Exemplo. Exemplo. Taxa Interna de Retorno. Administração

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1 Admiisração Taxa Iera de Reoro Deomia-se Taxa Iera de Reoro (TRI) de um fluxo de caixa à axa de juros que aula o Valor Presee Líquido (VPL). MATEMÁTICA FINANCEIRA Por: EDÉZIO SACRAMENTO edezio@oi.com.br A Taxa míima de araividade é a axa de juros abaixo da qual o ivesidor prefere ão realizar o ivesimeo. Prof. Edézio 2 Uma compra cujo valor à visa é de R$ 4.000,00 pode ser paga com uma erada de 20% mais rês parcelas mesais de R$ 1.000,00, R$ ,00 e R$ 1.000,00, respecivamee. Cosiderado que exise um período de carêcia de 3 meses para iício do pagameo das parcelas, calcular o cuso efeivo do fiaciameo VPL( i*) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 3 0 Prof. Edézio 3 Prof. Edézio 4

2 Calculadora HP-12C (f)(reg) apaga os regisros 3.200(g)(CF 0 ) 1º fluxo 0(g)(CF j ) 2º fluxo 0(g)(CF j ) 3º fluxo 1.000(CHS)(g)(CF j ) 4º fluxo 2.200(CHS)(g)(CF j ) 5º fluxo 1.000(CHS)(g)(CF j ) 6º fluxo (f)(irr) 7,064% calcula a TIR Um aparameo foi colocado à veda por R$ A prazo pode ser pago com uma erada de R$ mias 5 presações mesais cosecuivas. As duas primeiras de R$ , e as rês úlimas de R$ Se o comprador em a opção de aplicar seu capial em um fudo de reda fixa a juros efeivos de 1,4% a.m., qual será a melhor aleraiva do poo de visa fiaceiro cosiderado-se que a pessoa eha recursos para comprá-lo aé mesmo à visa? A melhor opção é comprar a visa pois a TIR é 1,6375% maior que a reabilidade aleraiva. Prof. Edézio 5 Prof. Edézio 6 Calculadora HP-12C (f)(reg) apaga os regisros (g)(CF 0 ) 1º fluxo (CHS)(g)(CF j ) 2º fluxo (CHS)(g)(CF j ) 3º fluxo (CHS)(g)(CF j ) 4º fluxo (CHS)(g)(CF j ) 5º fluxo (CHS)(g)(CF j ) 6º fluxo (f)(irr) 1,6375% calcula a TIR Capialização Coíua Se um valor P é ivesido por b aos a uma axa omial aual de juros r e com períodos de capialização durae o ao, o valor fuuro F pode ser expresso por: F P. ( 1 + r / ).b Fazedo: r / 1 / k eremos que: r.k e: F P. ( 1 + 1/k ) r.k.b P. [ ( 1 + 1/k) k ] r.b Prof. Edézio 7 Prof. Edézio 8

3 Capialização Coíua Se o úmero de períodos de capialização ede a ifiio, k ambém ederá: F P. lim [ ( 1 + 1/k ) k ] r.b k ->oo Ora: lim ( 1+1/k ) k e ( e ) k ->oo Logo: F P. e r.b Capialização Coíua A axa omial r da capialização coíua pode ser coverida para uma axa aual efeiva i Ea igualado-se o valor fuuro: F P. e r.b P. ( 1 + i Ea ) b ou e r.b ( 1 + i Ea ) b ou fialmee: i Ea e r -1 Prof. Edézio 9 Prof. Edézio 10 Capialização Coíua Embora as fórmulas da capialização coíua presumam que os juros sejam coiuamee compuados e acrescidos ao pricipal ao logo do período, os resulados que oferecem são muio próximos daqueles obidos ao se cosiderar a capialização diária com a axa omial r. Capialização Coíua A abela abaixo mosra uma comparação ere axas de juros efeivas em regimes de capialização diária e coíua para quaro axas omiais diferees. Taxa Nomial (% a.a.) Taxa Efeiva (%) Difereça (%) Coíua Diária (*) 5,00 5, , ,2165E-03 10,00 10, , ,4643E-02 15,00 16, , ,2307E-02 20,00 22, , ,0262E-02 (*) Ao de 365 dias, calculada como i Em (1+r/365) Prof. Edézio 11 Prof. Edézio 12

