Processamento Digital de Sinal Aula 7,8 4.º Ano 2.º Semestre

Transcrição

1 3-4 Itituto Suprior Politécico d Viu Ecola Suprior d Tcologia d Viu Curo d Egharia d Sitma Iformática Procamto Digital d Sial Aula 7,8 4.º Ao.º Smtr Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Maul A. E. Baptita, Eg.º

2 3-4 Programa:. Itrodução ao Procamto Digital d Sial. Rprtação Aáli d Siai 3. Etrutura Projcto d Filtro FIR IIR 4. Procamto d Imagm 5. Procador Digitai d Sial Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo

3 3-4 Bibliografia: Procamto Digital d Sial: Sajit K. Mitra, Digital Sigal Procig A computr bad approach, McGraw Hill, 998 Cota: 6.39 MIT DIG Roma Kuc, Itroductio to Digital Sigal Procig, McGraw Hill, 988. Cota: 6.39 KUC INT Johy R. Joho, Itroductio to Digital Sigal Procig, Prtic-Hall, 989. Cota: 6.39 JOH INT G. Proaki, G. Maolaki, Digital Sigal Procig Pricipl, Algorithm Applicatio, 3ª Ed, P-Hall, 996. Cota: 6.39 PRO DIG Jam V. Cady, Sigal Procig Th modr Approach, McGraw-Hill, 988 Cota: 6.39 CAN SIG Mark J. T., Rul M., Itroductio to DSP A computr Laboratory Txtbook, Joh Wily & So, 99. Cota: 6.39 SMI INT Jam H. McCllla outro, Computr-Bad Exrci - Sigal Proc. Uig Matlab 5, Prtic-Hall, 998. Cota: 6.39 MCC COM Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Procamto Digital d Imagm: Rafal C. Goal & Richard E. Wood, Digital Imag Procig, Prtic Hall, ª Ed.,. Cota: 68.5 GON DIG. I. Pitta H. McCllla outro, Digital Imag Procig Algorithm ad Applicatio, Joh Wily & So,. Cota: 6.39 PIT. William K. Pratt, Digital imag procig, Joh Wily, ª Ed, 99. Cota: 68.5 PRA DIG Brd Jãh, Digital imag procig : cocpt, algorithm, ad citific applicatio, Sprigr, 997. Cota: 68.5 JAH 3

4 3-4 Avaliação: A avaliação é compota pla compot tórica compot prática podrada da guit forma: Claificação Fial 8% * Frquêcia ou xam % * Prática O aco ao xam ão tá codicioado mbora ão tha fução d mlhoria, ou ja, o aluo trgar a prova d xam, rá a a claificação a utiliar o cálculo da média fial idpdtmt da ota da prova d frquêcia obtida. Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo A avaliação prática é cotituída por trabalho laboratoriai a xcutar m MATLAB 4

5 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Rprtação Aáli d Siai (tmpo) Traformada d - Sumário Claificação do Siai Amotragm d Siai Cotíuo Traformada d : dfiição Traformada d : propridad Traformada d ivra Aplicação ao Sitma Nota obr tabilidad 5

6 3-4 Traformada d Claificação do Siai Siai Cotíuo (ou aalógico) Siai Amotrado Siai Dicrto Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 6

7 3-4 Traformada d Claificação do Siai Siai Cotíuo (ou aalógico) u(t) U() y(t) Y() G() Siai Cotíuo (Simpl ou múltiplo) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo u(t) y(t) Dcotiuidad t 7

8 3-4 Traformada d Claificação do Siai Sial Amotrado: Técica d Modulação x(t) t x[k T] t Sial Origial Modulado m Amplitud x[k T] Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo t Modulado m largura d impulo 8

9 3-4 Traformada d Claificação do Siai Sial Amotrado x (t) T t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo k T Dotado como x (t) (K) T A amotra xitm apa o itat d amotragm A altura rlativa, rprta o valor (iformação) O príodo d amotragm T é cotat Capa d far fucioar um itma fíico 9

10 3-4 Traformada d Claificação do Siai Amotra Fíica h t Ára da Iformação hε Impulo d Dirac (ou uitário) à mdida qu ε (Ditribuição) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ε Nota: A rgia do impulo uitário é fiita (capa far fucioar um itma fíico

