Aonde estou eu...? Ou qual é o meu momento? Ou o que é que eu sou...? Que diabo...! Porque que me vou preocupar com tudo isso de novo...?

Transcrição

1 Crise de ideidade de um Foão de Luz... Dualidade Oda-Parícula Aode esou eu...? Ou qual é o meu momeo? Ou o que é que eu sou...? Que diabo...! Porque que me vou preocupar com udo isso de ovo...? Eu em eo cereza se sou uma oda ou uma parícula!

2 8. A equação de Scrödiger Dois aos depois de de Broglie defeder sua ese sobre as odas de maéria, um físico ausríaco Erwi Scrödiger omou coecimeo da ese do prícipe fracês e foi moivado a busca de uma equação de movimeo para as odas de maéria. Erwi Scrödiger (1887/1961

3 Subies 81A 8.1 equação de Movimeo: a Equação de Scrödiger dos esados esacioários. b Equação de Scrödiger depedee do empo. 8. Ierpreação da fução de oda: Localização do eléro? a Desidade de corree de probabilidade. 8.3 Propriedades maemáicas das fuções de oda e auo-fuções: a Codições de solução aceiável b Auo-valores e auo-fuções c Soluções da eq de Sc. d Esados esacioários e Oroormalização

4 8.1 A equação de movimeo A validade da equação de Scrödiger como de qualquer equação fudameal esa a sua cocordâcia com os resulados eperimeais. Seguido as idéias de de Broglie o domíio ão relaivísico de velocidades: λ p (1 E ν (

5 E a defiição clássica de eergia oal: p E + m V (3 Em que: V é a eergia poecial da parícula. Vamos reescrever de forma mais coveiee. Defiido: π k λ ω πν Assim (1: k p λ π p k

6 E (: E ω π E ω Usado esas relações a equação da eergia (3: p ( E V m k k m m E ( V ( E V subsiuido a eergia E: (4 k (5 m (, ω + V

7 a Equação de Srödiger dos esados esacioários A oda associada a parícula é represeada pela fução de oda (, que saisfaz a equação de oda: 1 v Em que: v é a velocidade de fase (vω/k ω/k. Podemos resolver ese problema por separação de variáveis: φ ψ ( (, ψ r φ( φ ψ Subsiuido a equação de oda: ψ 1 1 φ k ψ v φ

8 e ψ + k ψ 0 φ + ( kv φ 0 ou A solução geral será: φ + ω φ 0 ( ( ( i i ω r, ψ r e ψ r e E solução φ ( iω e (6 Volado a solução depedee da posição: ψ + k ψ 0 Usado a relação (4 e os posulados de de Broglie: ψ + m m ( E V ψ 0 ψ + Vψ Eψ m Eq. De Scrödiger idepedee do empo. As fuções são camadas auofuções e E é o auo-valor. (7 ( ψ r

9 Se defiirmos um operador amiloiao H^ + V : m H ψ Eψ H^ b Equação de Srödiger depedee do empo Cuar uma fução de oda para cegar a uma eq. em armoia com as propriedades de odas de de Broglie. Para uma parícula livre: i ( E p, ψe (8 ( e Difereciado duas vezes em relação a e uma em relação a : p ψe i ( E p p (9 i E ψe i ( E p i E (10

10 Para v<<c vale a eq. (3. Muliplicada ambos os lados por : E p m + V (11 Reescrevedo (9 e (10: p i m E i i + V ( ( ( ( ( ( r, r, + V r, r, i Para o caso ridimesioal r, ode ode m + y + z i Subs. Em (11: (1 r (,y,z (13 As soluções da eq (13 são ecessariamee compleas.

11 8. Ierpreação da fução de oda O fao das fuções de oda serem compleas é uma caracerísica desejável, por orar evidee que ão devemos aribuir às fuções de oda uma eisêcia física. Não devemos procurar respoder, ou mesmo quesioar perguas como: o que esá eaamee odulado e em que esá odulado. Observe que juso essas perguas, o que dizia respeio às odas eleromagéicas, coduziram os físicos do século passado ao coceio ilusório do éer. Qual seria eão a relação ere a fução de oda (, e a localização do eléro? Podemos fazer uma aalogia com a luz e ear eeder esa relação

12 A fução de oda para a luz é o campo elérico εy(, e saisfaz a eq. de oda clássica: y v 1 y A eergia por uidade d de volume de uma oda lumiosa é proporcioal a ε ou seja u ε : Como a eergia é quaizada em uidades ν para cada fóo esperamos que: o defóos volume [ ] ν u ε (Eisei o [ ] defóos volume Desidade de fóos

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14 A oda de de Broglie para um úico eléro é descria pela fução de oda (, e saisfaz a eq. de Scrödiger. Em aalogia com a ierpreação de, a gradeza é proporcioal à probabilidade de um eléro ser ecorado em uma cera região do espaço, ode ε (desidade de probabilidade Em uma dimesão: P ( d d (14 É a probabilidade de ecorar o eléro o iervalo d e será sempre real. ( ( ( 3D P r, dv r, r, dv dv ddydz (Ma Bor

15 Bor ierpreou o quadrado do módulo da fução de oda como uma desidade de probabilidade de preseça, represeado a disribuição de probabilidade das posições ocupadas por uma parícula ao logo de seu movimeo por uma dada região do espaço.

