Aula Teórica nº 32 LEM-2006/2007. Prof. responsável de EO: Mário J. Pinheiro. Oscilações eléctricas num circuito RLC

Transcrição

1 Aula órica nº 3 LEM-6/7 Prof. rponávl d EO: Mário J. Pinhiro Ocilaçõ lécrica num circuio RLC Conidr- agora um condnador inicialmn carrgado com a carga q qu no inan é dcarrgado obr um circuio lécrico d riência R corficin d auo-indução L, por fcho do inrrupor I. I i q -q C i R V c L V R V L O condnador vai- dcarrgar ndo q quando []. N cao m-: Ea é uma quação difrncial d ª ordm homogéna com o gundo mmbro nulo qu é igual à quação nconrada na mcânica para um ocilador harmónico linar livr com ario. A difrn oluçõ nconrada para o ima mcânico podm r imulada uando um circuio lécrico. 4

2 Em primiro lugar rcordmo a iuação via no curo d mcânica. Sa uma maa m, pra por uma mola d conan d riuição K uia a um ario β facor d ario. β m x A quação do movimno oma a forma: ma F r F a ma Kxux β vu x d x dx m Kx β d d d x β dx K x d m d m d x dx x d d ond K β é a frquência própria da ocilação é o coficin d ario. m m No cao do circuio lécrico m- igualmn d vc dv c v c, d d com R. LC L A oluçõ para v c ão aim do mmo ipo da oluçõ nconrada na mcânica para x. O ario é dvido aqui è prnça da riência lécrica qu é o lmno diipaivo, plo qu a oluçõ vão- anular quando rgim livr amorcido. Na mcânica viu- qu uma quação difrncial do ipo: d x dx x d d admi como oluçõ xponnciai do ipo x Axp, plo qu ubiuindo obém: A A A Ea úlima quação é chamada d quação caracríica m como oluçõ:, ±. 43

3 Podm- nconrar difrn rgim: i Amorcimno fraco, <. ± ±, com. A raíz ão complxa conugada: A A A A x Para qu x a ral é ncário qu a conan A A am ambém complxa conugada, podndo- crvr com gnralidad: φ φ A A A A ;, porano, φ φ A A x [ ] φ φ A Como ϑ ϑ ϑ co, m- por fim co φ A x Enconrou- aim uma olução priódica d frquência cua ampliud vão amorcndo no mpo A x. A rgim chama- ocilan ou priódico amorcido. ii Amorcimno for, > :, < ± A raíz ão rai ngaiva. A olução oma a forma: A A A A x A π 44

4 iii Amorcimno críico, : A olução é da forma:, raíz dupla ngaiva x A B ndo A B agora a dua conan d ingração. A a iuação chama- rgim apriódico limi. Vê- aim qu o ipo d rgim nconrado dpnd do parâmro do ima m caua. O rgim é priódico amorcido quando β m < K m no cao do ima R mcânico, ou L < L, io é, R < no cao do circuio lécrico. LC C Pod- imular a ocilaçõ d um ima mcânico uando um circuio lécrico, com o parâmro R, L, C convninmn colhido d forma a obr o rgim prndido. Rpar qu o rgim qu nconra dpnd do parâmro do circuio não do faco d crvrmo a quação do ima para a d.d.p. do condnador, para a innidad da corrn i, ou para a d.d.p. ao rminai da bobin. oda a grandza lécrica qu dfinirmo no circuio volum no mpo com o mmo ipo d rgim, o qual ó dpnd do valor d R, L C. Vrifiqumo o qu acabamo d dizr para a innidad i do circuio: [] 45

