4. Modelos matemáticos de crescimento

Transcrição

1 2 Sumário (3ª aula) Exrcícios d consolidação (coninuação) 4. Modlos mamáicos d crscimno 4..Progrssão ariméica (variação absolua consan) 4.2.Progrssão goméricas (variação rlaiva consan) Exrcício 2) Compaibiliz numa única séri odos os valors do índic d rmunraçõs dos gsors, cuja composição foi alrada como sgu: Composição ans Composição dpois Progrssão lásica (com lasicidad consan) Nov Exrcício 2) > Cálculo da difrnça média (gomérica) uilização d rmo d corrcção muliplicaivo 3 4 Uilizando difrnça média gomérica rmo d corrcção muliplicaivo Composição ans Composição dpois Quocin nos anos sobrposos Média gomérica da difrnça > Trmo d corrcção,427 Facor d pondração d cada um dos ramos Composição ans 00% 00% 00% 00% 67% 33% 0% 0% 0% 0% Composição dpois 0% 0% 0% 0% 33% 67% 00% 00% 00% 00% Drminação do índic corrigido para cada um dos mss (parclas adiivas) Composição ans Composição dpois Nova séri Em qu Média gomérica [(+0.40)*(+.45)^0.5]- Em qu "48" no sgundo ramo 00*.4270*0.33 Em qu "05" no sgundo ramo 0*.4270*0.67 Em qu "43" no sgundo ramo 00*.4270*.00 O IPC do País Alfa aprsna a sguin volução dsd Jan. 200: Mss Janiro Fvriro Março Abril Maio Junho Julho Agoso Smbro Ouubro Novmbro Dzmbro O minisro das finanças do País Alfa afirma qu Nos úlimos 3 anos a inflação m-s manido abaixo dos 3%, ndo sido, m média, 2,6% Imaginando qu l s sava a rfrir à inflação anual homóloga, comn a afirmação. A inflação anual homóloga m Ouubro Ano an-pnúlimo (040-06)/06 2,36% Ano pnúlimo ( )/040 2,88% Ano úlimo ( )/070 2,62% [(+2,36%).(+2,88%).(+2,62%)]^(/3)- 2,62% (098/070)^(/3) 2,62%

2 7 8 Sabido qu no fim d 2000 o IPC valia Calcul a inflação homóloga média dos anos d 2002 d Cálculo do indíc d inflacção homóloga com bas no mês d Dzmbro d cada um dos anos: Dzmbro Dzmbro % 3,02 % ( )/995 Dzmbro % 2,44 % ( )/025 Dzmbro % 2,86 % ( )/050 Mss Mss Janiro Janiro Fvriro Fvriro Março Março Abril Abril Maio Maio Junho Junho Julho Julho Agoso Agoso Smbro Smbro Ouubro Ouubro Novmbro Novmbro Dzmbro Dzmbro Média gomérica Calcul a inflação média dos anos d 2002 d Mss Noa xplicaiva do cálculo Janiro ( )/000 Fvriro ( )/990 Março ( )/004 Abril ( )/005 Maio (...) Junho Julho Agoso Smbro Ouubro Novmbro Dzmbro Média gomérica (0.0257) (.028*.030*...*.024)^(/2) 3. Calcul a inflação acumulada dsd o início d Janiro d 2004 aé ao final d Ouubro d Posso calcular a axa d inflação mnsal somar odas ou: Índic d prços m: Dzmbro Ouubro Posso calcular a axa d inflação mnsal somar odas. Índic d prços m: Dzmbro Ouubro Uma oura forma aproximada: Mss Noa xplicaiva do cálculo Janiro ( )/080 Fvriro (0.009) ( )/085 Março ( )/075 Abril ( )/082 Maio 0.00 Junho Julho Agoso Smbro Ouubro (0.002) Novmbro Dzmbro

