UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPT. DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DO RIO GRNDE DO NORE CENRO DE ECNOLOGI DEP. DE ENGENHRI DE COMPUÇÃO E UOMÇÃO SISEMS DE CONROLE Prof. Fábio Mghi Uglio d raújo Fvriro d 7 Naal - RN

2 Ídic PROBLEM DE CONROLE. DEFINIÇÕES Plaa Proco Sima Sima Fíico Epcificaçõ d Dmpho Modlo Corol Corolador Sima d Corol Sima d Corol m Malha bra Sima d Corol m Malha Fchada. EXEMPLOS.3 FORMULÇÃO GERL DO PROBLEM DE CONROLE 3 MÉODO DO LUGR GEOMÉRICO DS RÍZES LGR 4. INRODUÇÃO 4. PSSOS PR CONSRUÇÃO DO LGR 6 Emplo : Sima com pólo ro rai 7 Emplo : Sima com 4 pólo ro rai 8 Emplo 3: Sima com pólo rai pólo complo.3 LGR PR FUNÇÕES DE RNSFERÊNCI ÍPICS.4 LOCLIZNDO RÍZES NO LGR 6 Emplo: d localiação d raí para m ima d gda ordm 7.5 EXERCÍCIOS 8 3 ÇÕES DE CONROLE BÁSICS 9 3. INRODUÇÃO 9 Corolador Séri 9 Corolador por Ralimação 9 3. ÇÕES PROPORCIONL, INEGRL E DERIVIV P-I-D Corol Proporcioal P Corolador Proporcioal Igral PI Corolador Proporcioal Drivaivo PD Corolador Proporcioal Igral Drivaivo PID ÇÕES DE CONROLE VNÇO-RSO 3 Corolador vaço d Fa Lad 3 Corolador rao d FaLag 4 Corolador vaço-rao d FaLad-Lag MODIFICÇÕES DS ÇÕES DE CONROLE PID 5 PID Origial 5 Par Drivaiva -Filro 5 PI-D 5 I-PD EXERCÍCIOS 6 4 PROJEO DE CONROLDORES PELO MÉODO DO LGR ESPECIFICÇÕES DE DESEMPENHO 7 PROJEO DE CONROLDORES PD Pao para o projo d corolador PD 8 PROJEO DE CONROLDORES PI Pao para o projo d corolador PI 3 PROJEO DE CONROLDORES PID 3 Pao para o projo d corolador PID 3 Sima d Corol i

3 ii 4.4. Rgra d Ziglr-Nichol para o j do Parâmro do PID 33 Primiro Méodo d Ziglr-Nichol Sgdo Méodo d Ziglr-Nichol 37 PROJEO DE CONROLDORES VNÇO DE FSE Pao para o projo d corolador vaço d Fa 4 PROJEO DE CONROLDORES RSO DE FSE Pao para o projo d corolador rao d Fa 4 PROJEO DE CONROLDORES RSO-VNÇO DE FSE Pao para o projo d corolador arao-avaço 44 EXERCÍCIOS 49 5 PROXIMÇÃO DISCRE DE FUNÇÕES DE RNSF. CONÍNUS 5 5. INRODUÇÃO 5 5. PROXIMÇÕES POR INEGRÇÃO NUMÉRIC 5 Méodo d Elr o Forward 5 Méodo Bacward 5 Méodo rapoidal, im o proimação Biliar INVRIÂNCI O DEGRU EXERCÍCIOS 53 6 IMPLEMENÇÃO DE CONROLDORES DIGIIS INRODUÇÃO PRÉ-FILRGEM E RSO COMPUCIONL 54 Pré-Filragm 54 rao Compacioal UDORES NÃO-LINERES SPECOS OPERCIONIS MUDNÇS DE PRÂMEROS SPECOS NUMÉRICOS PROJEO DE CONROLDORES DIGIIS Corolador Dadba 6 7 PROJEO DE SISEMS DE CONROLE USNDO O ESPÇO DE ESDOS DESCRIÇÃO POR VRIÁVEIS DE ESDO SOLUÇÃO D EQUÇÃO DE ESDO 64 Cao Ecalar 64 Cao Vorial ESBILIDDE CONROLBILIDDE OBSERVBILIDDE RELIZÇÕES DE FUNÇÕES DE RNSFERÊNCI Raliação a Forma Caôica Obrvávl Raliação a Forma Caôica Corolávl RELIMENÇÃO DE ESDO 68 Fórmla d crma para Drmiação da Mari d Gaho OBSERVDORES DE ESDO 7 Erro d Eimação 7 Fórmla d crma para Drmiação da Mari d Gaho do Obrvador L RELIMENÇÃO DE ESDOS OBSERVDOS SEGUIDORES DE REFERÊNCI OU SERVOSISEMS 77 Pricípio do modlo iro para rfrêcia do ipo dgra iário 77 Pricípio do modlo iro para rfrêcia do ipo rampa iária 8 7. DESCRIÇÃO POR VRIÁVEIS DE ESDO DE SISEMS DISCREOS NO EMPO Dicriação da Eqação d Eado 8 7. SOLUÇÃO D EQUÇÃO DE ESDO DE SISEMS DISCREOS NO EMPO ESBILIDDE DE SISEMS DISCREOS NO EMPO CONROLBILIDDE DE SISEMS DISCREOS NO EMPO OBSERVBILIDDE DE SISEMS DISCREOS NO EMPO RELIMENÇÃO DE ESDOS DE SISEMS DISCREOS NO EMPO OBSERVDORES DE ESDO DE SISEMS DISCREOS NO EMPO SEGUIDOR DE REFERÊNCI PR SISEMS DISCREOS NO EMPO 86 Sima d Corol

4 Erada do ipo Dgra EXERCÍCIOS 87 8 INRODUÇÃO OS SISEMS DE CONROLE ÓIMO 9 8. CONROLE ÓIMO QUDRÁICO 9 8. CONROLE ÓIMO QUDRÁICO DISCREO 93 Eqação d Riccai d Rgim Prma 94 REFERÊNCIS 96 Sima d Corol iii

5 gradcimo gradcmo ao Prof. Dr. dré Larido Mailli por r, gilm, cdido o marial didáico q rvi d fo para laboração d o. gradcmo aida, a odo o dmai profor do Dparamo d Egharia d Compação omação DC / UFRN q, d algma forma, ambém coribíram com o coúdo d marial. Por fim, agradcmo a odo o alo q êm coribído para o aprimoramo d o com a impora gõ. iv Sima d Corol

6 PROBLEM DE CONROLE O objivo pricipal do do do ima d corol rolvr o q coma domiar por Problma d Corol. Para q poa aprar ma formlação gral do q ja o problma d corol, ão cária algma dfiiçõ iiciai.. Dfiiçõ Plaa É ma par d m qipamo o ialação idrial, valm m cojo d i d ma máqia q fcioam jo, cja fialidad é dmphar ma dada opração. Proco Pod r dfiido como ma opração o dvolvimo aral q voli progrivam, caracriado por ma éri d mdaça gradai q cdm d modo rlaivam fio, codido a m rlado o fialidad pariclar. Sima É ma dipoição, cojo o colção d par, dro d m ivro, q ão cocada o rlacioada d al maira a formarm m odo. Sima Fíico É ma par do ivro q foi dlimiada para do. Epcificaçõ d Dmpho São dcriçõ do comporamo a r aprado plo ima fíico, coform oliciação do ário. Modlo Coi a rpração d cra caracríica do ima fíico q ão rlva para do. Corol É a ação d far com q m ima fíico ada a pcificaçõ d dmpho drmiada a priori. Corolador Dipoiivo iliado para a obção do corol d m ima fíico. Sima d Corol Cojo formado plo ima a r corolado o corolador. Sima d Corol

7 Sima d Corol m Malha bra É aql m q a aída o rpoa ão poi hma iflêcia obr a rada. Rpoa Djada Rfrêcia o S-Poi SP Sial d Corol Variávl Maiplada MV Corolador Plaa Saída Variávl d Proco PV Sima d Corol m Malha Fchada É aql m q a aída o rpoa iflcia a rada do ima. Rpoa Djada Comparação Rfrêcia o S-Poi SP -. Emplo Sr hmao ado pgar m objo Sial d Corol Variávl Maiplada MV Corolador Sor ramior Plaa Saída Variávl d Proco PV Poição do Objo Olho - Cérbro Corolador Braço Mão Sima Poição da Mão Corol d mprara d ma ala mprara Djada rmoao r - Codicioado Corolador Sala Sima mprara mbi Corol do ívl d m rrvaório Nivl Djado - Bomba Corolador Rrvaório Sima Nívl d Ága Bóia Sor Sima d Corol

