Sistemas Lineares Entrada/Saída 30

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1 Sim Lir Erd/Síd 3 3- Sim Lir Erd/Síd 3.- Fuçõ Sigulr (Sii Elmr Hyi) Muio ii d xcição uilizdo o udo d im diâmico ão uçõ impl o domíio do mpo, xpro mmicm por um couo d uçõ domid uçõ igulr, qu coium um couo d rd pdrõ uilizd pr crcrizr rpo diâmic d um im Dgru Uiário O dgru uiário é ução báic d míli d uçõ igulr. Su diição é gui: pr < u ( ) pr u () - u ( ) pr pr < < u (- ) - u ( ) pr pr < < Frcico. Louo

2 Sim Lir Erd/Síd 3 Um uo impor d ução dgru é impliicção d rprção d uçõ qu ão ul pr < ; m gum um drmid xprão pr. Por xmplo: g ( ) ( ) pr pr < Pod- crvr qu g( ) ( ) u ( ) Ob: ução u ( ) é ud pr grir qu ução comc o i zro Fórmul d corrêci pr Diição d Our Fuçõ Sigulr dmi uçõ igulr ão diid prir d ( ) rlçõ: u u, gurdm r i gui ( ) u ( ) u ( τ ) dτ p (α) ( ) du u ( ) pu ( ) (β) d dy d y u Dy y u D p d d d x dx bx u D x Dx bx u d d px xp p d d Frcico. Louo

3 Sim Lir Erd/Síd Igri Suciv do Dgru igri uciv do dgru ão obid plicdo- órmul dd pl qução (α), obdo-:, < u ( ) u ( ) τ dτ dτ, Logo, < u ( ) u ( ) mp Uiári, u () -.u () - igrção d rmp rul prábol uiári Logo u 3 ( ) u ( τ ) τ d, dτ, ( ) u ( ) <, < Prábol Uiári, u 3 u () -3.u-() Impulo Uiário O impulo uiário é, por diição, drivd do dgru. im, d cordo com qução (β) omdo-, m-: Frcico. Louo

4 Sim Lir Erd/Síd 33 d d ( ) pu ( ) [ u ( ) ] u od, u ( ) δ ( ) Dl d Dirc Como o dgru é um ução dcoíu m, poro ão é drivávl poo, m pricípio pod prcr qu ão é poívl diir u ( ). Ero, xim vriávi diâmic qu podm omr orm d um dgru, pr qui pod hvr cidd d diição d drivd. Pr qu diiculdd uprd, ução impulo po r comprdid, di iicilm gui ução: ( ),, ε, < ε > ε () - ε drivd d ução é um pulo rgulr d ár uiári ( ) p ( ) ε < ε > ε () ε ε, Qudo ε obrv- clrm qu ( ) d pr ução dgru uiário, ou ( ) lim ( ) u ε < > Frcico. Louo

5 Sim Lir Erd/Síd 34 No, qu qudo, vi ordo um pulo d durção cd vz mor mpliud cd vz mior, m ár é mid com vlor uiário (). Um impulo uiário pod ão r diido como: ε drivd ( ), d ução ( ) ( ) lim ( ) u ε Ou, como um pulo d durção zro, mpliud iii ár uiári. ução impulo mbém é domid ução Dl d Dirc, rprd por ( ) (Ob.: δ ( ) Dl d Krocr) domiio dicro δ. Exmplo: um il qu pod r rprdo por um impulo é o d orç mcâic qu g obr um corpo m movimo qu choc cor prd, pár o i. Qudo ocorr o choqu, vlocidd do corpo ci im d um vlor V pr zro, ou, gudo um dgru givo d mpliud V. v() V vlocidd v() V - V.u -() Pr clrção: () () dv() d () -V.u () -V clrção qu g obr o corpo é dd pl x d vrição d u vlocidd ( ) pv ( ) Vu ( ) Sigiicdo qu, im, o corpo or um clrção giv (rd) d mpliud iii, qu rz vlocidd d V pr zro. Poro, clrção é dd por um impulo givo d ár igul V do choqu. Como orç é igul o produo d m pl clrção, é vid qu orç mbém rá um impulo, o qu rlidd igiic um orç muio grd cpz d, um irvlo d mpo pricm igul zro, prr o corpo, o qu corrpod o choqu. Como coc miori do choqu, orç pod r cpz d mr ou d qubrr o corpo. Frcico. Louo

6 Sim Lir Erd/Síd 35 Por xmplo, pod- cocluir qu o impulo é um ução mmáic qu, m im diâmico pod r ud pr rprr ii d curíim durção grd mpliud. Grção do dgru rmp uiário prir do impulo uiário (Fórmul d rcorrêci) Trlção o Tmpo - Dgru rlddo: Um dgru rlddo m gui xprão: u ( ) pr pr <, >, < > b- Impulo Trlddo É drivd do dgru rlddo, ou, δ ( ) u ( ) pu ( ) Frcico. Louo

