MOMENTOS E FUNÇÕES GERADORAS

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1 MOMENTOS E FUNÇÕES GERADORAS HÉLIO BERNARDO LOPES Resumo. O presee exo visa mosrar, de um modo ão uificado quao possível, a emáica dos momeos e das fuções geradoras, esas úlimas muio ausees, aualmee, das disciplias de Teoria da Probabilidade, e, esrahamee, quase sempre mal recebidas quado apreseadas. O exo pode ambém servir de poo de parida para desevolvimeos mais profudos do ema, raado já eão ao ível de pós-graduações diversas, aé porque, maifesamee, ele vai mais loge do que o ível usualmee presee aquelas disciplias. No esudo da Teoria da Probabilidade esá sempre presee o raameo dos momeos das diversas disribuições esudadas, desde que os mesmos exisam. O seu sigificado pleo, coudo, fica loge de ser percebido e iegrado a compreesão adequada das correspodees disribuições. Em coraparida, de um modo muio geral, as fuções geradoras de probabilidades e de momeos, a fução caraerísica e os cumulaes, só muio ligeiramee são abordados, passado compleamee em claro o seu sigificado, as suas relações, as respeivas poecialidades, e, mais aida que udo iso, o seu poecial explicaivo sobre o ipo de disribuição resulae de operações algébricas, ou mesmo rascedees, ere variáveis aleaórias diversas. Por udo iso, esperado coribuir para a ulrapassagem desa siuação, geeralizadamee recohecida, se decidiu escrever o presee exo. Quado se rabalha com uma disribuição probabilísica, seja discrea ou coíua, é essecial cohecer o domíio da correspodee variável aleaória, ou veor aleaório, e a respeiva fução massa de probabilidade ou fução desidade de probabilidade, ou, em aleraiva, a fução disribuição. O cohecimeo do domíio da variável aleaória em esudo deermia, de imediao, o âmbio de raameo do problema, em cujo seio se cosideram os acoecimeos que podem er ieresse para o problema. Em coraparida, ese cohecimeo ão permie compreeder compleamee a esruura da disribuição probabilísica em causa. De um modo geral, essa esruura esá muio disae da uiformidade, sedo, pela aureza das coisas, expecável que a mesma se cocere em oro de um poo disae dos exremos do domíio da variável aleaória em esudo, aeuado-se à medida que se camiha para esses exremos. Sigifica al que se impõe ecorar isrumeos que foreçam idicações, razoavelmee seguras e uiversalmee ierpreáveis, sobre o modo como a uidade probabilísica se disribui ao logo do domíio da variável aleaória em esudo. Aigo Professor e Membro do Coselho Cieífico da Escola Superior de Polícia.

2 Ora, os desigados momeos são algus desses isrumeos, que são, em essêcia, de dois ipos: momeos em relação a uma cera cosae c R, e momeos absoluos em relação a essa mesma cosae. Noe-se, coudo, que exisem disribuições que ão êm momeos. Seja, eão, uma variável aleaória qualquer e g( )uma fução mesurável da mesma, que seja aida uma variável aleaória. Admia-se, por igual, que g( )seja discrea ou coíua se o for, respeivamee. Dá-se o ome de momeo de ordem N de g( )em relação à cosae c R ao valor: E g( ) c g( x) c p ( x) xz ode p ( x) é a fução massa de probabilidade de, o caso de e de g( )serem variáveis aleaórias discreas, desde que a série aerior seja absoluamee covergee, ou seja, que exisa em R: E g ( ) c g ( x ) c p ( x ). xz A esa úlima expressão dá-se ambém a desigação de momeo abasoluo de ordem N de g( )em relação à cosae c R. No caso de e de g( )serem variáveis aleaórias coíuas, defie-se momeo de ordem N de g( ) em relação à cosae c R como sedo: E g( ) c g( ) c f ( x) dx desde que o aerior iegral seja absoluamee covergee, iso é, que exisa em R o valor de: E g ( ) c g ( ) c f ( x ) dx. E, à semelhaça do caso discreo, esa úlima expressão oma o ome de momeo absoluo de ordem N de g( )em relação à cosae c R. Se se cosiderar a fução da variável aleaória : g( ) ambém ela aleaória, as expressões aeriores passarão a ser: e: E c xc p ( x) E c xc p ( x) R xz E c xc f ( x) dx E c xc f ( x) dx R xz