4 Calcular a axa efeiva i correspodee a uma axa omial de 12% a.a. um regime de capialização coíua. Sabemos que: i Ea e r -1 Passado expoecial com base e eremos: i Ea e 0,12-1 ou: i Ea 1, Fialmee: i 0, ,7497% a.a. Plaos de Amorização de Emprésimos e Fiaciameos O reembolso de um emprésimo cosise em efeuar pagameos periódicos (presações) de modo a liquidar o débio ode : PRESTAÇÃO AMORTIZAÇÃO + JUROS (é uma série uiforme) Prof. Edézio 13 Prof. Edézio 14 Sisema de Amorização Fracês É devolvido o pricipal mais os juros em presações iguais e periódicas. É o mais uilizado pelas isiuições fiaceiras e pelo comércio em geral. Os juros icidem sobre o saldo devedor que por sua vez decresce a medida em que as presações são pagas, eses juros são decrescee e, cosequeemee, as amorizações do pricipal são crescees. Sisema de Amorização Fracês Um emprésimo de R$ ,00 será pago pelo Sisema Fracês de Amorização em 4 presações mesais posecipadas. Se a axa de juros efeiva coraada for de 10% a.m., cosruir a plailha de amorização. Prof. Edézio 15 Prof. Edézio 16

5 Sisema de Amorização Fracês Sisema de Amorização Fracês Mês() Saldo Devedor SD SD -1 -Am Amorização Am A -J Juros J i x SD -1 Presação A , , , , , , , , , , , , , ,358, , ,00 Cálculo das presações do -ésimo período: P A R$ ,00 a 3, Cálculo dos juros do -ésimo período: J 1 Por exemplo, para 2 : J 2 i SD i SD 0, R$15.690,60 1 Prof. Edézio 17 Prof. Edézio 18 Sisema de Amorização Fracês Sisema de Amorização Fracês No exemplo aerior, se cosiderarmos um período de carêcia de 3 meses em que serão pagos uicamee os juros devidos, cosruir a plailha de amorização. Nos meses do período de carêcia apeas os juros são pagos. A primeira presação é paga ao érmio da carêcia. Mês() Saldo Devedor SD SD -1 -Am Amorização Am A -J Juros J i x SD -1 Presação A , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,358, , ,00 Prof. Edézio 19 Prof. Edézio 20

6 Sisema de Amorização Fracês Sisema de Amorização Fracês No exemplo aerior, cosiderado um período de carêcia de 3 meses em que os juros são capializados e icorporados ao pricipal, cosruir a plailha de amorização. Durae o período de carêcia os juros são capializados e icorporados ao pricipal. Coseqüeemee, o cálculo das presações deve ser realizado em base o fiaciameo iicial capializados por c 1 meses, ode c represea o período de carêcia: P(1 + i) A a (1,10) 3,16987 c R$ ,82 Mês() Saldo Devedor SD SD -1 -Am Amorização Am A -J Juros J i x SD -1 Presação A , , , , , , , , , , , , , , , , , ,82 Prof. Edézio 21 Prof. Edézio 22 Sisema abela Price É um caso paricular do Sisema Fracês de Amorização, em que a axa de juros é dada em ermos omiais (geralmee aual) e as presações em período meor que aquele a que se refere a axa de juros (em geral as amorizações são feias em base mesal). Sisema abela Price Um emprésimo de R$ ,00 será pago em 3 presações mesais iguais cosecuivas. Se a axa de juros omial for de 180% a.a. com capialização mesal, cosruir a abela de amorização. Taxa de juros efeiva ao mês: i ia i 12 m m 15% a. m. Prof. Edézio 23 Prof. Edézio 24

