UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 03. Palavras-chaves: Vetores, norma, produto escalar, produto interno.

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1 Assunto: Vetores, Norma e Produto escalar UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 03 Palavras-chaves: Vetores, norma, produto escalar, produto interno. Vetores Segmento orientado no plano: Seja um segmento orientado de reta em um plano Comprimento do segmento (ou módulo) Direção do segmento Orientação do segmento Uma extremidade é o ponto inicial Outra extremidade é o ponto nal Indicação da orientação (ou sentido)

2 Temos agora um "segmento orientado". Todo segmento orientado tem comprimento, direção e sentido. Dois segmentos orientados tem a "mesma direção"se suas retas suportes são paralelas Dois segmentos orientados que tem a mesma direção, terão o "mesmo sentido"se o segmento de reta que contém os seus pontos iniciais e o segmento de reta que une os seus pontos nais não terão intersecção. Se tiverem intersecção, diremos que os segmentos orientados tem "sentido contrário". Obs: O conceito de "mesmo sentido"só se aplica a segmentos orientados que tem a mesma direção. 2

3 Esses segmentos orientados tem o mesmo sentido? Essa pergunta é impertinente, pois os segmentos orientados não tem a mesma direção. Dizemos que dois segmentos orientados são equipolentes se eles tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido A relação de equipolência é: Reexiva Simétrica e Transitiva Portanto, é uma relação de equivalência. Convenções: Vamos considerar que cada ponto do plano são segmentos orientados (são degenerados). Dois pontos do plano são sempre equipolentes Denição de vetor: Dado um segmento orientado 3

4 o vetor, que tem como representante esse segmento, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a esse segmento. Denotamos tal vetor por AB. Se escrevermos v = AB, o vetor será denotado por v. O módulo, a direção e o sentido de um vetor v são, respectivamente, iguais ao módulo, direção e sentido, dos segmentos orientados que o representa. O módulo de um vetor v é denotado por v. O número v é também chamado de norma de v. Como todos os pontos do plano são equipolentes, eles representam um mesmo vetor, chamado de vetor nulo e denotado por 0. Dado um vetor v, denotamos por v o vetor que tem o mesmo módulo e a mesma direção de v, mas sentido contrário ao de v. Denotaremos por V o conjunto de todos os vetores do plano. Soma de vetores Sejam u e v vetores. Consideraremos o representante de v localizado no ponto nal de um representante de u. Outra maneira de denir o vetor u + v é considerar o representante que está sobre a diagonal de paralelogramo da seguinte gura 4

5 Propriedades da soma de vetores Sejam u, v, w V. Então, teremos que: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u + v = v + u u + 0 = u u + ( u ) = 0 Multiplicação por escalar Dados λ R e v V. Denimos o vetor λ v com o sendo o vetor que tem a mesma direção de v, tem norma igual a λ. v e tem o mesmo sentido de v se λ > 0, caso λ < 0, λ v tem sentido contrário ao de v. A multiplicação por escalar em V satisfaz as seguintes propriedades 1. v = v α(β v ) = (αβ) v (α + β) v = α v + β v α( u + v ) = α u + α v 5

6 Correspondência entre V e R 2 Existe um correspondência biunívoca entre os elementos de V e os elementos do R 2. Escreveremos v = (a, b) e dizemos que a e b são coordenadas (ou componentes) do vetor v. Se u = (a 1, b 1 ), v = (a 2, b 2 ) e λ R, então u + v = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) λ u = (λa 1, λa 2 ) Exemplo 1 Represente geometricamente no R 2 os vetores abaixo. (a) u = (4, 2), v = (2, 3) e u + v (b) u = (1, 2), 2 u e 2 u Resolução: (a) u + v = (6, 5) 6

7 (b) u = (1, 2), 2 u = 2(1, 2) = (2, 4) e 2 u = 2(1, 2) = ( 2, 4) Exemplo 2 Considere o vetor v = (3, 1) e o ponto P = (2, 4). Desenhe no R 2 o segmento orientado com ponto inicial em P e que representa v. Resolução: v + P = (3, 1) + (2, 4) = (5, 5) Vamos sempre proceder assim quando precisarmos "localizar"um representante de um vetor dada em um ponto dado P 0 R 2 e v um vetor. Norma de um vetor Seja v = (x, y). 7