11 3-4 Traformada d Claificação do Siai Siai Dicrto (m amplitud ou o tmpo) x*(t) T t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo k T Dotado como x*(t) (K) T O valor cotram- dfiido apa o itat d amotragm A altura rlativa, rprta o valor umérico O príodo d amotragm T é cotat Utiliado para opraçõ aritmética Icapa d por m fucioamto um itma fíico

12 3-4 Traformada d Claificação do Siai u(t) Aplicação Computador Amotra ou Dgrau Drivr (DAC) Mdição (ADC) G() y(t) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Sial Dicrto Amotragm Sial Cotíuo

13 3-4 Traformada d Claificação do Siai Sitma Cotíuo x(t) y(t) t t 3 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL x(t) G() y(t)

14 3-4 Traformada d Claificação do Siai Sitma Amotrado x (t) y(t) t t 4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL x (t) G() y(t)

15 3-4 Traformada d Claificação do Siai Sitma amotrado com circuit hold x (t) u(t) y(t) t t t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo x (t) Hold u(t) G() y(t) 5

16 3-4 Traformada d Claificação do Siai Sitma Dicrto x*(t) y*(t) t t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo x*(t) D() y*(t) D() é dfiida pla quaçõ difrça ou pla fução d trafrêcia 6

17 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Itat d Amotragm Atrao x[k] x[k,ε] x[k] x[k-] ε t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo t(k-) T Vária otaçõ tk T t(k) T t(kε) T x(k T)x[k,ε]x[k]x k 7

18 3-4 ψ(t) Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Fução d Amotragm Itat d Amotragm (k-) T (k) T k T t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ψ( t) T δ(t T) itiro -,-,,,,3,4,.. Fução Priódica 8

19 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Dcompoição m Séri d Fourir t / t t / jπ jπ T T c f (t) dt Tδ(t) dt T T t / t / Ψ t ( t) c jπ T t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo c, - π T π T π T 9

20 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Ψ( ω) δ(f t t t t t δ(t T) T ) t t δ(f δ( ω 3 t T π T 4 t ) ) 5 t f ω π

21 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Amotrador Idal ψ(t) 5 T 4 T 3 T T 5 T 4 T 3 T T f ' f ' T (t) T f(t) T f (t) ψ(t) T (t) T f (t) δ(t T T T) 3 T 3 T 4 T 4 T 5 T 5 T t t

22 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Fução Cotíua f(t) Proco d Amotragm T Amotrador Ψ(t) Séri d Amotra Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Rcotrução?

23 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Aáli o domíio da Frquêcia f ' (t) f (t) ψ(t) ψ( t) T δ(t T) F (ω) Traformada d Fourir d f(t) Ψ (ω) Traformada d Fourir d ψ(t) F (ω) Traformada d Fourir d f (t) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo F ' ( ω) F( ω) ψ( ω) Covolução o domíio da frquêcia 3

24 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Aáli d F (ω) F' ( ω) F' ( ω) F( ν) Ψ( ω ν)dν F( ν) F( ν) δ( ω π T ν)dν δ( ω π T F( ω ν) dν π T ) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo F'( ω) F( ω π ) T 4

25 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Aliaig ω Compot Complmtar F' ( ω) O pctro d frquêcia obrpõm- (Foldig) ω ω ω Compot Primária Compot Fudamtai Frquêcia d Foldig ω Compot Complmtar ω 5

26 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Rcotrução f(t) Jala ( ω) ω W c Amotrador ω No domíio da frquêcia No domíio do tmpo F' ( ω) ω c f (t) Filtro ω ω c ω c f (t) ω F ( ω ) F' ( ω)w c ( ω) f (t) f '( τ)w (t τ) dτ c ω 6

27 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Rcotrução w c (t) f (t) τ T ω c ω c ω c f ( T) δ( τ f (t) f (t) jωt dω i( ω ω t c T) c t) i ωc(t τ) ω (t τ) c c c i( πf πf t dτ i ωc(t T) f ( T) ω (t T) i πfc (t T) f ( T) πf (t T) c c t) 7

28 3-4 Traformada d Amotragm d Siai Cotíuo Rcotrução f(t) Fuçõ d Itrpolação Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo T () T () T (3) T t 8

29 3-4 Traformada d Dfiição Sja um itma dicrto LTI: x[] h[] y[] Com: x[ ], Complxo Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo A aída y[] pod r calculada como: 9

