A TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 A TRANSFORMADA DE APACE Prof M Ayron Barboni SUMÁRIO INTRODUÇÃO TRANSFORMADA DE APACE Dfinição Cálculo da ranformada d aplac Exrcício rolvido 4 4 Exrcício propoo 8 TRANSFORMADA INVERSA DE APACE 9 Exrcício propoo Torma da ranlação obr o ixo Torma da ranlação obr o ixo 4 Exrcício propoo 4 5 Ouro xrcício obr orma d ranlação 5 4 FORMAS DE APRESENTAR UMA FUNÇÃO CONTÍNUA POR PARTES 6 4 Exrcício propoo 9 5 FUNÇÕES PERIÓDICAS 5 Exrcício propoo 5 Torma: Tranformada d uma função priódica 5 Exrcício propoo 6 CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA A EXISTÊNCIA DE F() 7 TEOREMA da TRANSFORMADA da DERIVADA d UMA FUNÇÃO 8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 6 8 Exrcício rolvido 6 8 Exrcício propoo 9 RESOUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9 Rolução do xrcício propoo m 4 9 Rolução do xrcício propoo m 5 9 Rolução do xrcício propoo m Rolução do xrcício propoo m Rolução do xrcício propoo m Rolução do xrcício propoo m Rolução do xrcício propoo m Rolução do xrcício propoo m 8 48 Bibliografia 56

2 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni A TRANSFORMADA DE APACE INTRODUÇÃO A propoa n rabalho é a d obr oluçõ d quaçõ difrnciai linar: ( n) ( n ) an y an y a y'' a y' a y f ( ), com coficin a, a, a,, an a n conan, com f ndo conínua m [, [ ujia a condiçõ d valor inicial: y() y, y'() y,, y () y( n) O proco, aé aqui udado, d obnção da olução d uma quação difrncial linar com coficin conan d valor inicial coni m nconrar: a) a olução y h da quação homogêna: ( n) ( n) n an y a y a y'' a y' a y b) a olução paricular y p da quação não-homogêna: ( n) ( n ) n an y a y a y'' a y' a y f ( ) c) a olução gral da quação difrncial não-homogêna: yg yh yp d) o valor da conan arbirária d y G a y h, d modo qu andam a condiçõ iniciai ablcida A ranformada d aplac implificam o proco d rolução d uma quação difrncial uilizado para a obnção d y G andndo a condiçõ iniciai Ela ranformam uma quação difrncial numa Equação Algébrica com oda a condiçõ ablcida inclua, apó r rolvida, ua olução é ranformada d modo invro obndo- y G, procdimno é conhcido como invrr a ranformada Porano, não é ncário calcular y, y nm drminar a conan ( n) arbirária qu andam a condiçõ iniciai aprnada, conform o roiro acima TRANSFORMADA DE APACE Dfinição h Qurmo conciuar a ranformada d aplac morar qu la é um oprador linar Suponhamo qu f ja uma função conínua m [, [ A ingral F( ) f ( ) d, p * () rá chamada d ranformada d aplac d f, a ingral for convrgn aplac, Pirr Simon (749 87) foi mamáico, fíico arônomo A função f podrá r ccionalmn conínua, io é, m qualqur inrvalo a b, com a,b, conidrado m [, [, xiir um númro finio d pono d dconinuidad, no quai o limi larai d f ão finio f é conínua no ubinrvalo d [a, b] A função f pod ar rprnando volagn ou força d grand innidad, agindo por curo príodo d mpo hp://igooglcom/i/ayronbarboni

3 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni A função d dua variávi d nnça K(,) = *, com, é chamada d núclo da ranformada d aplac É vidn, m (), qu a ingral d [K(,) f()] m rlação a rul na função F d variávl A variávl prmanc conan duran o proco d ingração Noação: F ( ) f () d { f ( )} Cálculo da Tranformada d aplac A ranformada d aplac, m (), é dfinida por uma ingral no inrvalo [, [, cao a ja convrgn O fao d um do xrmo r mai infinio indica qu é uma ingral imprópria Porano, a ranformada é obida plo limi da ingral dfinida d aé A, ond A nd para infinio Aim, A { f ( )} f ( ) d lim f () d, o limi xiir for finio A Cao o limi não xia ou é infinio, a ingral é divrgn a ranformada d aplac não ará dfinida OBSERVAÇÃO : A ranformada d aplac é um oprador, poi ranforma uma função m oura função No cao, f() m F() mdian ingração A ingração é um oprador, poi ranforma, por xmplo, a função ral d nnça f ( x) x, x, na família d funçõ F( x) x C, C A difrnciação é ambém um oprador, vio qu ranforma F( x) x C, C m f ( x) x, x A opraçõ d difrnciação ingração ão linar, la ranformam uma combinação linar d funçõ numa combinação linar d ranformada Para rai, d ( ) ( ) [ f ( x) g( x)] df x dg x dx dx dx [ f ( x) g( x)] dx f ( x) dx g( x) dx cada ingral cada drivada xiirm O fao da ranformada d aplac r dfinida por uma ingral gu qu la m a propridad da linaridad: { f ( ) g( ) } f ( ) g( ) Exmplo : Sja f() =, Tmo qu: A {} ( ) d lim d lim A A, io é, A hp://igooglcom/i/ayronbarboni

4 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni A * {} lim, A Cao <, o limi da primira parcla da difrnça indicada ndrá a a gunda ndrá a +/ (finio) A difrnça é valor infinio ogo, a ingral é divrgn ogo, a ranformada d aplac não á dfinida Cao >, o limi do primiro rmo da difrnça ndrá a zro (finio) o limi do gundo rmo ndrá a +/ (finio) Aim, a ingral é convrgn Porano, a ranformada d aplac d f() =,, xi é, {}, Exmplo : Sja f() = /, *, io Tmo qu: A d lim A d () Cálculo da ingral indfinida I d Fazndo du u, m- d du, ambém, d Subiuindo a igualdad na ingral indfinida, rmo: I u u du du u u Conidrando o dnvolvimno d u m éri d poência, vê-: u u u ( ) u!! u u I du du ( u u!! ) du u Ingrando, I u u ln u u!! C, C I ln( ) ( ) ( ) ( )!! C, C () Vmo, na nnça acima, qu ln( ) xi omn < Subiuindo a xprão () m (), gu qu: A ( ) ( ) lim d lim ln( ) ( ) A A!! A ( A) ( A) ( ) ( ) lim ( ln( A) ( A) ) ( ln( ) )!!!! ( A) ( A) ( ) ( ) lim ln( A) ( A) lim ln( )!! A!! A [ ] [éri convrgn = valor finio] Porano, não dfin a ranformada d aplac d f() = /, A hp://igooglcom/i/ayronbarboni

5 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Exrcício rolvido Obr a ranformada d aplac da funçõ rai d variávl ral dada pla nnça abaixo: ) f() =, Tmo qu: {}, (Exmplo rolvido acima) ) f() a,, a A ( a) lim ( a) lim A A ( a) { a} a d d a { } lim A ( a)a ( a) ( a) S ( a) <, não o limi é infinio a ingral divrgn S ( a) >, não o limi é finio igual a /( a), logo, a ingral é convrgn A Daí, a { }, a a Noa: Analogamn rmo: a { }, a a ) f ( ) a,, ndo a i númro complxo a A a lim ( a) A { } d d A ( a) ( i ) A ( ) A i A lim lim lim ( a) ( a) ( a) ( a) ( a) A A A lim A ( ) A co( A)+ in( A) ( a) ( a) A idnidad d Eulr no prmiiu ubiuir i A por co( A)+ in( A) Vmo qu, ndo >, = R(a), o limi na primira parcla acima é igual a zro, vio qu: ( ) A A i A A A lim lim co( ) + n( = = ) (limiado) Daí, a { },, ndo a i a hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