16 A desidade de probabilidade deve ser um úmero real e isso é resulado direo das propriedades p dos úmeros compleos. Relembrado: Um úmero compleo é escrio como z a + ib com a, b são Re e i 1 O cojugado do compleo z é o úmero compleo deoado por z * a - ib. Logo z*za +b. Represeação Trigoomérica Na represeação rigoomérica em coordeadas polares, um úmero z é deermiado pela orma do veor que o represea e pelo âgulo que faz com o semi-eio posiivo das abscissas. A parir das relações rigooméricas obêm-se: cos θ a/ρ, se θ b/ρ aρcos θ, bρ se θ. Porao: za+bi zρ cos θ +(ρse θi zρ(cos θ + i se θ e z * ρ(cos θ - i se θ Usado a relação de Euler z ρ e iθ ode ρ a + b Da relação g θ b/a cosegue-se o valor de θ.

17 A desidade de probabilidade deve ser ormalizada. ( ( + 1,, dv r r (15 (codição de ormalização para que a parícula eisa (15 p q p Em coordeadas reagulares: ( ( 1,,,,,, ddydz z y z y a Desidade de corree de probabilidade Derivado em relação ao empo: + + Usado a Eq. (13 de Sc: + + V m V m i

18 Levado em coa a relação: Obêm-se: i ( m Defiido: ( ρ i ( J ρ + J (16 m 0 (17 ρ E J obedecem a uma equação aáloga à equação de coiuidade de massa ou de carga elérica. Ereao ese caso a desidade de corree de probabilidade ão deve ser ierpreada como uma quaidade maerial que se move, devemos os aer ao aspeco de coservação ão á criação ou desruição de probabilidades. coservação. Nese caso a equação idica que o iervalo r 1, e r

19 Bor ierpreou: E i J m ρ como uma desidade de probabilidade de preseça ( Como uma desidade de corree de probabilidade. A abordagem probabilísica, segudo a ipóese básica da M. Q. ão ocorre pela compleidade dos sisemas físicos, mas sim por uma caracerísica iríseca da própria evolução desses sisemas. Equao as eorias clássicas da Mecâica de Newo e do Eleromageismo de Mawell descrevem os feômeos de maeira causal e deermiísica, a Mecâica Quâica Odulaória de Scrödiger e de Bor descreve os feômeos de modo causal eão deermiísico.

20 Subies Aula Passada 8.1 A equação de Movimeo: a Equação de Scrödiger dos esados esacioários. i b Equação de Scrödiger depedee do empo. 8. Ierpreação da fução de oda: Localização do eléro? a Desidade de corree de probabilidade.

21 Subies Aula Aual 8.3 Propriedades maemáicas das fuções de oda e auo-fuções: a Codições de solução aceiável b Auo-valores e auo-fuções c Soluções da eq de Sc. d Esados esacioários e Oroormalização 8.4 Valores esperados e operadores difereciais: - Defiição de valor esperado de qualquer fução. - Como calcular o valor esperado de p e de E.

22 8.3 Propriedades maemáicas das fuções de oda (, e auo-fuções ψ( (a Para ser uma solução aceiável da Equação de Scrödiger, uma auofução e sua derivada devem saisfazer as seguies codições para odos os valores de : 1 ψ ( edψ/dψ devem ser fiias e uívocas. Se ψ ( ou dψ/d ψ violassem o requisio 1 o mesmo ocorre com (, ep(-ie/ψ(. Isso sigificaria que a desidade de probabilidade ou a desidade de corree de probabilidade ão esariam bem defiidas, ou seja, ão eriam um valor fiio e bem defiido para odos os valores de. Como os resulados de medições evolvem essas duas gradezas, fuções de oda com essa propriedade ão seriam aceias, já que gradezas mesuráveis como momeo agular e posição, jamais são ifiias e plurívocas.

23 ψ ( e dψ/d devem ser coíuas Como a probabilidade de ecorar uma parícula ão pode variar descoiuamee de um poo para ouro poo vizio, a fução de oda deve ser coíua. Como a eq. de Scrödiger evolve a seguda derivada da fução de oda a primeira derivada ambém deve ser coíua. As auo-fuções devem ser bem comporadas maemaicamee, ou seja ão devem er comporameos bruscos graficamee.