30 3 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo k k k k k k h y k h y k x k h y h x y ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]* [ ] [ Traformada d Dfiição

31 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Dfiido: Tmo qu: k y [ ] h[ k] k H ( ) h[ k]. y[ ] k H ( ) k Ct complxa 3

32 3-4 Traformada d Dfiição Logo, dfiimo Traformada Z do ial dicrto x[] como: ( ) Z{ x[ ]} x[ ]. x[ ] Z ( ) Traformada Z Uilatral: Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) x[ ]. Equivalt à TZ bilatral quado x[] < ; 3

33 3-4 Traformada d Dfiição Ecrvdo o úmro complxo a ua forma polar: r. ( ) Tmo: jω j Ω r. x[ ]. r. jω ( ) { } Logo: j r. Ω F x[ ]. r Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) S r : j Ω F{ x[] } Traformada d Fourir 33

34 3-4 Traformada d Dfiição Logo: Traformada Z pod r obtida a partir da Traformada d Fourir fado: Ω j { x } j Ω ( ) F [ ] O ivro m mpr é vrdad!!! Poi: Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Z { } { } x[ ] F x[ ]. r Pod far com qu algu iai torm covrgt 34

35 3-4 Traformada d Dfiição f ' (t) f ' (t) k f (t) δ(t k T ) Apliqu- a traformada d Laplac d f (t) k f (k T ) t Para iai amotrado ou dicrto Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo L[f ' (t)] k f (t) δ(t k T ) t dt f () Etão volvido factor como Exp(- T). Ao cotrário da maioria da fuçõ d trafrêcia do itma cotíuo, ão codu a fuçõ racioai k f (k T ) k T f () k f (k T ) k T 35

36 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição T F() F() k f (kt) k k F ' () f () l() T σ T R() Im() F'()[ σ T σ f (k) F'(k) jω co( ω T) i( ω T) T l()] k Laplac t k 36

37 3-4 Traformada d Dfiição Rprtação dum atrao x (k) x (k ) 37 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL

38 3-4 Traformada d Dfiição A opração, d cálculo da traformada d duma fução cotíua f(t), volv o guit trê pao: - f(t) é amotrado atravé dum amotrador idal, para obtr f (t) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo F' () f - Dtrmia- a traformada Laplac d f (t) k T k 3- Troca- por m F () para obtr F() (k T) f (k T) k T k 38

39 3-4 Alguma traformada d f(t) F() F() δ(t) δ( t k T) u(t) k T t k T ( ) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3 t at at t ( a) a T ( ) 3 ( ) T ( a T a T a T ) 39

40 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Aalogia Cotíuo Dicrto Cotíuo: Traformada d Laplac: Fado: t x( t). dt ( ) σ jω jω Obtmo a Traformada d Fourir: S ixo jω ROC jωt x( t dt ( ω ) ). ( ) σ jωt. dt ( t x( t). ) σ jω Eixo jω σ 4

41 3-4 Traformada d Dfiição Aalogia Cotíuo Dicrto Dicrto: Traformada Z: Fado: ( ) x[ ]. jω Obtmo a Traformada d Fourir: r. jω Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( Ω) x[ ]. jω S circulo uitário ROC ( ) ( ) x[ ] r. jω - r Im{} Circulo Uitário R{} 4

42 3-4 Traformada d Dfiição Aalogia Cotíuo Dicrto Exmplo: x[ ] a u[ ] ( ) ( ) a a u[ ].. ( a. ) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo PG: αa. - a S a α α ( a. a. ( ) Covrg : a. < ) > a 4

43 3-4 Traformada d Dfiição Aalogia Cotíuo Dicrto Nt cao: Im{} ( ) a. ( ), a > a Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo - a R{} S a < T.Fourir a > T.Fourir 43

44 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Aalogia Cotíuo Dicrto Exmplo : x[ ] a u[ ] ( ) ( ) ( ) PG: αa -. a a -. S a α α ( a. ) a a u[. ]. ( ) ( a. a. ) ( a a ( ) a Covrg : a. < <. ). a 44

45 3-4 Traformada d Dfiição Aalogia Cotíuo Dicrto Nt cao: Im{} ( ) a a. ( ), < a a Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo - a R{} S a > T.Fourir a < T.Fourir 45

