação m capilar com vao d diâmtro próximo ao diâmtro da célula, aproximadamnt 7m. A principal propridad rológica do angu tudada é a vicoidad aparnt do angu, adimnionalizada pla vicoidad do plama. Comparaçõ da propridad com rultado xprimntai motram qu o modlo rproduzm, plo mno d forma qualitativa, o fnômno conhcido como Fahrau-Lindqvit Fahrau-Lindqvit rvro. Por fim, tm- um umário da propridad do angu qu podm r timada com o uo do modlo conquntmnt uada para diagnoticar donça qu altrm a caractrítica rológica do angu na microcirculação.. EQUAÇÕES GOVERNANTES A quaçõ govrnant nvolvida no problma aprntado ão a quação do movimnto para um fluido nwtoniano ou não nwtoniano a quação da continuidad para um fluido incomprívl, dado pla quaçõ a guir Du d ρ = p+ ( ( ɺ γ ) D) + Σ, Dt () u =, () m qu ρ é a maa pcífica do fluido, u o campo d vlocidad, p a prão trmodinâmica, (γɺ ) a vicoidad dinâmica do fluido gnralizado, γɺ é a taxa d cialhamnto do fluido, D é o tnor taxa d dformação do fluido Σ d é um tnor dviatórico rponávl plo comportamnto não nwtoniano do fluido.

3 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, MICROCIRCULAÇÃO EM VASOS DE DIÂMETRO DA ORDEM DE m Nta cala o angu pod r tratado como um fluido contínuo quivalnt (Popl & Johnon, 5), m qu a célula não ão tratada d forma dicrta a prnça dla no coamnto é contabilizado m uma vicoidad aparnt do angu. O microvao do modlo poum ção circular contant, nt cao a quação govrnant pod r rcrita para coordnada cilíndrica, mai apropriada para olução do problma. r d ( rσ ) = u r ( ɺ γ ) +, (3) r r r r Em vao d diâmtro d mm o coamnto aprnta um domínio no núclo do microvao, ond coa a mitura célula vrmlha com plama um domínio d uma camada d pura d adjacnt a pard do microvao livr d célula, totalmnt prnchida por plama. Figura () a guir ilutra a condiçõ do problma. Figura : Ilutração do doi domínio conidrado no microvao d ção d ára circular contant ao longo do ixo. Not a indicação da pura δ da camada adjacnt a pard do microvao, livr d célula. Como condiçõ d contorno do problma têm- a condição d não dlizamnto na pard do microvao, a d tnão d cialhamnto nula no ixo do microvao, d continuidad d tnão na intrfac do núclo com a camada adjacnt continuidad d vlocidad ntr o núclo a camada adjacnt. A condiçõ d contorno citada ão calculada pla quaçõ a guir uδ ( R) = ; u n (R -δ ) = uδ (R -δ ); τ n () = ; τ n (R -δ ) = τδ (R -δ ), () m qu o ub-índic n δ corrpondm ao domínio do núclo o domínio da camada adjacnt rpctivamnt. 3. Sangu com modlo d fluido Nwtoniano Como primira aproximação do comportamnto do angu, aum- para o núclo do microvao o coamnto d um fluido nwtoniano com vicoidad ftiva. N cao o tnor dviatórico d Σ é nulo. Como campo d vlocidad para cao obtm- R ( P - PL ) r para R -δ < r< R pl R R ( P - P ) ( ) L p r R δ p para R - < r< R + δ pl R R, (5) 3

4 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. A vicoidad aparnt é obtida igualando- a vazão do campo d vlocidad da Eq. (5) a li d Poiuill, como a guir R ( P P ) 8 L L = Obtndo- para / p Q, (6) p = ( R / δ ) ( R / δ ) (( R / δ ) ) ( / ), (7) p Com modlo pod- tudar a influência do raio do microvao obr a vicoidad aparnt do angu, a influência d altraçõ da vicoidad do plama. É important raltar qu a vicoidad ftiva do angu pod r obtida por mio d mdiçõ m vicoímtro d tubo ou rotativo. 3. Sangu com modlo d fluido d Caon Agora, o fluido qu ocupa o núclo do microvao comporta d acordo com um modlo d fluido não nwtoniano totalmnt vicoo chamado d fluido d Caon. Et tipo d fluido é um do mai utilizado para dcrvr o comportamnto do angu poui dua caractrítica important contatada m mdida xprimntai. A primira dla é qu o angu aprnta uma tnão d coamnto ( yild tr ), ou ja, o angu coa a partir do momnto qu xit uma tnão aplicada obr o fluido maior qu uma tnão limit τ. Fluido como pata lama aprntam comportamnto. A gunda caractrítica é d qu durant o coamnto o angu comporta como um fluido pudo-plático ( har thinning ) tm- a rdução da vicoidad com taxa d cialhamnto lvada. A quação contitutiva d fluido é dada por C / ( ɺ γ ) = + τ ɺ γ + ɺ γ para τ > τ / (8) ( ɺ γ ) para τ < τ Em procdimnto análogo ao dnvolvido na ão 3., obtm- o campo d vlocidad (Carvalho, 5) (9) Para a vicoidad aparnt do angu tm-