3 3 4 Modlos óricos d crscimno O mundo sá m prmann mudança A mpraura sá a diminuir O dsmprgo sá a aumnar O prço do prólo sá a dscr A idad média da população sa a aumnar Os prços são a subir A axa d inflação sá a dscr Ec. Modlos óricos d crscimno Dv sr possívl nquadrar a variação num modlo mamáico Em rmos mpíricos, apnas s md a ralidad a cros inrvalos: A cada smana, A cada mês, A cada rimsr, A cada smsr, A cada ano, A cada 0 anos. 5 6 Modlos óricos d crscimno Enão, podmos pnsar qu o valor d um drminado indic no príodo sá rlacionado com o valor qu l inha no príodo -. Um pais qu s ano m um PIBpc d 000 $, quano rá ido no ano passado? 500$? 980$? 027$ 5000$? As séris conómicas êm muia inércia porqu: São valors agrgados Exism rsriçõs à sua variação (capial, ducação, c.) Modlos óricos d crscimno Podmos dizr qu A) A cada príodo qu passa, o PIBpc aumna 0$. PIBpc() PIBpc(-) + 0$ B) A cada príodo qu passa, o PIBpc aumna 3% PIBpc() PIBpc(-) x ( + 0,03) Progrssão ariméica (variação absolua consan) No caso A), a séri sofr uma variação absolua para cada príodo qu passa, PIBpc() PIBpc(-) + 0$. Chama-s a s ipo d séri uma Progrssão ariméica. Por ouras palavras, m cada príodo acrscna-s uma consan ao valor do príodo anrior. Por xmplo, s ano vndram-s 30 vículos prvê-s para os próximos 5 anos um aumno nas vndas m 0 vículos por anos. Assim prvê-s qu as vndas srão d 40; 50; 60; vículos, rspcivamn. 4. Progrssão ariméica (variação absolua consan) Em rmos mamáicos o modlo d variação absolua consan pod r a sguin forma: I I + ( ) b (dados o rmo inicial I a variação absolua b). Também s pod rprsnar a séri na forma rcursiva: I I + b, dados I - b.

4 Progrssão ariméica (variação absolua consan) O incrmno b é qualqur coisa por unidad d mpo Por xmplo, a variávl é o pso m quilogramas d um lfan m qu nos primiros 6 mss aumna 7,5 kg por dia. Em vz do mpo, pod sr oura variávl, por xmplo o pso d um avião diminui 3kg por km prcorrido (consom o combusívl). 4. Progrssão ariméica (variação absolua consan) O incrmno b é qualqur coisa por unidad d mpo E pod sr nndido como uma função conínua o + b. T ou o + b. (T -To) Num aviário, por cada kg d ração qu as galinha comm, aumnam o pso m,2 kg. o + b. ( -0) 0 b 0 No limi, d b d Progrssão ariméica (variação absolua consan) O incrmno b é qualqur coisa por unidad d mpo E s ivrmos um índic,.g., o IPC? Quais são as suas unidads? Não m unidads ponos. Por xmplo, o índic o IPC aumna,5 ponos por mês. Há graus (o alcoólico, mpraura), valors (noas). 4. Progrssão gomérica (variação rlaiva consan) No caso B), a séri sofr uma variação rlaiva para cada príodo qu passa, PIBpc() PIBpc(-) x,03. Chama-s a s ipo d séri uma Progrssão gomérica. Por ouras palavras, m cada príodo acrscna-s uma prcnagm ao valor do príodo anrior. E.g., s ano vndram-s 30 vículos prvê-s para os próximos 5 anos um aumno nas vndas m 0% ao anos. Assim prvê-s qu as vndas srão d 43; 57; 73; vículos, rspcivamn A forma rcursiva é: I I R, dados o primiro rmo I - a razão R I I R ( ), dados o primiro rmo I a razão R Exmplo: sndo I 00 R,5, para sucssivos momnos, rmos: A forma xplícia é I I R ( ), dados I R > I 00 x,5 (-) 00 x 00 2 > I 2 00 x,5 (2-) 00 x,5 5,00 3 > I 3 00 x,5 (3-) 00 x, ,25 4 > I 4 00 x,5 (4-) 00 x, ,0875 (...)