46 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Aalogia Cotíuo Dicrto Comtário Siai difrt podm tr a mma xprão algébrica d (). Logo uma Traformada ó é compltamt dfiida pcificarmo: - Exprão algébrica d () - Rgião d Covrgêcia (ROC) 46

47 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Mapamto jω 3 T 4 5 Im[] A mtad qurda da fatia primária é mapada o itrior do 3 circulo uitário. 5 4 σ Plao S ω ω Plao R[] ω Fatia pricipal π T 47

48 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Fatia primária 3 Traformada d Dfiição Mapamto A mtad dirita da fatia pricipal é mapada fora do círculo uitário 5 T 5 jω Im 4 Plao 3 4 Plao ω ω σ R 48

49 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Plao ( 3 jkω A mtad qurda da fatia complmtar, é também mapada o itrior do circulo uitário. ) T T 4 5 jkω jω T Fatia complmtar Im T jπk ω ( ω Plao T ( k) k) σ R 49

50 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Fatia complmtar Fatia complmtar Fatia primária Fatia complmtar Fatia complmtar j j j j Propridad d F () o plao jω 5ω ω ω ω ω F' ( jm ω ) F' () 3ω ω / / ω / / 3ω 5ω / / σ 5

51 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Fatia complmtar Fatia complmtar Fatia primária Fatia complmtar Fatia complmtar j j j j ω ω ω ω Pólo d F () a fatia pricipal 5ω 3ω ω / / ω / / 3ω 5ω / / σ 5

52 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Dfiição Fatia complmtar Fatia complmtar Fatia primária Fatia complmtar Fatia complmtar j j j j ω ω ω ω 5ω Foldd back pol Pólo d F () a fatia complmtar 3ω ω / / ω / / 3ω 5ω / / σ 5

53 3-4 Traformada d Dfiição Lugar d amortcimto cotat jω σ σ T T j ω σ σ Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Plao σ T T j ω Plao 53

54 3-4 Traformada d Dfiição Lugar d frquêcia cotat jω jω jω σ ω T T j ω ω T jω Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Plao Plao jω T 54

55 3-4 Traformada d Dfiição Mapamto tr o plao o plao Cocluão: Todo o poto da mtad qurda do plao, ão mapado a rgião itrior do circulo uitário, o plao. Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo O poto da mtad dirita do plao ão mapado a rgião xtrior do circulo uitário, o plao. 55

56 3-4 Traformada d Dfiição Diagrama d pólo ro Rprtação gráfica o plao do pólo ro. Im{} - a R{} Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ), > a a 56

57 57 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Exmplo 3: ] [ 3 ] [ ] [ u u x 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ] [ 3 ] [ ) ( u u Diagrama d pólo ro Traformada d Dfiição

58 58 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3 3 ) ( 3 > > ( ) ( )( ) ) ( Diagrama d pólo ro Traformada d Dfiição

59 3-4 Traformada d Dfiição Diagrama d pólo ro > - Im{} / R{} 3 > 3 - -/3 Im{} R{} Im{} Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) ( ) ( )( ) > 3 - -/3 / / R{} 59

60 6 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Exmplo 4: ] [ ] [ 3 ] [ u u x Uado o rultado da aáli atrior a Propridad d Liaridad da Traformada Z. 3 ] [ 3 3 > u Z ] [ < u Z Logo: 3 : ) ( 3 < < ROC Diagrama d pólo ro Traformada d Dfiição

61 3-4 Traformada d Dfiição ( ) Diagrama d pólo ro 3 ( ) ( )( ) 3 Im{} Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ROC : < < 3 - -/3 / / R{} 6

62 6 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Exmplo 5: ( ) outro N a N u u a x,, ] [ ] [ ] [ ( ). ) (. ]. [ ) ( N N a a x PG: a αa. - N α α S a ( ).. ) ( a a N () covrg ( ) < N a. Ito é: < a Diagrama d pólo ro Traformada d Dfiição

63 63 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) a a a a a a a a N N N N N N N N N ) (.... ) ( Pólo da (): a m pólo a m pólo N N Zro da (): ( ),,...,. / N k a m ro poliômio raí do Zro a N k j N N π Quado k: ro m a logo cacla com o pólo m a Diagrama d pólo ro Traformada d Dfiição