5 qu é uma quação mlhan à quação anriormn obida para v c. Por úlimo, analimo a conan d ingração A A obida na olução amorcida. No cao aqui m udo, o circuio m doi lmno armaznador d nrgia um condnador uma bobin, plo qu a quação nconrada é d ª ordm, inroduzindo- dua conan d ingração. Ea ão obida pla condiçõ iniciai qu corrpondm à coninuidad da nrgia lécrica magnéica armaznada no doi lmno. No condnador: W W vc vc, poi W Cv c. Na bobin: Wm Wm i i, poi Wm Li. S o condnador nconrar inicialmn carrgado com uma carga q, o inrrupor I abro i. Análi d circuio mai complxo q v c C, Li d Kirchhoff m rgim acionário Em corrn acionária m- roe divj. Da dua quaçõ podmo ablcr a chamada li d Kirchhoff qu ão o pono d parida na análi d circuio. i Li da malha: S roe γ E. dp Sa agora uma malha fchada com vário lmno d circuio riência, condnador ou bobin. Guav Robr Kirchhoff A ua imporan dcobra ocorru m 845, prmiindo o cálculo da corrn, nõ riência do circuio lécrico com vária malha. Kirchhoff conidrou rd lécrica, coniindo m circuio unido por nó, du a li qu rduzm o cálculo m cada malha a um conuno d quaçõ algébrica. Aprimira li ablc qu a oma da corrn qu dirigm para um dado nó é igual à oma da corrn qu parm d nó. A gunda li ablc qu a oma da força lcromoriz numa malha d uma rd é igual à oma da quda d poncial m cada lmno da malha. A li d Kirchhoff rularam da aplicação da li d Ohm. Por a alura Kirchhoff não inha conhcimno da analogia ablcida por Ohm nr o fluxo d calor o fluxo d lcricidad, qu coniuía a idia rrada qu inha a corrn lécrica na alura. Na mdida m qu não xi fluxo d calor num corpo com mpraura uniform, ulgava- qu uma corrn áica podia ablcr num conduor. Ma o rabalho d Kirchhoff conduziu-o a comprndr a naurza d rro chgou à corrca comprnão da oria da corrn lécrica como a podia- harmonizar com a lcroáica. O u imporan rabalho obr a radiação érmica audou ao dnvolvimno da Mcânica Quânica. 46

6 S circularmo na malha com o nido γ ainalado, m-: [] A oma da difrnça d poncial ao longo d uma malha fchada é igual a zro: V malha fchada ii Li do nó: Sa um nó d um circuio ond chgam rê conduor rê ramo prcorrido por corrn d dnidad J, J J 3. [3] A normai n, n, n 3foram colhida d forma a qu a 3 corrn am poiiva. A li do nó nuncia- aim da guin forma: A oma da corrn qu conflum num dado nó é igual a zro, arbirando-, por xmplo, qu a corrn qu chgam ao nó ão poiiva a qu parm do nó ngaiva, ou vic-vra. Υ i No cao d figura aprnado, vrifica-: i i i3. 47

7 Li d Kirchhoff m rgim qua-acionário. Em rgim variávl a quaçõ anrior ão ubiuída por B roe roe ρ divj divj i Li da malha: di Como a d.d.p. ao rminai d um circuio bobinado é v Ri L, a li da malha d coninua válida dd qu no lmno induivo puro conidr uma d.d.p. di v L L ao u rminai. d ii Li do nó: ρ A quação divj, com ρ divd, implica [4] Conudo num rgim acionário, io é, d frquência não muio lvada, m- D J > >, dd qu σ c > > ε E a li do nó pod crvr- aproximadamn ob a forma Υ i condução qu é a mma xprão do rgim acionário. Exrcício d aplicação: Só irmo abordar n curo circuio com, no máximo, doi lmno armaznador d nrgia uma bobin um condnador dcrio por uma quação difrncial d ª ordm. Sa aim o circuio rprnado na figura Prob. 9. [5], 48

8 Equação difrncial para v c : [6] Equação d um ocilador harmónico forçado com ario do ipo: d x dx x d d F, com, RC v F é a xciação do ocilador. LC LC Equação difrncial para i: v v L vc v di L id vc d C [7] 49

9 O coficin d ario a frquência própria ão obviamn o mmo, ao pao qu a xciação do ocilador é agora difrn para o cao da innidad da corrn i: dv v F ' L d RLC Ocilaçõ num circuio LC Vamo vr qu num circuio com coficin d indução L uma capacidad C o doi lmno armaznador d nrgia carrgam- dcarrgam- alrnadamn, aprnando o mmo valor médio no mpo para a nrgia armaznada. [8] 5

10 m- aim W W W m. O condnador a bobin carrgam- dcarrgam- priodicamn, com uma convrão ingral d nrgia lécrica m nrgia magnéica vic-vra, aprnando o mmo valor médio para a nrgia armaznada, al como aconc num ocilador harmónico livr m ario com a convrão d nrgia poncial m nrgia cinéica vic-vra. 5

11 ,4 q /C,, W W m Enrgia,8,6 q /4C,4,, Comnário Dfinimo valor médio d uma grandza priódica como: X X X d No cao da função co, m- co co. d co. d d Balanço d poência num circuio RLC Volando d novo ao circuio RLC éri no qual um condnador inicialmn carrgado com a carga q é dcarrgado obr uma riência R uma indução L. [9] 5

12 Duran a dcarga do condnador m- num dado inan : q Ri d W Wm C 53