3 respeivamee, para os casos discreo e coíuo, e ode o valor de cada uma das primeiras expressões só exise se for absoluamee covergee, ou seja, se o valor da correspodee seguda expressão exisir em R. Como é evidee, quado, o caso discreo, o domíio da variável aleaória é fiio, as séries cosideradas degeeram em somas que, auralmee, exisem sempre em R. Ora, quado c 0 os momeos são desigados por ordiários, ou seja, calculados em relação à origem do corpo real, vido esa siuação: E x p ( x) xz desde que exisa em R o valor: E x p ( x) xz ode a primeira expressão represea o momeo ordiário de odem N e a seguda o momeo absoluo ordiário de ordem N, o caso em que é uma variável aleaória discrea, e edo-se: se exisir em R o valor: o caso coíuo. E x f ( x) dx E x f ( x) dx Noe-se, odavia, que se podem defiir momeos de ordem, com N 0, ou seja, para valores de ieiros e egaivos, edo-se, por exemplo, as expressões: e: E lim 0 ode a primeira represea a média harmóica e a seguda a média geomérica. E podem, por igual, defiir-se momeos fracioários. Se o domíio de, desigado iervalo de variação de, iver grade ampliude, os valores de x serão grades, em módulo, para a geeralidade dos valores da variável aleaória. Ao corário, pois, do que se passa o caso em que o iervalo de variação seja basae meor. Porém, al idicador pouca ajuda pode forecer, porque o primeiro momeo ordiário de pode ser o mesmo, ou muio próximo. Mas o mesmo já ão ocorre com o primeiro momeo absoluo ordiário, que variará direamee com a ampliude do iervalo de variação de. Um exemplo esclarecerá o que acaba de dizer-se.

4 Seja, eão, a variável aleaória coíua, defiida por: x x 0, f ( x) x x 0,. Tem-se, o presee caso: E E 0. Em coraparida, para a variável aleaória, igualmee coíua, dada por: x x 0, f ( x) x x 0, vem: E E 0. Ou seja, mau grado a uidade probabilísica se ecorar disribuída em iervalos de variação disios, o segudo com uma ampliude dupla da do primeiro, ambas as variáveis aleaórias apreseam o mesmo valor para o primeiro momeo ordiário. Ao corário, o primeiro momeo absoluo ordiário cresceu com o crescimeo do iervalo de variação. Acoece que as variáveis aleaórias acabadas de expor são siméricas em relação a 0, podedo mosrar-se que, uma al circusâcia, odos os seus momeos de ordem impar em relação a são ulos, embora se deva referir que a recíproca ão é verdadeira. Para as duas variáveis aleaórias cosideradas, o seu primeiro momeo ordiário é o mesmo, embora apreseem iervalos de variação muio disios. O efeio desa úlima realidade, como se viu, fez-se seir aravés do primeiro momeo absoluo ordiário, ode o efeio da cosideração do operador módulo foi o de orar posiivo o valor da variável que surge a muliplicar a respeiva fução desidade de probabilidade, sempre ão ula. Eses facos permiem iuir que a simeria das aeriores variáveis aleaórias esá ligada ao valor dos momeos de ordem impar em relação a 0, ao passo que a maior ou meos proximidade dos valores dessa variável se ecora ligada aos momeos de ordem par, que êm sobre os valores da variável aleaória, posiivos ou egaivos, o mesmo efeio que o criado pela aplicação do operador módulo. Ao primeiro momeo ordiário de uma variável aleaória, discrea ou coíua, dá-se o ome de valor médio dessa variável aleaória, sedo desigado por. Represea o cero da disribuição, em oo do qual a fução massa de probabilidade, ou a fução desidade de probabilidade, se disribui. E, como pôde já referir-se arás, a grade geeralidade das disribuições, qualquer daquelas fuções apresea o seu máximo as proximidades do respeivo valor médio. É essecial saliear que a exisêcia de momeos de ordem elevada esá ligada à baixa probabilidade de ocorrerem valores de que, em módulo, sejam elevados, ou seja:

5 P é um ifiiésimo de ordem superior a, com N. Assim, a caraerização de uma disribuição probabilísica começará pela cosideração da respeiva aureza, ou seja, se se esá perae uma variável aleaória discrea ou coíua. A seguda caraerísica dessa disribuição é o iervalo de variação da correspodee variável aleaória. Ele dará, ao meos, duas idicações: a região do eixo real ode a variável aleaória pode assumir valores, e a maior ou meor coceração da disribuição da uidade probabilísica esse iervalo. A erceira caraerísica de uma disribuição é, pois, o seu valor médio, que é, a eorme geeralidade dos casos, e desde que exisa, o pricipal idicador do cero da disribuição. Nesa fase, ora-se essecial e já possível iroduzir o ovo coceio de momeo ceral de ordem N de uma variável aleaória, e que correspode ao caso em que c : E x p ( x) E x p ( x) R xz xz e: E f x dx E ( ) f ( x) dx R respeivamee, para os casos discreo e coíuo, e ode cada uma das primeiras expressões só exise se for absoluamee covergee, ou seja, se a correspodee seguda expressão exisir em R. Ora, como pôde já referir-se, e como se erá iuído do exemplo aeriormee apreseado, os momeos de ordem par forecem uma idicação da coceração da disribuição probabilísica: se forem muio pequeos, essa coceração será grade, porque os valores da variável aleaória serão próximos; se forem grades, será iversa a siuação. Iso mosra que deverá omar-se como medida da coceração da disribuição em oro do seu valor médio um dos momeos cerais de ordem par. A quesão a que em de respoder-se é esa: qual a ordem desse momeo? Se se iver presee que o segudo momeo, seja ordiário ou ceral, se exprime o quadrado das uidades usadas a medição dos valores de, e que a sua raiz quadrada se exprime essas mesmas uidades, de imediao se percebe que o momeo ceral que deve ser usado para idicar o grau de coceração da disribuição de ao redor do seu valor médio é o segudo, dado por: E x p ( x) E x f ( x) dx respeivamee, os casos discreo e coíuo. Ese segudo momeo ceral de oma o ome de variâcia de. A sua raiz quadrada, omada com sial posiivo, é desigada por desvio-padrão de, escrevedo-se, e exprime-se as mesmas uidades de medida dos valores da variável aleaória. xz Assim e em síese, desigar-se-ão os momeos ordiários de por:

6 E e os momeos cerais de por: E com N e as codições de covergêcia aes referidas. Ora, como comparar as disribuições de variáveis aleaórias com iervalo de variação, valor médio e desvio-padrão disios? O idicador preferível, quado é o desvio-padrão o parâmero usado a medição da dispersão absolua dos valores de em oro do seu valor médio, é o desigado coeficiee de variação: CV que é um valor adimesioal e que forece uma idicação do peso do desvio-padrão face ao valor médio. Mede, pois, a dispersão relaiva da disribuição de, ao corário de, que mede a dispersão absolua. Uma oura caraerísica que impora quaificar, quado se esuda deermiada disribuição probabilísica, é o seu grau de assimeria face ao respeivo valor médio. Uma vez que o caso de ser a disribuição simérica em relação a esse parâmero odos os seus momeos cerais de ordem impar são ulos, é aural recorrer a eses com a fialidade de caraerizar o grau de assimeria da disribuição. Nese seido, é usual empregar como coeficiee de assimeria de uma variável aleaória o parâmero: que é, por igual, um parâmero adimesioal. Se 0, a disribuição é simérica relaivamee ao seu valor médio. Se o valor médio de esiver mais próximo do exremo esquerdo do iervalo de variação, haverá uma predomiâcia da probabilidade a região dos valores do domíio de superiores a, pelo que será posiivo, dizedo-se que a disribuição em assimeria posiiva. Se esiver mais próximo do exremo direio do iervalo de variação, haverá uma predomiâcia da probabilidade a região dos valores do domíio de meores que, pelo que será egaivo, sedo a disribuição assimérica egaiva. Fialmee, o idicador desiado a medir o grau de achaameo da disribuição de, auralmee ligado ao grau de coceração da mesma em oro do seu valor médio. Viu-se já que essa coceração se ecora ligada aos momeos cerais de ordem par, sedo aural escolher os dois primeiros momeos dessa ordem, dado que o de ordem dois, ou variâcia, se ecora ligado à referida coceração, e que o de ordem quaro será maior que a variâcia quado a predomiâcia da probabilidade surgir a região dos valores de disaes de por um valor maior que a uidade, e será meor quado essa predomiâcia surgir a região que saisfaça a codição:.