64 3-4 Traformada d Dfiição Diagrama d pólo ro Logo tm-: N- pólo m N- ro ditribuído uiformmt obr um círculo d raio a p/ N8 - (7) Im{} πk/8 a R{} Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ROC: Todo plao com xcpção d 64

65 3-4 Traformada d Dfiição Propridad da ROC Coidrado () uma fução racioal m x[] fiito p/ fiito ) A ROC d () é um al ou dico ctrado a origm () ) A Traformada d Fourir d x[] covrg abolutamt ó a ROC d () iclui a circufrêcia uitária. Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3) A ROC ão cotém pólo d () 4) S x[] tm duração fiita, x[] p/ -<N N <, a ROC é todo plao com poívi xcpçõ m 65

66 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Propridad Covolução (t) F () f (t) F () f Z[ Z[ k k m k f f k ( T)f ( T)f (k T (k T T)] T)] k Z[f (t) f(t)] Z[ f( T)f (k T T)] F ()F () k [ k [ k f f Z[ k f ( T)f ( T)f ( T)f (k T (k T (k T T) T) m ( T)f (k T T)] f( T) f (m T) m Z[ f T)] k k ] ] 66

67 3-4 Traformada d Propridad F f Aplicação da traformada d * () k f * (k) k * (k) αk f * (k), k < k α > Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo F * () k αk k k ( α ) k * F (k) α α 67

68 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Propridad Coo Dicrto f F F * * * (k) () () co( βk) ( jβ ( [ ( jβ jβ jβk jβk jβ ) ( j )( jβ jβ F * ( ) Co ( ) () β [ ] [ ] jβ j ( β ) Co ( β) * ( co β) F () co β β ) j β ) ] ) Z[ αk ] α 68

69 3-4 Traformada d Propridad Outra aproximação Y() y(k) Y() ( co( kβ) j β ji( kβ) co β ji ( co β ji β) co β ji β)( co β β jkβ ji β) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( Y() co β) j i co β β) ( co β) Z[co] Z[i] co β i( β) co β 69

70 3-4 Traformada d Propridad δ(t) F [ δ (t)] Fução DIRAC 7 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL F[ δ (t)] k δ (t) T δ ()

71 3-4 ε Traformada d Propridad Fução Dgrau Amotrado u(t) T T 3 T 4 T 5 T t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo U() U() k k T T U() U() k k k T k Nota: Equivalt a Exp(-αk) com α 7

72 3-4 Traformada d Propridad Trm d Impulo com atrao ε T T δ T δ(t k T) k t t Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ' (, ε) x ' x (t) δ[t (k ε) T] k k x [(k ε) T) (k ε) T ε T k x [(k ε) T) k 7

73 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Propridad Traformada d complta F(, ε) k f[(k ε) T] Exmplo: fução xpocial f (k, ε) F(, ε) α (k ε) k, α α (k ε) > F(, ε), T k k αε α k k αε f (k, ε) αk k k α αε 73

74 3-4 Traformada d Propridad Adição Subtracção F (, ε) F (, ε) Z[f Z[f (k, ε)] (k, ε)] k k f f (k T, ε) (k T, ε) k k Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Z [f (k, ε) ± f (k, ε)] F (, ε) ± F (, ε) 74

75 3-4 Traformada d Propridad Multiplicação por uma cotat F (, ε) Z[f (k, ε)] a co ta t k f (k T, ε) k Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Z[af (k, ε)] af(, ε) 75

76 3-4 Traformada d Propridad Liaridad f (k, ε), f (k, ε) F (k, ε), F (k, ε) KK, cotat Z Aplicação [K f(k, ε) K f (k, ε)] K F (, ε) K F (, ε) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo f f K K f f f K K f 76

77 3-4 Traformada d Propridad Torma do dlocamto à dirita Z[f (k, ε)] f (k, ε) f (k t k f (k, ε) k k, ε) f (k, ε) (k ) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Z[f (k, ε)] m f Z[f (k, ε)] (m, ε) m Z[f (k, ε)] Z[f (k, ε)] > 77

78 3-4 Traformada d Propridad Torma do dlocamto à dirita Aplicação Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Fução Dgrau Uitário, atraada d um príodo d amotragm Z[u(t T)] ( ) 78