7 Sim Lir Erd/Síd prção d Sii m rmo d Fução Impulo () () τ κ. τ Τ. τ (κ). τ ução impulo cor um grd plicção dcrição d ii crcrizção xcição/rpo d im íico lir ivri o mpo. Dd um ução rl do mpo, ( ) diid pr o irvlo bro (, ), podmo proximr ução por um éri d pulo rgulr d lrgur τ, proximção do o mlhor quo mor or lrgur τ. E oção é rprd qudo dividimo o irvlo d T m ubirvlo igui d lrgur τ lvmo ordd corrpod τ pr rprr ução o τ, τ. irvlo chdo [ ( ) ] O pulo rgulr hchurdo m rmo d um pulo d ár uiári d lrgur τ, diido τ, τ, é rprdo por: m [ ( ) ] P τ ( τ ), τ, [ τ,( ) τ ] [ τ,( ) τ ] D mir, o pulo rgulr hchurdo m gui rprção: dcrição d ( ) ( τ ) P τ ( τ ) τ o irvlo chdo d é T por um éri d pulo rgulr é obid omdo- o pulo idividui idxdo plo prâmro,, ±, ±,.... * ( ) ( ) ( proximção ) ução ( ) é obid d ( ) ( τ ) P τ ( τ ) τ * omdo o limi com τ ( ) lim * ( ) Frcico. Louo

8 Sim Lir Erd/Síd 37 No proco d limi, o omório m drá um igrl diid d é T, vriávl dicr τ drá um vriávl coíu τ ( τ τ ), ução pulo drá δ τ. um impulo rdo ( ) P τ ( τ ) δ ( τ ) Com coidrçõ rul gui xprão pr ( ) : T ( ) ( ) δ ( τ ) o τ dτ (Igrl d Covolução) No: gui xciçõ pdroizd com mpliud uiári ão ud rqüm pr vriicr rpo d im. - Fução oidl - Séri d poêci r co( ) ou r ( ) r Sil xpocil 4- Dgru uiário r <, >, xpcil dcrc xpocil crc r u ( ) 5- mp uiári 6- Prábol uiári 7- Impulo uiário Exmplo: 7 6 ( ) u ( ) r u r u 3 r u ( ) u ( ) ( ) δ ( ) Sri d poci -, 3, 4 5 ord r() mpo Frcico. Louo

9 Sim Lir Erd/Síd Diição d Trormd d Lplc rormd d Lplc é um rrm mmáic d mi icz pr áli, u corol d im lir. rormd d Lplc ão diid o domíio d um vriávl complx dd por: σ () rormd d Lplc d um ução ( ) é diid como gu: [ ( ) ] ( ) d F( ) L () O xpo dv r dimiol. im, qudo vriávl idpd or mpo, dimão d dv r o ivro do mpo, io é, rqüêci. N co, por r um vriávl complx, é rqüm domid rqüêci complx. SI (ou MKS): [ ] ou [ rd / ] N qução (), o limi irior d igrl é coidrdo igul ( ), d modo qu igrl br vui compo impuliv d ( ) qu ocorrm m Exiêci d rormd d Lplc Pr qu rormd d Lplc xi, é cário qu ução d ordm xpocil, d cordo com: Diição: Um ução ( ) γ i qu: rá d ordm xpocil γ xiir co ri M > γ ( ) M, pr odo > T. (3) Qudo coidr, (o ivé d > T ), dizmo implm qu ( ) é d ordm xpocil. crcríic pricipl d uçõ d ordm xpocil é d ão podr crcr m vlor boluo, mi rpidm qu M γ. N práic, io ão rpr rrição, poi M γ podm r colhido ão grd quo quir. Qudo rormd d Lplc d um ução xi, ão igrl: ( )d (4) Covrg pr lgum vlor iio. Pr qu io coç, gui codição dv r ii: ( ) lim (5) Frcico. Louo

10 Sim Lir Erd/Síd Trormd d Lplc d lgum uçõ impl - Co S um co qulqur, ão: L [ ] d dod: L [ ] (6) vidm: ( ) u dgru uiário L [ u ( ) ] (7) b- Expocil crc S α um úmro rl poiivo, ão: α [ ] ( α ) α ( α ) L d d (8) α α c- Expocil dcrc α [ ] L (9) α d- Co-o S um od co-oidl d mpliud uiári rqüêci [ rd / ]. Evidm é rl poiivo. rormd d Lplc (TL) d ução d cordo com diição é: [ co( ) ] co( ) d L () co( ) ( ) co( ) ( ) Sb- qu co ão qução () or- L [ co] d () L L () Frcico. Louo

11 Sim Lir Erd/Síd 4 [ ] L (3) [ ] L (4) Subiuido quçõ (3) (4) m (), mo: - So L [ co] (5) L [ ( ) ] ( ) d - Co-o com mpliud âgulo d quiqur por: S um co-o d mpliud âgulo d θ. u rormd d Lplc é dd Pod- crvr: co ( θ ) L [ co( θ )] co( θ ) d ( θ ) ( θ ) θ θ ( ) ( ) S co complx diid por: θ θ b * θ θ b rg ( ) coθ ( ) θ b Im( ) θ co( θ ) * Eão: * L [ co( θ )] lrivm pod- zr: b b b coθ co co θ ( B) co( ).co( B) ( ) ( B) ( θ ) co( θ ) co( ) ( ) ( θ ) Frcico. Louo