8 .3 Formlação Gral do Problma d Corol Um problma d corol coi m drmiar ma forma d afar m dado ima fíico d modo q comporamo ada à pcificaçõ d dmpho prviam ablcida. Como, ormalm, ão é poívl alrar a rra fcioal do ima fíico m qão, a aifação da pcificaçõ d dmpho é aigida mdia o projo implmação d corolador compador. U Uivro Sima Fíico Erada Maiplada Erada Eóga w Saída Obrvada y Mio mbi Saída d Ir Modlo Qaiaivo E.: Modlo Mamáico o Qaliaivo E.: Modlo m Ecala Epcificaçõ d Dmpho Vlocidad Sgraça Coforo Co Drabilidad... áli Projo Implmação Sima d Corol 3

9 MÉODO DO LUGR GEOMÉRICO DS RÍZES LGR. Irodção O diagrama do LGR coi m m cojo d crva o plao complo, od a crva rpram a poiçõ admiívi para o pólo d malha fchada d m dado ima qado o gaho varia d ro a ifiio. Coidr o gi ima: R C G C G G MF - R GH O pólo d malha fchada ão a raí do poliômio caracríico: GH GH Como GH rpra ma qaidad compla, a igaldad acima prcia r dmmbrada m da qaçõ, a qai o forcm a gi codição para a localiação do pólo o plao : Codição d Módlo: Codição d âglo: GH. GH ± 8,,.... Poo d i p Im R p 4 Sima d Corol

10 E: R C C 4 - R 4 O pólo d malha fchada ão a raí da q. caracríica 4 4 ± 6 4 ± 4 p p 4 4 Variado mo a gi abla d pólo d malha fchada: p p -4 -,7-3,73 -,59-3,4 4 -, -, 5 -, j, -, - j, 8 -, j, -, - j, Im Poo d Im GH - τ - τ R - τ i - τ R o GH ± 8 θ θ 8 o Sima d Corol 5

11 . Pao para a Corção do LGR. Ecrvr o poliômio caracríico do modo q o parâmro d ir aparça claram:. Faorar o poliômio P m rmo do P pólo Z ro. 3. ialar o pólo ro d malha abra o plao com o ímbolo corrpod. 4. ialar o gmo do io ral q ão LGR. 5. Drmiar o úmro d lgar parado, LS gimo d crva q compõ o LGR. 6. O LGR é imérico com rlação ao io ral io horioal p..: GH P GH Z i P p j j X Pólo O Zro. O LGR comça o pólo rmia o ro. O LGR ia à qrda d m úmro ímpar d pólo ro LS P, qado p Z ; P Númro d pólo fiio Z Númro d ro fiio Baa dhar a par acima do io ral dpoi plhar o boço. i 7. P - Z gimo d m LGR progm m dirção ao ro ifiio ao logo d aíoa craliada m σ com âglo φ. 8. Drmiar o poo d aída iir obr o io ral. 9. Uiliado o criério d Roh-Hrwir, drmiar o poo o qal o io imagiário é crado io ocorrr. φ σ q p j i P o 8, q,,,..., P P º Far p; dp º Drmiar a raí d. d Vr criério d abilidad d Roh-Hrwir.. Uado a codição d âglo, drmiar o âglo d parida para o pólo complo o âglo d chgada para o ro complo. o o P 8 ± q36 m p j o i. Âglo d Parida 8 - θ i φ j Âglo d Chgada 8 - φ i θ j od: θ i âglo d vor parido do dmai pólo aé o pólo m qão. φ j âglo d vor parido do dmai ro aé o pólo m qão 6 Sima d Corol

12 Emplo : Sima com pólo ro rai Coidr o gi ima: R - 4 C GH 4. Ecrvr o poliômio caracríico do modo q o parâmro d ir aparça claram:. Faorar o poliômio P m rmo do P pólo Z ro. GH P 4 GH 4 P 4 forma faorada 3. ialar o pólo ro d malha abra o plao com o ímbolo corrpod: X Pólo O Zro. O LGR comça o pólo rmia o ro. 4. ialar o gmo do io ral q ão LGR. O LGR ia à qrda d m úmro ímpar d pólo ro. Lgar Gomérico da Raí LGR Lgar Gomérico da Raí LGR oal d 3 pólo ro º Impar oal d pólo ro º Par oal d pólo ro º Impar Im.. R Im.. R Sima d Corol 7

13 Emplo : Sima com 4 pólo ro rai Coidr agora o gi ima: R - 4 C GH Ecrvr o poliômio caracríico do modo q o parâmro d ir aparça claram:. Faorar o poliômio P m rmo do P pólo Z ro. P P ialar o pólo ro d malha abra o plao com o ímbolo corrpod: Pólo com mliplicidad Im 5 X Pólo O Zro. O LGR comça o pólo rmia o ro. R ialar o gmo do io ral q ão LGR. rcho r pólo Pólo com mliplicidad oal d pólo ro º Par -5 Im 5 O LGR ia à qrda d m úmro ímpar d pólo ro. 5. Drmiar o º d lgar parado, LS P, qado p Z ; R oal d 3 pólo ro º Impar oal d pólo ro º Impar LS P LGR é imérico m rlação ao io ral. 8 Sima d Corol

14 7. P - Z gimo d m LGR progm m dirção ao ro ifiio ao logo d aíoa craliada m σ com âglo φ. Im 5 φ σ q p j i P o 8, q,,,..., P P σ 8º 6º R σ q o o φ 8 φ 6 ; q 4 o φ 8 ; q o φ 3 ; q P 8. Drmiar o poo d aída iir obr o io ral. 3º -5 º Far p; dp º Drmiar a raí d. d P p 4 3 dp d logo: dp d,5994 dp d -,5994 Po. d aída obr R Im R -5 Sima d Corol 9

15 Emplo 3: Sima com pólo rai pólo complo E.: Coidr agora o gi ima: R C GH Ecrvr o poliômio caracríico do modo q o parâmro d ir aparça claram: 4 3 P Faorar o poliômio P m rmo do P P pólo Z ro i 4 4i 3. ialar o pólo ro d malha abra o plao com o ímbolo corrpod: 5 X Pólo O Zro. O LGR comça o pólo rmia o ro ialar o gmo do io ral q ão LGR. Im oal d pólo ro º Par 5 O LGR ia à qrda d m úmro ímpar d pólo ro oal d pólo ro º Impar -5 - R 5. Drmiar o º d lgar parado, LS P 4 6. LGR é imérico m rlação ao io ral. Sima d Corol

16 7. P - Z gimo d m LGR progm m dirção ao ro ifiio ao logo d aíoa craliada m σ com âglo φ. σ φ q P o o φ 45 ; q o φ 35 ; q o φ 5 ; q φ 35 o ; q 3 35º 5º 45º º -5 σ 5-8. Drmiar o poo d aída iir obr o io ral. º Far p; dp º Drmiar a raí d. d P p 64 8 logo: dp d 4 dp d , Uiliado o criério d Roh-Hrwir, drmiar o poo o qal o io ral é crado io ocorrr. O poliômio caracríico é: parir do criério d Roh-Hrwir, drmiamo o poliômio ailiar: 53, ,8889 cjo a raí drmiam o poo od o LGR cra o io imagiário., ± 3,66 i -,5767; 83,574 p b c 64 8 b 53,3333 b8 c 8,5 b Logo, o limi d gaho para abilidad é: 8,5 568, Sima d Corol

17 . Uado a codição d âglo, drmiar o âglo d parida para o pólo complo o âglo d chgada para o ro complo. Logo: o o P 8 ± q36 m p j o i. θ o o o o o Im θ 5º 5 9º θ 3 35º R º Por imria -5 - dp d -,5767 Po. d aída obr R 5 ±3,66 i LGR para Fçõ d rafrêcia ípica G LGR Im. τ R - τ Sima d Corol

18 Im. τ τ - - R τ τ Im 3. τ τ τ R τ 3 τ τ Im 4. R Im 5. τ R - τ Sima d Corol 3

19 Im 6. τ τ - - R τ τ Im 7. τ τ τ a - τ - τ a - τ R Pólo com mliplicidad Im 8. R Pólo com mliplicidad Im 9. τ - R τ 4 Sima d Corol