79 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Propridad Torma do dlocamto à qurda Z[f Z[f (k (k Z[f f, ε)], ε)] (k (k, ε) k f (k m f (k, ε), ε) f (m, ε) k m k, ε)] Z[f (k, ε)] m f (k, ε) Z[f (k, ε)] m f (m, ε) t (k ) m f (m, ε) m 79

80 3-4 Traformada d Propridad Tralação complxa ou amortcimto f(t) é multiplicada o domíio cotíuo por Exp(-αt) dpoi amotrada à taxa T Traformada d Laplac F() f (t) t dt Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo G() t t α f (t) dt (α ) T G() T Z[f (t) f α T (t) ] (α ) t F( dt αt α T ) F( α T α) 8

81 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Propridad Tralação complxa ou amortcimto Aplicação Dtrmi a traformada d at i( ωt) amotrada à taxa T abdo qu: Z[i] Z[ at i] Z[ i( ω T), co( ω T) a T at i] a T a T i( ω T) a T co( ω T) a T a T i( ω T) co( ω T) a T 8

82 3-4 Traformada d Propridad Soma duma fução (k, ε) k f (, ε) (k, ε) f (k, ε) k S,f f (, ε) f (k, ε) f (k, ε) t S(k, ε) F(k, ε) S(k, ε) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo S(k, ε) F(k, ε) 8

83 3-4 Traformada d Propridad Equação Difrça f (k, ε) f (k, ε) f (k, ε) Z[ f (k, ε)] F(, ε) F(, ε) Z[ f (k, ε)] ( )F(, ε) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Z[ f (k, ε)] F(, ε) 83

84 3-4 Traformada d Propridad f (k, ε ) f (k, ε ) f (k, ε ) Exmplo: Fução Dgrau ε 84 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL kt kt kt

85 3-4 Traformada d Propridad Z[ f (k, ε)] u(t) Z[f (k, ε)] Z[ f (k, ε)] Z[f (k, ε)] F(, ε) F(, ε)[ ] kt Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo -u(t- T) V(t)u(t)-U(t- T) V () 85

86 3-4 Traformada d Propridad Torma do Valor Iicial S f(t) tm a traformada d F() o lim F() quado xit F(, ε) k f (k, ε) k lim f (k, ε) f (, ε) lim F(, ε) k Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo F() k f (k) k f () f ( T) f ( T) 86

87 3-4 Traformada d Propridad Torma do Valor Fial lim f (k, ε) lim f (k, ε) lim( )F(, ε) lim( )F(, ε) k lim F(, ε) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 87

88 3-4 Traformada d Propridad Torma do Valor Fial Exmplo d Aplicação F() ( )( ).79 Valor Iicial ( ) F 3.79 f (k ) (.46.8) Valor Fial Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo F() Expadido F()

89 3-4 Traformada d Ivra f (k, ε) f (k, ε)? k F(, ε) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo - Rfrêcia à tabla - Idtificação Prática - Método Aalítico - Dcompoição - Ivrão Numérica 89

90 3-4 Traformada d Ivra Idtificação Prática F() α G() Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Soma duma fução Expocial Dicrta g(k) 9

91 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Ivra Método Aalítico F(, ε) k Sri d Laurt f (k, ε) x k x x o Im x f (k, ε) x x jπ F(, ε) Torma d Cauchy Circudado toda igularidad d F(,ε) R k d 9

92 9 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Traformada d Ivra Dmotração da fórmula d ivrão. { } ( ) { } ( ) { } ( ) ( )( ) Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω π π π π... ] [... ] [. ]. [ ]. [. ]. [ ) ( d r r x d r r x r F r x r x F r r x F j j j j j j

93 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Ivra Dmotração da fórmula d ivrão. ( jω )( jω [ ].. ) x r r dω. π π Mudaça d variávi: d r. dω Variado Ω d a π varia obr uma circufrêcia d raio r. r ROC d () x [ ] ( ) d π j [ ] ( ) π j r x d r jr. j jω jω r.. dω Rolv- utiliado o Torma do Ríduo jω d 93

94 3-4 Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai Com a traformada d Laplac, A B C F () a b c... f (t) A at B bt C Com a traformada d, ão é cária a xpaão. Bata, olhar para o trmo: ct... Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo A a T A ak T A fução F()/ é dvolvida atravé da xpaão m fracçõ parciai. 94

