XXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Terceira Fase Nível 3 (Ensino Médio)

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1 XXII OLIMPÍADA BRAILEIRA DE MATEMÁTICA Terceira Fase Níel 3 (Esio Médio PROBLEMA 1: Em uma folha de papel a rea r passa pelo cao A da folha e forma um âgulo com a borda horizoal, como a figura 1. Para diidir ese âgulo em rês pares iguais, execuaremos as seguies cosruções: a iicialmee, marcamos dois poos B e C sobre a borda erical de modo que AB = BC; pelo poo B raçamos a rea s paralela à borda (figura ; b a seguir, dobramos o papel, ausado-o de modo que o poo C coicida com um poo C sobre a rea r e o poo A coicida com um poo A sobre a rea s (figura 3; chamamos de B o poo com o qual B coicide. Mosre que as reas AA e AB diidem o âgulo em rês pares iguais. r r r C A C C B s B B A A A Figura 1 Figura Figura 3 PROBLEMA : ea ( a soma de odos os diisores posios de, ode é um ieiro posio (p or exemplo, ( 6 1 e ( Dizemos que é quase perfeo se ( 1(por exemplo, 4 é quase perfeo, pois ( 4 7. eam mod o reso da diisão de por e s( mod (por exemplo: s(6 = = 3 e s(11 = =. Proe que é quase perfeo se, e somee se, s( s( 1. PROBLEMA 3: ea f uma fução defiida os ieiros posios da seguie forma: a Dado, escreemos (b 1, com a e b ieiros e defiimos f ( a a 1. Deermie o meor ieiro posio al que f ( 1 f (... f ( PROBLEMA 4: A aeida Proidêcia em ifios semáforos igualmee espaçados e sicroizados. A disâcia ere dois semáforos cosecuios é de 1.m. Os semáforos ficam aberos por 1 mi 3s, depois fechados por 1 mi, depois aberos por 1 mi 3s e assim sucessiamee. upoha que um carro rafegue com elocidade cosae igual a, em m/s, pela aeida Proidêcia. Para quais alores de é possíel que o carro passe por uma quaidade arbrariamee grade de semáforos sem parar em qualquer um deles?

2 PROBLEMA : ea X o couo de odas as seqüêcias a a, a,..., ais que a {,1, } se ( 1 a 1 i 1 e ai {,1 } se 11 i. Dados a e b em X, defiimos a disâcia d( a, b ere a e b como sedo o úmero de alores de i, 1 i, ais que ai b i. Deermie o úmero de fuções f : X X que preseram disâcia, iso é, ais que d( f ( a, f ( b d( a, b, para quaisquer a e b em X. PROBLEMA 6: ea C um cubo de madeira. Para cada um dos 8 pares de érices de C coramos o cubo C pelo plao mediador dos dois érices do par. Em quaos pedaços fica diidido o cubo? Noa: Dados dois poos A e B o espaço, o plao mediador de A e B é o couo dos poos do espaço cuas disâcias a A e B são iguais. Em ouras palaras: é o plao perpedicular ao segmeo AB passado pelo poo médio de AB. i

3 XXII OLIMPÍADA BRAILEIRA DE MATEMÁTICA OLUÇÕE Terceira Fase Níel 3 (Esio Médio PROBLEMA 1: OLUÇÃO DE MARTHA PRICILLA ARAÚJO DE MORAE (FORTALEZA - CE r B A X P Vea que AP A' P, eão AA' P é isósceles. ea PA ˆA' eão AA ˆ ' B ( BA ' // AP. Noe que APX A' PX, Daí: X AP ˆ XAˆ ' P XAˆ A' XA ˆA' Agora obsere que: BAX ˆ 9 BXˆ A BAX ˆ 9 B' Xˆ A C B A K Dode segue que os poos A, X, B' são colieares Como CB C' B', AB A' B' CB AB, emos que C' B' A' B'. Eão AB' é mediaa e alura do C' AA', sedo, cosequeemee, bisseriz do C' AA'. Daí: C' AB ˆ ' B' AA ˆ ' PAˆ A'. e