20 Im. τ a τ ; τ a > τ - τ - τ a R Pólo com mliplicidad 3 Im. 3 R Pólo com mliplicidad 3 Im τ a. 3 - τ a R Im Pólo com mliplicidad 3 τ a τ b τ b - τ a R Sima d Corol 5

21 Pólo com mliplicidad Im 4. τ τ a τ - τ - τ - τ a R Im 5. τ a τb τ τ τ 3 τ 4 R.4 Localiado Raí o LGR Um poo qalqr o plao prc ao LGR d m ima, o ja, é rai d ima, form aifio o criério d módlo âglo d fa q.... Da forma, ma v raçado o LGR, é poívl, aravé d doi pao adicioai, vrificar m poo qalqr o plao prc ao LGR d m dado ima. P 8 ± q36. Drmiar a localiação da raí q aifam o criério do âglo d fa. ± θ i φ j 8 q36 p i i. Drmiar o valor do parâmro a rai i. P i i P p j j Z i 6 Sima d Corol

22 Emplo: d localiação d raí para m ima d gda ordm Coidr o gi ima d gda ordm: R C 4 GH Dado m poo o plao, é poívl vrificar l prc ao LGR do ima m qão aravé do criério do âglo d fa:. Drmiar a localiação da raí q aifam o criério do âglo d fa. o o P 8 ± q36 i. Drmiar o valor do parâmro a rai i. i P p j j Z i i 4 - i o [ 8 ] o θ θ 8 P p j j Z i i - i 4 i i 4 od: i é a magid do vor q vai da origm aé i. i 4 é a magid do vor q vai d -4 aé i. i Im R Sima d Corol 7

23 .5 Ercício. raçar o LGR para o gi ima com >,, ar o poo dado prc ao LGR do ima: a GH 6 5 ; -,66 3,995 i i. b G ; H ; -,3337,578 i i. c d GH ; i -,766,995i. 3 G ; H 4 5 ; -,4968,39 i i. G ; H ;,559-4,649 i i. 4 3 f G ; H ; i -,968 4,39i. 3,6. Dada a gi fçõ d rafrêcia d malha fchada. Coidrado q ima êm ralimação iária, raçar o LGR,, ar o poo dado prc ao LGR: a b C R C R ; i -,5,5i ; -, -,58 i i. 8 Sima d Corol

24 3 ÇÕES DE CONROLE BÁSICS 3. Irodção irodção d m corolador m m drmiado ima via a modificação d a diâmica, maiplado a rlação rada/aída aravé da aação obr m o mai do parâmro, com o objivo d aifar cra pcificaçõ com rlação a a rpoa Ogaa, 993. O parâmro do ima q ofrm ma ação dira do corolador, ão domiada d variávi maiplada, qao q o parâmro o qal dja obr a mdaça q aifaçam a dada pcificaçõ, domiam- variávi corolada. O corolador é m dipoiivo fíico, poddo r: lrôico, lérico, mcâico, pmáico, hidrálico o combiaçõ d. No projo ral d m ima d corol, o projia dvrá dcidir pla iliação d m o mai corolador. Ea colha dpd d vário faor. O ipo d corolador mai comm ado, mmo m plaa da mai divra ara, é o corolador lrôico. D fao, o iai ão lérico ão, ormalm, raformado m iai lérico, aravé d rador,, dvido a implicidad d ramião, amo da prformac, amo da cofiabilidad pricipalm, facilidad d compação. Gralm corolador lrôico ão circio impl, formado baicam por amplificador opracioai, do aim d fácil implmação práica baio co Ogaa, 993. Uma v drmiada a cidad d projar m corolador, im algma cofigraçõ poívi, com rpio ao poicioamo do mmo o ima a r corolado. lgma da cofigraçõ mai ada m ima d corol, ão: Corolador Séri Em gral, o projo d corolador éri é mai impl q o d corolador por ralimação. Erao, ormalm ig amplificador adicioai para amar o gaho do ima. Coi m colocar o corolador o ramo diro d alimação, o ja, m éri com a plaa Corolador por Ralimação Em gral, o úmro d compo cário a compação por ralimação rá mor q o úmro d compo a compação éri. Ea cofigração rcb om poi, cao, o compador é irido m ramo d ralimação. R - E Comp. U Plaa C R - U Plaa Comp. C Sima d Corol 9

25 3. çõ Proporcioal, Igral Drivaiva P-I-D Corol Proporcioal P raão r a aída a rada do compador é chamada d gaho proporcioal, qao maior for o gaho do compador, mor rá o rro d ado acioário, codo, o mpo d acomodação ama, ddo, m cro cao, a dabiliar o ima. O ivro acoc qado rd aa o gaho. Um compador d ipo, como ão acrca pólo m ro ao ima pricipal, rpra apa m aj o gaho origial. od: r - y ; U E Rmo É m amplificador com gaho ajávl. O amo d dimii o rro d rgim. Em gral, o amo d ora o ima mai ocilaório, poddo iabiliá-lo. Mlhora o rgim piora o raiório, do baa limiado. E: R - τ C Para rada dgra iário O rro rá lo om para, o q m mpr é poívl. Sima d Corol

26 Corolador Proporcioal Igral PI ação igral corrpod a r- ma aa d variação do ial d aída com rlação a rada i i d. Da forma, com ma ação igral, aa- bficam a rpoa m rgim prma, ddo a limiar o rro d ado acioário, codo, prjdica- o rgim raiório, poi acrca- pólo ao ima ddo a dabiliá-lo, com io amar o mpo d acomodação. aação d m corolador PI corrpod à oma d ma ação proporcioal com ma ação igral. Da forma pod- mlhorar a rpoa raiória com a coribição da ação proporcioal, qao a ação igral corrig o rro d ado acioário. p τ dτ τ i ; p U E i od: i p, do τ i o mpo igraivo o r im. τ i Rmo d a rar o rro d rgim, poi ama o ipo do ima. dicioa m pólo m p m ro m - i / p. É iliado qado a rpoa raiória é aciávl rpoa m rgim iaifaória. Como ama a ordm do ima, acrca poibilidad d iabilidad difr daqla aprada plo ima origial. E: R - p Κ i τ C Para rada dgra iário Sima d Corol

27 Corolador Proporcioal Drivaivo PD Embora m corolador pram drivaivo ão ja implmávl a práica, a ação drivaiva, aociada à ação proporcioal, corrpod ao acrécimo d m ro ao ima, aado bficam o rgim raiório, ddo a amar a abilidad rlaiva do ima rdido o mpo d acomodação, codo, corapodo- a a vaag, l ama o mpo d bida, por ão aar o rgim prma, ão corrig o rro d ado acioário. Ob.: E compador, por irodir m avaço d fa, é coidrado a bibliografia como m cao pariclar d m compador m avaço. Ogaa, 993 o, 995 d p d d τ ; U E p d od: d p τ d, do τ d a coa drivaiva. Rmo Lva m coa a aa d variação do rro dicioa m ro m - p / d É iliado qado a rpoa m rgim é aciávl rpoa raiória iaifaória. Irod m fio d acipação o ima, fado com q o mmo raja ão om à magid do ial d rro, como ambém à a dêcia para o ia fro, iiciado, aim, ma ação corriva mai cdo. ação drivaiva m a dvaagm d amplificar o iai d rído, o q pod caar m fio d aração o aador do ima. E: R - p d J C C R J p d d p Sima d Corol

28 Corolador Proporcioal Igral Drivaivo PID O PID a açõ proporcioal, igral drivaiva m ó corolador, aado ao o rgim raiório qao o rgim prma. U p i d E U E d p i Rmo É iliado qado mo rpoa raiória m rgim iaifaória. dicioa m pólo m p ro, q dpdm do parâmro do corolador. Gralm o doi ro ão rai igai. 3.3 çõ d Corol vaço-rao Corolador vaço d Fa Lad Sa pricipal fialidad é prir m arao d fa ablcido aralm pla própria caracríica d alg compo do ima origial. E ipo d compação prmi rmodlar o lgar da raí d maira a obrm- pólo domia djado m malha fchada. Em gral fio corrpodm a m amo o amorcimo, com mor mpo d bida d acomodação, o q corrpod, o domíio da frqüêcia, a m amo a largra d faia. lém dio, a marg d gaho d fa ão mlhorada, codo o rro d ado acioário ão é afado. G c U / G c p > E p p / p c τ ατ, m q: ; p ; c α ; α τ ατ < < Rmo Irod m ro m pólo Mlhora o raiório, a mplo do corolador PD Smpr adiaa a fa Sima d Corol 3