6 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 4) f ( ) coh( k),, k k k Sab- qu coh( k), pla obrvação, a ranformada d aplac m a propridad da linaridad Enão: { coh( )} { k k } { } Aproviando o rulado do xrcício rolvido, gu qu: { coh( k) } k k, com k k ogo, ( k) ( k) { coh( k) }, k k k { coh( )} k k, k k 5) f ( ) nh( k),, k k Sab- qu n h( k) linaridad do xrcício 4, mo: ( k) ( k) { n h( k) } k k Uilizando o mmo procdimno da k k 6) f ( ) co( k ) f ( ) n( k ),, k, k Podmo viar o cálculo, d ingração por par, da ranformada d aplac da funçõ conidrarmo a idnidad d Eulr: ik co( k ) in( k ) ik co( k ) in( k ), daí, mo qu: ik ik co( k) ik ik in ( k) Aim, ik ik co( k) ik ik n( k) i Uilizando a propridad da linaridad da ranformada d aplac, mo: ik ik { co( k) } { } { } i k i k ik ik, i k k Noa: A condição > val para a par ral do númro complxo z = + i k (x) Analogamn, { n( k) } { ik } { ik } i i i i k i k hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

7 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni ik k i i k k, Noa: A ranformada d aplac da funçõ co(k) ou n(k) podm r obida uilizando-, diramn, a dfinição d ranformada: { co( k) } co( k) d (Aplicar o méodo d ingração por par) I n( k ) co( k ) I I C k k k n( k ) co( k ) [ k n( k ) co( k)] C I C k k k Tmo qu: co( k) d, daí, I k ogo, { co( k) } { co( k) } [ k n( k ) co( k)] lim k A Conidrando >, m- r limiado, gu qu: A [ k n( ka) co( ka)] [ kn() co()] lim A k k lim A [ k k k A { } A plo fao d n( A) co( A)] co( k ),, k k Analogamn, ( k ),, k k {n } k n 7) f ( ), Acrdiamo qu a ranformada d aplac d n rá mlhor nndida conidrarmo o cao: Aim, Aim, a) n = { } d d { } ( vr Ex() ), { } { } b) n = { } d d { } c) n =!, { } { } hp://igooglcom/i/ayronbarboni 6

8 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Aim, d d { } { } d) n = 4!!!, { } { } d d { } { } Aim, 4 4 4! 4! 4! { } { }, 4 4 Gnralizando, { n} n! n, Noa: Pqui obr a função Gama faça uma dmonração formal d { n } Ou, não, apliqu a dfinição da ranformada guindo, ucivamn, a poência dcrcn d n ( )( ) aé obr { n n n n } F{} n c 8) u( c), c, conhcida como função dgrau uniário c ou função Haviid (Olivr Haviid, mamáico inglê - Camdn Town, ondr (85 95) { } c A c A c c u( c) d d lim d, Tabla : Rumo da ranformada d aplac calculada acima f() { f ( )} F( ) Domínio d F n, n,,, n! n a R{ a} a 4 coh( k) k k 5 n h( k) k k k 6 co( k ) k 7 n( k) k k 8 u( c) c hp://igooglcom/i/ayronbarboni 7

9 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 9) f ( ) 75 8n(5 ), Sabndo- qu a ranformada d aplac m a propridad da linaridad uilizando a abla, mo qu: { f( )} { 7 5 8n(5 ) } {} 7 { 5 } { 8n (5)} 7 { } 5 { } 8 { n(5 ) } ) 5 f ( ) 4coh(5 ) co(7 ) 6, Sabndo- qu a ranformada d aplac m a propridad da linaridad uilizando a abla, mo qu: 5 { f( )} { 4 coh( 5) co( 7) 6 } 5 { } { 4coh(5 ) } { co(7 ) } { 6 } 5 { } 4 { coh(5 ) } { co(7 ) } 6 { } 5! Exrcício propoo Obr a ranformada d aplac da funçõ rai d variávl ral dada pla nnça: ) f() = + 5, R: 5, ) a b c f () a b c, a, b c rai R:, ) 5 f ( ) 7 7 R:, ) f ( ) R:, 5 5) f ( ) co ( / ) R:, 6) f ( ) n ( / ) R:, 7) f ( ) n( )co( ) R:, 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 8

10 Tranformada d APACE 8) f ( ) u( ) 4 u( ) 9) ) f() n( ) / f() / ) f() Prof M Ayron Barboni 4 : R, R:, R:, ) ( ( ) R:, TRANSFORMADA INVERSA DE APACE Prndmo obr uma função f a ua ranformada d aplac for conhcida E proco d conguir f() a parir d F() é conhcido como invrr a ranformada Porano, F( ) { f ( )}, não a ranformada invra rá dada por { F( )} f ( ) Exmplo : n! ) Dada F (), pd f ( ), n n! Uilizando a Tabla, { F( )} f () n n Noa: A ranformada invra ambém m a propridad da linaridad ) Dado qu F () a, a a a, pd f ( ), () a F a a a n( a), a 7 ) Dado qu F (), pd f ( ), 7 5 Dcompondo F() m fraçõ parciai, mo qu: Uilizando a propridad da linaridad abla, gu qu: F () 5 5 Ouro modo: hp://igooglcom/i/ayronbarboni 9

11 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni F () coh( ) nh( ) Exrcício propoo Obr a ranformada invra d aplac conidrando a nnça:! ) F( ), R : f ( ) 4 4!! 5 ) F( ), R: f( ) 5 n(5 ) ) F( ), R: f( ) co( ) n( ) 9 5 4) F( ), R : f() ) F ( ), R : f ( ) ( ) 5 4 6) F( ), R : f ( ) 6 5 ( )( ) 4 5 7) F( ), R : f ( ) ( )( ) 8) F( ), R : f ( ) [ n( )] 4 4 Torma da ranlação obr o ixo O orma mora qu, conhcida a ranformada d aplac d uma função f, { f ( )} F( ), é poívl obr a ranformada d aplac d um múliplo c xponncial da função, io é, { f ( )} F( c), c A imporância do fao é vrificar qu a ranformada d aplac d f() c muliplicada pla xponncial, c, m o u gráfico cariano dlocado d c unidad obr o ixo m rlação ao gráfico d F() E orma é conhcido como º orma da ranlação ou do dlocamno hp://igooglcom/i/ayronbarboni

12 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni F F( ) F( - c ) k k + c c ºTorma: S { f ( )} F( ), > k, não { f ( )} F( c), > k + c, k, c Exmplo 4: Prova: { ( )} ) Obnha { 5 } c c ( c) f f ( ) d f ( ) d F( c), c = ( > ) f () = 5 Tmo qu { 5 } 5! F () (vr abla-()) E, plo orma, 6 O gráfico foi dlocado unidad à diria d F() 5 5! { } F ( ) 6 ( ) ) Obnha { co( )}, c (< ) f () = co() Tmo qu { co( ) } F () (abla-(6)) E, plo orma, { co( ) } F( ) ( ) O gráfico foi dlocado unidad à qurda d F() Noa: A ranlação parc impl ubiuição d por ( c) na ranformada d f OBSERVAÇÃO :, daí, A ranformada invra { F( c)} é obida do guin modo: a) drmin { F( )} f ( ), dpoi, b) mulipliqu f() por c, c { ( )} c c F c { F( )} f ( ) hp://igooglcom/i/ayronbarboni

13 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Exmplo 5: k ) Dado qu F( c), pd obr { F( c)} ( c) k k a) Tmo qu { F ( )} nh( k ) f ( ) k b) muliplicando f() por c, c, gu qu ( abla - (5)) c c c { F( c)} { F( )} f ( ) nh( k) c ) Dado qu F( c), pd obr { F( c)} ( c) k a) Tmo qu { F ( )} coh( k ) f ( ) k b) muliplicando f() por c, c, gu qu ( Tab-(6)) c c c { F( c)} { F( )} f ( ) coh( k) Tabla : Torma da Tranlação c * f { c f ( )} F( c), c c n n n! 9 (),,,, c n( k) c co( k) c nh( k) ( c) n k ( c) k c ( c) k k º Tor Tranlação c c c c ( c) k k c c ( c) k { f ( c) u( c) } c { f () } ºTorTranlação 4 c coh( ) 5 u( c) f ( c) 6 u( c) f ( ) { f ( ) u( c) } c { f ( c) } 7 Tranformada Invra (vja m ) ºTorTranlação c * (vja Obrvação ) { F( c)} { F( )}, c º Tor Tranlação Torma da ranlação obr o ixo * O orma diz qu a ranformada d aplac d f( c) u( c), c, rula no produo da xponncial c por F (), ond F () é a ranformada d f () E orma é conhcido como º orma da ranlação ou do dlocamno hp://igooglcom/i/ayronbarboni

