Valor Futuro ou Montante (F) É o valor do dinheiro em questão ao final do período de tempo considerado.

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1 Matemática Fiaceira utor: rof. Dr. Li Chau Je Novembro de arte I Fudametos e coceitos Juros simples e compostos Diagrama do fluxo de caixa Fudametos da Matemática Fiaceira: Diheiro tem um valor associado ao tempo; Um valor uma data pode ser trasferido para uma outra data cosiderado-se os juros devidos. Razões: correção devida à desvalorização do valor devido à iflação; remueração devida à absteção do aproveitameto de oportuidades de aplicação; remueração devida ao risco de iadimplêcia do devedor. Cosequêcias: Só se pode comparar valores se estes estiverem refereciados a mesma data; Só se pode efetuar operações algébricas com valores refereciados a mesma data. Coceitos da Matemática Fiaceira Valor resete ou Capital Iicial () É o valor do diheiro em questão (empréstimo, aplicação...) o iício do período de tempo cosiderado. Taxa de Juros (i) Juros é a variação do valor do diheiro o período cosiderado. taxa de juros é a variação do valor do diheiro por uidade moetária e por uidade de período de capitalização. Valor Futuro ou Motate (F) É o valor do diheiro em questão ao fial do período de tempo cosiderado. Uidades de Tempo ou de eríodo de Capitalização () Correspode ao tempo de operação com o diheiro, expresso em múltiplos da uidade de tempo em que se aplica os juros. Sistemas de capitalização Juros simples Neste regime de capitalização, apeas o pricipal rede juros, isto é, os juros são diretamete proporcioais ao capital. ssim, os juros gerados em cada período são costates e iguais ao produto do capital pela taxa. O motate varia liearmete. equação básica é: F = (+ i) Juros compostos Os juros que são gerados em cada período se agregam ao capital do iício do próximo período,

2 passado a fazer parte do capital que gerará juros os períodos seguites. O motate varia expoecialmete. equação básica é: F = (+i) DIRM DE FLUXO DE CIX É uma represetação gráfica do movimeto do diheiro ao logo do tempo. Exemplo: Na escala horizotal são marcados os períodos de tempo; as setas para cima represetam as etrada de valores e as setas para baixo, as saídas de caixa arte II Taxas de iflação Taxas omiais e efetivas Coversão etre taxas Iflação e taxas de juros iflação é a perda do poder aquisitivo da moeda. ara eutralizar a iflação, a correção moetária procura reajustar ou corrigir os valores moetários, de maeira a preservar o poder aquisitivo. ara isso, utiliza-se uma taxa uitária de iflação o período, θ, alterado-se as equações da matemática fiaceira para: +i '=(+θ).(+i), ode i é a taxa de juros e i' é a taxa de juros iflacioada. s istituições fiaceiras usualmete trabalham com uma taxa global de juros, que elas compõem a partir de várias taxas, como por exemplo, taxa da iflação (estimada), taxa de iadimplêcia ou risco, taxa de variação cambial, etc. ssim: +i =(+θ ).(+θ ).(+θ )... Taxa omial e taxa efetiva Frequetemete, as trasações fiaceiras a taxa de juros iformada é apeas aparetemete correta. São utilizados artifícios para que a taxa pareça mais elevada ou mais baixa. Se um título rede 6% ao ao, é dito que o mesmo rede % ao mês, o que é icorreto; 6% a.a. correspode a,6% ao mês. Uma taxa mesal de 4% a.m. é, muitas vezes, dita 48% a.a. com capitalização mesal. Mas 4% ao mês equivalem a, aproximadamete, 6% a.a. ara que uma taxa de juros seja cosiderada efetiva é ecessário que o período referido a taxa coicida com o período de capitalização; caso cotrário, a taxa será dita omial. Uma propriedade importate apresetada pela taxa omial é a de poder ser fracioada proporcioalmete os subperíodos de capitalização, como os exemplos acima.