7 Assim, o coeficiee desiado a medir o achaameo - ou kourosis - da disribuição de uma variável aleaória será o dado por: 4 dizedo-se mesocúrica a disribuição se 0, lepocúrica se 0 e plaicúrica se 0. E, como facilmee se percebe, ambém ese parâmero é adimesioal. Covém saliear agora que o operador E, desigado esperaça, é um operador liear, ou seja, saisfaz a codição: Eii ie i i com N, i R, e i variáveis aleaórias,i,...,. Nese poo é já fácil esabelecer a relação exisee ere os momeos ordiários e os momeos cerais de uma variável aleaória, desde que os mesmo exisam. Como se referiu arás, o momeo ceral de ordem N de, o caso de exisir, é: E. i Ora, desevolvedo a expressão: aravés da Fórmula do Biómio de Newo, virá: 0 0 C C C C pelo que se erá: 0 p p p p p p E E ( ) C ( ) C p. p0 p0 Um caso de grade imporâcia é aquele em que, ou seja: que surge usualmee com a simbologia: V E E e que facilia basae o cálculo do valor da variâcia de uma variável aleaória. Mas é ambém possível exprimir os momeos ordiários em fução dos absoluos. Tedo presee que se em: p

8 p C p0 p p virá: C p0 E p p que permie, pois, exprimir o momeo ordiário de ordem N de em fução dos momeos cerais, embora ambém de uma poêcia do valor médio de. Mau grado o ema er sido já abordado arás, covém saliear que a expressão: p E xz x p ( x) x f ( x) dx represea o desigado momeo absoluo ordiário de ordem N de, sedo: E xz x p ( x) x f ( x) dx o momeo absoluo ceral de ordem N de, respeivamee, os casos discreo e coíuo. Ora, o primeiro momeo absoluo ceral de, desigado desvio médio: E é usado, com grade frequêcia, como medida da dispersão da disribuição de uma variável aleaória. Por fim, um ouro coceio que impora iroduzir, e que é o de momeo faorial de ordem N de, defiido por: E( )...( ) xz xx ( )...( x) p ( x) xx ( )...( x) f( xdx ) os casos discreo e coíuo, e em que a série e o iegral só exisirão se forem absoluamee covergees. x

9 Aida aes de abordar as diversas fuções geradoras, é essecial fazer uma referêcia à desigada Desigualdade de Jese, segudo a qual: ( ) ge Eg ode é uma variável aleaória e g uma fução covexa e mesurável de, que seja aida uma variável aleaória. Se g for côcava, o seido da desigualdade é o iverso. Esa desigualdade permie, por exemplo, compreeder que se em: E E correspodee ao caso em que g( ), ou: E E ode se em g( ), ou ambém: l l E E ode se em g( ) l, que é uma fução côcava. Vejam-se, por fim, as diversas fuções geradoras, de probabilidades e de momeos, começado pela própria oção de fução geradora. De um modo muio geral, se ( p ), N 0, for uma sucessão de ermos em R, à série de poêcias de : ( ) 0 dá-se o ome de fução geradora dos ermos da sucessão ( p ), e ode a série se supõe absoluamee p covergee o cojuo defiido pela codição < r, com r R 0. Ora, se a aerior sucessão for limiada, é fácil cocluir, por comparação com o que se passa com uma série geomérica, que a aerior fução geradora é absoluamee covergee o cojuo defiido pela codição <. Assim, quado se esá perae uma variável aleaória discrea, defiida em N 0, para a qual se em: p 0 p P p 0 a aerior fução geradora oma a desigação de fução geradora de probabilidades, com a série absoluamee covergee se, desigado-a por (). Ora, esa fução pode defiir-se por: 0 E p0 p p p 0 ().

10 Desiga-se esa fução por fução geradora de probabilidades pelo faco dos coeficiees das poêcias, serem as probabilidades, p, da variável aleaória assumir valores o domíio, N 0. Noe-se, coudo, que a derivada de ordem N 0 de (), calculada em, represea, precisamee, o momeo faorial de ordem N 0 de : ( ) (). A fução geradora de probabilidades pode forecer excelees simplificações o cálculo dos valores p P, N 0, em siuações complicadas. de Coceio de maior ieresse, pela muio maior laiude das suas aplicações, é o de fução geradora de momeos, que se defie por: sedo um parâmero real. Uma vez que, como se cohece já: virá, por aplicação do operador esperaça, E : o que mosra que se em: M () E e 4 e!! 4! M () Ee E!! com N e M ( 0). EE E E!!!! ( ) M ( ) 0 Se em M ()se subsiuir por, e edo em coa que se em: e!! virá a ova fução geradora de momeos cerais, após aplicação do operador esperaça, E :