12 Sim Lir Erd/Síd 4 o com mpliud âgulo d quiqur * L [ ( θ )] θ π θ * π Propridd udmi - Liridd L [ ) b ( ) ] F ( ) bf ( ) ( b- Trlção rqüêci L ( ) F( ) c- Dircição rqüêci L [ ( ) ] ' F ( ) df( ) d d- Trormd d Drivd rormd d Lplc d drivd d um ução ( ) pod r xpr por qulqur um d gui orm: d ( ) L d L ( ) L Lmbrdo: igrção por pr [ p ( ) ] ( ) d udv uv u dv vdu d( uv) udv vdu uv udv vdu du ( ) d v ( ) d ( ) d. ( ) ( ) d ) d L L ( ) F( ) d d L d ( ) L ( ( ) [ ] [ ] ( ) L p ( ) F( ) ( ) E úlim qução é imporíim, poi é qu prmi rolvr quçõ dircii lir ivri o mpo rvé d rormd d Lplc, é o méodo d olução o qul bi áli d im diâmico lir ivri o mpo. ( ) ( ) Frcico. Louo

13 Sim Lir Erd/Síd 4 - Trormd d igri ( ) ( ) p ( ) p ( ) ( τ ) dτ ( d[ d ) ( )] ( ) ( ) ( [ ( ) ] ( ) F( ) ( ) d ( ) ) L L d od: Logo: L ( ) ( ) ( ) d ( ) [ ( ) ] L ( τ ) dτ F( ) ( ) ( ) - Propridd d rlção o mpo S () um ução do mpo, cu rormd d Lplc é F(). Coidr- qu ução rldd d um mpo, uld pr <, coorm mordo bixo pl igur. Eão, rormd d Lplc d oprção é dd por Fução rldd o mpo L [ ( ) u ( ) ] F( ) Torm do vlor iicil ( ) lim ( ) limf( ) Torm do vlor il ( ) lim ( ) lim F( ) Frcico. Louo

14 Sim Lir Erd/Síd 43 Exrcício: - Ddo qu rpo o dgru d um im lir, ivri o mpo, iicilm m 7 4 rpouo é: y( ) u ( ) 3 3 Drmir Trormd d Lplc d rpo do im à rd: Qui o vlor, iicil il, d rpo rul? - Drmir rormd d Lplc d od qudrd: 3.4- Trormd ivr d Lplc O proco d obr um ução o mpo prir d um rormd d Lplc é domido rormção ivr. [ F( ) ] ( ) L (6) ( ) é rormd ivr d F ( ), mmicm, ( ) é obid prir d ( ) d gui xprão: π c c d ( ) F( ) d lim F( ) c π d c d d F rvé, pr > (7) Frcico. Louo

15 Sim Lir Erd/Síd 44 Od c é colhido d modo qu odo o poo igulr d F ( ) m loclizdo à qurd d r ( ) c o plo complxo, como: Im() gião dmiívl pr o poo igulr d F() c () xprão d rormd ivr é d uo complicdo, por io é pouco uilizd práic. O procdimo orml é, pr xprõ impl d F ( ), bucr xprão d rormd ivr m bl. Pr rormd mi complicd, procur- dmmbrr F um om podrd (combição lir) d xprõ mi impl, ou : ( ) F N ( ) F ( ) F ( ) F ( ) F ( )... N N (8) od,,... N ão co. Dvido à propridd d liridd d TL rormd ivr rá dd pl mm om podrd d rormd ivr d cd prcl, ou : N ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... N N (9) E procdimo é o mi uilizdo obção d rormd ivr, pcilm qudo rormd ão uçõ rcioi Trormd d Lplc rcioi Diiçõ báic Fução rciol - é um rlção d doi poliômio d orm: F ( ) ( ) b b... b b b ( )... P Q () Um crcríic impor d uçõ rcioi é dirç r o gru do umrdor do domidor. Sob poo d vi, uçõ rcioi ão cliicd d gui mir:, ( ), ( ), ( ) - < - - > F é um ução rim própri F é um ução própri F é um ução imprópri Frcico. Louo

16 Sim Lir Erd/Síd 45 Zro d F ( ) : São ríz d ( ) F () Ou, ão o vlor d qu ulm ução. S F ( ) or rciol, d orm dd pl qução (), o zro d F ( ) ão o zro d u umrdor, io é, ão ríz d: Pólo d F ( ) : São ríz d ( ) P () F( ) (3) Ou, ão o vlor d qu ulm o ivro d ução. S F ( ) or rciol, d orm dd pl qução (), o pólo d F( ) ão o zro d u domidor, io é, ão ríz d: ( ) Q (4) Form ord d F ( ) : S o zro o pólo d um ução rciol ( ) ão ução podrá r cri m orm ord, como gu: Od: z,... F ( ) ( ) ( ) P Q, z z ão o zro d F ( ) p,..., p p ão o pólo d F ( ) ( z )( z )...( z ) ( p )( p )...( ) p F orm cohcido, b (5) prção d pólo zro o plo É comum rprção d pólo zro d uçõ rcioi pl u coordd cri m um pr d ixo orogoi. pr ri do pólo zro ão bci do poo corrpod pr imgiári, ordd. O plo diido por um pr d ixo com ilidd d rprr úmro vriávi complx é domido plo complxo; o ixo horizol é o ixo rl, o ixo vricl é o ixo imgiário ; md do plo à qurd do ixo imgiário é domid miplo qurdo, rgião à diri é domid miplo dirio. O miplo qurdo é o lugr gomérico do úmro complxo com pr rl giv, o miplo dirio é o do úmro complxo com pr rl poiiv. Qudo um plo é uilizdo pr rprr vlor d vriávl complx σ, plo é cohcido como plo ; o ixo rl como ixo σ o ixo imgiário como ixo. Qudo rpr quidd complx m plo complxo, é comum o uo imulâo d coordd rgulr polr. Io implic cidd d ur mm cl pr o doi ixo, im d vir dormçõ do âgulo. N rprção d pólo zro d um ução rciol m, ormlm u- gui covção: Frcico. Louo