14 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni ºTorma: S { f() } F ( ) * c, não { f ( c) u( c)} c F() Vio qu Prova: { f( c) u( c)} f( c) u( c) c c u( c), gu qu: c f c c f c d f( c) u( c) d f( c) u( c) { ( ) u( )} ( ) d (I) c Fazndo ubiuição d variávl: w = c, rmo: = w + c d = dw O novo xrmo d ingração para = c m (I) é w = Aim, ( ) { f( c) u( c)} wc f( w) dw c w dw c f ( w) Enndmo qu a ranformada invra d F() dlocada ao longo do ixo m c unidad a parir da origm Exmplo 6: c c { f() } d rula na função f ) { co ( ) u( ) } F ( ) Ond F () { f( )} {co( )}, ié, f() m a ranlação d, daí, ( ) ( ) { co u } ) { co7 ( ) u( ) } F ( ) Tmo qu F () { f( )} {co(7 )}, io é, conidramo f() m ranlação d, daí, plo 7 gundo orma, { co 7( ) u( ) } 7 5( ) 5 ) { ( ) } F () { u } 5 5 Invra do º Torma da ranlação: { c F( )} f ( c) u( c) 4) (abla - 5) 9 Tmo qu c, F () F () f ( ) co( ) (Tabla-linha 6), co(( )) u co u, (Tabla-linha 5) 9 logo, 5) 7, 7 hp://igooglcom/i/ayronbarboni

15 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Tmo qu c, 7 F () 7 7( ) logo, u 6)! ( 7) Tmo qu c, F( 7) ( 7), 7 () () 7 (Tabla-linha), F f, (Tabla-linha5)!! F( 7) F( )! ( 7) f () 7( ) (Tabla-linha), logo, ( ) u OBSERVAÇÃO :, (Tabla-linha5) S djarmo obr a ranformada d aplac do produo f() u( c), ond f não m a forma d ranlação f ( c), conform xig o ºTorma, dvrmo procdr uma mudança d variávl para qu f fiqu na forma rqurida: c { f( ) u( c)} d f( ) d Fazndo c w rmo: wc d d w Sndo = c, não o xrmo infrior da ingral rá w = Daí, Exmplo 7: c { f ( ) u( )} f ( w c) ( ) c w c dw ogo, { f ( ) u( c)} f ( w c) dw { f ( c)} c w c c ) { u( c)} {( c) } c c { cc } { } c { } c {} c c c c c c c c ) {co( ) ( )} u {co( )} { co( )} {co( )} ) {n( ) ( )} u {n( )} 4 Exrcício propoo { n( )} { n( )} Obnha a função corrpondn: ) {( ) u( )} ) {( ) u( )} R R hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

16 Tranformada d APACE ) { u( )} 4) {( 5) u( )} 5) { u( )} Prof M Ayron Barboni R R R ( ) 6) 5 4, R n h[( 5)] u( 5) 7) 4, R co h[( )] u( ) 8) ( ) 9, R ( ) co[( )] u( ) 9) ( ) 9 5, ( 5) R n[( 5)] u( 5) Obr a ranformada invra d aplac conidrando a nnça: 4 ) F( ), ( ) ( ) 4 ) F( ), ( ) ( ) 8 ) F( ), ( ) ) F( ), ( ) 5 5 : ( ) [ ] R f (5 ) R : f ( ) 9 ( ) R f : ( ) : ( ) ( ) R f 5 Ouro xrcício obr o orma d ranlação ) ) ) 4) 5) Obnha a ranformada d aplac { } R ( ) { } R 4! ( ) { ( ) } R ( ) ( ) ( 4) {( 4 ) co(5 )} ( 4) R 5 ( ) 5 ( 4) n( ) R ( ) ( ) / 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

17 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni R 6) { u( )} R 4 7) {co( ) u( )} 8) {n( ) u( / )} / R Obnha a ranformada invra d aplac 9) R ( ) ) R n( ) 6 ) R ( ) ) R ( ) u( ) ) R n( ) u( ) 4) R ( ) ( ) u( ) u( ) / 5) R co( ) u( / ) 4 6) R ( ) ( ) 7) R ( ) ( ) 4 FORMAS d APRESENTAR UMA FUNÇÃO CONTÍNUA POR PARTES É habiual aprnar funçõ por par com dua ou mai nnça mamáica, qu raduzm a rfrida função m cada um do u inrvalo d coninuidad Conidrmo, como xmplo, a função f, ond h g( ), c f() f g * h( ), c, c c hp://igooglcom/i/ayronbarboni 6

18 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Prndmo runir a nnça mamáica d f m uma ó nnça Uilizarmo, para io, a função dgrau uniário (Haviid):, c u( c) *, c, c Tmo, n xmplo, qu: f ( ) g( ) g( ) u( c) h( ) u( c) (I) Juificando a nova forma d f : Supor qu g h jam dfinida coninua m [, + [ A parcla [g() g() u( c)] da nnça d f rringm g() ao inrvalo [, c[, vio qu:, c g( ), c g( ), c g( ) [ g( ) u( c)] g( ) g( ), c g( ) g( ), c, c (II) A parcla [h() u( c)], qu compla a nnça d f, é al qu:, c h( ) u( c) * h( ), c, c Porano, a parcla adicionada a [g() g() u( c)], manrá o valor d g no inrvalo [, c[, ainda, aplicará o valor h() m c, conform dcrv o xmplo dado Subiuindo (II) m (I), mo: g( ), c g( ), c, c g( ), c f ( ) h( ) u( c), c, c h( ), c h( ), c Modo Práico d crvr f () numa ó nnça: [, [ Exmplo: f () = { g (), < c ; h (), c < d i (), d Uilizarmo funçõ dgrau uniário: u( c), u( d), como chav qu ligam ou dligam a funçõ, qu compõm a par d f, no início ou final do rpcivo inrvalo [ liga g m ] [ liga h m c] [ liga i m d] f () = g() g() u( c) + h() u( c) h() u( d) + i() u( d) [dliga g m c] [dliga h m d] hp://igooglcom/i/ayronbarboni 7

19 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Exmplo 8: Obnha a ranformada d aplac: ) c f ( ) g( ) c d d quival a f ( ) g( ) u( c) g( ) u( d) Tmo qu { f() } = { g( ) u( c) g( ) u( d) } = { } = = g( ) u( c)} { g( ) u( d) = c d { g( c)} { g( d)} (gum o cálculo uilizando abla (6) com g conhcida) a a b ) f ( ) quival a f ( ) u( a) u( b) u( d) b d d Tmo qu { f() } { u( a) u( b) u( d) } = { } { u( a) } { u( b) } { u( d) } b d {} a {} { } { } = a b d b d a ) n( ), / f(), / Tmo qu ou f ( ) n( ) n( ) u( / ) u( / ) { f() } { n( ) n( ) u( / ) u( / ) } = { n( ) } { n( ) u( /) } { u( /) } n( ) {co( )} { n( )} {n( / )} { } = = { } { } ( ) Uilizando a dfinição d ranformada: O procdimno é mai rabalhoo! hp://igooglcom/i/ayronbarboni 8

20 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni n( ) / f() ou f ( ) n( ) n( ) u( / ) u( / ) / { f ( )} f ( ) d n( ) n( ) u( / ) u( / ) d { f ( )} n( ) d n( ) u( / ) d u( / ) d n( ) n( ) / / / n( ) d / d d d / d (co( ) n( )) lim A A / / A / ( ) () lim A / / / ( ), 4 Exrcício propoo Obnha a ranformada d aplac da funçõ conínua por par ) f() ( ) R, > ) f ( ) R: ( ) ( ), > ), f() n( ), R, > 4), f(), R, > hp://igooglcom/i/ayronbarboni 9