8 A norma de v é dada por v = x 2 + y 2 Propriedades da norma v 0. E v = 0 v = 0 λ v = λ v, ( λ R) u + v u + v (desigualdade triangular) Diferença entre vetores Sejam u e v vetores do plano. Denimos a diferença entre vetores como u v := u + ( v ) 8

9 Exemplo 3 Represente gracamente os seguintes vetores u = (3, 2), v = (2, 5) e u v Resolução: Temos que u v = (3, 2) (2, 5) = (1, 3) Representação geométrica 9

10 Ângulo entre vetores O ângulo entre dois vetores é o menor ângulo entre dois segmentos orientados que representam esses vetores e que tem pontos iniciais coincidentes. Se θ é o ângulo entre u e v, então 0 θ π. Se o ângulo entre dois vetores não nulos u e v é π, dizemos que eles são ortogonais e indicamos por 2 u v. Produto escalar (ou produto interno) Sejam u, v vetores do plano e θ o ângulo entre u e v. Se denirmos u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ), a diferença entre eles será dada por u v = (x1 x 2, y 1 y 2 ) Pela leis dos cossenos, temos que 10

11 u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ ( ) 2 ( 2 ( 2 (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = x 2 1 1) + y2 + x 2 2 2) + y2 2 u v cos θ x2 1 2x 1 x 2 +x 2 2 +y 1 2 2y 1 y 2 +y 2 2 = x 2 1 +y 1 2 +x 2 1 +y u v cos θ 2(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = 2 u ( v cos θ 1 ) 2 Portanto, Assim, (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = u v cos θ Esse número é chamado de produto escalar (ou produto interno) de u por v e é denotado por u. v. u. v = x1 x 2 + y 1 y 2 ou u. v = u v cos θ Exemplo 4 Calcule o produto escalar indicado (a) u = (2, 7), v = (5, 3), u. v (b) u = (2, 4), v = (8, 4), u. v (c) u = (3, 5), u. u Resolução: (a) u. v = (2, 7).(5, 3) = = 31 (b) u. v = (2, 4).(8, 4) = = 0 (c) u. u = (3, 5).(3, 5) = = 34 Sejam u 0, v 0 e suponhamos que u v. Portanto, θ = π 2 cos θ = 0 u. v = u v cos θ = 0 Consideremos novamente u 0 e v 0, mas agora suponhamos que u. v = 0. Então, 11

12 u. v = 0 u v cos θ = 0 Como u 0 e v 0, pois u 0 e v 0, temos que cos θ = 0 θ = π 2, pois 0 θ π Logo, u v. Proposição 1 O vetor u é ortogonal ao vetor v ( u v ) se, e somente se, o produto escalar (ou interno) entre eles for igual a 0 ( u. v = 0). E para dois vetores u e v não nulos, teremos cos θ = u. v u. v Propriedades do produto interno Sejam u, v e w vetores e α, β R. Então, vale as seguintes propriedades 1. (α u ). v = u.(α v ) = α( u. v ) 2. u.( v + w ) = u. v + u. w 3. ( u + v ). w = u. w + v. w 4. u. v = v. u 5. u. u = u 2 6. u. v u v (desigualdade de Cauchy-Schwarz) A denição de vetores no R 3 é feita de maneira totalmente análoga. Por exemplo, se denirmos u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) teremos que u. v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = u v cos θ u = x y2 1 + z2 1 No R n, para n 4, não podemos desenhar segmentos de reta. Fazemos então tudo analiticamente u = (x 1, x 2,..., x n ) v = (y 1, y 2,..., y n ) u. v = x 1 y 1 + x 2 y x n y n u = x x x2 n 12

13 O ângulo entre dois vetores não nulos u e v é denido como sendo o número que satisfaz Assim, temos 0 θ π e cos θ = u. v u v u. v = u v cos θ 13