Conceito. Exemplos. Os exemplos de (a) a (d) mostram séries discretas, enquanto que os de (e) a (g) ilustram séries contínuas.

Transcrição

1 Coceio Na Esaísica exise siuações ode os dados de ieresse são obidos e isaes sucessivos de epo (iuo, hora, dia, ês ou ao), ou aida u período coíuo de epo, coo acoece u elerocardiograa ou sisógrafo. Esses dados ordeados o epo são deoiados de série eporal. Exeplos (a) O valor diário do ídice Bovespa; (b) A eperaura íia diária de Poro Alegre; (c) A quaidade esal de chuva ua deeriada região; (d) O ídice esal da iflação brasileira; (e) A alura da aré o Poro de Rio Grade; (f) O regisro do elerocardiograa (ECG) de ua pessoa; (g) O ovieo da crosa erresre, edido aravés de u sisógrafo. Os exeplos de (a) a (d) osra séries discreas, equao que os de (e) a (g) ilusra séries coíuas. As séries discreas são observadas e isaes eqüiespaçados de epo, iso é, e iervalos de epo =,,...,, equao que as séries coíuas são observadas e iervalos de epo coíuos

2 Objeivos As séries coíuas são discreizadas para podere ser aalisadas. Os valores de ua série abé pode ser obidos por agregação, coo, por exeplo, as eperauras diárias são soadas e é obido a édia, ou o caso, de chuvas as precipiações diárias são soadas para se ober u valor esal. Dada a ST,,,, observada os isaes:,,,, pode-se esar ieressado e: (a) Ivesigar o ecaiso gerador da série; (b) Fazer previsões sobre valores fuuros; (c) Descrever apeas o seu coporaeo; (d) Procurar por periodicidades. Aálise Exise basicaee dois efoques uilizados para se aalisar ua ST. O prieiro efoque é aravés do doíio eporal co o uso de odelos paraéricos. No segudo efoque é uilizado o doíio das freqüêcias aravés de odelos ão paraéricos. Modelos Os odelos ARMA e ARIMA esão ere os paraéricos. A aálise especral esá icluída ere os odelos ão paraéricos. Esacioariedade É ua das suposições ais freqüees sobre ua série eporal. Sigifica que ela evolui o epo e oro de u valor cosae (édio), refleido ua esabilidade. Na práica a grade aioria das ST apresea algu ipo de edêcia, sedo o caso ais siples a edêcia liear. A aioria das écicas de aálise supõe que a série é esacioária, assi é ecessário reirar a edêcia caso a série ão seja esacioária.

3 Difereças A aeira ais siples de orar ua série ão esacioário e ua esacioária é aravés de difereças sucessivas da série origial. A prieira difereça é defiida por: = - A seguda difereça seria: = [ ] = [ - ] = = E geral, e-se: = [ - ] Sazoalidade É cou u cojuo de dados ser edido e subperíodos do epo apresear sazoalidade. É possível fazer u ajusaeo sazoal dos dados e depois usar u odelo ão sazoal. Oura opção é fazer a previsão usado direaee o odelo sazoal ao ivés de reover a sazoalidade da série e uilizar u odelo ão sazoal. Objeivos Apresear os pricipais éodos de previsão (forecasig) e séries eporais. Exise duas caegorias: (i) Auoáicos: aplicados co o auxílio de u sofware; (ii) Não auoáico: exige a ierveção de pessoal especializado. Modelos U odelo radicioal de ua ST é que ela possa ser escria coo a soa de rês copoees: = T + S + A, =,,,. Ode: T = edêcia; S = a sazoalidade e A = copoee aleaória. Após reovidas as copoees da edêcia (T ) e a sazoal (S ), sobra apeas a copoee aleaória (A ). A suposição oral é que A seja u ruído braco, iso é, co édia zero e variâcia cosae. Esse odelo é deoiado de adiivo que é adequado quado S ão depede das ouras copoees. 3

4 Tedêcias Se a sazoalidade varia co a edêcia u odelo ais adequado é o uliplicaivo: = T.S.A Que pode ser rasforado e u adiivo aplicado logarios: l( ) = l(t ) + l(s ) + l(a ) Supodo ua ST co odelo adiivo: = T + S + A, =,,,. Para reirar a sazoalidade é ecessário esiar S e deeriar a série sazoalee ajusada: Ŷ = Ŝ Para esiar a edêcia é ecessário supor que a copoee sazoal ão exisa ou que eha sido reovida. Exise várias foras de se esiar a edêcia T. Os ais uilizados são: (i) Ajusar ua fução do ipo polioial, expoecial ou oura fução suave de ; (ii) Suavizar ou filrar os valores da série ao redor de u poo para esiar a edêcia aquele poo. Tedêcia Polioial Supodo que a edêcia esiada seja Tˆ reovedo esssa copoee podeos ober a série ajusada livre da edêcia: Ŷ = Tˆ Oura opção para eliiar a edêcia é oar a série das difereças coo já foi viso aerioree. O problea aior co ese ipo de ajuse é que ebora ele possa er u boa aderêcia e sepre forece boas previsões. Supoha que: T = α 0 + α + + α, ode o grau do poliôio deve ser be eor do que o úero de observações. 4