21 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 5) 6) 7),, f(),,, f(),, f(), R R ( ) n n n, > R, ( ), 5 FUNÇÕES PERIÓDICAS Uma função f é priódica d príodo T, ndo T >, f ( + T) = f () 5 Exrcício propoo ) Obnha a ranformada d aplac da funçõ conínua por par f ( ) ou f ( ) u( ) u( ) u( ) (alrnada) 4 ( f ( ) f ( ) ) ) f ( ) ou f ( ) u( ) u( ) u( ) (alrnada) f ( ) f ( ) 5 Torma: Tranformada d uma função priódica S f é uma função conínua por par d variávl m [, + [, d ordm xponncial priódica com príodo T, não T { f ( ) } ( ) T f d Dmonração: Tmo qu f é priódica d príodo T, io é, f ( T) f ( ), [, [ Pla dfinição d ranformada, gu qu T { f() } f ( ) d f ( ) d (I) T { f ( ) } f ( ) d, daí, Fazndo = u + T na gunda ingral d (I), vê- qu d = du, para = T, m- u = Aim, ( T) T ( ) u ( ) T T u T f u du T u f ( T) d f d f u d u ( ) { f () } hp://igooglcom/i/ayronbarboni

22 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Subiuindo m (I), mo: Exmplo 9: T T f d T T ( ) ( ) T T { } { f ( ) } ( ) { f ( ) } { f } { f } f ( ) d f ( ) f ( ) d f() 6 f ( 6) f ( ) T T ( ) f f ( ) d, T { } Podmo aplicar o orma 5, vio qu f é priódica d príodo T = 6 T F( ) f ( ) ( ) T f d ogo, 6 F( ) f ( ) ( ) 6 f d 6 ( ) ( ) () F f () 6 d d ( ) ( ) F f () 6 d 6 6 F( ) f ( ), > ( ) 5 Exrcício propoo Obnha a ranformada d aplac da funçõ abaixo, uilizando o orma 5 ) ) f ( ) f ( ) u( ) u( ) u( ) (alrnada) 4 ( f ( ) f ( ) ) R ( ), > f ( ) f ( ) u( ) u( ) u( ) (alrnada) f ( ) f ( ) R :, hp://igooglcom/i/ayronbarboni

23 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni ) f ( ) (dn d rra) f ( ) f ( ) f ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) u( ) ( k) u( k) ( k) u( ( k )) (alrnada) f ( ) R ( ), > 6 CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA A EXISTÊNCIA DE F() É uficin, para garanir a xiência da ranformada d aplac, qu a função f (qu muliplica o núclo da ranformada) ja ccionalmn conínua m [, + [ d ordm xponncial c para > T > c, c Vamo nndr a condiçõ: a) Sccionalmn conínua (quival: f é conínua por par) vr rodapé da pág y f a b hp://igooglcom/i/ayronbarboni

24 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni b) Ordm xponncial c Uma função f é d ordm xponncial c xiirm conan M T rai poiiva ai qu f é limiada por alguma xponncial da forma M c, com T c, io é, f( ) M c para T y M c f T Noa: A função d nnça f ( ),, não é d ordm xponncial, poi u valor crcm mai rapidamn do qu qualqur poência linar d para > c > Io é, > c, para odo valor d maior do qu c, c > 7 TEOREMA da TRANSFORMADA da DERIVADA d UMA FUNÇÃO S f for uma função conínua d ordm xponncial c f ' ccionalmn conínua m qualqur inrvalo A, A, não { f '( ) } xi é igual a f ( ) f () c { }, Enndmo qu o orma coninuará valndo mmo qu conínua m [, [ Vamo xaminar o cao: f ' ja função Supondo f ' conínua, não { ' } '( ) () f d f ( ) ( ) f f ( ) d { f } f f { f } A '( ) lim ( A) () ( ) (I) A S f é d ordm xponncial c, não xim conan M T rai poiiva ca ai qu f ( A) M, A T (io é, f (A) é limiada) Muliplicando a digualdad A por A A ca ( c)a, gu qu f ( A) M M ( c) A A Sndo > c, rmo lim M lim f ( A) (II) Subiuindo (II) m (I), m-: A, io é, A { f '( ) } { f ( ) } f () hp://igooglcom/i/ayronbarboni

25 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Supondo f ' conínua por par N cao, a função f ' aprna vário pono d dconinuidad com o limi larai finio n pono conínua nr l f ' A ranformada d aplac d f ' é obida adicionando- a ranformada d m odo o ubinrvalo ond é conínua = i i+ n A f '( ) f '( ) d lim f '( ) d lim f '( ) d A n i A A i i { } { f '( ) } lim ( ) n f i i () f d A i i i Conidrmo, paradamn, a parcla da omaória acima: ª_Parcla ª Parcla f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () d f () d f () d n n f ( ) n f () d f ( ) n n n A (A) n f f ( n ) G n f ( ) d H Obrvação: f ) f ( ) (f é conínua) ( i i H = f () d { f () } S f é conínua (mbora f ' ja conínua por par Exmplo: Função f al qu f() = < f() = ), não o limi larai rão iguai podrmo implificar o rmo da coluna da ª parcla, daí, A A G ( ) f f (A) f() f( A ) A S A +, > f (A) é limiada, não f ( A) ogo, G f () Sndo { f '( ) } GH, rmo: { f '( ) } { f ( ) } f () hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

26 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni OBSERVAÇÃO : S f for conínua por par, não podmo implificar o rmo da coluna da ª parcla, poi o limi larai podrão r diguai para cada um do pono d dconinuidad ogo, G () [ ( ) ( )] f f f [ f ( ) f ( )] A f (A ) Conidrando J ( ) f ( ) f ( ), gu qu G i i i J( ) J( ) A A i J( ) f ( ) f ( ) f ( ) i i i n f '( ) f () i J( i ) A i { } lim f ( ) d Porano, n f () i J( ) f ( ) i { } n { f '( ) } { f ( ) } f () n i i J( ) i COROÁRIO: Sabmo como obém { f '() } qurmo { f '' () } : Suponhamo, para io, qu f ' ja conínua d ordm xponncial c ccionalmn conínua m qualqur inrvalo A, A Conidrando f '( ) g( ), ambém, f ''( ) g' ( ), Sgu qu: { g' ( ) } { g( ) } g( ) f '' ja Subiuindo g' () por f ''(), ambém, g () por f '(), gu qu: { f ''( ) } { f '( ) } f '( ) { f ( ) } f ( ) f '() { f ( )} f() f '() Noa: Procdndo d modo análogo, mo: { f '''( ) } { f ( ) } f () f '() f ''() Gnralizando, ( n) S f, f ', f '',, f form conínua d ordm xponncial c ccionalmn conínua m qualqur inrvalo A, A, não f ( n) ( n ) n n n ( n ) ( n ) { f ( ) } { f ( ) } f () f '() f () f () hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

27 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Vamo uilizar a ranformada d aplac na rolução d quaçõ difrnciai ordinária linar d ordm n coficin conan com valor iniciai A oluçõ obida rão chamada d olução paricular da EDO Inicialmn, rabalharmo com a homogêna, dpoi, com a não-homogêna 8 Exrcício rolvido ) y'' y' 6 y, ndo y y(), ond y() y'() Aplicando a ranformada d aplac à olução y() à ua drivada, mo: { y'' } Y( ) y( ) y'( ) { y' } Y( ) y( ) { y} Y ( ) Subiuindo valor na quação difrncial dada, rmo, agora, uma quação algébrica: Y( ) y( ) y'( ) Y( ) y( ) 6 Y ( ) Y( ) ( ) ( ) Y( ) ( ) 6 Y( ) 6 Y( ) Y () 6 Tmo a olução Y () da quação algébrica, ma qurmo a olução y() da quação difrncial E, para congui-la, vamo uilizar a ranformada invra d aplac A B A( ) B( ) Y () 6 ( )( ) ogo, Comparando o numrador: A( ) B( ) p/, mo () A( ) B( ) A /5 p/, mo ( ) A( ) B( ) B 7/5 Enão, Y () / 5 7 / 5 / 5 7 / 5 / 5 7 / 5 Y 7 Y (Tabla-linha) ( olução paricular da EDO) 5 5 y( ) { ( )} y( ) { ( )} y( ) { Y( )} ) y'' 4 y' 4 y, ndo y y(), ond y() y'() 5 Aplicando a ranformada d aplac à olução y() à ua drivada a ubiuindo na quação dada, mo uma quação algébrica: hp://igooglcom/i/ayronbarboni 6