17 Sim Lir Erd/Síd 46 o pólo ão mrcdo com X (domidor) o zro ão mrcdo com O (umrdor) Exmplo: rprção gráic d pólo zro. S ução: F ( ) ( ) ( 3)( 3 )( 3 ) Pod urgir cidd d rprr, m um mmo plo complxo, pólo zro d uçõ dir. Em i co, pod r covi o uo d ímbolo dir pr o pólo zro d cd ução. X pólo ímbolo zro ímbolo Propridd impor Propridd : Tod ução rciol rim própri pod r dmmbrd m um om d rçõ prcii. S: P ( ) ( ) b b... b b b F Q... ( ) ( z )( z )...( z ) ( p )( p )...( ) b, < p Frcico. Louo

18 Sim Lir Erd/Síd 47 Por rção prcil d- um ução rciol lmr do ipo L ( p) p ( )! Od p é o pólo, é o ríduo é o gru d rção prcil; p podm r ri ou complxo. Qudo, diz- qu rção prcil é impl. N xpão m rçõ prcii, xim doi co coidrr. Co - Pólo diio: É o mi rqü, é qudo odo o pólo d ução ão diio, io é, dir r i, ou, p p p... 3 p N co, hvrá um rção prcil impl pr cd pólo, xpão m rçõ prcii rá: F( )... p p p p O ríduo d cd pólo diio ( p ) F( ) rormd ivr rá: p é clculdo d gui mir: p P Q ( p ), od Q ( ) ( p ) p p p p ( )... > Q( ) ( p ) Co - Pólo múliplo: S um ução rciol ivr pólo múliplo, io é, rpido, ão xpão m rçõ prcii corá rçõ d gru igul ou uprior doi, corrpod o pólo múliplo. Pr prção d orm d cálculo do ríduo d uçõ prcii, rá coidrd um ução rciol qu h um pólo múliplo p, do r u muliplicidd. Io qur dizr qu ução rá r pólo igui, do o dmi diio, ou : p p pq pq r... p pq pq p q r q N co, xpão m rçõ prcii omrá orm: F ( ) p q q ( ) p ( p ) q, q,..., q r... p q p q q p q qr ( p ) ( p ) r q q r r q r q... p... q Frcico. Louo

19 Sim Lir Erd/Síd 48 Vê- ão qu cd pólo impl coiurá corrpoddo p um rção prcil impl, á o ríduo corrpod o pólo múliplo ão ddo por: q ( r ) d! d r r ( ) P Q p ( ) ( ) q pq r Pr ouro pólo múliplo, procd- d orm mlh. Exmplo: rormd ivr rá: ( ) q, q,..., q r p... pq q p q pq q pq q r q3 q ( ) pq r!...!... qr r pr p ( r )!,,..., r F ( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) L Exrcício: ( ) ( ) 3 ( ) [ ] [ F( ) ] F ( ) ( ) ( ) ( 3)( 4) imporâci d xpão m rçõ prcii xpão m rçõ prcii é écic mi impor pr obção d rormd ivr d Lplc d uçõ rcioi m. Um vz uprd diiculdd d colocção d F ( ) m orm ord d cálculo do ríduo, obção d rormd ivr é um procdimo rivil. Um obrvção impor r i é d qu o co d uçõ rcioi com pólo diio é o mi rqüm cordo práic. N co, i ipo d pólo podm ocorrr: Frcico. Louo

20 Sim Lir Erd/Síd 49 * pólo ri - qu podm r givo, ulo ou poiivo. * pólo complxo - com pr rl giv, ul ou poiiv. Qudo pr rl d um pólo complxo é ul, diz- qu o pólo é imgiário, ou imgiário puro. Como rormd d Lplc qu ão do coidrd ão rcioi, com o rpcivo poliômio do umrdor do domidor do coici ri, qudo houvr pólo complxo, l mpr prcrão m pr cougdo. Logicm, rçõ prcii corrpod mbém ocorrrão m pr cougdo. rormd ivr d um pr d rçõ prcii complx cougd é um ução co-oidl, com mpliud vrido xpocilm; pr rl do pólo di x d vrição do xpo d xpocil qu di vrição d mpliud, pr imgiári é rqüêci d ocilção, m rdio por gudo. Propridd : Tod ução rciol ão-rim própri pod r dmmbrd m um om d um poliômio d gru ( ) um ução rim própri, cuo domidor é o mmo d ução origil. Io é, ( ), é poívl dmorr qu F ( ) c B B... B B E dmmbrmo é io com b gui ididd: c... c c c... Frção ão - rim própri Quoci o Domidor Propridd 3: rormd ivr d um ução rciol ão rim própri poui ( ) compo impuliv Torm do vlor il pr rormd d Lplc rcioi Pr rormd d Lplc rcioi, o orm d vlor il pod r ucido d orm mi rigoro, blcdo d orm bolum iquívoc codiçõ m qu pod r udo. S () um ução do mpo, com um rormd d Lplc rciol F () ddo por: L [ ( ) ] F( ) P ( ) ( ) b b... b b b ( z )( z )...( z ) ( p )( p )...( p ) Q... b Frcico. Louo