4 PROBLEMA : OLUÇÃO DE FABRÍCIO IQUEIRA BENEVIDE (FORTALEZA - CE Fixe. ea Temos s Vea que se a i mod i e mod i b i ( a i e s( 1 i1 b i i1 d, por defiição, a, e que (mod d 1 1(mod d b d 1 (á que b d d 1 (iclusie se d = 1 Além disso se \, a e é fácil er que b a 1. edo assim: s( s( 1 d ai bi ad a a bd b ( d d ad i1 1 i1 d d \ d d \ d d d a b ( d 1 d d 1 ea f( o úmero de diisores de. Temos: d d d 1 ( d ( ( ( f ( 1 f ( ( d d d d f ( ( 1. De modo que s( s( 1 ( 1. f ( 1 PROBLEMA 3: OLUÇÃO DE ULIE MEDEIRO DE ALBUQUERQUE (FORTALEZA - CE Cosidere as represeações biárias dos úmeros, ex: 17 = (11; 4 = (11 e = (11 ea a base igual a (... a i... a3aa1a, ode ai ou a i 1, i Z se a. a (b 1 a é a quaidade de zeros à direa a sua represeação biária. Ex: a p / o4 é 3, á a = p/ 17 e. Iso em exaamee do que sigifica a represeação de um úmero em uma dada base. (* ea f (1 f ( f (3... f ( Como a só depede da quaidade de zeros o fial (*, emos que se, 1 eão f ( f (, pois erão a mesma quaidade de zeros à direa a base Assim f (1 f (... f ( 1 f ( f ( 1 f (... f ( ( f (1 ( 1 f (... ( 1 f ( f ( f ( f ( ( f (1 ( 1 ( ( 1. f (... f ( 1 f (

5 Primeiros 's : = 1, 1 = 4, = 1, 3 = 3, 4 = 68, = 146, 6 = 34, 7 = 6, 8 = 16, 9 = 38, 1 = 96, 11 = 114, 1 = 4, 13 = 493, 14 = 81888, 1 = ea g( f (1 f (... f (, proaremos que g ( a i i, ode i1 (... a... aa4a3aa1a. ea o maior possíel, al que a a1 a a g( ( f (1 f (... f ( ( f ( 1 f (... f ( a 1... a 1 g( ( f (1 f (... f ( a 1... a De modo aálogo, omamos o maior, al que e a 1. g( ( f (1 f ( f (3... f ( ( f ( 1... f ( a 1... a g( ( ( f (1 f (... f ( a 1... a De maeira aáloga, fazemos (amos baixado para odos os a i's = 1. Como ai 1ou ai, podemos escreer g( a i i i1 Para ermos o meor, al que g( 1346 Temos que coseguir uma soma de ' s 1346, com os meores 's possíeis, pois iso se refleirá em (... a i... aa1a com os meores i's possíeis. Mas iso é uma arefa fácil se omarmos os 's calculados a págia seguie e ambém sabedo que: Daí, emos que a soma procurada é: Assim, o meor al que g( 1346 é ( = 471 O meor ieiro posio, al que f ( 1... f ( 1346 é 471. PROBLEMA 4: OLUÇÃO DA BANCA upoha que o empo os siais se abram e que o carro passe pela primeira ez por um sial o empo (mediremos o empo sempre em segudos. Os siais esarão aberos ere os empos 1 e e fechados ere os empos e 1( + 1, para odo ieiro 1. O carro passará pelos siais os empos r, para odo ieiro r. Assim, a codição 1 ecessária e suficiee para que o carro ecore sempre o sial abero é que r sea 1 igual a um ieiro mais um úmero ere e 3 para odo r ieiro. Isso é claramee possíel 1 1 se é ieiro (com qualquer ere e 9 e se é a meade de um ieiro ímpar (com qualquer ere e