29 Corolador rao d FaLag Uma compação m arao mlhora o rro m rgim prma, o ao, dimii a largra d faia, o q implica, m rmo d domíio do mpo, ma rpoa mai la, com maior mpo d bida acomodação. Em alg cao é prcio rdir a largra d faia d m dado ima com o iio d orá-lo mo cpívl a iai d rído U / G c > p E p p / p G c c τ βτ, m q: ; p ; c β ; β > τ βτ Rmo Irod m ro m pólo Mlhora o rgim, a mplo do corolador PI Smpr araa a fa Não ra o rro, ma o rd baa Corolador vaço-rao d FaLad-Lag Em cao od dja ma rpoa rápida, caracríica d ima com compação m avaço, porém com dimiição do rro m rgim acioário, q é garaida por ma compação m arao, é poívl ar m corolador q a amba a caracríica, q é o cao do corolador m avaço arao. G c U E p p G c c τ τ ατ βτ ; m q: < ; c > ; β> ; < α < τ τ Caracríica Irod doi ro doi pólo É ado para mlhorar o dmpho m rgim o raiório É aálogo ao corolador PID 4 Sima d Corol

30 3.4 Modificaçõ da çõ d Corol PID PID Origial Par Drivaiva -Filro PI-D d γ d, com: γ. Objivo: Não drivar variaçõ brca o ial d rfrêcia I-PD Objivo: Não drivar, m amplificar variaçõ brca o ial d rfrêcia. Sima d Corol 5

31 3.5 Ercício. Dado o gi ima rpcivo corolador, raçar o LGR do ima m o corolador,, ar o poo dado prc ao LGR do ima. Em gida raçar o LGR com ima m éri com o corolador ar agora o poo prc ao LGR: a G ; H ; i -,968 4,39i, 3,6 Corolador PD com p,4 d. 6 Sima d Corol

32 4 PROJEO DE CONROLDORES PELO MÉODO DO LGR 4. Epcificaçõ d Dmpho Normalm, a pcificaçõ d dmpho raiório ão dada m rmo d ima d a ordm, o ja, m rmo d faor d amorcimo ξ frqüêcia aral. Para m ima d gda ordm, mo: C R ω ; Pólo ξω ± ω ξ ξω ω 4. S a pcificaçõ form: M p % M, mo ξ mi ξω. ξ ξω mi Im - θ co ξ mi θ R ξω mi Rgião Viávl para o pólo d malha fchada O projo d corolador é baicam m méodo dcado d aiva--rro, od a aifar oda a pcificaçõ d dmpho. Uma v projado o corolador, o projia dv vrificar o ima m malha fchada aifa oda a pcificaçõ d dmpho. S ão for o cao, rp o proco d projo por modificação d parâmro ajávi, o modifica a cofigração do ima, aé aigir a pcificaçõ rqrida. Qado djamo alrar o dmpho raiório d m ima, o corolador dv coribir com iglaridad d modo q o LGR do ima pa o poo pcificado, calclado a parir da pcificaçõ d dmpho. Qado djamo alrar o dmpho m rgim, o corolador dv coribir com o gaho cário, m alrar mio o LGR do ima origial. Sima d Corol 7

33 4. Projo d Corolador PD fção d rafrêcia d m PD é: p G c p d d c 4. d É iliado qado o ima m m raiório iaifaório rgim bom. Pao para o projo d corolador PD radir a pcificaçõ d dmpho m rmo d ma localiação djada do pólo domia d malha fchada Vrificar o objivo ão pod r aigido com m corolador Proporcioal 3 S o PD é cário, localiar o ro d modo q a codição d âglo ja aifia 4 Calclar o gaho oal rqrido, aplicado a codição d módlo. 5 Calclar a coa d rro acioário 6 S a coa ão for adqada, ar m oro corolador. 7 Simlar o ima com o corolador obrvar o comporamo da rpoa. Cao ão ja aifaório, ar m aj fio do parâmro do corolador c d OBS: PD práico Gc p 3 a a EXEMPLO: R - G c C Projar m corolador G c para q: 4 ; M %. ζπ ζ Da qação do máimo pico: M P %, obmo: ζ, mi 46 ; da qação 4 do mpo d acomodação para %: 4; obmo: ζω mi ζω. p 8 Sima d Corol

34 Sdo aida: ω d ω ζ, para o valor d ζ ω corado, mo: ω d, 95. Logo o pólo domia d malha fchada dvm ar m - ±,95i. Como é imprcidívl a irodção d m corolador PD para a obção do pólo domia djado, drmiam- o ro o gaho do corolador iliado- o criério d âglo o criério do módlo, rpcivam. ω d θ θ θ 8 N 7,3 ζω ω mi d a 8 φ ω d φ 8 N ζω mi,4 θ ,5 θ φ φ θ ωd ω d ζω mi ; Como o ima origialm já m m gaho,, mo q:, c.8 Rpoa o mpo Sm Corolador.6.4 M P 3.87% Rpoa..8 Com Corolador 3.64g mpo imlação mora q a pcificação d dmpho com rlação ao máimo obrial ão foi cmprida, do cário raliar m aj fio o parâmro do corolador. N cao, ar m gaho, 5 rolv problma. c Sima d Corol 9

35 4.3 Projo d Corolador PI fção d rafrêcia d m PI é: G c i / c i p i p p p 4.3 É ado qado o ima é ipo N dja q o mmo apr rro ro para ma rada d complidad N, o ja, qado djamo mlhorar o rgim. Pao para o projo d corolador PI Localiar o pólo a origm; Drmiar o ro d modo q a codição d âglo ja aifia; 3 Calclar o gaho oal rqrido, aplicado a codição d módlo; 4 Simlar o ima m malha fchada com o corolador 5 Cao o dmpho ão ja aifaório, ar far m aj fio do parâmro do corolador c EXEMPLO: Dado G ; H. Projar m corolador para q o ima ha rro ro para rada rampa, alrado o míimo poívl o raiório. 9 8 Rpoa `a Rampa Com Corolador 7 Rpoa Sm Corolador mpo 3 Sima d Corol

36 .4 Rpoa o mpo. M P 4.3% Rpoa g mpo a- valor para o módlo do ro do corolador ão pqo qao poívl. rpoa aprada, foram obida com c, 5. Qao mor for o valor d, mo o raiório rá alrado, porém, o gimo da rfrêcia dará mai lam Rfrcia Sm Corolador..5.5 Rpoa `a Rampa Rpoa mpo Sima d Corol 3

37 4.4 Projo d Corolador PID São mio frqüm iliado m ima d corol idriai. D ma maira gral, a fção d rafrêcia d m PID, coidrado ro rai é da gi forma: d p i i Gc p d 4.4 c Pao para o projo d corolador PID radir a pcificaçõ d dmpho m rmo d ma localiação djada d pólo domia d malha fchada; Vrificar o objivo ão pod r aigido com m corolador mai impl; 3 S o PID é cário, localiar o pólo a origm o ro d modo q a codição d âglo ja aifia; 4 Calclar o gaho oal rqrido, aplicado a codição d módlo; 5 Simlar o ima com o corolador obrvar o comporamo da rpoa. Cao ão ja aifaório, ar m aj fio do parâmro do corolador c,. EXEMPLO: Dado o ima G ; H. Projar m corolador PID para q o pólo d malha fchada jam m ± 3 i Uma rápida aáli do problma o mora q o úmro d parâmro c, q prciam r calclado é maior do q o úmro d qaçõ q dcrvm o problma criério d âglo criério d módlo. Uma alraiva para coorar problma é coidrar q o ro do corolador ão idêico. N cao, m-: 3 φ φ φ 8 N θ 8 N θ 8 N θ 8 N θ θ θ φ 8 c 3 43,79,, φ 96,95 3 a 8 φ,79 3 Sima d Corol ,37