21 Sim Lir Erd/Síd 5 Eão xiêci o cálculo do vlor il podm r blcido como gu: S rormd F ( ) ivr odo o u pólo com pr rl giv, ão o vlor il d ( ) é ulo. S F ( ) ivr um úico pólo ulo, odo o u dmi pólo ivrm pr rl giv, ão o vlor il d ( ) é co ão ulo, do ddo por: ( ) lim ( ) lim F( ) No dmi co, ( ) ão poui vlor il co. b Trormd d Lplc d vor mriz Pquir o livro coido bibliogri Ex.: ( ) [ ( ) ( )... ( ) ] dimão m, x( ) m x x x 3 ( ) ( ) M ( ) dimão ( ) l ( ) ( ) L m ( ) ( ) ( ) ( ) L m M i ( ) M ( ) L L ( ) M lm ( ) l ( ) ( ) L m ( ) ( ) ( ) ( ) L m M i ( ) M ( ) L L ( ) M lm 3.5- Covolução como: Covolução clr Sm ( ) ( ) g du uçõ clr. covolução d du uçõ é diid ( ) g( ) ( ) g( τ ) ( ) g( ) g( ) ( ) Torm d covolução: S uçõ ( ) ( ) rormd d Lplc orm F ( ) G ( ), ão: τ dτ (6) (7) [ ( ) g( ) ] F( ) G( ) g orm ul pr <, u L (8) Frcico. Louo

22 Sim Lir Erd/Síd 5 Frcico. Louo Exmplo: Covolução d um xpocil um o cui. N xmplo, o orm d covolução é uilizdo pr drmir rormd ivr d: ( ) ( )( ) F S ( ) F ( ) F D modo qu: ( ) ( ) ( ) F F F O orm d covolução ó pod r plicdo rpciv rormd ivr orm cui, ul pr <. Eão: ) ( )] ( [ ) (. u F L ) ( ) ( )] ( [ ) ( u F L im, mo: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] d τ τ τ N qução rior m-: ( ) [ ] ( ) ( ) τ τ τ τ τ Coidrdo- qu vriávl d igrção é τ ( vriávl é um co pr igrção), obém-: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ dod: ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ

23 Sim Lir Erd/Síd 5 Film: w ( ) g, Um pco ir d xmplo é rprção d ução o rvé d vriávi complx. Qudo chg o il do cálculo, pr imgiári d xprõ cclm, d modo qu o ruldo il rl. Io mpr coc qudo problm ri ão rdo com vriávi complx. Exmplo : Ecor ivr ( ) pr gui ução: Solução: F ( ) F( ) L ( ) ( ) 3 ( )( ) [ F( )] ( ). - Exmplo3: F ( ) F ( ) ( ) 3 ( ) 3 DENDO: Pólo zro Diimo o pólo d ução rciol F ( ) como do ríz do domidor o zro d F ( ) como ríz do umrdor. Vmo coidrr lgu digrm d pólo zro corrpod ii pdrõ. - Fução dgru u rormd d Lplc (Pólo Origm) Figur rird do livro: Sih, N.K. Lir Sym, Joh Wily & So, Nw Yor, 99. Frcico. Louo

24 Sim Lir Erd/Síd 53 b- Um xpocil u rormd (Pólo o ixo rl) c- Fução rmp u rormd (Pólo duplo origm) d- Fução coo u rormd - Fução o u rormd Frcico. Louo

25 Sim Lir Erd/Síd 54 - Fução coo morcido u rormd g- Fução o morcido u rormd Fuçõ o mpo u corrpod loclizçõ do pólo o plo Frcico. Louo

26 Sim Lir Erd/Síd 55 D digrm cocluímo: Fuçõ dcm xpocilm qudo poum pólo obr o ixo rl givo, do pr imgiári ul. O pólo zro corrpod à óid ão morcid ão obr o ixo imgiário, do pr ri ul; O pólo zro d óid morcid dvm r pr ri, imgiári complx. Quo mi o pólo ivr do d origm do ixo rl givo, mior rá u rzão d morcimo, ou, o pólo mi do d origm do ixo rl givo corrpod à xpocil qu dci mi rpidm. Coidrdo du od oidi mo qu: diâci d origm obr o ixo rpr rqüêci d ocilção, do quo mior diâci, mior rqüêci Fução d rrêci É diid como rzão r rormd d Lplc d íd (ução rpo) do im rormd d Lplc d rd (ução xcição) com codiçõ iicii ul. Coidr o im lir ivri o mpo diido pl qução dircil: d y d ( ) d y( ) m ( ) d u( ) m d u... y( ) bm bm b u m... m d d d od y ( ) é íd do im ( ) u é rd. ução d rrêci é obid plicdo- rormd d Lplc mbo o ldo d qução ob hipó d qu od codiçõ iicii ão ul. Fução d Trrêci G( ) Y U ( ) ( ) ( ) m m bm bm... b, > m... ução d rrêci é um propridd do im m i (é dd m rmo do prâmro do im) idpd d ução xcição. Porém, l ão proporcio qulqur iormção rliv à ruur íic do im (Fuçõ d rrêci d muio im iicm dir podm r idêic). Udo o cocio d ução d rrêci podmo rprr diâmic do im por quçõ lgébric m. mior poêci d o domidor d ução d rrêci é igul à ordm do rmo d mi l drivd d íd. S mi l poêci d é igul, o im é chmdo d -éim ordm. Exmplo: L () i i() C () Frcico. Louo