5 25 26 Drminação dos rmos da séri para sucssivos valors d Variação Variação Trmos absolua rlaiva I 00 x,5^(-) 00 x > I2 00 x,5^(2-) 00 x,5 5, > I3 00 x,5^(3-) 00 x, , > I4 00 x,5^(4-) 00 x, , > I4 00 x,5^(5-) 00 x, , Ond: ,25-5, ,3/5.0 9,8/32,25 22,8/52, É ns snido qu s diz qu na progrssão gomérica s obsrva uma variação rlaiva (uma fracção ou prcnagm) do índic consan d príodo para príodo. Normalmn, m mamáica financira considra-s uma axa d variação, r, m vz da razão, sndo R ( + r). No xmplo anrior R,5 logo r 0,5 podndo ambém s valor sr inrprado como r 5% por unidad d mpo. r é muias vzs usado para simbolizar a axa d juro qu s aplica a um drminado capial inicial (C 0 ), duran um drminado príodo (), para s chgar a um drminado capial no final (Cn). A séri pod sr crscn (quando a axa d variação r é maior qu zro) consan (r 0 ) ou dcrscn (r < 0) I I R ( ), dados o primiro rmos I a razão R A séri gomérica s logarimisada ransforma-s numa séri ariméica d rmo inicial Ln ( I ) incrmno Ln (R) : Ln( I ) Ln( I) + ( ) Ln( R) ou Ln( I ) Ln I Ln( R ( ) ) + A séri gomérica s logarimisada ransforma-s numa séri ariméica d rmo inicial Ln ( I ) incrmno Ln(R) : Ln( I ) Ln( I) + ( ) Ln( R) ou Ln( I ) Ln( I ) Ln( R) >aplicando a forma rcursiva + Usando o xmplo anrior ond ínhamos qu: I I R ( ),sndo I 00, R,5, para o caso m qu 2,3 inhamos: 2 > I 2 00 x,5 (2-) 00 x,5 5,00 3 > I 3 00 x,5 (3-) 00 x, ,25 Ln (32,25) Ln (5) + Ln (,5) <> 4,885 4, ,40 4, Propridads da progrssão gomérica: a) A soma d odos o rmos obém-s pla sguin xprssão: T T R I I R Propridads da progrssão gomérica: c) Muliplicando uma consan a ao rmo inicial, odos os rmos subsquns da séri vêm muliplicados por ssa consan: Z ( ) ( ) ( ) ( a I ) Z Z R ( a I R a I R ) b) Somando uma consan a ao rmo inicial, odos os rmos subsquns da séri vêm proporcionalmn aumnados pla consan muliplicada plos incrmnos: Z ( a + I ) ( ) Z Z R ( a + I) a R ( ) + I R ( ) R ( )

