CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA

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1 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA

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6 Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B

7 AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A Chamamos BA, oposto de AB Se A = B então o segmento orientado AB = BA é o segmento nulo, denotado por AA = 0

8 Definida uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado, pode-se associar um número real não negativo que é a sua medida em relação a esta unidade A medida do segmento AB é denotada por med(ab) Os segmentos nulos têm medida igual a zero. med(ab) = med(ba)

9 Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma direção Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários, mas têm a mesma direção

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12 O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se: Ambos têm mesma medida (comprimento, módulo) e mesma direção e mesmo sentido ou se ambos são segmentos nulos E ainda podemos dizer que AB é equipolente a CD se os pontos médio de AD e BC coincidem. Denota-se: AB ~ CD

13 B M D A C

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15 1. AB ~ AB (reflexiva) 2. Se AB~CD então CD~AB (simétrica) 3. Se AB~CD e CD~EF então AB~EF (transitiva)

16 4. Se AB~CD então BA~DC 5. Se AB~CD então AC~BD

17 Cálculo Vetorial Estudaremos neste tópico as grandezas vetoriais, suas operações, propriedades e aplicações. O estudo é justificado pelo fato de, na natureza, se apresentarem 2 tipo de grandezas, as escalares e as vetoriais. Trabalharemos inicialmente com os vetores no plano e no espaço (local onde vivemos).

18 É aquela que necessita em sua definição explicitar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida. Exemplos: a) Massa: um corpo com 50 kg de massa 50 é o módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida. b) Temperatura: a temperatura do ambiente é de 3ºC 3 é o módulo da grandeza e ºC (grau Celsius) a unidade de medida.

19 É aquela que necessita em sua definição explicitar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida, direção e sentido. Exemplos: a) Força: A força aplicada em um corpo, possui uma intensidade (módulo), numa direção e em sentido. Na figura; Uma força de intensidade 20N (Newtons), na direção horizontal com sentido para direita.

20 b) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com uma certa velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: Uma bola sendo lançada para o alto com uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), assim a direção é vertical com sentido para cima e módulo igual a 12.

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22 O vetor é uma classe de elementos matemáticos ao qual se atribui 3 características: módulo, direção e sentido. a A B r Notação: Origem do vetor Extremidade do vetor Reta suporte

23 Chamamos vetor determinado por um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB O vetor determinado por AB, indicamos por AB = a

24 Módulo: é o tamanho do vetor (seu comprimento) e será denotado por : u =u = AB Direção: é dada pela reta suporte que sustenta o vetor. Sentido: é indicado pela seta do vetor.

25 Módulo: É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade. Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser informada através de palavras como: horizontal, vertical, etc. Sentido: É a orientação do vetor dada pela seta e também pode ser informada através de palavras como: para esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para baixo, etc. 25

26 Exemplo 1: Vetor A Módulo: 3 cm A 3 cm Direção: Vertical Sentido: Para cima 26

27 Exemplo 2: B Vetor B Módulo: 5,5 cm Direção: Horizontal Sentido: Para esquerda 27

28 Vetores Iguais Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se AB~CD Vetor nulo Os segmentos nulos por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0.

29 Vetores Opostos Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor BA oposto de AB e indicamos por -AB ou -v

30 Vetor Unitário Um vetor u é unitário se u = 1. Versor Versor de um vetor não nulo v é unitário de mesma direção e mesmo sentido de v.

31 Decorre da propriedade 6 de equipolência a implicação: Se AB = CD então AC = BD

32 Vetores Ortogonais Dizemos que dois vetores não-nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por u _v O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro vetor no espaço

33 Vetores colineares Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Assim, u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a mesma reta ou a retas paralelas.

34 Vetores coplanares Se os vetores não nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, podemos dizer que são coplanares.

35 Vetores coplanares Vetores não coplanares

36 Transferimos para os vetores a linguagem geométrica usada para segmentos. Exemplos: a) O comprimento, a direção e o sentido de um vetor são o comprimento, a direção e o sentido de qualquer um dos segmentos orientados que o representa. b) Ao se falar de vetores, as palavras comprimento, módulo e norma são sinônimos. Assim se u for representado por um segmento orientado que, numa unidade prefixada, tiver comprimentos 5, dizemos que o comprimento de u é 5 ou o módulo de u é 5 ou ainda, a norma de u é 5 e usamos a notação u =5 Atenção!!! u é um vetor e u é um número real.

37 Decida se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras e justifique a sua resposta: a) Vetores paralelos sempre têm colinearidade. b) Dois vetores podem ser não coplanares. c)também para vetores é necessário distinguir a palavra perpendicular e ortogonal. d) Se as retas AB e CD forem reversas, AB e CD não são coplanares.

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39 Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v

40 Regra do Polígono Sejam os vetores abaixo: C A D B Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos iniciar com qualquer um deles, veja como se utiliza a regra do polígono: C A Soma D B Após terminarmos ocorre a formação de um polígono. 40

41 Regra do Paralelogramo Sejam os vetores abaixo: A B Vamos fazer coincidir o início dos dois vetores: A Vamos fazer traços paralelos aos lados opostos. B Soma = A + B 41

42 Teorema de Pitágoras Não importa a regra utilizada, se tivermos dois vetores perpendiculares entre si, teremos o mesmo vetor resultante e seu módulo pode ser determinado utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS: Regra do Polígono: Regra do Paralelogramo: B S A A S B S 2 = A 2 + B 2 42

43 Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v

44 1. A + 0 = A 2. (A v ) + v = A 3. Se A+ v =B+ v então A = B 4. Se A+ u= A+ v, então u = v 5. A + AB = B

45 Considere dois vetores u e v, e um ponto qualquer A. Sejam B = A +u e C = B + v O vetor s = AC é chamado vetor soma de u e v e indicamos por s = u + v

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47 Observemos que o vetor s =u+ v independe do ponto A. De fato, se considerarmos outro ponto A obteremos B =A + u e C = B + v Assim, AB = A B e BC = B C

48 Usando a propriedade 1 de Vetores, concluímos que : AA = BB e BB = CC AA = CC e portanto AC = A C

49 (1) u + v = v + u ( comutativa )

50 (2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa )

51 (2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa)

52 (3) u + 0 = u ( elemento neutro ) (4) u +(-u)= 0 ( elemento oposto ) Indicamos o vetor u + (- v) por u - v.

53 Notemos que u v v - u

54 Dados a R* e v 0, chamamos produto de a por v, o vetor w = av, que satisfaz as condições: 1. w = a v 2. A direção de w é a mesma da v 3. O sentido de w é igual ao de v se a > 0, e contrário ao de v se a < 0 Se a = 0 ou v = 0, o produto a v é o vetor nulo

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56 Se a 0, o produto 1/a v é indicado por v/a. Se v 0, é fácil mostrar que v/ v é o versor de v vº = v/ v portanto v = v v

57 Considere u e v vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer (1) a(b v) = (ab) v (2) a(u + v) = au + av (3) (a + b)v = av + bv (4) 1 v = v

58 Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w u v w

59 Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w w/2 u -3v v w 2u

60 O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, Sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB. Encontre AD+AB BA+DA AC-BC D M C A N B

61 AN+BC MD+MB BM-1/2DC D M C A N B

62 AD+AB=AC BA+DA=CD+DA=CA AC-BC=AC+CB=AB AN+BC=AN+NM=AM MD+MB=MD+DN=MN BM-1/2DC=BM+MD=BD D M C A N B