27 Sim Lir Erd/Síd 56 Lplc: di( ) L i d i C LI I C ( ) d ( ) C ( ) i( ) d ( ) o ( ) I( ) ( ) E o ( ) I C E i ( ) ( ) I( ) CE ( ) i o LC E Eo ( ) CEo ( ) Eo ( ) Ei ( ) ( ) o E ( ) LC C i Exrcício: -) Drmi ução d rrêci pr o circuio bixo: () i i() C () -) Coidr Fução d Trrêci: H ( ) ( ) ) Dh o digrm d Pólo Zro clcul mgiud o rgumo d H() com. b) Drmi o vlor d mgiud rgumo d H(), pr:,;,8;,;,; 5,;,; gim prm m im ioicm ávi Qudo rd plicd um im lir ão m prcl rióri, ão rpo priculr é rpo m rgim prm, dod como gu: y P ( ) lim y( ) À primir vi, qução pod prcr rh, á qu um ução o mpo é iguld um limi pr. O igiicdo é o gui: y P ( ) é prcl d y ( ) qu ão d zro qudo U (Trormd, m d impd qu l um ução o mpo. S ( ) Frcico. Louo

28 Sim Lir Erd/Síd 57 d Lplc d rd) ão ivr hum pólo com pr rl giv, ão rpo m rgim prm é dd por y P - L N D P P ( ) ( ) Por xmplo, u ( ) or um dgru, ( ) rgim prm rá co. S rd or oidl, d orm U co ( θ ), ( ) U m um pólo origm (); co, rpo m U rá um pr d pólo imgiário m ± ; ouro co, rpo m rgim prm rá oidl, com mm rqüêci do il d rd gim prm oidl Pr um im lir ivri o mpo cu rd u ( ), íd ( ) d rrêci oprciol G ( p), como: y ução u() G(p) y() Srá coidrdo qu o pólo do im m cohcido, d modo qu ução d rrêci po r cri m orm ord como: G( ) NG ( ) ( )( )...( ) dy( ) y( ) u d d p d py yp ( ) py( ) y( ) u( ) ( p ) y u y u ( ) ( ) ( p ) rd oidl coidrd é: u [ ] ( α ) ( α ) ( ) U co ( α ) ão, rormd d Lplc d rd é: U U α α U ( ) Como o im é coidrdo ávl, qudo rpo livr mpr m vlor il ulo, upõ codiçõ iicii ul. N co, rormd d Lplc d íd é: Y ( ) G( ) U ( ) U G ( ) α α α α U N G ( ) ( )( ) ( )... Frcico. Louo

29 Sim Lir Erd/Síd 58 Frcico. Louo coidrdo..., xprão cim dmi gui xpão m rçõ prcii ( ) b b Y * od ( ) ( ) [ ] Y ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) α α α G U G U Y b Coidrdo orm polr d ( ) G ( ) ( ) ( ) φ φ G G G Pod- crvr ( ) ( ) ( ) φ α φ α G U G U b D orm álog, obém-: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) φ α G U Y b * logo ( ) ( ) ( ) G U Y ) ( φ α φ α S ( ) G U Y φ α θ ão rormd ivr rá: ( ) ( ) Y y θ θ Film ( ) ( ) Y y co θ S o im or ávl ( ),...,, lim <

30 Sim Lir Erd/Síd 59 im, ic clro qu íd m rgim prm rá oidl, com mm rqüêci do il d rd. po d im ávi rd oidi, m rgim prm: Fig. () mpliicção d mpliud vço d ( φ > ); Fig. (b) ução d mpliud ro d ( φ < ) θ φ α φ rg y P [ G( ) ] θ α ( ) y ( ) lim y( ) Y co( θ ), pr, dá rlção d mpliud o âgulo d dgm r o ii d íd d rd, como: Y G ( ) U D quçõ, é ir impor obrvr qu ução d rrêci G ( ) φ ( ) rg [ G( ) ] θ α Frcico. Louo

31 Sim Lir Erd/Síd 6 ( ) G é cohcid como ução d rrêci o domíio d rqüêci. O gráico d G ( ) m ução d (ou [ Hz] ) é cohcido como curv d módulo do im, o π gráico φ ( ) é cohcido como curv d. du curv ão cohcid como digrm d rpo m rqüêci ou gráico d rpo m rqüêci. E du xprõ, um com éri d Fourir o pricípio d uprpoição d io, ão b d od écic pr proo d ilro ioizdor, o plicçõ idurii quo m lcomuicçõ. Um plicção impor é o proo d ilro pr limição d hrmôico íd d covror iriorizdo, d ouro lmo qu provocm diorçõ m od d ão corr, od o proo do ilro é io d modo qu mpliud d curv d módulo proxim d zro rqüêci do hrmôico qu dvm r limido. Exmplo: () i i() C () o 3.8- Digrm d bloco d im lir igrção r o divro compo d im diâmico lir im d corol pod r viulizd mi cilm rvé do digrm d bloco ucioi, ou implm, digrm d bloco. Um digrm d bloco é obido prir d quçõ diâmic do im. O bloco rprm uçõ qu cd ubim ou compo dmph, o digrm d bloco mor rlçõ r o ii o luxo do ii dro do im Elmo báico Pr o im lir, o digrm d bloco podm r coruído com p 3 ipo d lmo, qu ão: (I) Bloco: rpr oprção d muliplicção d rd pl ução d rrêci ou plo gho do bloco. O produo rul é íd. u G y y ( ) G( p) u( ) Muio im, priciplm o qu rlizm mpliicção d ii ou d poêci, rcbm rgi d o xr, o qu ão é cário idicr o bloco. Frcico. Louo

