TRANSFORMADA DE LAPLACE- PARTE I

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1 TRNSFORMD DE LLE- RTE I Eor. d Barro. INTRODUÇÃO odmo dfiir a Traformada d Laplac como uma opração mamáica qu covr uma fução d variávl ral m uma fução d variávl complxa: Od, F f d i f é uma fução ral da variávl irprada como mpo o udo d ima diâmico, al qu f = para <. F é a raformada d Laplac d f Vrmo qu a raformada é uma impora frrama para faciliar a olução d quaçõ difrciai para a rpração aáli d ima diâmico. doarmo a lra para idicar o oprador d Laplac: raformada ivra é idicada por: f ] f d - [ F] f 3 xprão mamáica qu prmi calcular a raformada ivra rá aprada poriorm. oform vrmo adia, aravé da raformada d Laplac, pod- covrr uma quação difrcial m uma quação alébrica m rmo d uma fução complxa. fução qu é olução da quação alébrica é a raformada d Laplac da olução da quação difrcial oriial. ompo, raiória d rim prma, da olução da quação difrcial podm r obida imulaam. luma propridad da olução da quação difrcial, por coui, do ima diâmico aociado podm r iviada raficam, m qu ja cário char xpliciam à fução.. ONDIÇÕES DE EXISTÊNI raformada xi a iral covr. iral covr f for coíua por par m cada irvalo fiio corrpod, para >, f for d ordm xpocial coform d a ifiio. Uma fução f é dia d ordm xpocial, cao xia uma coa ral σ, maior qu zro, al qu

2 f para 4 3. ÁLULO D TRNSFORMD R FUNÇÕES NOTÁVEIS Fução Expocial Sja f. alculmo : 5 Tal i é zro para, ou ja,. orao, f é d ordm xpocial. O parâmro é dio abcia d covrêcia. f para f para 6 alculmo, od: f para f para F f d ara, orao, F d d - ] 7 Fução Drau Uiário Sja f = para para <. Ea é cohcida como fução drau uiário ou fução d Haviid. Idicarmo a mma por. ua raformada d Laplac é calculada como u o qu, ou ja, a iral covr para. orao, F d

3 ] 3 Fução Rampa 8 Sja f = para para <. Ea é cohcida como fução rampa. ua raformada d Laplac é calculada como u o qu, ou ja, a iral covr para. F d [ d ] [ d] [ ] orao, ] 9 4 Fução So Sja f = Ω para para <. ua raformada d Laplac é calculada como u. Uado a dfiição da fução xpocial complxa, pod- xprar f como: i i i plicado rulado o cálculo da raformada, vm: F i i i i i i i i i i i d d [ ] [ ] i i i orao, ] No qu, ou ja, a iral covr para. 5 Fução oo Sja f = coω para para <. ua raformada d Laplac é obida por procdimo aáloo ao da fução o: co ] No qu, ou ja, a iral covr para.

4 6 Fução riódica Gérica f ] f T d f d T Fazdo a mudaça d variávi T, obrvado a iualdad f f T por f r priódica d príodo T, mo: T ] T f f d lém dio, rolvmo a omaória como a uir: T orao, T T... T T... T T T T plicado rulado o cálculo da raformada acima vm: f ] T f T d 4. LGUMS RORIEDDES a. Muliplicação da Fução por oa: f ] f ] b. Soma d fuçõ: f f ] f ] f ] 3 c. Traformada da drivada d uma fução ara f ua drivada coiua, f d ordm xpocial, mo:

5 df ] d f d f d f f d f f f d F - f O i do produo f é zro, poi admi qu f é d ordm xpocial. orao, df ] F - f 4 d O mmo rulado ambém val para a drivada d f do ccioalm coíua. Dmora- ambém, aaloam, o rulado abaixo: d f df ] F - f 5 d d d f ] - df d f d f F - f... d d d d 6 d. Muliplicação por : f ] F 7. Mudaça a cala: f ] F 8 f. Tralação d uma Fução: f. ] F 9. Difrciação omplxa: df f ] d d F f ] d d F f ] d h. Iral d ovolução: f * f f f d f f d f * f ] F F

6 i. Iral Sja f d. Loo, f =. im, omado a raformada d Laplac d ambo o lado aproviado o rulado para a drivada, m-: ] F d ]- ] orao, Loo, ] f d ] F F fd] ara uma iral idfiida, m-: F f d f d] 3 5. Fuçõ ulo Impulo fução impulo é d rad imporâcia m vária dduçõ d propridad da raformada d Laplac. Também comparc m aplicaçõ impora da oria d iai ima diâmico. ara a ua apração, paarmo primiro à ddução da raformada d Laplac da fução pulo. 5. Fução ulo Raular Sja f dada por: /, f,,, od ão coa poiiva. O cálculo d ua raformada d Laplac pod r facilm obido a parir da fução drau uiário da aplicação da propridad d raformada d Laplac d uma fução com ralação o mpo:

7 f d f ] f ] 5. Fução Impulo oidr a larura da fução pulo. Vamo ar dimiuí-la coidrar o qu acoc com a fução o i quado a larura d a zro. É fácil prcbr qu, coform vai dimiuido, / auma, mbora a ára ob o pulo prmaça coa iual a. d prouirmo com f, calculmo a raformada d Laplac da fução pulo com ddo a zro: f ] odmo aplicar a rra d L Hopial achar a rpoa para i: No cao d iual a, é o rulado da raformada d Laplac da fução impulo ou dla d Dirac. fução pod r irprada como o cao i da fução pulo, o qual f Ou ja, a fução d a ifiio m =, do ula para ouro valor d. fução impulo ou dla d Dirac,, pod r dfiida a parir d uma fução coíua : d a a d Em paricular, para =, d