5 Para esiar os parâeros α i deve-se uilizar o MMQ, procedieo já cohecido. Para k =, e-se ua equação liear co as equações orais já cohecidas. Para k, deve-se uilizar procedieos ariciais. Para esiar a edêcia vaos supor que a copoee sazoal ão eseja presee e que o odelo é adiivo, iso é: = T + A ode A é a copoee irregular. A esiação da edêcia de ua série eporal é feia aravés da regressão ere as variáveis e. Para esiar os parâeros α i uiliza-se o éodo dos íios quadrados, iso é, iiiza-se a fução: f( α 0, α,..., α ) ( T α α... α 0 ) = = obedo-se os esiadores dos íios quadrados: De ode, segue, eão que a edêcia esiada será: Tˆ = a + a +... a + 0 Assi se iveros o cojuo de poos (, T ), eão o ajuse do poliôio: f ( α 0, α,..., α ) ( α α... α 0 ) Será dado por: = = j ( j = = j = 0 j a ) 0 Para que esse valor seja íio, deveos er: f ak Ou seja: = 0, para k =,,...,. j k ( a j ) = j = 0 Para cada k = 0,,,...,, pois: f a j a j ) = Que pode ser escria coo: k j = 0 a j = j = 0 = Ou aida: j + k j + k ( ) a k ( a0 + a ak a ) ak k Para cada k = 0,,,...,. = T j = j = 0 = = T k 5

6 Isso resula e u sisea de + equações lieares cujos valores descohecidos são os + coeficiees a i do poliôio sedo ajusado. Esse sisea pode ser escrio a fora aricial da seguie aeira: X T XA = X T T, ode: X = X T é a sua rasposa e: T T T = T a0 a e A = a Essas equações são deoiadas de equações orais. O sisea aerior pode ser escrio coo: X T (XA T ) = 0, ode o veor o ierior do parêeses são os resíduos. Esse veor é oral (orogoal) aos veores forados pelas lihas dos eleeos da ariz X T. Exercício Deeriar a edêcia da série vedas - e ilhões para os dados da plailha Exercício_u (a) Ajusado ua poliôio de grau. (b) Ajusado u poliôio de grau. (c) Deerie qual das duas opções proporcioa o elhor ajuse. Tedêcia Liearizável Alguas fuções, que a prieira visa ão são lieares, pode ser liearizadas por algua rasforação sobre ua ou eso sobre as duas variáveis ( e ). E geral esa rasforação cosise e rabalhar co os logarios de ua ou de abas as variáveis. Tedêcia Expoecial A edêcia expoecial pode ser caracerizada por ua equação do ipo: T = αβ Aplicado-se logarios aos dois lados desa equação ve: l(t ) = l(αβ ) = l(α) + l(β)., que é ua equação do ipo liear. 6

7 Tedêcia Geoérica Desa fora para se esiar α e β, ajusa-se a l(t ) e ua equação liear co β 0 = l(α) e β = l(β). Os valores esiados de α e β serão: a = e βˆ 0 e b = e βˆ A edêcia geoérica de ua série eporal pode ser avaliada por ua equação do ipo: T = α β Aplicado-se logarios aos dois lados da expressão acia ve: l(t ) = l(α β ) = l(α) + β.l() Tedêcia Logísica Nese caso para esiar α e β, ajusa-se aos logarios de e aos logarios de ua equação liear co β 0 = l(α) e β = β. Os valores esiados a e b serão: a ˆ 0 = e β e b = βˆ A edêcia logísica de ua série eporal pode ser avaliada por ua equação do ipo: T = /α+β Nesse caso para liearizar a série basa fazer T = /T Sazoalidade A sazoalidade para ua série avaliada e sub-períodos do ao pode ser eliiada por eio das seguies operações: s = Ŝ Se o odelo for adiivo e s = / Ŝ Se o odelo for uliplicaivo. O odelo uliplicaivo é, uias vezes, adequado para séries ecoôicas que apresea ua edêcia expoecial. Aplicado-se logarios podeos ober o odelo adiivo. 7

8 Seja l o oal de aos e k o úero de sub-períodos do ao al que = k.l, cofore abela. = lk k i = ij i =,,...,l k j = l k ij i =,,...,l e j =,,...,k i = j = Aos... k Média... k... k l l l... lk Média Geral l Os ídices esacioais serão: S i = Para i =,,..., k i Assi se o odelo for uliplicaivo a esacioalidade pode ser reirada aravés desses ídices. Auocorrelação Séries eporais ede a apresear auocorrelação ere o valor e o valor -k. A fução de auocorrelação pode ser esiada por: ( )( k ) = k + r k =, k =,,..., ( ) = 8