32 Sim Lir Erd/Síd 6 (II) Somdor: rpr um om lgébric d vriávi, qu ão rd, cd um d plo rpcivo il. íd do omdor é om rul. N lirur, o omdor é rprdo por: N igur cim, w, x y ão rd, idicdo qu z w x y (III) Poo d rird (Ididd ou miicção): dvm prcr mpr qu um il or rd pr mi d um omdor /ou bloco do digrm, como coc o im d corol com rlimção. igur bixo mor como podm prcr o poo d rird, vdo- qu xi um lxibilidd b grd pr colocr i poo o digrm. y y y y y Poo d rird (ididd) Corução d digrm d bloco O digrm d bloco é mpr obido prir d quçõ do im m udo. rgr báic pr obção d um digrm d bloco é: "O úmro d quçõ idpd cário uici pr obr um digrm d bloco complo d um im é igul o úmro d vriávi icógi." No- qu codição é mm pr qu o couo d quçõ h olução. Um digrm d bloco complo é qul qu prmi obr od vriávi do im, io é, rolvr o im. É ir obrvr qu o digrm d bloco d um im pod prr ob dir pco, dpddo d mir do méodo uilizdo pr obr quçõ. Ero, o dir digrm d bloco, obido pr um mmo im, orm impliicdo, od impliicçõ rão como ruldo mm ução d rrêci (ou gho) globl. Frcico. Louo

33 Sim Lir Erd/Síd 6 Exmplo : Digrm d bloco d um im complo. T θ,,α θ,,α B J J Ob.: J && θ J && θ J J ( ) B( & θ & θ ) ( ) & θ & θ ) d B d d B d ( ) T ( ) T d d J d d T J T T T T (codição d coiuidd) ( ) T d ( ) T d J J Digrm d bloco oprciol complo pr o im rociol Frcico. Louo

34 Sim Lir Erd/Síd 63 Obvim ão ivrmo irdo m viulizr o luxo d rgi do im pl obrvção do digrm d bloco, podmo grupr quçõ obr rlciomo d rd/íd qu impliicm o digrm d bloco pr o im. Exmplo : Digrm d bloco d um crg mcâic. T J N xmplo, d- obr um digrm d bloco dlhdo pr crg mcâic rociol. O digrm d bloco dv morr rlção r xcição (cougdo d ciomo) od rpo do im, ou, clrção vlocidd gulr o cougdo d rção d iérci d rio. Solução: O digrm d bloco ddo vi r coruído prir d quçõ mi impl od, d xprão d cougdo d rção d iérci, mo: B od T T (9) J T B T B B (3) Um vz cohcido proporciol T J. T J (cougdo d iérci), obém- clrção gulr α, qu é α ( ) TJ (3) J α p (od d p ) (3) d Eão, vlocidd gulr é dd por: ( ) α( ) T ( ) d ( ) p J J é codição iicil) (33) ( ( ) p ( ) pθ ( ) θ ( ) ( ) Frcico. Louo

35 Sim Lir Erd/Síd 64 Com quçõ (9) (33) corói- o digrm d bloco mordo, prido d xcição (T ) procurdo diir od vriçõ d ir. xcição prc qução (9), qu idic o uo d um omdor cu rd ão o cougdo d ciomo (T ) o cougdo d rio ( TB ), cu íd é o cougdo d clrção ( T J ); - d cordo com qução (3) T J dv r rd pr um bloco d gho, cu J íd é clrção gulr α ; - d cordo com qução (3) ou (33), α dv rr m um igrdor m cu íd r-á vlocidd ; - vlocidd dv rr um bloco d gho B pr qu h m u íd o cougdo T B, qu é gud rd pr o omdor, compldo im o digrm. No- qu o digrm pr 4 icógi ( T J, T B,α ), pr coruí-lo orm cári 4 quçõ idpd (9) (3) é odo qu quçõ (3) (33) ão quivl. Exmplo 3: i i o o i (34) i i o i o i i o o i (35) i _ o i o Frcico. Louo

36 Sim Lir Erd/Síd 65 Exmplo 4: v i i C - - v o v v v i o ( v v ) i o i vo ( ) i( )d v o ( ) i( ) C C p i( ) Cpv o ( ) No domíio d rqüêci V() i I() C V () o V () i _ V () C V () Frcico. Louo

37 Sim Lir Erd/Síd Codiçõ pr oprçõ d dircição igrção rm comuiv Sm doi im uio um mm rd No im, u ( ) or primiro um drivção, o ruldo ( ) íd y ( ), poro: y ( ) pu( ) u& ( ) x é igrdo, ruldo x (36) ( ) x ( ) x ( τ ) dτ ( ) y p ( τ ) dτ u( ) u( ) y ( ) u& (37) Coidrdo codiçõ iicii quiqur, rormd d Lplc d quçõ (36) (37) ão, rpcivm: X ( ) U ( ) ( ) u ( ) y ( ) u ( ) ( ) y ( ) X Y ( ) U (38) u or primiro um igrção o ruldo p, m guid, por um dircição. N co, No im, ( ) x rormd ( ) u( ) u( ) dτ ( ) x p ( ) px ( ) x ( ) y & τ (39) (4) ( ) x ( ) U X ( ) (4) Frcico. Louo