5 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. = ( R / δ ) ( R / δ ) (( R / δ ) ) ( / G( ε )), () p m qu G(ε) é calculada por: 6 ( ε ) ε ε ε 7 3 G = +, () m qu ε = R B / R R B é o raio a partir do qual tm- τ = τ. E modlo, difrnt do aprntado na ção 3. prmit avaliar a influência da agrgação d célula, qu é rlacionada ao valor da tnão τ. Donça como a anmia falciform, hipoglicmia ntr outra aprnntam tndência m agrgação da célula t modlo é uma primira timativa para dtrminar o aumnto provocado na vicoidad aparnt do angu, dado t aumnto. 3.3 Sangu com modlo d uma mulão diluída Mmo qu o angu não poa r conidrado diluído, nta ção é aprntado um modlo m qu o fluido qu ocupa o núclo do microvao é dcrito por um modlo d uma mulão diluída d gota protótipo qu ofrm pquna dformação. Nt cao, vrifica- a caractrítica d fluido pudo-plático do angu a influência do hmatócrito na vicoidad aparnt do angu. O fito d rdução da vicoidad aparnt do angu com alta taxa d dformação ocorr por qu há a dformação orintação da célula na dirção do coamnto d modo qu a quantidad d movimnto a r tranfrida ntr camada d fluido fica rtida na conrvação do formato orintação da célula no coamnto. Para t cao o tnor dviatórico do comportamnto não nwtoniano não é nulo a quação govrnant adimnionalizada do problma é (Olivira, 5) 3 du du G R du G R T + ε = < < B + r r para r ξ dr dr dr, () du G R = r para ξ < r< dr m qu T = + φ( 5 / + 3/(λ) ) é uma vicoidad d Taylor, B = + φ( 5 / + 5 /(λ)) é uma vicoidad d Blob. Para obtr o campo d vlocidad é uado um cálculo d difrnça finita, m qu é rolvido o guint itma nxn u rf ( r ) u rf ( r = ). (3) un rf ( rn ) Para dtrminar o númro d Rynold d problma, tm- a igualdad ~ H (R) = Q π, () Em qu Q ~ é a vazão adimnional do coamnto. Com uma itração d Nwton-Raphon 5

6 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. R novo G(R) = Rvlho, (5) G' (R) calcula- o númro d Rynold do problma a vicoidad aparnt do angu é obtida pla igualdad a guir = p RG 8, (6) Nt modlo vê- a influência da dformabilidad da célula protótipo no comportamnto pudo-plático do angu bm como a influência do hmatócrito na vicoidad aparnt do angu. Et modlo poui a conidraçõ qu mai aproximam da ralidad, ndo limitado pla concntração d célula protótipo qu não dv xcdr 3% para não frir a hipót d mulão diluída o formato da célula qu no cao ão aproximada por fra, nquanto na ralidad ão trutura bicôncava. 3. Rultado do modlo para microvao d m A çõ d 3. a 3.3 aprntaram d forma gral a formulação do difrnt modlo uado para dcrvr o coamnto do angu na microcirculação m microvao d diâmtro da ordm d m, ta ção, rum o rultado obtido do modlo propoto, fazndo análi rlvant para o tudo. Para comparação com dado xprimntai, foi uado uma li da vicoidad obtida m xprimnto m vitro m vivo, a Figura (3) xib rultado m um mmo itma d coordnada. Figura 3: Gráfico do modlo d angu Caon mulão junto a ajut d dado xprimntai in vivi in vitro. 6