38 .4 Rpoa o mpo. M P 3.96% Com Corolador Rpoa.8.6 Sm Corolador 7.65g mpo 4.4. Rgra d Ziglr-Nichol para o j do Parâmro do PID Coform aprado ariorm, o problma d corol coi m drmiar ma forma, ormalm, mdia o projo d corolador, d afar m dado ima fíico d modo a aifar cra pcificaçõ d dmpho. ambém abmo q, apar d odo o avaço cológico do úlimo ao, com o rgimo d olçõ avaçada, ao m rmo d algorimo d corol qao d hardwar, o corolador PID, a variaçõ, aida ão, com larga vaagm, o mai ado a idúria. O argmo, para a maiva prdomiâcia do PID, vão dd a implicidad, à facilidad d implmação mação. maioria d argmo jifica plo úmro rdido d parâmro ioiávi i o PID. Embora, algma vrõ d PID, raida m CLP irmo d rd idriai, aprm m úmro lvado d parâmro a rm ajado, a rra báica d m PID coém apa rê parâmro: O gaho proporcioal P, a coa d mpo igraivo τ i o o gaho igraivo i,, a coa d mpo drivaivo τ d o o gaho drivaivo d. O aj do parâmro d m corolador é chamado d ioia ig. Qado m m modlo mamáico, rpraivo, do ima, a colha do parâmro do corolador rcai o dvolvimo d m projo, q pod r fio com ba mo méodo do lgar gomérico da raí, dr oro. Como, m mpr é poívl obr m modlo, q rpr, adqadam, a diâmica q dja corolar, f cário o rgimo d écica, q ão dpdm d modlo, para ioia do corolador. Ziglr Nichol propram doi méodo para ioia d corolador PID baada m primação, coqüm, idpd da iêcia d m modlo mamáico do ima. mba viam, baicam, a obção d 5% d obr-ial máimo, a rpoa ao dgra. Sima d Corol 33

39 Primiro Méodo d Ziglr-Nichol Plaa q ão volvam igrador, o, pólo complo cojgado domia, dm a aprar ma crva d rpoa ao dgra m forma d S. y Ra ag o poo d iflão mpo L E ipo d crva pod r caracriado por da coa: mpo d rardo L coa d mpo. Ea coa ão drmiada raçado- ma ra, ag ao poo d iflão da crva d rpoa, corado- o poo d irção da ra com o io do mpo com ma ra dada por y. Uma v drmiada a coa, la ão ada para drmiação do parâmro do corolador, d acordo com a gi abla: ipo d Corolador P τ i τ d P L PI,9 L L,3 PID, L L L EXEMPLO: Coidr ma plaa com modlo mamáico dcohcido. Uma rada, ipo dgra iário foi impoa a a plaa amora, d a aída, foram colhida, primalm, a cada, gdo. O rlado d aio pod r vio a crva d rpoa aprada a figra a gir. 34 Sima d Corol

40 Rpoa ao Dgra.9 Rfrcia Rpoa.8.7 mplid mpo Uiliado- méodo mérico Difrciação Nmérica por Difrça Fiia Crai drmio- q o poo d iflão da crva ocorr ao,7 gdo, com amplid d,7. Drmio-, ão, omado m poo arior m poo porior a, a ra ag ao poo d iflão y,495, Rpoa ao Dgra: L.94.4 mplid mpo Uma v drmiada a ra ag, drmio-: L,,. Sima d Corol 35

41 D po d valor, fado- ma brv cola à abla propoa por Ziglr Nichol, m- o gi parâmro para m corolador PID: P,5886, τ i,38 τ d,955. Com a ioia, a plaa com o corolador apraram a gi rpoa:.8.6 Rpoa ao Dgra: p,5886, i,38 d,955 M P 66.9%.4. Rpoa.8 5g mpo O méodo d Ziglr-Nichol forcm ma imaiva iicial para o parâmro do corolador. Cao a rpoa do ima corolado ão ja aifaória, com o parâmro forcido plo méodo d Ziglr-Nichol, o projia dvrá drmiar alraçõ parâmro para a qai o ima fcio aifaoriam..4. Rpoa ao Dgra: p 8,57, i,4 d,35 M P 7.8% Rpoa g mpo 36 Sima d Corol

42 Sgdo Méodo d Ziglr-Nichol E méodo coi m drmiar o valor d gaho proporcioal, q ora o ima margialm ávl, com a aída aprado ocilaçõ maida. E valor d gaho é chamado d gaho críico, cr. y P cr mpo Como o méodo d Ziglr Nichol ão, cialm, primai, aplicado a ima para o qai ão dipõ d modlo mamáico, a obção, a práica, do gaho críico, coi m, ma v implmado m corolador PID, l é cofigrado para fcioar como m corolador P τ i τ d. O gaho proporcioal é amado aé q a aída do ima apr ocilaçõ maida. al valor d gaho rá o gaho críico, cr, o príodo d ai ocilaçõ rá chamado d príodo críico, P cr. Uma v drmiada a coa, la ão ada para drmiação do parâmro do corolador, d acordo com a gi abla: ipo d Corolador P P τ i τ d,5 cr PI,45 cr,5pcr, PID,6 cr,5pcr,5pcr O méodo d Ziglr-Nichol, para drmiação do parâmro d corolador PID, êm ido amplam iliado a imporâcia é idicívl. Porém, é impora oarmo q:. Em ima cja rpoa ao dgra ão m forma d S, ão é poívl aplicar o primiro méodo d Ziglr-Nichol;. Em ima q ão oram margialm ávl para hm gaho, ão é poívl aplicar o gdo méodo d Ziglr-Nichol;, 3. O méodo d Ziglr-Nichol forcm, apa, ma imaiva iicial para o parâmro do corolador, do cário, m mio cao, m aj fio d parâmro, por par do projia. Sima d Corol 37

43 EXEMPLO: Coidr ma plaa com modlo mamáico dcohcido. Uma rada, ipo dgra iário foi impoa a a plaa amora, d a aída, foram colhida, primalm, a cada, gdo. O rlado d aio pod r vio a crva d rpoa aprada a figra a gir Rpoa ao Dgra Rfrcia Rpoa mplid mpo Como a crva d rpoa ão m forma d S, o primiro méodo d Ziglr-Nichol ão aplica. É irodido m gaho ajávl a malha do ima, apó algma aiva, drmia- o gaho q fa com q o ima ha ocilaçõ maida, cr 4,. o príodo da ocilaçõ, P cr 6,3. Rpoa ao Dgra com Gaho Críico, cr 4.6 P cr mplid mpo 38 Sima d Corol

44 D po d valor, fado- ma brv cola à abla propoa por Ziglr Nichol, m- o gi parâmro para m corolador PID: P,4, τ i 3,5 τ d,7875. Com a ioia, a plaa, com o corolador, apraram a gi rpoa:. Rpoa ao Dgra: p,4, i 3,5 d,79 M P 6.64% mplid g mpo Smpr é poívl, a parir do valor forcido plo méodo d Ziglr-Nichol, bcar m aj mlhor do corolador, d acordo com a priêcia do projia. N cao, apa amado, m 5%, o valor d d, obém- a gi rpoa: Rpoa ao Dgra. M P 6.3%.8 6.8g. mplid mpo Sima d Corol 39

45 4.5 Projo d Corolador vaço d Fa F d m corolador avaço d fa é: Gc c c, com: < α < 4.5 p α É iliado qado o ima m m raiório iaifaório rgim bom. Pao para o projo d corolador vaço d Fa radir a pcificaçõ d dmpho m rmo d ma localiação djada d pólo domia d malha fchada Vrificar o objivo ão pod r aigido com m corolador Proporcioal 3 S o corolador avaço d fa é cário, poicioar o ro do corolador m m local adqado 4 Drmiar a localiação do pólo do corolador d modo q a codição d âglo ja aifia 5 Calclar o gaho oal rqrido, aplicado a codição d módlo 6 Calclar a coa d rro acioário 7 S a coa ão for adqada, ar m oro corolador, volado ao pao 3. 8 Simlar o ima com o corolador obrvar o comporamo da rpoa. Cao ão ja aifaório, ar m aj fio do parâmro do corolador c 4 EXEMPLO: Dado o ima G. Projar m corolador G c para q ω 4 rad/ m modificar o faor d amorcimo. Da F d MF, mo: ω, ζ, 5. Logo, para a pcificaçõ dada, o pólo domia d malha fchada dvm ar m - ± 3,464i. Fado- ma brv aáli do LGR do ima origial com rlação ao pólo djado, vrifica- q o ro do corolador dv á à qrda do pólo d M do ima origial. Foi colhido, mpiricam, 3,. parir daí, aplicado o criério do âglo calclamo p 5,6 aplicado o criério do módlo obmo q o gaho oal do ima rá: 9,. Como o ima origialm já m m gaho 4, o gaho do corolador rá: 4, 8 c. 4 Sima d Corol