95 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai Rvião: Dado G(v) fução racioal m v com grau N(v) < grau D(v) G( v) G( v) N( v) D( v) r σ i ik i k Pod r crita a forma A ( v p ) i k Od: r úmro d pólo σ i multiplicidad do pólo i A ik coficit rlativo a k-éima parcla do pólo i 95

96 3-4 Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai Od: A ik ( σ k) i σ k i [( ) ] v p i. G( v) d i σ! dv σ k i v p i Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Exmplo : 4 H ( ) ( ) ( ) Pólo: duplo m - complxo -±j r4 σ σ σ 3 96

97 97 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ) ( ) ( ) ( 4 ) ( D C B A H ( ) ( ) [ ] ) (! A H d d A ( ) ( ) [ ] ) (! 3 4 d d B H d d B Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai

98 98 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Pólo complxo: ji R B ji R A D C ' ' ) '( ) '( ') ' ( ji R B ji R A B A D C No cao: [ ] j j j A H j d d A j j ) ( ) ( 4 ' ) ( ) ( )! ( ' [ ] j j j B H j d d B j j ) ( ) ( 4 ' ) ( ) ( )! ( ' Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai

99 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai Para fuçõ com coficit rai: mpr B A * Logo: Aim: C.R{ A'} D [ R{ p}.r{ A'} Im{ p}.im{ A'} ] C.( ) D ( 4 H ) ( ) ( [ )( ) (.5)() ] 3 ) ( 4 ) ( Matlab: fução ridu [r,p,k]ridu(,d) 3 99

100 3-4 Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai No cao pcífico da Traformada Z Como a fuçõ báica ão a forma: A xpaão m fracçõ parciai ão pod r aplicada dirctamt a (). Soluçõ: ) Aplicar o método a fução: a ( ) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) ) Aplicar o método a fução: Matlab: fução ridu [r,p,k]ridu(,d)

101 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Exmplo : ( )( ) ) ( Método : ( )( ) ) ( 3 ) ( B A ( )( ) ( ) A ( )( ) ( ) B Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai

102 3-4 Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai Logo: ( ) ( ) Por tabla tmo: Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) [ ] ( ) u u[ ] x[ ] 4 3

103 3 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Método : ( )( ) ) ( B A ( )( ) ) ( ( )( ) ( ) A ( )( ) ( ) B Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai

104 3-4 Traformada d Ivra Expaão m fracçõ parciai Por tabla tmo: ( ) 4 3 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) [ ] ( ) u u[ ] x[ ] 4 3 4

105 3-4 Traformada d Ivra Método da Séri d Potêcia F() f () f ( T) f ( T) f (3 T) O coficit da xpaão m éri, rprtam o valor d f(t) (ormalmt uma éri d valor umérico) F() ( ( )( a T ) a T ) ( ( a T a T ) ) 3... a T Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo F() ( f '(t) a T ) k ( a T )... ak T ( ) δ(t k T) 5

106 3-4 Traformada d Ivra Método da Séri d Potêcia Dfiição da Traformada Z Séri d Laurt ( ) x[ ]. ( )... x[ ]. x[ ]. x[] x[]. x[].... Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 6

107 3-4 Traformada d Ivra Método da Séri d Potêcia Exmplo : ( ).5 Sabmo por tabla: x[ ] (.5) u[ ] Ito é: x[ ] Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Podmo calcular a éri d potêcia d uma raão d poliómio por diviõ uciva: 7

108 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Ivra Método da Séri d Potêcia

109 3-4 Traformada d Ivra Método da Séri d Potêcia ( )( )( ) Exmplo : ( ) Pólo omt m, fracçõ parciai ão é apropriado. Multiplicado todo o trmo: ( ) D tabla tmo: Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo x [ ] δ[ ] δ[ ] δ[ ] δ[ ] Exmplo 3: ( ( ) log a ), > a 9

110 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Par d Traformada d x [] () ROC δ[] Todo Plao Z u[] > u[ ] < [ ] δ a u[] a u[ ] Todo Plao Z xcto : p / > p / < a a > < a a

111 3-4 Traformada d Par d Traformada d x [] () ROC a.. a u[ ] > a ( a). a u[ ] a.. ( a) ( a) 3 ( ). a u[ ] ( a) > a > a Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ( ) [ ( )] Ω. u[ ] co Ω co( Ω ). co ( Ω ). u[ ] i > ( Ω ) ( Ω ). i > co