7 Sisema de Amorização Fracês Cálculo das presações : P A R$ ,21 a 2, Mês() Saldo Devedor SD SD -1 -Am Amorização Am A -J Juros J i x SD -1 Presação A , , , , , , , , , , , ,21 Sisema de Amorização Fracês Cálculo das variáveis em um período qualquer: Muias vezes é ecessário o cálculo dos valores para algum deermiado período qualquer, sem a ecessidade de se elaborar a plailha complea. Prof. Edézio 25 Prof. Edézio 26 Sisema de Amorização Fracês Sisema de Amorização Fracês Saldo Devedor: Supodo uma série de presações posecipadas, em um -ésimo período qualquer o úmero de presações aida ão pagas será igual a -. Desse modo, o saldo devedor o -ésimo período será igual ao valor presee das presações aida devidas. SD SD P A a a i a i (1 + i) (1 + i) P (1 + i) 1 i Prof. Edézio 27 Prof. Edézio 28

8 Sisema de Amorização Fracês Sisema de Amorização Fracês Amorização O valor da presação em um -ésimo período qualquer é igual à soma da amorização desse período mais os juros respecivos, calculados com base o saldo devedor do período aerior: A Am + i SD P a i Am P Am + i a P a i i (1 + i) Am P (1 + i) i P a i 1 a a i 1 i i (1 i a P a i i ) Prof. Edézio 29 Prof. Edézio 30 Sisema de Amorização Fracês Juros A Am P (1 + i) (1 + i) J + J (1 + i) (1 + i) P 1 (1 + i) 1 i O que os forece: (1 + i) (1 + i) P i (1 + i) J Um fiaciameo de R$ ,00 foi coraado para ser pago em 48 presações mesais pela abela price, a juros omiais de 12% a.a., capializados mesalmee. Calcular o juro a ser pago o 25º mês e o saldo devedor e a amorização do 30º mês. Prof. Edézio 31 Prof. Edézio 32

9 Taxa de juros efeiva ao mês : ia im im 12 Juro pago o J J % a. m. 25 o mês : (1,01) (1,01) ,01 48 (1,01) ,01 0,55942 R$ 279,71 Saldo devedor o 30 SD SD mês: (1,01) (1,01) (1,01) ,43183 R$ ,47 o Amorização paga o 30 mês: Am Am o 29 (1,01) 0, (1,01) , R$1.089,88 Prof. Edézio 33 Prof. Edézio 34 Sisema de Amorização Cosae SAC Sisema de Amorização Cosae SAC As presações são decrescees, as amorizações cosaes e os juros decrescees. : Elaborar a plailha de amorização para o seguie fiaciameo: Valor do fiaciameo R$ ,00 Reembolso em 4 meses pelo sisema SAC Taxa de juros efeiva 10% a.m. Calculo das amorizações: Fiaciameo Am R$ ,00 4 Prof. Edézio 35 Prof. Edézio 36

10 Sisema de Amorização Cosae SAC Mês() Saldo Devedor SD SD -1 -Am Amorização Am Juros J i x SD -1 Presação A Am +J , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Um emprésimo de R$ ,00, coraado a juros efeivos de 10% a.m, será pago em 3 presações mesais com carêcia de 3 meses. Cosruir a plailha de amorização. Durae a carêcia os juros são capializados e icorporados ao pricipal. Logo a amorização deve ser calculada em base ao fiaciameo capializado por 2 meses (c-1 meses, ode c3.) Prof. Edézio 37 Prof. Edézio 38 Sisema de Amorização Cosae SAC Calculo das amorizações: P (1 + i) Am (1,1) R$ ,67 Mês() Saldo Devedor SD SD -1 -Am Amorização Am Juros J i x SD -1 Presação A Am +J , , , , , , , , , , , , , , , ,33 Prof. Edézio 39 Prof. Edézio 40