46 .4. Rpoa o mpo M P.3% Com Corolador Sm Corolador Rpoa.8.6.4g mpo 5 Sial d Corol o mpo 4 3 Sial d Corol mpo Sima d Corol 4

47 4.6 Projo d Corolador rao d Fa F d m corolador arao d fa é: c Gc β c p, com β > 4.6 β O objivo do corolador é mlhorar o rgim, m alrar igificaivam o raiório. q: Sabmo q: lim G. Logo, com o corolador m éri com a plaa, mo comp v v lim G G limg c c v od: β β c v comp v c v plicado a codição d módlo para o ima com o corolador coidrado q o pólo d malha fchada ão rão grad alraçõ, mo: β c β G c β vcomp β v Logo: G c 4.7 β Pao para o projo d corolador rao d Fa Drmi o gaho d malha abra iliado a codição d módlo Calcl o cofici d rro pariclar pcificado para o problma 3 Drmi a qaidad d amo o cofici d rro cária para adr a pcificaçõ 4 Drmi o pólo o ro do corolador q prod o amo cário, m alrar igificaivam o LGR origial próimo r i próimo da origm. 5 Simlar o comporamo do ima com o corolador, volado ao pao 4, cao cário 4 Sima d Corol

48 5 EXEMPLO: Dado G ; H. Projar m corolador para q o ima ha m rro d rgim para rada rampa iária igal a /, m alrar igificaivam o raiório. Calclado, com rlação ao ima origial, a coa d rro acioário para ma rada ipo rampa, mo, 5. Do rqiio d projo, mo q v. Logo, V v comp β v β 8. Uma boa colha para o ro do corolador coma r,, q corrpod a. Com valor d β, mo q a F do corolador é dada por:, G C,5 comp Rfrcia Sm Corolador Com Corolador Rpoa `a Rampa Rpoa mpo Sima d Corol 43

49 Qao maior for o valor d, mor rão a alraçõ caado plo corolador com rlação ao comporamo raiório do ima origial. Codo, valor mio grad d dm a ão r implmávi a práica..4 Rpoa o mpo. M P.58% Com Corolador Sm Corolador Rpoa g mpo 4.7 Projo d Corolador rao-vaço d Fa D ma maira gral, a F d m corolador arao-avaço d fa é: G c c γ β 4.8 É iliado qado o raiório o rgim ão iaifaório. Pao para o projo d corolador arao-avaço radir a pcificaçõ d dmpho m rmo d ma localiação djada d pólo domia d malha fchada. Drmi a coribição aglar cária φ para a rd m avaço 3 Drmi γ aravé da codiçõ d âglo 44 Sima d Corol

50 γ φ 4 Drmi c aravé da codição d módlo G G c cg ; coidrado: γ β β 5 Drmi β a parir da igêcia d rro: vcomp lim Gc G β lim c G γ c β γ V,, colha d modo q a coribição aglar da par m arao ja r -5 o o, o módlo da par m ja aproimadam a idad. 5 Simlar o ima com o corolador obrvar o comporamo da rpoa. Cao ão ja aifaório, ar m aj fio do parâmro do corolador. EXEMPLO: Dado o ima 4 G ; H. Projar m corolador arao-.5 avaço para q o pólo d malha fchada ham ξ. 5, ω 5 rad / para q o ima ha m v 8. comp 4 Drmiado a F d MF da plaa ão corolada G mf, é fácil oar,5 4 q: ξ, 5, ω rad /. lém dio podmo obrvar q o pólo d MF do ima localiam m: -, 5, 98i. D G mo aida q lim G 8, ± v. Da pcificaçõ d projo, mo q o pólo domia d malha fchada dvm ar m -,5 4, 33i., ± parir do pólo d MF da plaa ão corolada, mo: 8. γ,5,98i Sima d Corol 45

51 parir do pólo djado, mo: 35. γ -,5 4,33i Logo a coribição d fa da rd m avaço é d: φ 8 θ θ 55. 4,33 θ 8 N,5 od: 4,33 θ 8 N 5,5,5 3 -,54,33i É fácil oar q ifiia combiaçõ d γ podm grar a coribição d fa djada. Sdo aim, é cário fiar, alaoriam, algm do parâmro. N cao, o ro da rd m avaço pod r poicioado m -,5, acarrado m m caclamo mamáico m do pólo da plaa. parir daí, com a poição do ro a coribição d fa, a poição do pólo é drmiada como do aproimadam m -5,, o ja, γ gora, do criério d módlo, mo: c,5 4 5,5 5 4 c,5 4,33i,5 4,33i 5 6,5 4 parir do rro d vlocidad áico djado v 8 do valor ariorm γvcomp calclado, mo: β 6 V c Como qalqr valor d 5 aifa a codição d âglo, é amido q 5. Cocli- aim o projo do corolador. comp 46 Sima d Corol

52 .8 Rpoa o mpo.6 Sm Corolador.4 Rpoa..8 M P 9.88% Com Corolador.6g mpo Sial d Corol mpo Sima d Corol 47

53 Rpoa o mpo Com Corolador Sm Corolador Rpoa mpo 48 Sima d Corol

54 4.8 Ercício. Coidr o mplo da ção 4.. Vrifiq, aravé d imlação, a rpoa do ima com o corolador PD projado: variado- o gaho do corolador: a. Variado- o gaho do corolador d à 5, com icrmo d,5; b. Variado- o gaho do corolador d à, com icrmo d,; c. Variado- a poição do ro do corolador d, à 3,, com icrmo d,5. Lmbrar d rcalclar o gaho; d. Variado- a poição do ro do corolador d,4 à,8, com icrmo d,5. Lmbrar d rcalclar o gaho;. Para cada m do ima dado a gir, projar o corolador idicado para aifar a pcificaçõ dada: a. b. G. Projar m PD para q m MF ξ, 7,,77 ω,5 rad. / 8 G. Projar m corolador m arao para q o faor d amorcimo do pólo domia prmaça m ξ, 6, ma, a coa d rro d vlocidad áico am para v 4. comp c. G. Projar m corolador m arao-avaço para q o 5 faor d amorcimo do pólo domia ja ξ, 5,, a coa d rro d vlocidad áico ja avaço d forma a caclar o pólo da plaa m -. v 5 comp colhr o ro da porção m 3. Sja G, vrifiq aravé d imlação a rpoa do ima com m corolador PI, com o gi parâmro: a. c,;.; b. c,;.5; c. c,;.; d. c,;.5;. c,;.5; f. c,5;.5; g. c 5,;.5; Sima d Corol 49

55 5 PROXIMÇÃO DISCRE DE FUNÇÕES DE RNSF. CONÍNUS 5. Irodção Mia v m ima aalógico d corol é biído por m ima d corol digial dvido à vaag d úlimo ima, pariclarm o q oca à comicação flibilidad. N cao, é aral parmo m méodo q covrm m ima aalógico coío para m ima digial dicro com caracríica mlha. Um camiho para io é ar m cro príodo d amoragm far algma aproimaçõ dicra a parir do corolador coío. H G / D lgorimo y D / y Rlógio 5. proimaçõ por Igração Nmérica Uma fção d rafrêcia rpra ma qação difrcial. im do, é aral obr ma qação d difrça cja olção é a aproimação para a qação difrcial. Eim rê forma báica d far a aproimação: méodo Forward o méodo d Elr, méodo Bacward méodo i o méodo d rapoidal. Spodo q o valor do iai d rada aída d m ima coío ão mdido a cada gdo q príodo é ficim pqo, podmo obr ma qação d difrça q modla aproimadam a rlação r m ial d rada a igral y τ dτ, o ja: o Y G U 5. Méodo d Elr o Forward Baia- a gi qação d difrça, rlado do méodo d igração mérica d Elr; y y ; o ja: Y H 5. U Comparado a qaçõ 5. 5., coclímo q a aproimação: 5 Sima d Corol