28 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Y( ) y( ) y'( ) 4 Y( ) y( ) 4 Y( ) 4 4 Y( ) Y () 44 A B A B( ) Y () ( ) ( ) ( ) Comparando o numrador: A B( ) p/, mo ( ) A B( ) A p/, mo () A B( ) A B Vio qu A = gu qu B Enão, () Y, ( ) ogo, y( ) { Y( )} ( ) ( ) y( ) { Y( )} ( ) ( ) Uilizando a Tabla-linha a Tabla-linha, rpcivamn, m-: y Y (Solução paricular da EDO) ( ) { ( )} ( ) ) y' y, ndo y y(), ond y() Aplicando a ranformada d aplac à olução y() à ua drivada a ubiuindo na quação dada, mo uma quação algébrica: Y( ) y( ) Y( ) Enão, ( ) ( ) ( ) Y( ) Y (), ogo, Y Y y ( ) { Y ( )} 4 4) y' y, y() logo,, daí, Aplicando a ranformada d aplac à quação, mo: Y( ) y( ) Y( ) { } 4 4 Y( ) Y( ) { } ( ) Y( ) 4 ( 4) 7 Y () ( )( 4) ( )( 4) ( )( 4) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 7

29 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Dcompondo Y() m fraçõ parciai: 7 A B A( 4) B( ) Y () ( )( 4) 4 ( )( 4) Tmo qu: 7 A( 4) B( ) p/ 7A A 7 p/ 4 7B B 7 / 7 / 7 ogo, Y (), 4 4 Aplicando a ranformada invra d aplac: y( ) { Y( )} y () 7 7 5) 5 y'' y' y, y() y'() Aplicando a ranformada d aplac à quação, mo: Y( ) y( ) y'() Y( ) y() Y( ) { 5 } logo, 5 Y( ) Y( ) Y( ) { } ( ) Y( ), daí, Y () ( 5)( ) ( 5)( )( ) 5 Dcompondo Y() m fraçõ parciai: A B C Y () ( 5)( )( ) 5 Y () A( )( ) B( 5)( ) C( 5)( ) ( 5)( )( ) Tmo qu: = A( )( ) B( 5)( ) C( 5)( ) p/ B B 4 p/ 4C C p/ 5 A A ogo, Y () 4, 5 5 Aplicando a ranformada invra d aplac: y () 4 5 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 8

30 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 5 y ( ) 4 6) y'' 4 y' y, y() 5 y'() 8 logo, Aplicando a ranformada d aplac à quação, mo: Y( ) y( ) y'() 4 Y( ) y() Y( ) { } 5 ( 4 ) Y( ) 5 Y( ) ( )( ) Dcompondo Y() m fraçõ parciai, mo: Y (), Aplicando a ranformada invra d aplac: y ( ) 7) y'' y' 5 y, y() y'() 7 5 logo, Aplicando a ranformada d aplac à quação, mo: Y( ) y( ) y'() Y( ) y() 5 Y( ) { 5 } ( 5) Y( ) ( Tabla linha) ( 5) Y () 4 ( 5) Dcompondo Y() m fraçõ parciai, mo: Y () 4 ( 5) ( 5) ( 5) 5, 5 Aplicando a ranformada invra d aplac: y!! () 4! ( 5) ( 5) 5 y( ) ( Tabla linha) y( ) ( ) 5 8) y'' 4 y n( ), y() y'() logo, Aplicando a ranformada d aplac à quação, mo: Y( ) y( ) y'() 4 Y( ) { n( )} ( 4) Y( ) ( Tabla linha 7) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 9

31 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Y () ( )( 4) (I) Dcompondo Y() m fraçõ parciai, mo: A B C D ( A B)( 4) ( C D)( ) Y () 4 ( )( 4) (II) Comparando (I) (II), mo: / / Y () 4 Aplicando a ranformada invra d aplac: y () 4 4 y( ) n( ) co( ) n( ) y( ) co( ) [n( ) n( )] 9) ' y y co(4 ), y() Aplicando a ranformada d aplac à quação, mo: Y( ) y( ) Y ( ) { co(4 )} logo, Y( ) Y( ) { co(4 )} ( ) Y( ) ( Tabla-linha ) ( ) 4, daí, Y () ( ) ( ) 4 ( ) 4 Aplicando a ranformada invra d aplac: 4 y( ) { Y( )} ( Tabla - ()) 4 ( ) 4 y ( ) [ 4 n(4 )] ) y' y co( ) u( ), y() Aplicando a ranformada d aplac à quação, mo: logo, Y( ) y( ) Y( ) { co( ) u( ) } ( ) ( ) co( ) Y Y ( Tabla -linha5) hp://igooglcom/i/ayronbarboni

32 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni, daí, Y () ( )( ) Vamo dcompor m fraçõ parciai a gunda parcla d Y(): A B C /5 ( /5) /5 ( )( ) ogo, Y () /5 ( /5) /5 Aplicando a ranformada invra d aplac: ( ) y( ) u( ) co( ) u( ) n( ) u( ) ou ( ) co( ) n( ) 5 y( ) u( ) y () 8 Exrcício propoo ( ) co( ) n( ) 5 Uiliz a ranformada d aplac para rolvr a quaçõ difrnciai com valor iniciai ) y'' y' y, y() y'() R y () ) y'' y' y, y() y'() R y () n( ) ) y'' 5 y' 4y, y() y'() R 4 () 4 ( ) y 4 4) y' 6y, y() R y 5) y''' y'' y' y n( ), y() y'() y''() 6) 6 R n( ) co( ) () y y'' 6 y' 9y, y() y'() 6 R 4 ( ) ( ) y 7) y'' y n( ), y() y'() R 8) y'' y' y u( 5) u( ), () R 5 y( ) co( ) n( ) n( ) y y'() ( 5) 5 ( 5) ( ) ( ) y( ) n u( ) n u( ) Ob: Uilizar Tabla linha 5 para obr y() hp://igooglcom/i/ayronbarboni

33 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 9) y' y f ( ), y() f() Ob: f() = + u( ) ( ) R y ( ) u( ) ) y'' y' y f ( ), y() y'() f() Ob: f() = u( ) ( ) ( ) R y( ) u( ) ) y' y f ( ), y() f ( ) Ob: f() = + u( ) u( ) ( ) ( ) R y( ) u( ) u( ) ) y' y f ( ), y() f ( ), f ( ) f ( ) Ob: f() = u( ) + u( ) u( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y u u( ) R ) y'' 5 y' 6 y f ( ), y() y'() f ( ), f ( ) f ( 4) 4 Ob: f() = u( ) + u( 4) u( 6) + R ( ) ( ) ( 4) ( 4) u( ) u( 4) y () 9 RESOUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9 Rolução do xrcício propoo m 4 Obr a ranformada d aplac da funçõ rai d variávl ral dada pla nnça: ) f ( ) 5 Uilizando a propridad da linaridad abla linha : { f ( )} { 5} { } {5} { } 5 {}! 5 5, ) f a b c a b c ( ),, rai hp://igooglcom/i/ayronbarboni