24 d ψ ( m d Para um dado poecial V( a equação admie soluções somee para ceros valores de eergia: E 1, E,...E. Essas eergias são deomiadas de auovalores correspodees ao poecial V(. A cada auo-valor, correspode uma auo-fução ψ 1 (, ψ (,..., ψ (, cada uma delas solução da equação de (b Da Equação de Scrödiger ( V ( E ψ ( Sc. Idepedee do empo, com o poecial V(. A cada auo-valor correspode ambém uma fução de oda: z(l/- 1 (,, (,,... (, ode (, ep(-ie /ψ ( 1,... (úmero quâico Cada qual solução da eq. desc.(oal com o mesmo q ç q ( poecial

25 (c Se 1 (,, (,,... (, são soluçõesdaequação ( 1 (,, (,, (, ç q ç de Scrödiger, eão a combiação liear ( ( ( ie e a a ψ ode a são cosaes compleas, ambém será solução. 1 (, (, ( e a a ψ (d Supodo que a fução de oda de uma parícula seja uma das fuções de oda ( correspodee a um uma das fuções de oda (, correspodee a um auo-valor bem defiido E ie ie ( ( ( (, (, ( e e ie ie ψ ψ ψ ψ + A desidade de probabilidade é idepedee do empo. A parícula se ecora em um esado esacioário ou auo-esado sob a ação do poecial V(.

26 (e As auo-fuções alémdeorogoais são ormalizadas. Codição de oroormalidade: ψ r r ( ψ ( dv δ l l δ l (relação de compleeza 1 0 Aravés da codição de oroormalidade podemos ecorar uma propriedade p para as cosaes compleas a : a d a a d + ψ ψ a a 1 a, l a l a e i ( E E l l l ψ l ψ d Probabilidade da parícula esar o esado

27 Valores esperados e operadores difereciais -Valores esperados: A eisêcia de uma desidade de probabilidade para a posição, ora possível ecorar o valor esperado do veor posição de uma parícula: r r r r r r rp, ( r, dv ( r, r( r dv r r O valor esperado de é o valor médio de que esperamos ober ao medirmos as posições de um grade úmero de parículas com a mesma fução de oda. r r

28 Equivalee as rês equações: d y ; ydy; z zdz No caso geral, o valor esperado de qualquer fução f(r, é dado por: r r r f, ( r, f ( r, ( r dv As coordeadas posição, momeo, eergia oal e a eergia poecial são eemplos de gradezas diâmicas que podem ser uilizadas para caracerizar o esado de uma parícula.

29 -Operadores: Apesar de seu coeúdo absrao, é possível caracerizar um operador como uma aplicação maemáica que relacioa um objeo perecee a um cojuo a um ouro objeo perecee ao mesmo cojuo. Ao rocarmos duas garrafas uma praeleira, podemos dizer que les aplicamos o operador de permuação. Ao empurrarmos um objeo pesado, esamos aplicado o operador de raslação. No caso da Teoria quâica além de se uilizar ais operadores, quase odas as gradezas físicas são represeadas por operadores. É comum discuir-sese as propriedades físicas de um sisema quâico aravés da aplicação de um operador posição ou de um operador momeum, ou mesmo de um operador eergia sobre a fução psi.

30 Porao um operador represea um aparelo de medida de uma cera variável diâmica aplicado ao sisema que, o formalismo maemáico da eria é represeado pelo seu esado quâico psi. Se coecêssemos o momeo de uma parícula em fução de poderíamos calcular o valor esperado de p aravés da equação: p pd Ereao é impossível epressar p em fução de, já que de acordo com o pricípio de icereza, ão podemos coecer p e ao mesmo empo com precisão limiada. i Para calcular l o valor esperado dep precisamos coecer a fução de disribuição do momeo ou ecorar oura maeira de epressar o iegrado em ermos de e.

31 Fução de oda para uma parícula livre: ( i( k ω Ae, Difereciado em relação a d d ikae [ (, ] i ( k ω p ( i A cosae d i ik(, comop k p(, ou d d(, d Esa relação revela uma correspodêcia ere a gradeza diâmica p, e o operador diferecial. Porao podemos fazer a associação: p i ; p y i ; y p z i z

32 Porao o valor esperado de p em ermos de e será: Ode a gradeza p i d pˆ i é o operador momeo. Observe que o cálculo l do valor esperado ooperador que represea a gradeza física cujo valor esperado queremos calcular opera em (, e ão em * (,. Ese fao é irrelevae quado o operador é uma cosae ou uma fução muliplicaiva, mas pode se orar eremamee imporae quado o operador icluir uma difereciação. Vamos difereciar agora a fução de oda para uma parícula livre em ermos de e defiir o operador eergia:

33 d d E i( k ω iωae [ (, ] i d d iω(, comoω (, E d d i E(, ou Ou seja, eise a correspodêcia: E i (operador eergia Logo E EdV i dv