11 M ()!! vido, dese modo: ( ) M ( 0) com N e M ( 0). E ora-se fácil mosrar que se em: M () e M () que permie deduzir os valores de M ()a parir dos de M ()e vice-versa. Covém saliear, porém, que a exisêcia de momeos para uma variável aleaória ão garae a exisêcia de fução geradora de momeos, o que cosiui, pois, uma limiação ieree a ese coceio. Mais imporae, coudo, é a fução caraerísica de uma variável aleaória, uma vez que, corariamee ao caso da fução geradora de momeos, a fução caraerísica exise sempre, defiidose como: () E e com parâmero real e ode i é a uidade imagiária. virá: Dado que se em: pelo que se em: com N e ( 0). 4 i i i e i i!! 4! 4 i i () Ee i 4!! 4! ( 0) i i ( Ora, a exisêcia de fução geradora de momeos deermia a exisêcia de momeos de odas as ordes, o que ão se dá com a fução caraerísica, que pode exisir sem que exisa, ao meos, o primeiro momeo ordiário. E, como se sabe, se exisir o momeo de ordem N de, exisem os momeos de ordem iferior a. Esa fução goza de propriedades diversas, a primeira das quais é: E, edo presee que pela Fórmula de Euler se em: ( 0).

12 e i cos ise virá: pelo que: i () E e E cos( ) ise( ) ( ) E cos( ) ise( ) E cos( ) ise( ) como pode provar-se facilmee. Além do mais, a fução caraerísica é hermíica, ou seja: edo-se, por igual: ( ) ( ) i () e ( ) como pode comprovar-se facilmee, e ode e são valores reais. Além do mais, a fução caraerísica é aida uiformemee coíua em R. e sedo: Por ouro lado, esa fução ecora-se ligada à fução disribuição, F i ix () E e e df ( x) x ( ), aravés da codição: () ix e p x xz ( ) ix e f ( x) dx os casos discreo e coíuo, respeivamee. Uma relação que se esede, aida, à propriedade: com a F ( a h) F ( a h) lim T T T se( h) e ia () d h e a helemeos do domíio de F ( x ), aí coíua, e com h R. Assim, a fução caraerísica deermia, de um modo úico, a fução disribuição que lhe correspode. E vice-versa. Por fim, e aida em oro do coceio de fução caraerísica, oe-se que, o caso de exisirem, para cera variável aleaória com deermiada disribuição, momeos de odas as ordes, e sedo:

13 () a fução caraerísica de, pode defiir-se a ova fução: cujo desevolvimeo em série de poêcias de i é: i! K () log () K () k e ode aos coeficiees k, N, se dá a desigação de cumulaes da fução disribuição de, F ( x). Ou seja, K ()é a fução geradora dos cumulaes de F ( x ). i! Assim, os ermos do que acaba de referir-se, e de quao se cohece já da Aálise Maemáica, virá: i i i i k! i () k log e!!!! por cujo desevolvimeo do segudo membro, e poserior ideificação dos coeficiees dos ermos: i! com N, se obêm as expressões dos cumulaes, edo-se, para os rês primeiros: k k k. Relembrado a oção de rasformação iegral de uma fução, raada o domíio da Aálise Maemáica, e aplicado-a aqui à fução disribuição, F ( x), a mesma assume a forma cohecida: HxdF, ( x) desde que exisa em R ese iegral, que é o iegral de Lebesgue-Sieljes. No caso em que N, êm ieresse muio especial as siuações:

14 Hx (, ) x Hx (, ) x Hx (, ) x 0 xx ( )...( x),,,... ligadas, respeivamee, aos coceios de momeo ordiário, momeo absoluo ordiário e momeo faorial. Em coraparida, se R, êm uma imporâcia muio paricular as rês ovas siuações: Kx (, ) x Kx (, ) e x Kx (, ) e que correspodem, respeivamee, às fuções geradoras de probabilidades e de momeos, e à fução caraerísica. Espera-se que o presee exo eha coseguido orar claros coceios que são simples e, mais aida que udo, eha coribuído para mosrar a uidade ere momeos e fuções geradoras, bem como o respeivo papel a caraerização das disribuições probabilísicas. ix