112 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo 3-4 Traformada d Par d Traformada d x [] () r ( ) [ r.co( Ω )] co Ω. u[ ] ( ) r co Ω. r ( ). u[ ] r i Ω a,, outro N. r.i r co N ( Ω ) ( ) Ω. r a ( a) ROC > > N N > r r

113 3-4 Traformada d Propridad 3 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL

114 3-4 Traformada d Aplicação a Sitma x Sitma cotíuo m éri com um amotrador idal, m cada trada i (, ε) x ' G a T ' x G a () i x i () (, ε) ' ( ) G b x ' i ( ) i (,) G a (,) ' ( ) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo (, ε) (, ε) G G b b (, ε) (, ε)g a ' i ( ) (,) ' ( ) G (, ε) ' G (, ε) G b (, ε)g a (,) 4

115 3-4 Traformada d Aplicação a Sitma x Sitma cotíuo m éri com um amotrador idal a primira trada T x ' G () G x G a () i () a ()G b () G b x Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo (, ε) G (, ε) G (, ε) Z[G ()] ' () Z[G a ()G b ()] Em gral G (, ε) G (, ε)g (, ε) a b 5

116 3-4 Traformada d Aplicação a Sitma Sitma cotíuo m éri com um amotrador idal a guda trada x (, ε) G b ' i x i G a () G b () (, ε) ' i x () T ' i () ' i (,) x Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo i () G a () () (, ε) dado por (, ε) por Z[G () ()] G b a 6

117 3-4 x Traformada d Aplicação a Sitma Sitma Dicrto Cotíuo m éri com um amotrador idal * i () (, ε) * x D a G () b T * ' x D a () i x i () * () (, ε) ' i () G b x Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo ' i () (, ε) * i G () b (, ε)d G (, ε) a () G b * () (, ε)d a G (, () ε) * () 7

118 3-4 x Traformada d Aplicação a Sitma Sitma Cotíuo Dicrto m éri com um amotrador idal i (, ε) ' x G a G a T () (, ε) ' x () i * x i D b () x * Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo * i () * () * D i b (,) () G * i * () () D b ()G a (,) () () ' D b ()G G a * () (,) ' () 8

119 3-4 x Traformada d Aplicação a Sitma Sitma Dicrto m Séri com um amotrador idal * T i () x * D a D a () () * () * x i D b () * x Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo * () D b ()D a () () D() * D b ()D D() a () * () 9

120 3-4 Traformada d Aplicação a Sitma Sitma Cotíuo m Parallo com um amotrador idal x T ' x ' x G a G b () () x a x b x Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo (, ε) (, ε) (, ε) G [G a (, ε) a a (, ε) (, ε) G (, ε) ' b () G (, ε) b G a G b (, ε)] (, ε) (, ε) ' () G b ' () G (, ε) (, ε) ' ()

121 3-4 Traformada d Aplicação a Sitma Sitma Dicrto m parallo com um amotrador idal x T * x x * D a D b () () x x * b * a * x * () () * a * b () Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo * () D () () a * D() D b () * () [D () D ()] () a b * D a () * () D D() b () * ()

122 3-4 Traformada d Etabilidad Sitma Cotíuo m éri com um ro-ordr hold Fução d Trafrêcia, atravé da rpota impulioal x ' x T x ' x δ(t) x i T G () x Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo x x i T x i x [u (t) t t u (t T )]

123 3-4 Traformada d Aplicação a Sitma Traformada d Laplac i x i x [u (t) () x [ u (t T ] T )] x ( T ) Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo G m () i () ( ) T 3

124 3-4 Traformada d Aplicação a Sitma Fução d Trafrêcia Global G() G () () () G ( ) T G () ( I Igual a G() com um itgrador T G ) () T Traformada d d G() G() G () G () I I Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo G I () G I (, ε) G (, ε) ( )G I T G I (, ε) () G I G I (, ε) (, ε) 4

125 5 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL 3-4 Maul A. E. Baptita Erto R. Afoo Coquêcia o comportamto i i i p r () G ] p [ ) p ( r ) p ( r () G i i i i i i i I Traformada d t p t p i i i p ε ] [ ) p ( r ) (, G ) G (, t p t p i i i I i i ε ε ε Exitm pólo d G(,ε), qu dpdm do pólo da fução d trafrêcia do itma cotíuo. Traformada d Aplicação a Sitma