34 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Uilizando a propridad da linaridad abla linha : { f ( )} { a b c} { a } { b} { c}!! a b c a b c a b c, { } { } {} 5 ) f ( ) 7 Uilizando a propridad da linaridad abla linha : { f ( )} { 7 } {} {7 } {} 7 { } 7 7, ) f ( ) ( 7 ) ou f ( ) Uilizando a propridad da linaridad abla linha : 5 5 { f ( )} { } {9} 4 { } 49 { } 5 9 {} 4 { } 49 { } , 5 co( ) 5) f ( ) co ( / ) ou f ( ) co( ) Uilizando a propridad da linaridad abla linha 6: { f( )} { co( ) } { } { co( )} {} {co( )}, ( ) co( ) 6) f ( ) n ( / ) ou f ( ) co( ) Uilizando a propridad da linaridad abla linha 7: { f( )} { co( ) } { } { co( )} {} {co( )}, ( ) 7) f ( ) n( ) co( ) ou f ( ) ( ) n Uilizando a propridad da linaridad abla linha 7: { f ( )} { n ( ) } {n( )} 4, 8) f ( ) u( ) 4 u( ) d { f ( )} f ( ) ( u( ) 4 u( ) ) d d u ( ) d u ( ) d 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni

35 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 9) 4, (Tabla linha 8) f() { f ( )} f ( ) d ( ) d () d A lim A A lim A d lim A,, (Ouro modo m Ex4(6)) A n( ) / ) f() / / / { f ( )} f ( ) d (n( )) d () d Ingração por par: I n( ) d u du d, não, I dv n( ) d vco( ) co( ) co( ) d I co( ) n( ) n( ) d + C u dv co( ) d + C I co( ) n( ) n( ) d + C I co( ) n( ) I + C co( ) n( ) I + C Porano, { f ( )} co( ) n( ) / v lim A A / A / lim A / du n( ) d d hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

36 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni / A / lim A / /, > /, > (Ouro modo m 4 (Exmplo 8)) ( ) ) f() { f ( )} f ( ) d () d ( ) d ( ) d lim A A d ( ) d ( )A ( ) lim A ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), (Ouro modo m Ex4(7)) ( ) 9 Rolução do xrcício propoo m Obr a ranformada invra d aplac conidrando a nnça: ) F( ), 4 ili ando abla linha a linaridad da ranformada invra! F () = f () 4!! ) F( ), 5 ili ando abla linha a linaridad da ranformada invra 5 F( ) = n(5 ) f() ) F( ), Dcompor F() m fraçõ parciai: F () 9 ili ando abla linha 6 a linaridad da ranformada invra: hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

37 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni F () = co( ) n( ) f ( ) 5 4) F( ), Dcompor F() m fraçõ parciai: F () 4 ili ando abla linha 6 a linaridad da ranformada invra: 5 5 F () = coh( ) nh( ) f ( ) 5 9 Obrvação: F ( ) = 4 5) F( ), Dcompor F() m fraçõ parciai: A B (A B) A F () Comparando o ( ) ( ) numrador da razõ, mo: A B = /5 ili ando abla linha a linaridad da ranformada invra: /5 /5 F () = f() ) F( ), ( )( ) Dcompor F() m fraçõ parciai: 4 A B A( +) B( ) 5 6 F () ( )( ) ( )( ) Comparando o numrador da razõ, mo: S =, m- 5 = A( + ), daí, A = 5 S = - = B( + ), daí, B = 6 ili ando abla linha a linaridad da ranformada invra ( ) ( )( ) F= 4 7) F( ), ( )( ) Dcompor F() m fraçõ parciai: f ( ) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 6

38 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 4 A B A(+) B( ) / 5/ F () ( )( ) ( )( ) Comparando o numrador da razõ, mo: S, m- ), da, S, m- = A( + ), daí, A = / Uili ando abla linha a linaridad da ranformada invra: 4 / 5/ ( )( ) F () = / 5/ / 5/ f ( ) 8) F( ), 4 Dcompor F() m fraçõ parciai: A +B C +D (A +B)( ) (C D)( ) F () ( )( ) ( )( ) Comparando o numrador da razõ, mo: S =, m- (A + B) =, daí, A + B = / (I) S, m- ( A + B) =, daí, A + B = / (II) S =, m- B D = (III) S =, m- 5 (A + B) + (C + D) = 4 (IV) Rolvndo o ima da quaçõ (I), (II), (III) (IV), gu qu: A =, B = /, C = D = / Uili ando abla linha a linaridad da ranformada invra: / / 4 F () = Tabla : (5) (7) / / / n( ) /nh( ) n( ) n( ) f() 4 9 Rolução do xrcício propoo m 4 Obnha a função corrpondn: ) ( ) u( ) Enndmo qu m o dlocamno f() = c = Uilizando a Tab-(5), mo ( ) u( ) F( ) f () {} = { }= ) ( ) u( ) Enndmo qu m o dlocamno f() = c = hp://igooglcom/i/ayronbarboni 7

39 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Uilizando a Tab-(5), mo f () {} = { }= ) u ( ) Enndmo qu f()}= c = Uilizando a Tab-(6), mo ( ) u( ) F( ) u( ) { f ( )} {( ) }= 6 8 { } = 4 4) ( 5) u( ) Enndmo qu f() = 5 c = Uilizando a Tab-(6), mo ( 5) u( ) { f ( )} {( ) 5}= { 4} ( ) 4 ( ) 4 4 Ouro modo: 5 ( ) 4, aim, ( 5) u( ) {[( ) 4] u( )} 5) u ( ) Enndmo qu = {( ) u( ) 4 u( )} { ( ) u( )} 4 { u( )} {} 4 4 { } 4 f ()= c = π Uilizando a Tab-(6), mo u( ) { f ( )} ( ) ( ) { }= { } 5 { } = 6) 4 Enndmo qu F () = c = 5, daí, 4 f ( ) = { F( )} nh( ) 4 4 Uilizando a Tab-(5), mo 4 nh[( 5) ] u ( 5) 5 5 f ( 5) u( 5) 4, logo, hp://igooglcom/i/ayronbarboni 8

40 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 7) 4 Enndmo qu F () = c =, daí, 4 f ( ) = { F( )} coh( ) 4 Uilizando a Tab-(5), mo coh[( )] u( ) 8) ( ) 9 f ( ) u( ) 4 Enndmo qu F ( ) = Uilizando a Tab-(9), mo qu ( ) 9 { F ( )} F() co( ) ( ) f 9 Uilizando a Tab-(5), mo ( ) co[( )] u( ) f ( ) u( ) ( ) 9 5 9) ( ) 9 Enndmo qu F ( ) = Uilizando a Tab-(9), mo qu ( ) 9 { F ( )} F() n( ) ( ) f 9 Uilizando a Tab-(5), mo ( 5) n[( 5)] u( 5) 5 f ( 5) u( 5) ( ) 9 Obr a ranformada invra d aplac conidrando a nnça: 4 ) F( ),, pd F () ( ) ( ) Tmo qu: 4 A B C F () ( ) ( ) ( ) Comparando o numrador da razõ, mo: S =, m- 9C = 5, daí, C = 5/9 (I) S =, m- A, daí, A = / (II) S =, m- A B + 4C = 4 (III) A( ) B( )( ) C( ) ( ) ( ) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 9

41 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Subiuindo (I) (II) m (III), m- B = 5/9 4 / 5/9 5/9 ( ) ( ) ( ) Porano, F () 5 5 ( ) 9 9 F () 5 5 F( ) F( ) 4 ) F( ),, pd F () ( )( ) Tmo qu: 4 A B C F () ( )( ) ( ) Comparando o numrador da razõ, mo: S =, m- B = 5, daí, B = 5/ (I) S =, m- 9A, daí, A = /9 (II) S =, m- A B C = 4 (III) Subiuindo (I) (II) m (III), m- C = /9 4 /9 5/ /9 ( )( ) ( ) Porano, F () F () A( ) B( ) C( )( ) ( )( ) 5 9 ( ) 9 ( ) F F ( ) 9 8 ) F( ), ( ) Tmo qu: 8 A B C F () ( ) ( ) ( ), pd F () D Comparando o numrador da razõ, mo: A =, B = 4, C = D = 8 4 Porano, F () ( ) ( ) ( ) Aim, A( ) B C ( ) D ( ) ( ) 4 () F ( ) () ( ) ( ) F( ) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