38 Sim Lir Erd/Síd 67 ( ) X ( ) x ( ) U ( ) x ( ) x ( ) U ( ) Y (4) Comprdo quçõ (38) (4), vê- qu ( ) Y ( ) U ( ) u( ) ( ) Y (43) y Poro, o doi im om rão quivl qução or ii, poi ó im íd do doi im rão igui. Evidm, qução brg o co d codiçõ iicii ul, qu é coidrdo com rqüêci m áli d riório Álgbr do digrm d bloco Todo digrm d bloco pod r modiicdo é rduzido um úico bloco quivl, pr o co d im com p um rd um íd. Cd modiicção m qu r i d orm ão lrr rlçõ r vriávi volvid. O couo d rgr pr modiicçõ báic do digrm d bloco é cohcido como álgbr do digrm d bloco. álgbr do digrm d bloco plic o digrm d bloco oprcioi quo bloco rqüêci. Dduçõ báic - Cc U() Y() G G X() U() G.G X() Y X ( ) GU ( ) ( ) G Y ( ) X ( ) G G U ( ) - Prllo U() G Y() G W() U() G G X() Y ( ) GU ( ) X W ( ) GU ( ) ( ) Y ( ) W ( ) Frcico. Louo

39 Sim Lir Erd/Síd roção (rlimção ou dbc) U() G() Y() b H() U(). G() -G() H() Y() b Y Y Y Y U U ( ) ± b H ( ) Y ( ) ( ) G( ) ( ) G( ) [ U ( ) ± H ( ) Y ( ) ] ( ) m G( ) H ( ) Y ( ) G( ) U ( ) ( ) G( ) ( ) m G( ) H ( ) 4- Dlocmo pr r x G() x x x G() x x G() x ( ) G x x 5- Dlocmo pr rá x ( ) G x Frcico. Louo

40 Sim Lir Erd/Síd Elimição d Bloco _ G C H H _ GH C C G( HC) C GH C H 7- grupmo d poo d om ( X Y ) C ± 8- grupmo 8- Bloco / Poo d Som ± G C G ± X X G 8b- Poo d Som / Nó C C ± ± X C C ± X C ± X Frcico. Louo

41 Sim Lir Erd/Síd 7 C C X ± X ± m Exmplo : G () _ G G 3 G 4 C() H H Exmplo : () G G C() H H H 3 Exmplo 3: H _ G G G3 _ C H G 4 Frcico. Louo

42 Sim Lir Erd/Síd 7 Exrcício: Drmi C pr o im H 3 G G G3 _ C H H 3.9- Digrm d luxo d ii rgr d Mo É um lriv pr o digrm d bloco. Cd vriávl é rprd por um ó cd bloco é rprdo por um rmo. Fo: é um ó com p íd. Sumidouro: é um ó com p chgd. Exmplo : G G - G 3 G 4 C - - H H H 3 Frcico. Louo

43 Sim Lir Erd/Síd 7 Exmplo: G G _ C H H H 3 Exmplo 3: Exmplo 4: Frcico. Louo

44 Sim Lir Erd/Síd 73 Exmplo 5: gr d Mo T ( ) ução d rrêci T P ( ) i i i úmro d cmiho diro C ( ) ( ) P gho d um cmiho diro (r rd íd) i ("gho" d od mlh) (produo d mlh qu ão ocm du du) (produo d mlh qu ão ocm rê rê)... i é o pr mlh qu ão ocm o cmiho diro Frcico. Louo

45 Sim Lir Erd/Síd 74 Exmplo: b L L h d i L 4 3 L l L 5 y P ( ) i i T i u P bxcd L b L chg L i 3 L 4 l L 5 m ( L L L3 L4 L5 ) ( L L L L4 L L5 L3 L L3 L4 L5 L L5 L4 ) ( L L L L L L ) 5 ( L 3 L4 L5 ) ( L3L4 L4 5) L 4 5 y T ( ) u P Exrcício: -) G 4 H G G G 3 C H H 3 Frcico. Louo

46 Sim Lir Erd/Síd 75 -) ( ) C 3-) G 4 G G G 3 _ C H H 4-) Dhr o digrm d bloco, o digrm d luxo d il rduzir: L i g i g i C i - - b i g rd i íd 5-) Udo órmul d Mo, drmir T (), pr o im rprdo, bixo, od: X ) T ( ) U ( ) T ( ) U ( ) 3( Frcico. Louo

47 Sim Lir Erd/Síd 76 6-) Dh o digrm d bloco o gráico do luxo d ii, pr o circuio bixo, dpoi drmi ução d rrêci d circuio. V () - - C - - C V () 7-) No im com doi qu mordo bixo, um com u álogo lérico, é igordo o io d iérci luídic umido qu o lmo do im ão lir. Ecrv quçõ d coiuidd d m m rmo do ívi d liquido h h. Dh o digrm d bloco o gráico do luxo d ii, pr im, dpoi drmi ução d rrêci pr l. Frcico. Louo