Faculdade de Engenharia. Análise Matemática 2 MIEEC 2015/2016

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1 aculdade de Egeharia Aálise Maemáica 2 MEEC 25/26

2 ucioameo aculdade de Egeharia Teórico-práicas exposição e discussão da maéria resolução de exercícios Trabalho exra-aula resolução dos exercícios proposos (icha da aula + cadero de problemas) 56

3 Maerial dispoível coeúdos o SiEUP aculdade de Egeharia Apoameos slides com resumo da maéria Exercícios por ema Cadero global de exercícios Exames de aos aeriores + resolução 56

4 Avaliação aculdade de Egeharia Obeção de requêcia ão exceder limie de alas (25% das aulas previsas) Aluos com dispesa de requêcia Esudaes ao abrigo de esauos especiais que lhes aculam esa dispesa. Esudaes que já eham iscrição aerior a UC o passado. Classiicação ial C= (4*T+7*T2+9*T3)/2 (T3 com oda a maéria) C= R (classiicação obida o recurso) Melhoria C= R (classiicação obida o recurso) 56

5 Avaliação daas dos eses e 2 aculdade de Egeharia Classiicação ial C= (4*T+7*T2+9*T3)/2 (T3 com oda a maéria) C= R (classiicação obida o recurso) Teses e 2 T 4/março T2 9/maio 56

6 VVR - Curvas aculdade de Egeharia

7 AMAT2 aculdade de Egeharia AMAT esudo de uções reais de variável real (RVR): : AMAT2 esudo de uções : m. uções veoriais de variável real (VVR) : 2. uções reais de variável veorial (RVV) : m 3. uções veoriais de variável veorial (VVV) : m

8 Programa aculdade de Egeharia. uções de R em R (VVR) Coiuidade e derivadas, curvas, agee, velocidade, comprimeo 2. uções de R em R (RVV) Limies, coiuidade e derivadas, reca ormal e plao agee, ução implícia, regra da cadeia e órmula de Taylor 3. Máximo e míimos de RVV Poos críicos, máximos e míimos codicioados 4. uções de R em R m (VVV) Limies, coiuidade e derivadas, mariz jacobiaa, ução iversa 5. egrais múliplos egrais duplos e riplos, mudaça de variável 6. egrais de liha 56

9 VVR moivação A posição de uma parícula o plao pode ser deiida pelas coordeadas deiem o veor de posição : r x, y x, y aculdade de Egeharia, as quais y r x Se a parícula esiver em movimeo, a sua rajeória é descria por r x, y r VVR

10 VVR moivação aculdade de Egeharia A caraerização do movimeo da parícula o iervalo a rajeória aravés de uma VVR deiida em :, 2 é eia paramerizado : x 2, y r ode: parâmero imporae: com 2, 2

11 VVR deiição aculdade de Egeharia Em geral, uma ução veorial de variável real (VVR) saisaz :,,, 2 ode i : i Uma VVR pode ser visa como uma geeralização de um veor cujas compoees ão são cosaes, mas sim uções reais de variável real Assim, muias das propriedades das VVR podem ser deduzidas a parir das propriedades das suas uções compoees e ambém das operações eeuadas sobre veores

12 VVR curva descria e problemas ípicos aculdade de Egeharia A parir de é possível ideiicar a curva descria, a qual é deiida por :,,, 2 C x,, x : x,, x,,, C Problemas ípicos:. A VVR é cohecida e preede-se deermiar C 2. C é cohecida e preede-se ober uma paramerização (iso é, uma VVR) que correspoda a C

13 VVR problemas ípicos aculdade de Egeharia Exemplos:. Deermie a curva descria pela VVR : 2,2 2. Obeha uma paramerização para as curvas y 2x x x a) desde aé 2 2 x y 4, 2,2 b) desde aé 2 2 x y 4,2 c) iicio em, percorrida vez o seido egaivo

14 VVR exercícios aculdade de Egeharia b) d) e) h) j) k) 2 a) b) c) d)

15 VVR exercícios aculdade de Egeharia exra) si,cos,,2 3 a) c) d) exra) e)

16 VVR deiição aculdade de Egeharia Em geral, uma ução veorial de variável real (VVR) saisaz :,,, 2 ode i : i Uma VVR pode ser visa como uma geeralização de um veor cujas compoees ão são cosaes, mas sim uções reais de variável real Assim, muias das propriedades das VVR podem ser deduzidas a parir das propriedades das suas uções compoees e ambém das operações eeuadas sobre veores

17 aculdade de Egeharia OPERAÇÕES COM VVR,, : soma u u : Seja g g,, : g g,, : muliplicação por RVR u u u,, : u u produo iero g g : produo exero (se =3) g g g k j i ˆ ˆ ˆ :

18 OPERAÇÕES COM VVR aculdade de Egeharia Seja :,, u : J u com J e uj composição de uções u : J u u u,, u

19 Limie e coiuidade de VVR aculdade de Egeharia Seja :,, limie lim,,lim lim só exise o limie de uma VVR se exisirem os limies de odas as suas uções compoee coiuidade coíua em lim uma VVR será coíua se orem coíuas odas as suas uções compoee

20 Derivada de VVR aculdade de Egeharia Seja :,, coíua derivada lim se exisir ese limie se : or derivável em odos os poos de, ambém é VVR :,, se : or derivável em odos os poos de, ambém é VVR :,, NOTA: é de classe C se exisirem e orem coíuas odas as derivadas de aé à ordem

21 aculdade de Egeharia Derivação de VVR regras de cálculo Seja,, : u u : g g,, : u u u u u u

22 VVR limie e derivada aculdade de Egeharia Exemplo: Para 2,2, deermiar a) lim b) 2

23 Tagee à curva aculdade de Egeharia Seja uma VVR que parameriza a curva C : y Cosidere-se aida as posições em e em C x T em a direção de T lim é a direção agee a em C MPORTANTE: apeas é a direção agee quado (ão há ehuma direção associada a )

24 Rea agee e velocidade aculdade de Egeharia Rea agee se, a direção agee em é rea agee: x, x : x,, x,, :,, Veor velocidade em o veor velocidade é Velocidade escalar 2 em a velocidade escalar é 2

25 Comprimeo de arco aculdade de Egeharia a, b seja : de classe C uma paramerização da curva C cosidere-se uma parição do iervalo em pares iguais: a,b y 2 C a 2 b x cosidere-se aida a liha poligoal obida por uião dos poos i por segmeos de rea o comprimeo da liha poligoal é dado por L p i i i i i i

26 Comprimeo de arco aculdade de Egeharia y o comprimeo da liha poligoal é dado por 2 C L p i i i i i i x lim i i i o limie em que, d e L ede para o comprimeo L da curva: p L b a d

27 VVR - exercícios aculdade de Egeharia

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