6 Vamos mosrar que esses são os úicos casos possíeis. Primeiro mosraremos que se ão é igual a um ieiro mais um úmero perecee a 1, : sea, com ieiro e,1. e, omamos. r e, 1, com, e omamos r. 3 e 1, omamos 1 e ieiro al que 1 ( 1. Como, emos 3, e podemos omar r e, emos 1, e podemos proceder como o caso aerior. 1 Para fializar, amos mosrar que, esses casos, exise ieiro posio al que é 1 igual a um ieiro mais um elemeo de 3,1. 1 De fao, exise m ieiro al que r m, com, e exise e ieiros com 1 ( 1, dode r lm ( m 1, ode Assim as possíeis elocidades são m / s, para cada ieiro posio. PROBLEMA : OLUÇÃO DE HUMBERTO ILVA NAVE (ÃO PAULO - P Vamos obserar um caso paricular primeiro: abemos que: d( f (,,,...,, f (1,,,..., 1 e d( f (1,,,...,, f (,,,,..., 1 e d( f (,,,...,, f (,,,..., 1 ea A f (,,...,, B f (1,,,..., e C f (,,,..., A a, a,..., e B b, b,..., e C c, c,..., ( 1 a ( 1 b Dee exisir um úico i 1 N e 1 i1, a b, amos proar que i 1 1. Dee exisir um úico absurdo, logo i1 i 1 ' Logo emos: A (...,,... B (..., a i1 b i1,... e como ' 1 ( 1 c al que: i al que b ' c ' e se fosse i ' eríamos que d( A, C, um a b c a logo i 1 1. i1 i1 i1 i1 1 i 1 Vamos proar que se: x f, a ', a ',..., a ' ( x, x,..., eão x a. ( 3 1 x

7 upohamos por absurdo que x a (por simeria, cosideramos x b e d( A; x m, eão d( B; x m 1, pois B f (1,,,,,..., e A f (,,,..., x f, a ',..., ' mas d ( B, x m 1 (pois x b que é um absurdo, logo x ( 1 a Aalogamee proamos que se x f 1, b ', b ',..., b ' (,,..., 1 ( 3 1 eão b Vamos geeralizar o argumeo (ós só fizemos para o 1 o. ermo: Teorema 1: ea A f (,,...,,,... ( a, a1,..., a f,,...,1,,... ( b, b,..., B ( 1 b (,,...,,,..., ( c, c1,..., a C f ode 1. Eão se x f ( x, x,..., x,... x (,,..., eão a b c ' 1 1 se x ode i é posição que muda de A para B se x 1 se x a Obs: é claro que 1, a demosração que 1 é aálogo à de que i 1 1. Demosração: Aáloga à aerior (basa rocar algumas ariáeis e copiar a demosração aerior. É claro que i1, i,..., i1 são odos disios. Na erdade ( i1,..., i1 é uma permuação de (1,,...,1. Cosideramos agora as seguies -uplas. f,,..., ( a, a,..., A B ( 1 a f,,...,1,,,,..., ( b 1,..., b ode 1 abemos que ( d( A, B 1 N al que: a b e esse é úico! É claro que 1 (pois se fosse < 1, exisiria w 1 al que i, w um absurdo, pois o alor de posição wi da imagem é deermiado exclusiamee pelo alor da posição w da -upla do domíio da fução (deido ao eorema 1. Vamos chamar esse de i, assim como fizemos aeriormee. ea x f ( x,..., x,..., x (,...,,... ' De forma aáloga à aerior, demosramos que: a se x i i b i i se x 1 Para coar o úmero de fuções f : X X, basa coar o úmero de permuações de { 1,,...,1} ezes o úmero de permuações de 1 1 { 11,...,} (3! (! 1 que é 1! 1! 1 pois para deermiarmos uma fução f : X X basa escolher: i,..., que é uma permuação de ( 1,,...,1 e i,..., que é uma permuação de ( 1 i ( 11 i ( 11,..., e escolher os alores apropriados de ( a, b, c, para 1 1 (1 permuações de {,1, } e de ( a, b, para 11 (1 permuações de {, 1}. i

8 PROBLEMA 6: OLUÇÃO DE CHRITIAN WATANABE (ITAGUAÍ - RJ Plao mediador de dois érices adacees (PMVA. Exisem 1 aresas, logo são 1 pares de érices adacees, mas 4 pares possuem o mesmo plao mediador. Porao são 1 : 4 = 3 plaos. Plao mediador de dois érices oposos de uma face (PMVOF. Plao mediador de dois érices oposos (PMVO. Repare que odos os plaos mediadores uos deermia em cada face a seguie figura: PMVA PMVOF PMVO Como o cero do cubo é ierseção de odos os PMs e odas as ierseções ere reas da figura ao lado são exremidades das ierseções ere PMs, ao ligarmos as ierseções ere PMs, eremos árias pirâmides cuo érice comum é o cero do cubo e as bases são os riâgulos da face. Como são 16 6 = 96 riâgulos o oal, o cubo fica diidido em 96 pirâmides.