11 Sisema de Amorização Cosae SAC Sisema de Amorização Cosae SAC Cálculo das variáveis um período qualquer Amorização: as quoas são cosaes e calculadas dividido o valor do pricipal iicial pelo úmero de períodos de pagameo: AP/ Saldo Devedor: o saldo devedor um período é igual ao pricipal iicial meos a soma das amorizações já pagas: P SD P A P SD P 1 Juros: os juros em são calculados sobre o saldo devedor em -1. J J 1 i SD 1 i P 1 1 i P 1 Prof. Edézio 41 Prof. Edézio 42 Um fiaciameo de R$ ,00 foi coraado a juros efeivos de 12% a.a. e será pago em 48 presações mesais pelo SAC. Calcular o juro a ser pago o 25º mês, o saldo devedor e a amorização do 30º mês. Taxa de juros efeiva ao mês: (1+i a )(1+i m ) 12 1,12(1+i m ) 12 i m 0,0095 Juro do 25º mês J i P 1 0, J 25 R$ 237,22 Saldo devedor do 30º mês 30 SD P SD 30 R$18.750,00 Prof. Edézio 43 Prof. Edézio 44

12 Amorização do 30º mês A P/ /48 R$ 1.041,67 Sisema Miso ( Sacre ) Se misurarmos os dois sisemas, Price e SAC, como fez receemee o Sisema Fiaceiro da Habiação, eremos o sisema miso. Imagie que, o mesmo prazo e axa de juros, meade da dívida seja paga pelo sisema Price e a oura meade pelo sisema SAC. Nese caso, as presações serão decrescees e iguais a: A k A Price + A k SAC Prof. Edézio 45 Prof. Edézio 46 Sisema Miso ( Sacre ) Ou seja, a presação relaiva à meade da dívida, paga pelo sisema Price será cosae e igual a: A Price 0,5. P. i ( 1 + i ) / [ ( 1 + i ) - 1 ) ] Sisema Miso ( Sacre ) A oura meade será paga em presações variáveis de: A k SAC J K + 0,5. P / ode J K i. S K-1 Esse sisema pode ser geeralizado de modo a dar mais peso à parcela Price ou à parcela SAC. Prof. Edézio 47 Prof. Edézio 48

13 Sisema Miso ( Sacre ) Colocado a equação para as presações sob a forma: A k (1 q). A Price + q.a k SAC Sisema Miso ( Sacre ) sedo que q (ere 0 e 1) represea o peso dado à parcela SAC, podemos calcular a razão de decréscimo das presações a parir da primeira: r q. i. P / ou seja, as presações podem ser calculadas por: A k A k-1 r Prof. Edézio 49 Prof. Edézio 50 Sisema Miso ( Sacre ) Como pode ser percebido, se q 0, reoraremos ao sisema Price, se q 1, eremos o sisema SAC e valores iermediárias defiem o peso de cada sisema o processo de amorização da dívida. Sisema Miso ( Sacre ) A abela abaixo mosra o plao de amorização pelo sisema Miso. Período Presação Juros Amorização Saldo Devedor P 1 A 1 J 1 i x P p 1 A 1 - J 1 S 1 P - p 1 2 A 2 A 1 - r J 2 i x S 1 p 2 A 2 - J 2 S 2 S 1 p 2 3 A 3 A 2 - r J 3 i x S 2 p 3 A 3 - J 3 S 3 S 2 p 3 k A k A k-1 - r J k i x S k-1 p k A k - J 3 S k S k-1 p k A A -1 - r J i x S -1 p A - J 0,00 Prof. Edézio 51 Prof. Edézio 52

14 Sisema Americao de Amorização Nese sisema, os juros são pagos a cada período mas o pricipal é pago uma úica parcela ao fial do prazo do fiaciameo. O devedor deve cosiuir um fudo de amorização (deomiado sikig fud ), ode deposiará a cada período as quoas de amorização, de modo que ao fial do prazo de fiaciameo, o saldo do fudo seja igual ao valor fiaciado. Sisema Americao de Amorização Assim, a quoa de amorização é depedee da axa de juros paga pelo sikig fud e pode ser calculada pela expressão : A F. i s / [(1 + i s ) 1] ode i s é a axa paga pelo fudo e F éo próprio valor fiaciado. Prof. Edézio 53 Prof. Edézio 54 Um emprésimo de $ ,00, para ser pago o prazo de 4 meses, à axa de 1% a.m.. N Saldo Devedor Amorização Juros Presação , , , , , , , , , , , , ,00 Toal , , ,00 Prof. Edézio 55