42 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni F( ) ( ) ) F( ), ( ) Tmo qu:, pd F () A B A B( ) F () ( ) ( ) ( ) Comparando o numrador da razõ, mo: A = B = ( ) ( ) Porano, F () Aim, ( ) ( ) ( ) F 94 Rolução do xrcício propoo m 5 Obnha a ranformada d aplac:! Tab (), ( )! (ob: F ( ) (), )! Tab () 4, ( ) ) ) ) 4 ( ) ( ) 4!!! Tab (), 4 ( ) ( ) ( 4) 4) ( 4 ) co(5 ) 4 co(5 ) co(5 ) co(5 ) 4 Tab (6) Tab (), 5 ( ) 5 ( 4) 5 5) (9 4 n( /) 9 4 n( / ) / Tab (), Tab () Tab () 9 4, ( ) ( ) (/ ) 6) ( u ) Tab (6) f ( ), 7) co( ) u( ) Tab (6) f ( ) co[( )] co( ) 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

43 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni / 8) n( ) u( / ) Tab (6) f ( / ) / / / n( / ) co( ) Obnha a ranformada invra d aplac 9) ) ( + ) Tab () 6 ( ) = Tab () ) Tab () ( + ) n( ) () Tab (5) ) () f( ) u( ) ( ) u( ) () ) Tab (7) Tab (5) f ( ) u( ) n( ) u( ) 4) Vja qu: ( + ) ( + ) A B A( +)+ B( ) ( + ) + ( + ) p/ A p/ B Tab ()() u( ) u( ) ( ) 5) Tab (6) Tab (5) 4 4 / / co[( /)] u( /) co( ) u( /) ( ) ( ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) ( ) ( ) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

44 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni 95 Rolução do xrcício propoo m 4 ), f( ),, quival a f ( ) u( ) ( ) u( ), f() uilizando o º orma d ranlação: Obr F( ) f ( ) u( ) ( ) u( ) { } { u( )} {( ) u( )} { } { ( )} { ( )} ( ), Ouro modo: aplicando a dfinição d ranformada d aplac: F( ) f ( ) [ u( ) ( ) u( )] d d d ( ) d d d d d d d d A A A A lim d d d ( ) ( ) lim A A A A ( ) ( ), ), f ( ),,, quival a f ( ) ( ) u( ) ( ) u( ) uilizando o º orma d ranlação: Obr f() {( ) } {( ) } { } { } F( ) f ( ) ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) ( ) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 4

45 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni ), f() n( ), é quivaln a f ( ) n( ) u( ) uilizando o º orma d ranlação: Obr f(), pla abla (6), gu qu {n( )} { n( )} {n( )} F( ) f ( ) n( ) u( ), > 4), f(), quival a f ( ) u( ) A ranformada é função linar, logo {} { u ( )} (vr Tab-(6)) = {} { f ( )} {} {}, a função f(+) é F( ) f ( ) u( ) conan igual a (ou conul Tab-(8)) Daí, F( ) f ( ), > Ouro modo: Uilizando a dfinição da ranformada d aplac, f d, > F( ) ( ) f() 5),, f(),, f() 4 gu qu Uilizando parágrafo 4, f ( ) u( ) u( ) u( ), ndo linar, F( ) f ( ) u( ) u( ) u( ) 4 (I) F( ) {} { u( )} { u( )} { u( )} y x hp://igooglcom/i/ayronbarboni 44

46 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Aplicando a Tab-(6), gu qu:, F( ) {} { f ( )} { f ( )} { f ( )} conidrando qu f ( ) f ( ) f ( ), m-: F( ) {} {} {} {} F( ) f ( ) O rulado acima podria ambém r obido uilizando- a Tab-(8) m (I) n n F( ) f ( ) ( ), 6), f( ),, n, quival a f ( ) u( ) u( ) u ( ) F( ) f ( ) u( ),, 7) f( ),, quival a f ( ) u( ) u( ), u ( ) u( ) u ( ) F( ) f ( ) u( ) u( ),,, ( vr ab ()) ( vr ab (6)) 96 Rolução do xrcício propoo m 5 ) f ( ) 4 ( f ( ) f ( ) ) f() 4 y A função f é priódica d príodo T = ogo, poui infinio rmo f ( ) u( ) u( ) u( ) Tmo qu: 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 45 x

47 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni F( ) f ( ) u( ) u( ) u( ) Aplicando o º orma d ranlação: n F( ) f ( ) n ( ), n Aprnado d ouro modo: F( ) f ( ), (PG d razão q ) ), f(), f ( ) f ( ) f() 4 - A função f é priódica d príodo T = ogo, poui infinio rmo f ( ) u( ) u( ) u( ) f ( ) u( ) u( ) u( ) f() {} { u( )} { u( )} { u( )} (I) Aplicando o º orma d ranlação ( vja Tab-(6)), gu qu = {} { f ( )} { f ( )} { f ( )},, vio qu a funçõ ão conan iguai a, m-: f() = {} {} {} {} f( ), > ( rulado ambém podria r obido uilizando- a abla (8) m (I)) Aim, f() (PG: q ) Ou, aprnado na forma d éri infinia, n n f() ( ), n 97 Rolução do xrcício propoo m 5 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 46

48 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni ) f ( ) f ( ) u( ) u( ) u( ) (alrnada) 4 ( f ( ) f ( ) ) A função f é priódica d príodo T = Aplicarmo, na oporunidad, o orma 5 Tranformada d uma função priódica T F( ) f ( ) f ( ) d T, ndo T = (príodo) F( ) f ( ) f ( ) d ( ) ( ) F f d d F( ) f ( ), > ( ) Obrvação: A rpoa obida é a mma do xrcício 5() ) f ( ) f ( ) u( ) u( ) u( ) (alrnada) f ( ) f ( ) A função f é priódica d príodo T = Aplicarmo, na oporunidad, o orma 5 Tranformada d uma função priódica T F( ) f ( ) f ( ) d T, ndo T = (príodo) F( ) f ( ) f ( ) d ( ) ( ) F f ( ) d d F( ) f ( ), > ( ) Obrvação: Mor qu a rpoa obida é a mma do xrcício 5() ), f() f ( ) f ( ) f() 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 47

49 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Uilizando a ranformada d função priódica (Torma 5), Tab- (7) ): T f ( ) f ( ) d T, ndo T = (príodo) f () d (Ingração por par) f() ( ) f() ( ), > 98 Rolução do xrcício propoo m 8 ) y'' y' y, y() y'() [ Y( ) y() y'()] [ Y( ) y()] Y( ) Y ( ) Y () Dcompondo a fração: Y () ( )( ) A B ( )( ) A( ) B( ) ( )( ) ( )( ) p/ B B = / p/ A A = / / / Y () ( )( ) Aplicando a ranformada invra: / / y () Y () ) y'' y' y, y() y'() [ Y( ) y() y'()] [ Y( ) y()] Y( ) Y( ) Y () Y () ( ) Aplicando a ranformada invra: hp://igooglcom/i/ayronbarboni 48

50 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni y() Y ( ) n( ) ( ) ) y'' 5 y' 4y, y() y'() [ Y( ) y() y'()] 5[ Y( ) y()] 4 Y( ) Y 5 4 ( ) 5 Y () Dcompondo a fração: Y () ( )( 4) 5 A B 5 A( 4) B( ) ( )( 4) 4 ( )( 4) ( )( 4) p/ 4 A A = 4/ p/ 4 B B = / 5 4/ / Y () ( )( 4) 4 Aplicando a ranformada invra: 4/ / 4 y () Y () ) 4 y' 6 y, y() 4 [ Y( ) y()] 6 Y( ) 4 6 Y ( ) Dcompondo a fração: 7 ( 6) Y ( ) 4 7 Y () ( 6)( 4) 7 A B 7 A( 4) B( 6) ( 6)( 4) 6 4 ( 6)( 4) ( 6)( 4) p/ 6 9 A A = 9/ p/ 4 B B = / Y () 7 9/ / ( 6)( 4) 6 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 49