56 5.3 N cao, podmo morar q o mi-plao qrdo do plao é mapado para a rgião morada a figra abaio, a qal icli o círclo iário. im do, ipo d aproimação é poívl q m ima coío ávl pólo m o mi-plao qrdo ja raformado m m ima dicro iávl pólo m fora do círclo iário. Plao Im Méodo Forward Plao Im Smi-plao Eqrdo R R Círclo Uiário Méodo Bacward Baia- a gi qação d difrça, rlado do méodo d igração mérica mlha ao d Elr; y y ; o ja, Y H 5.4 U Comparado a qaçõ , coclímo q a aproimação: 5.5 N cao, podmo morar q o mi-plao qrdo do plao é mapado para a rgião morada a figra abaio, a qal á coido o círclo iário. im do, ipo d aproimação, m ima coío ávl mpr rá raformado m m ima dicro ávl. Porém, podmo r ima coío iávi raformado m ima dicro ávi. Plao Im Méodo Bacward Plao Im Smi-plao Eqrdo R R Círclo Uiário Sima d Corol 5

57 Méodo rapoidal, im o proimação Biliar Ea aproimação corrpod ao méodo do rapéio para igração mérica, q corrpod à gi qação d difrça; y y ; o ja: Y H U 5.6 Comparado a qaçõ , coclímo q a aproimação: 5.7 N cao, podmo morar q o mi-plao qrdo do plao é raformado o círclo iário, como mora a figra abaio. N cao, ima coío ávi ão raformado m ima dicro ávi ima coío iávi ão raformado m ima dicro iávi. Plao Im Méodo i Plao Im Smi-plao Eqrdo R R Círclo Uiário 5.3 Ivariâcia ao Dgra idéia é iliar ma qivalêcia d ordm ro d ima G, coidrado-o prcdido por m Sgrador d Ordm Zro SOZ H G SOZ G Da forma, a fção d rafrêcia dicra H, pod r obida a parir d G, aravé da gi qação, G H Z Sima d Corol

58 5.4 Ercício. Far a aproimaçõ Forward, Bacward, i Ivaria ao Dgra para: a G b G c G a d G a G a f g G G a ω a ω. Um corolador PI coio é dcrio por. τ i a U a aproimação d i para corar a rpração dicra do corolador PI; b Drmi a rlaçõ r o parâmro coío τ i corrpod dicro. Sima d Corol 53

59 6 IMPLEMENÇÃO DE CONROLDORES DIGIIS 6. Irodção O pricipal problma raado capílo é a implmação d algorimo d corol m compador digiai. Uma v colhida ma li d corol obida a rpração dicra, é cário implmá-la. Normalm, ão baa colocar a li d corol a forma d m código d compador, im impora coidraçõ q ão podm r dprada. É prcio, por mplo, ablcr comicação com o or aador criar irfac homm-máqia IHM. O dalh da implmação dpdm do hardwar ofwar ado. Spodo ma implmação m m compador digial com rlógio RC Ral im Cloc covror /D D/, m qma gral podria r rprado da gi forma: Compador Digial r - / D lgorimo D / ador Plaa o Proco y Rlógio Sor li d corol implmada o algorimo compacioal opra m ciclo, com dração qival ao príodo d amoragm drmiado para o ima. Rlógio Código Compacioal: Lr dado /D; Calclar variávl d corol; Ecrvr dado D/; 6. Pré-Filragm rao Compacioal Pré-Filragm Para viar aliaig é cário ar m pré-filro aalógico, a d amorar o iai do or aalógico, viado limiar diúrbio rído com frqüêcia prior a frqüêcia d Nyqi. pré-filragm é fdamalm impora, qado im compo d ala frqüêcia q podm coamiar o ial amorado. liaig é m fômo q ocorr qado o ial amorado coém harmôica maior q a mad da frqüêcia d amoragm. 54 Sima d Corol

60 Em alg cao a olção mai impl é irodir m filro aalógico a fr do amorador: Rlógio r - Filro C SOZ G y Sor, Um circio aalógico ípico para m filro d gda ordm é: R 3C ζ R ζc 3 - R Implmação, aravé d amplificador opracioal, d m filro d gda ordm, com frqüêcia: ω,, fção d RC rafrêcia dada por 6., od: ω B é a largra d bada lcioada para o filro. G f ω B ω ζω ω ω B 6. Filro d ordm prior podm r obido plo arrajo, m cacaa, d vário filro d primira gda ordm. rao Compacioal ao o covror /D D/ qao o cálclo compacioai rqrm mpo, por io, mpr iirá arao qado ma li d corol for implmada compacioalm. E arao é chamado d arao compacioal,, afa o dmpho global do ima corolado. y y Variávl d Proco y- y y mpo Variávl d Proco y- y y mpo Variávl d Corol - rao Compacioal mpo Variávl d Corol - - rao Compacioal mpo Sima d Corol 55

61 Eim baicam da poibilidad: variávl d proco mdida o ia pod r ada para calclar a ação d corol para o ia, o a variávl d proco mdida o ia é ada imdiaam o calclo da ação d corol, q, por a v, dv r viada ao covror D/ ão rápido qao poívl. No primiro cao, o arao compacioal é coa, o q é ma vaagm, porém é igal ao príodo d amoragm, o q pod r dmaiado grad para alg ima. Já o gdo cao, o arao ormalm rá mor, porém dpdrá d apco da programação,, para li d corol ão liar podrá variar a cada ciclo. 6.3 ador Não-Liar Grad par do méodo para o projo d corolador baia- a oria d ima liar, o ja, parm do prpoo d q o proco a r corolado é liar. No ao, a maioria do ima fíico rai apram algm ipo d ão-liaridad. No cao do ima d corol, io acoc, ma ipicam, com o aador. Uma da pricipai ão-liaridad aprada por aador é a aração. ador Plaa o Proco Diâmica Liar p y Um do pricipai aador corado m proco idriai ão a válvla. Dra a abrra fchamo a válvla ão aproimadam liar, porém, a iaçõ d oalm abra oalm fchada ão mplo ípico d ão-liaridad por aração d aador. Eim, fdamalm, doi camiho para lidar com a ralidad: Um é iliar écica d projo q lvm m coa a ão-liaridad. E méodo comam volvr cálclo complo, grado aim, li d corol ambém compla. Oro camiho é iliar méodo hríico impl. 6.4 pco Opracioai N poo rá dicida a irfac r o ima d corol o oprador. Io icli a apração d dado a alração, por par do oprador, do parâmro do corolador. Oprador Irfac pração d Dado Valor mérico; Gráfico; Imágm; imaçõ... j d Parâmro Rfrêcia; Gaho; mpo igraivo; mpo drivaivo; Modo d opração... Corolador 56 Sima d Corol

62 No cao do corol rglaório d proco, é comm ibir iformaçõ obr o valor d rfrêcia SP S-poi, obr a aída mdida PV Proc Variabl, iai d corol. lém dio, a irfac ambém dv poibiliar ao oprador a alração do gaho, do mpo igraivo do mpo drivaivo. ambém coma r djado q haja a poibilidad d alrar r o modo d opração aomáico maal. Uma forma impl d raliar o corol maal é aravé d boõ para amar dimiir o valor do ial d corol. Porém, como o corolador é m ima diâmico, prcaçõ dvm r omada o chavamo do modo d opração maal para o aomáico, para q a raição ja av viado q rjam raiório dvido ao chavamo. 6.5 Mdaça d Parâmro No corolador covcioai o oprador, ormalm, m flibilidad para alrar valor como: rfrêcia parâmro báico do corolador gaho mpo. No corolador implmado compacioalm a flibilidad é aida maior. Dvido a grad facilidad para raliar cálclo é poívl iliar ma paramriação o algorimo d corol morar ora ao oprador aravé da irfac. Por mplo, o algorimo pod rabalhar mpr com o mpo drivaivo igraivo, ma, a irfac pod poibiliar q o oprador r o com mpo o com o rpcivo gaho. No gdo cao, a parir do gaho forcido plo oprador, o mpo riam calclado ão ado o algorimo d corol. Porém, im doi problma com a alração d parâmro m mpo ral. Um problma á rlacioado com a programação m mpo ral. S mai d m programa, rodado imlaam, ivr iliado o mmo dado é poívl q haja problma. É cário r cra d q a alração rá acia procada por odo o programa q jam ado o parâmro m qão. O oro problma é algorímico. alração d parâmro m mpo ral pod acarrar m fio imilar ao d prrbaçõ. E fio ão chamado d rai d chavamo. al problma, mia v, pod r coorado com alraçõ impl o código do programa. Coidr, por mplo, o doi código a gir para implmação do algorimo d m corolador PI. lgorimo # lgorimo # r - y; I I- * ; p * I/i; r - y; I I- p* * / i; p * I; Coidr ambém o modlo dicro d m ima d aq acoplado d gda ordm: 5 9,687 9,645 6.,987,987 G Sima d Corol 57