6 Progrssão lasicidad (com lasicidad consan) Considramos aé agora qu a variação aconc quando o mpo é incrmnado m um príodo. Mas o aumno pod sr não do mpo mas d uma quanidad d qualqur coisa. Por xmplo, a carga ransporada por um avião aumna 80 kg por cada passagiro a mais (m média) variação absolua: séri ariméica. Ouro xmplo srá qu o consumo por passagiro d um avião diminui 2% por cada passagiro a mais (m média) variação rlaiva: séri gomérica. 4.3 Progrssão lasicidad (com lasicidad consan) Mas xism variávis qu aumnam d forma lásica E.g., quando as xporaçõs aumnam m,0%, as imporaçõs aumnam m 0,8% Traa-s d um aumno rlaivo d uma variávl quando ouro ambém sofr um aumno rlaivo: S num avião o númro d passagiros aumnar m,0%, a rnabilidad da viagm aumna m,8% Progrssão lasicidad (com lasicidad consan) Em rmos mamáicos discros rmos qu O limi m rmos conínuos srá: d d 4.3 Progrssão lasicidad (com lasicidad consan) O modlo mamáico d lasicidad consan (isoláico) conínuo é conhcido por função d Cobb-Douglas m a forma sguin: A Podmos confirmar qu rprsna a lasicidad nr (qu quando varia %, varia %), é consan (não varia com nm com ): d ε ε d d d A A A A Progrssão lasicidad (com lasicidad consan) Exis um valor paricular para a lasicidad, a lasicidad uniária,, qu spara as rlaçõs lásicas (com lasicidad maior qu ) das rlaçõs inlásicas (lasicidad mnor qu ). Por xmplo, dizr qu as imporaçõs são inlásicas ao prço qu dizr qu s o prço das imporaçõs aumnar %, as imporaçõs diminum mnos do qu %. 4.3 Progrssão da axa d inflação Há séris qu são prcnagns: A axa d inflação (2,3%) A axa d ocupação do hol (73,5%) A axa d juro (3,02%) Como digo quando nho uma séri ariméica d uma axa? E.g., a axa d inflação na década d 85 a 94 foi 8,0%, 7,5%, 7,0%, 6,5%, 6,0%, 5,5%, 5,0%, 4,5%, 4,0%, 3,5% Quano variou por ano?

7 Progrssão da axa d inflação E.g., a axa d inflação na década d 85 a 94 foi 8,0%, 7,5%, 7,0%, 6,5%, 6,0%, 5,5%, 5,0%, 4,5%, 4,0%, 3,5% Quano variou por ano? 4.3 Progrssão da axa d inflação É como s as prcagns ivssm uma unidad, os p.p.s Não srá incorrco dizr qu a axa d inflação foi d 2,3 p.p Dnominamos sas variaçõs absoluas d axas como p.p. Mas é mais normal dizr qu foi 2,3% (qu é 0,023) Qur iso dizr Ponos Prcnuais Nssa década, a axa d inflação diminuiu 0,5 p.p. por ano. No nano, nas bass d dados é normal aparcr m p.p. E.g., 7, Progrssão da axa d inflação Mas ambém posso r variaçõs rlaivas da axa d inflação 4.3 Progrssão da axa d inflação Nos dois mss d Sanana, o dsmprgo aumnou 5% Srá uma variação rlaiva d uma variação rlaiva Era 8% passou para 8,4% A axa d inflação ra d 3% aumnou duran o mandao do Gurrs a uma axa d 5% ao ano 3,00% 3,5% 3,3% 3,47% 3,65% 3,83% É um aumno d 0,4 p.p Modlos mamáicos d crscimno Imaginmos as sguins variávis: Consumo d combusívl d um avião m viagm, m liros por hora Pso oal d um avião m viagm, m onladas S dizmos: O avião ficou mais lv 0,5 onladas nas úlimas duas horas (gasou combusívl) Aplamos ao concio d variação absolua (na variávl pso do avião). Por cada on. a mnos no pso do avião, s gasa mnos 0% d combusívl por hora Aplamos ao concio d variação rlaiva (sou a mdir o fio prcnual qu uma variação d uma unidad na variávl m sobr a variávl ). Por cada rdução d % no pso do avião, s gasa mnos 2% d combusívl por hora Aplamos ao concio d lasicidad (sou a mdir o fio qu uma variação prcnual na variávl m m rmos ambém prcnuais na variávl ). 4 Modlos mamáicos d crscimno Rsumindo: Variávl Variávl Concio d variação Variação m valor (uma unidad) Variação m valor Variação absolua Variação m valor (uma unidad) Variação m prcnagm Variação rlaiva Variação m prcnagm Variação m prcnagm Elasicidad