7 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. Rpara- na Fig. (3) qu mmo ubtimado o valor da vicoidad aparnt do angu, no cao do modlo d mulão (linha tracjada), aprntam comportamnto qualitativamnt mlhant ncontram na mma ordm d grandza do dado xprimntai in vivo (Pri t al, 99) in vivo (Pri t al, 99). O dvio m rlação ao dado xprimntai dv principalmnt a hipót d diluição da mulão no modlo do angu. No cao do modlo com angu dcrito por um fluido d Caon (linha contínua) o valor da vicoidad aparnt do angu é ubtimado pla auência d célula d forma dicrta. Todo o modlo ttado aprntam o fito chamado Fahrau-Lindqvit qu conit da rdução da vicoidad aparnt do angu com a rdução do raio do microvao a partir d microvao d diâmtro mnor qu aproximadamnt 3m. E fito tm xtrma importância na fiiologia humana poi 8% da difrnça d prão criada plo coração é uada no coamnto da microcirculação, portanto uma rdução na vicoidad d angu rduz o forço do coração m bombar angu na rd priférica da circulação, ond tão o microvao. E fito é aociado com o urgimnto da camada livr d célula, qu rvria d lubrificant para o coamnto nuclar rico m ritrócito (célula vrmlha).. FORMAÇÃO DA CAMADA LIVRE DE CÉLULAS ADJACENTE A PAREDE DO MICROVASO Próximo a pard do microvao xit uma camada livr d célula prnchido por plama. Ea camada rv como lubrificant do coamnto nuclar rico m ritrócito. A formação da camada livr d célula adjacnt a pard do microvao ocorr com um fnômno d difuão hidrodinâmica. Nta ção rá aprntada a toria nvolvida na dcrição da ditribuição d célula m uma ção tranvral d um micro-vao. A toria nvolvida tm como objtivo final o ntndimnto da formação dtrminação da pura da camada livr d célula m micro-vao Figura : Dipoição d célula m microvao. Not a prnça da camada livr d célula. d diâmtro mnor qu 3mm. A célula vrmlha, abundant no angu, comportam como gota ou dipolo aproximadamnt férico ou lipóid d alta razão d vicoidad, qu ofrm pquna dformaçõ. Da forma conidra- partícula férica como protótipo d célula do angu uada para a dtrminação da ditribuição do hmatócrito na microcirculação. Na Rgião próxima a pard do micro-vao, há intraçõ célula-célula célula-pard rponávi pla ditribuição htrogêna d célula qu ocupam o núclo do microvao. O coamnto na rgião pod r aproximado por um cialhamnto impl, afim d aplicar a toria d Cunha & Hinch (996) qu tablc o cálculo d difuividad d partícula m colião quando ujita a um cialhamnto impl. Calcula- também a vlocidad d migração d partícula dvido a prnça da pard. A ditribuição d célula é dtrminada conidrando- toda a poívi coliõ ntr célula qu produzm trajtória irrvrívi apó a coliõ, o gradint d fração volumétrica d 7

8 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. célula, a vlocidad d migração induzida pla prnça da pard do microvao. E mcanimo rlacionam por mio da quação do tranport d célula a guir dφ D φu( y) = dy (7) qu conit d um trmo d fluxo difuivo aociado a difuão hidrodinâmica da célula cauado pla coliõ célula-célula, por gradint d concntração um trmo d migração d célula m virtud da intraçõ célula-pard. A vlocidad d migração da partícula é calculada pla quação a guir u( y) = γɺ ag( y, Ca) (8) m qu a é o raio da célula protótipo, G uma função adimnional Ca o númro d capilaridad. O coficint difuão é calculado por D= φɺa γ h( y, Ca, λ) (9) m qu λ é a razão d vicoidad do ntr o fluido da gota da mulão o mio fluido h é uma função adimnional. Solucionando a Equação (7) pod- obtr a guint xprão para a camada livr d célula adimnional Cah( λ) δ = () φ G( λ) Etimou- no trabalho d Carvalho (5) qu a pura da camada livr é d aproximadamnt.75m. É um valor obrtimado, algo d prar poi na toria propota, conidra- qu a vlocidad d migração dá a uma partícula ditant da pard rígida. Porém, vê- qu a mtodologia fornc um valor qu plo mno tá na ordm d grandza d mdida xprimntai qu indicam um valor d.8m. 5. ESCOAMENTO DE CÉLULAS EM CAPILARES Com o intuito d rolvr o problma do coamnto d angu m vao capilar, a quação d Navir-Stok m coordnada cilíndrica foi aplicada. Como um pao inicial da modlagm do problma, o coamnto quadrático d Poiuill a aproximação d lubrificação para coamnto d fluido vicoo m pquno paçamnto foram tudada, objtivando rolvr o coamnto conidrando- a prnça da célula dlocando- com uma vlocidad difrnt da vlocidad bulk do angu. Difrnt formato d célula foram ttado com o fim d vrificar a influência do mmo na vicoidad aparnt intrínca do angu na microcirculação. Para tudar o fito d poívi não-uniformidad na pard do vao, o coamnto foi rolvido conidrando um vao com pard noidal. Em algun cao, omnt foi poívl obtr rultado analítico para a quaçõ quando aproximaçõ baada m éri d potência foram uada, ndo a quaçõ aproximada mpr válida no limit aintótico do problma. 8