63 Coidrado- o parâmro do corolador como do: P τ i, mo q, parâmro prmacrm ialrado, ambo o algorimo gram iai d corol idêico. Coqüm, a rpoa do ima m ambo o cao é ambém idêica. Sima d Sgda Ordm com Corolador PI Parâmro Coa lgorimo # lgorimo # Porém, m algm ia o mpo igraivo for alrado, o ima com o corolador PI implmado d acordo com o algorimo # rgirá m rai d chavamo, qao q com o algorimo # o ima fica livr d rai. Coidr o cao od o ima aprado ariorm ofr ma rdção d v o mpo igraivo, a parir do miléimo ia. No como rgimo do rai d chavamo prrba o ima o primiro cao, qao q com o gdo algorimo o ima apa d a acomodar- mai rapidam, o q é aam o fio djado ao rdir- o mpo igraivo. 58 Sima d Corol

64 Sima d Sgda Ordm com Corolador PI Variação d Parâmro lgorimo # lgorimo # pco Nmérico Sima d Corol 59

65 6 Sima d Corol 6.7 Projo d Corolador Digiai Coidr m ima dicro dcrio plo gi diagrama d bloco: D R Y - E U G parir do mmo podmo crvr q, [ ] Y R D G Y S for pcificado R Y, mo q: / / R Y R Y G D 6.7. Corolador Dadba Um corolador dadba o d rpoa míima é aql q aifa a gi codiçõ: O mpo d bida dv r míimo; O rro d rgim dv r ro. Para m plaa d ordm o mpo míimo é igal a, o problma a r rolvido é obr D, al q, para ma rada dgra, o ja, R a rpoa ja: y r para, com: para. plicado a raformada Z mo: { } y y Y { } N U { } [ ] y y y y y R Y y y y y R Y... p p p R Y..., com i p 6.3 Por aalogía: q q q q R U..., com: i q q q q ; ; 6.4 Eão,

66 Sima d Corol 6 P G D G D R Y 6.5 o: Q P U R R Y G U Y 6.6 Uado a qaçõ 6.6 m 6.5, mo: p p q q q P Q D Sja aida: q q a a a b b b G 6.7 Da qação 6.6, mo: q q q q p p p G Comparado , mo q: o q a q q a q M o q b p q b p M Como: b q p i i, ão: i b q. EXEMPLO: Projar m corolador dadba para o gi ima: G. SOLUÇÃO: 58. b b q 58. b q p.6 q a q 48. b q p.58 q a q Logo: D

67 figra a gir moram a aída da plaa o ial d corol com o corolador dadba projado: Rpoa ao Dgra com o Dadba.5 Sial d Corol do Dadba Saída Sial d Corol Ia Ia 6 Sima d Corol

68 7 PROJEO DE SISEMS DE CONROLE USNDO O ESPÇO DE ESDOS 7. Dcrição por Variávi d Eado É aplicávl a ima d múlipla rada múlipla aída, q podm r liar o ão-liar, ivaria o varia o mpo com codiçõ iiciai ão-la. O ado d m ima o ia é a qaidad d iformação m, q, jo com a rada m, drmia ivocam o comporamo do ima para odo. Coidr o vor: : : p vor d ado. vor d rada. i variávl d ado. E a mari; ; B p ; C q ; D qp. y y y : yq y vor d aída. Na rpração por variávi d ado, mo: B Eqação d Eado diâmica do ima y C D Eqação d Saída obrvação do ima 7. O aida, o cao ivaria o mpo, mo: B Eqação d Eado diâmica do ima y C D Eqação d Saída obrvação do ima 7. plicado raformada d Laplac mo: I X BU X X I BU I X 7.3 Para codiçõ iiciai la X : [ C I B D] U G U Y 7.4 D od, cocli-: I B D G C Mari Fção d rafrêcia 7.5 Como I corrpod ao poliômio caracríico d G, o aovalor d corrpodm à raí do poliômio caracríico, o ja, ao pólo d G. Sima d Corol 63

69 7. Solção da Eqação d Eado Cao Ecalar Laplac a b X a a bu plicado a raformada ivra d Laplac, obmo: L a { X } bl a { }* L { U } a a τ b τ dτ 7.6 Cao Vorial B { } od: L I. τ BU τ dτ 7.7 pocial maricial;, pod r calclada aravé da éri: I!...!...; q covrg para odo fiio para odo. 7.3 Eabilidad Coidr ma rpração m variávi d ado d m ima SISO: B y C d 7.8 orma: Um ima é ávl,, qado, para odo, mo q lim OBS: Corolário: Um ima é ávl,, odo o aovalor da mari apram par ral gaiva. OBS: O aovalor d ão a raí da qação caracríica: d I. 64 Sima d Corol

70 Sima d Corol 65 EXEMPLO: d S I Logo, o ima é iávl. 7.4 Corolabilidad Dfiição: O ima,b,c,d é corolávl, qaiqr q jam, i q rafr o ado para o ado m m mpo fiio. orma: O ima,b,c,d é corolávl om, o poo da mari d corolabilidad U p aociada é igal a. [ ] B B B B U OBS: Uma mari R é dia poir poo ra, ρr, igal a m, iir ma bmari M mm d modo q o drmia d M é ão lo, o drmia d oda a bmari rr od r > m d R é ro. EXEMPLO: R R ρ 3 R R ρ EXEMPLO: F Ω F Ω ~ - [ ] < U B B U ρ Não-Corolávl Jificaiva: S ;.

71 66 Sima d Corol 7.5 Obrvabilidad Dfiição: O ima,b,c,d é obrvávl,, para odo, o cohcimo da rada da aída y m m mpo fiio é fici para drmiar. orma: O ima,b,c,d é obrvávl, om, o poo da mari d obrvabilidad V q aociada é igal a. : C C C C V 7. EXEMPLO: F Ω F Ω y - H [ ] y C C C V ρv ; Logo, o ima é Não-obrvávl. 7.6 Raliaçõ d Fçõ d rafrêcia Dada a gi rpração m variávi d ado d m ima SISO: B d y C,B,C,d é ma raliação d G : G d B I C com: d D N d G U Y α α α β β β

72 Sima d Corol Raliação a Forma Caôica Obrvávl [ ]... ; ; C B β β β β α α α α Raliação a Forma Caôica Corolávl [ ]... ; ; β β β β α α α α C B 7.

73 7.7 Ralimação d Eado idéia báica da ralimação d ado coi m alocar o pólo d malha fchada aovalor da mari diâmica, modificado, aim, a diâmica do ima. Dada ma rpração m variávi d ado d m ima; B : y C d. D B C y Uado ralimação d ado, cada variávl d ado é mliplicada por m gaho ralimada para o rmial d rada, o ja: od: [... ] r 7.3 é o vor d gaho d ralimação. im, mo: B B r r B Br 7.4 OBS: Dvmo r aco a odo o ado do ima.. D B C y orma: S,B,C,d for corolávl, ado r podmo colhr arbirariam o aovalor d B. 68 Sima d Corol

74 Sima d Corol 69 Fórmla d crma para Drmiação da Mari d Gaho - Formar a a a... com o pólo djado. - Calclar da gi forma [ ]... U c q 7.5 od: [ ] I B B B B U c a a q EXEMPLO: Dado; [ ] y, ado; r. Drmi para q o aovalor do ima jam - -. SOLUÇÃO: 3 [ ] 3 U B B U 6 3 q c I [ ] [ ] 6 3

75 SIMULÇÃO: y C B Br Roia Malab: % Programa para Ralimação d Eado clar all; [ ; -];B[ ]';C[ ];d; % Sima Origial [- ]; % Mari d Gaho a[b*]; % Mari Diamica ralimada :.:5; % mpo da imlaçao *; % Sial d rada lo [ ]'; % Codiço iiciai [Y,X] LSIM,B,C,d,,,; [Y,X] LSIMa,B,C,d,,,; % Simla o ima, m ralimaçao % para ma rada cod. iiciai dada % Simla o ima, com ralimaçao % para ma rada cod. iiciai dada figr;plo,y,'r','liwidh', il'saída m ralimação d ado' figr;plo,y,'b','liwidh', il'saída com ralimação d ado' 5 Saída m ralimação d ado Saída com ralimação d ado Sima d Corol