51 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Aplicando a ranformada invra: 9/ / 9 y () Y () ) y''' y'' y' y n( ), y() y'(), y''() [ ] [ Y( ) y() y'() y''() Y( ) y() y'()] [ Y( ) y()] Y( ) n( ) Y () Y () ( 9) Dcompondo a fração: 9 Y () ( 9) Y () 9 ( )( )( 9) Y () A B C D+E Y () 9 A( )( )( 9) B( )( )( 9) C( )( 9) (D E)( )( ) ( )( )( 9) p/ 6A A = /6 p/ B B = / p/ 8A 8B 9C E 9C+E = 6/ E /65 p / 6 9C C = 6/9 p/ 6 56A+5B+C+(D+E) D = / Y () /6 / 6/9 (/) / 65 9 Aplicando a ranformada invra: 6 Y() () co( ) n( ) y 6) y'' 6 y' 9 y, y() y'() 6 [ Y( ) y() y'()] 6[ Y( ) y()] 9 Y( ) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

52 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Y () 6 Y ( ) 9 ( ) 6 ( ) Y( ) 6 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) Y () ( ) 5 ( ) Y () 4 ( ) 4 5 ( ) Aplicando a ranformada invra: 4 ( ) 4 5 ( ) Y y () 7) y'' y n( ), y(), y'() [ Y( ) y() y'() ] Y( ) n( ) Y( ) Y () (A) 4 ( )( 4) Dcompondo apna o rciro quocin do gundo mmbro da igualdad: A B CD ( )( 4) 4 (A B)( 4) (C D)( ) ( )( 4) ( )( 4) ( )( 4) p/ 5A 5B C D (I) p/ 4B D (II) p/ 5A 5B C D (III) p/ 6A 8B C 5D (IV) Fazndo (I) + (III), m-: 5B D = (V) Comparando (II) (V), 4B D 5B D = B / D / Subiuindo valor m (III) (IV), gu qu 5A C 6A C = A C ogo, / / ( )( 4) 4 Porano, volando a (A): Y () / / 4 Aplicando a ranformada invra: () Y() y () () 4 hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

53 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni ( ) co( ) n( ) n( ) n( ) 5 ( ) co( ) n( ) n( ) y y 8) y'' y' y u( 5) u( ), y(), y'() [ Y( ) y() y'() ] [ Y( ) y() ] Y ( ) ( 5) ( ) 5 Y () (Tab-(8)) 5 5 Y () () [( / 4) 5/6] Y Dcompondo o quocin do gundo mmbro da igualdad: / 4) (5/6) [( / 4) ( 5/6) ] / 4 ( 5/6) [( / 4) (5/6)] A B + C A[( ] (B C) p/ / 4 (5/6)A (/6)B (/ 4)C 5A B 4C 6 (I) p/ A (II) p/ (4/6)A B C (III) Subiuindo (II) m (I) (III), gu qu Porano, Y() / 5 ( / 4) ( 5/6) ( / 4) (/ 4) ( / 4) ( 5/6) () 5 Y Y ( / 4) (/ 4) ( / 4) ( 5/6) ( / 4) ( 5/6) E, ambém, qu () 5 () ( / 4) ( 5 / 4) 5 Y ( / 4) ( 5/6) 5 [( / 4) ( 5/6)] (A) Conidrando f() ( / 4) ( 5 / 4), ( / 4) ( 5/6) 5 [( / 4) ( 5/6)] gu qu f ( ) co 4 n Tab-(9) Aim, vmo a nnça (A) d modo implificado: 5 () Y f ( ) f ( ) ogo, Y () f ( 5) u( 5) f ( ) u( ) Tab-(5) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

54 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni y () Aplicando a ranformada invra: ( 5) 5 ( 5) Y ( ) 4 co ( 5) n ( 5) u( 5) ( ) ( ) co ( ) n ( ) u( ) 4 4 9) ' ( ), ( ) y y f f (), y Tmo qu: f ( ) u( ) u( ) u( ) (vr parágrafo 4) Aplicando a ranformada d aplac ao mmbro da quação difrncial, gu qu: [ ( ) ()] ( ) u Y y Y + ( ) Y( ) Y( ) ( Y( ) Y( ) ( ) ( ) ) Dcompondo o quocin indicado no gundo mmbro da igualdad: ( ) Porano, Y () Aplicando a ranformada invra: ( ) y() Y( ) u( ) ) Tmo qu: f ( ) u( ) (vr parágrafo 4) y '' y ' y f ( ), f ( ), y () y '() [ Y( ) y() y'() ] [ Y( ) y()] Y ( ) u ( ) Y () Y () ( )( ) ( )( ) Dcompondo o quocin indicado no gundo mmbro da igualdad: A B C A(+)(+) + B(+) +C(+) ( )( ) ( )( ) p/ B B = p/ A A = / p/ C C = / hp://igooglcom/i/ayronbarboni 5

55 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni Porano, / / / / Y () (A) / / Supondo f(), gu qu () f Aim, vmo a nnça (A) d modo implificado: Y () f ( ) f ( ) ogo, ( ) ( ) ( ) Tab-(5) Y () f f u Aplicando a ranformada invra: ( ) ( ) () ( ) y Y u( ) ) y' y f ( ), f ( ), y() Tmo qu: f ( ) u( ) u( ) u( ) (vr parágrafo 4) f ( ) u( ) u( ) [ Y( ) y() ] Y( ) u( ) u( ) (Tab-(8)) Y (), daí, ( ) ( ) ( ) ( ) Y Dcompondo o quocin indicado no gundo mmbro da igualdad: A B A(+) + B ( ) ( ) p/ A A = p/ B B = Porano, ( ) Aplicando a ranformada invra: Y ) ) y() (Tab-(5)) ( ( Y( ) u( ) u( ) ) y' y f ( ), y(), ndo f(), f ( ) f ( ) Tmo qu: f ( ) u( ) u( ) u( ) (vr 5()) hp://igooglcom/i/ayronbarboni 54

56 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni qu: Aplicando a ranformada d aplac ao mmbro da quação difrncial, gu [ ( ) ()] ( ) u u u Y y Y ( ) ( ) ( ) Y( ) Y( ) ( ) ( ) Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dcompondo o quocin indicado no gundo mmbro da igualdad: ( ) Porano, qu: ( ) Y Aplicando a ranformada invra, mo: ( ) ( ) ( ) Y u( ) u( ) y() ) y'' 5 y' 6 y f ( ), y() y'() f ( ), f ( ) f ( 4) 4 Tmo qu f() = u( ) + u( 4) u( 6) + u( 8) u( ) + Aplicando a ranformada d aplac ao mmbro da quação difrncial, gu ( 5 6) Y( ) u( ) u( 4) u( 6) 4 6 ( 5 6) Y( ) 4 6 Y () ( )( ) Dcompondo o quocin indicado no gundo mmbro da igualdad: / 6 / / ( )( ) Aplicando a ranformada invra, mo: f() 6 ( ) ( ) ( 4) ( 4) u( ) u( 4) y () Noa: Ouro modo d obr f() Uilizarmo o orma da ranformada d uma função priódica orma 5: hp://igooglcom/i/ayronbarboni 55

57 Tranformada d APACE Prof M Ayron Barboni T T { ( )} f f ( ) d, T A função dada é priódica d príodo T = 4 Aim, { 4 ( ) } () f d () d 4 { f() } ) ) ) ( ( ( O gundo faor do produo é oma do rmo d uma PG d razão Porano, { f( ) } 4 6 q BIBIOGRAFIA: Boyc, William E DiPrima, Richard C - Equaçõ Difrnciai Elmnar Problma d Valor d Conorno 7ª Edição Ediora TC Zill, Dnni G Equaçõ Difrnciai com Aplicaçõ m Modlagm Ediora Pionira Thomon arning wwwyouubcom/wach?v=bniwcmgk4ý - Profa Ky Abaroa d Rznd Dparamno d Mamáica UNICAMP hp://igooglcom/i/ayronbarboni 56