9 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. Figura 5: Rprntação do problma Como rultado tm- também aim como na ção 3., o valor da vicoidad aparnt do angu m função do raio. 5 Exprimntal In vitro Smi Empírico Célula Parábolico Célula Tronco d Con Célula Cilíndrico ~ a Diâmtro (m) Figura 6: Rultado comparado com mdida xprimntai. Not qu na Fig. (6) obrva- o fnômno Fahrau-Lindqvit invro, m qu a vicoidad aparnt do angu aumnta com a rdução do diâmtro do microvao. A curva d linha chia trata d uma xprão mi-mpírica baada na olução aintótica do problma com a adição d contant d calibração na Equação. 6. CONCLUSÃO Conclui- qu é poívl modlar o angu a partir d alguma hipót incluiv obtr xprõ analítica qu aproximam d forma qualitativa o comportamnto do coamnto do angu m microvao. O prnt modlo ão tapa iniciai d modlo mai complxo dtalhado qu d fato dcrvm o coamnto do angu com mai ralimo. Mmo com modlo rlativamnt impl, é poívl dtrminar contant matéria do angu com io rlaciona-la a donça como diabt anmia. Exprimnto com angu com patologia ria o próximo pao para dtrminar a rlação ntr o modlo o diagnótico poívi. 9

10 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Ubrlândia-MG, 6. Sguindo ainda a linha da pquia motrada nt artigo, o autor tarão dnvolvndo cálculo com método mai robuto como o método d intgral d contorno, capaz d dcrvr d forma muito próxima o movimnto d uma célula, incluiv com toda a caractrítica mcânica inrnt a mmbrana citoplamática. Também, pra- calcular d forma mai prcia a pura da camada livr d célula d fato lucidar o mcanimo nvolvido na formação da trutura m microvao. 7. AGRADECIMENTOS Agradcimnto ao Dpartamnto d Engnharia mcânica da UnB pla oportunidad d participar do vnto ao organizador dt ncontro. 8. REFERÊNCIAS Carvalho, J. A. A. and Cunha, F. R., 5, Th ffct of a cll-dplatd layr nar th wall on th blood Flow., Procding of COBEM 5. Chan, P. C. H. and Lal, L. G., 979, Colliion of two dformabl drop in har flow, J. Fluid mchanic, Vol. 9, pp. 3. Chandran, K. B., 3, Blood rhology, Cardiovacular Fluid mchanic, Cla Not, Chaptr 3,http://www.ican.uiowa.du/ bm55/rhologynot.pdf. Cunha, F. R.,, Charactrization of capul and drop motion in micro-vl for dvloping of modl of blood _ow in th microcirculation, CNPq-Rport Cunha, F. R. and Hinch, E. J., 996, Shar-inducd diprion in a dilut upnion of rough phr, J. Fluid Mchanic, Vol. 39, pp.. Cunha, F. R. and Lownbrg, M., 999, Normal and pathological ditribution of blood _ow in th microcirculation, _Procding of biomdical ngnring rarch confrnc, Vol., p. 9. Evan, E. A. and Skalak, R., 98, Mchanic and thrmodynamic of biommbran, Boca Raton, Florida. Fahrau, R., 99, Supnion tability of upnion, Phyiology, Vol. 9, pp.. Fahrau, R. and Lindqvit, T., 93, Th vicoity of blood in narrow cappilary tub, J. Phyiology, Vol. 96, pp. 56_568. Lipowky, H. H., 5, Microvacular Rhology and Hmodynamic, _Microcirculation, Vol., pp Lipowky, H. H., Uami, S., and Chin, S., 98, Microvacular Rhology and Hmodynamic, _Microvac. R., Vol., pp. 35_36. Lownbrg, M. and Hinch, E. J., 997, Colliion of two dformabl drop in har _ow, _J. Fluid Mchanic, Vol. 338, pp. 99. Mquita, R.,, Efito do tanol na propridad hmorrológica do ritrócito, FML, Vol. 5, pp. -6.

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