3 arte III Séries uiforme e gradiete Séries perpétuas Série uiforme Defiida como uma série uiforme de pagametos (ou recebimetos) que iicia o período e termia o período. Correspode a uma ampla prática do mercado do pagameto de um produto ou serviço em prestações de igual valor. Valor presete de uma série uiforme =(+i) i(+i) Valor futuro F de uma série uiforme F F =(+i) i Série em gradiete Defiida como sedo uma série de pagametos,, (-), que iicia o período e termia o período. Observe que uma série de períodos tem - termos. Importate como auxílio a cofiguração de séries de valores crescetes ou decrescetes. (-)

4 Valor presete de uma série (-) =[ (+i) i i ] (+i) Valor futuro F de uma série F F =(+i) i i (-) Correspodêcia etre uma série e uma série = i (+i) (-) Represetação de fluxos de caixa em termos de, F, e. É iteressate que os diversos tipos de fluxos de caixa sejam iterpretados em termos de, F, e. ssim, a aálise deles fica facilitada. s tabelas fiaceiras mais completas supõem que os fluxos de caixa esteja orgaizados desta forma. Caso haja séries que ão correspodem exatamete às séries ou, deve-se examiar como é possível miimizar os cálculos para ão tratar todas as quatias destas séries como valores isolados. Série erpétua Deomia-se assim uma série uiforme em que o úmero de períodos é muito grade. É o caso das aposetadorias ou mesalidades de clubes. O valor presete de uma série perpétua é dado por: =lim [(+i) ] =, que pode ser vista como =i i(+i) i arte IV mortização de dívidas Sistema fracês (tabelas RICE) Sistema de amortização costate Comparação etre alterativas de ivestimeto Taxa míima de atratividade Valor presete líquido ayback

5 mortização de dívidas pós tomar um empréstimo, o devedor deverá restituir o valor deste, deomiado de ricipal, acrescido da remueração do capital, que são os Juros. pesar de secudário, porque tudo se tora dívida, faz-se uso dessa categorização para especificar as formas de devolução do pricipal mais os juros. Sistema fracês de amortização Também cohecido como Sistema de restação Costate ou Sistema rice é, provavelmete, o mais empregado o país as compras de bes de cosumo. Nesse sistema, as prestações são costates e correspodem, pois, a uma série uiforme. Seu cálculo é muito simples, podedo ser realizado, por exemplo, em campo, com o uso de uma calculadora. Sistema de amortização costate Foi popularizado pelo Sistema Fiaceiro da Habitação, que o adotou os fiaciametos da compra da casa própria. Caracteriza-se por apresetar prestações de valores decrescetes ao logo do tempo. É muito utilizado para fiaciametos de logo prazo. Nesse sistema, parte-se da premissa de que o ricipal será amortizado por meio de parcelas costates, compodo uma parte da prestação. seguda parte, correspode aos juros do período devido ao valor emprestado. Como o valor emprestado decresce liearmete, os juros dos períodos também decrescem, acarretado o decaimeto liear das prestações. Comparação etre alterativas de ivestimeto Uma empresa, ao aalisar suas alterativas de ivestimeto, utiliza diversos critérios. Num primeiro mometo, são cosiderados os aspectos ecoômicos. Outros são de caráter fiaceiro como, por exemplo, a dispoibilidade de recursos e, outros de caráter estratégico, que podem ão ser coversíveis em diheiro, como, por exemplo, mater o ível de emprego. Na área ecoômica, despotam três métodos para avaliação de ivestimetos: método da Taxa Míima de tratividade (TM), método do Valor resete Liquido e Taxa Míima de tratividade o se aalisar uma proposta de ivestimeto, deve ser cosiderado a possibilidade de estar perdedo a oportuidade de coseguir retoros pela aplicação do mesmo capital em outros projetos. ova proposta, para ser atrativa, deve reder mais que a taxa de juros equivalete à retabilidade das aplicações corretes e de pouco risco. Esta é, portato, a Taxa Míima de tratividade. Método do Valor resete Líquido Esse método caracteriza-se pela trasferêcia para o istate presete de todas as variações de caixa esperadas (recebimetos e desembolsos), avaliadas utilizado-se a taxa míima de atratividade. Um valor presete líquido positivo sigifica que o valor presete de todos os fluxos de caixa positivos é maior que o correspodete às variações egativas de caixa. ssim, será iteressate um projeto cujo valor presete líquido seja positivo, torado-se mais atrativo quato maior for o seu valor presete líquido. Método do Valor ual Uiforme Equivalete Caracteriza-se pela trasformação de todos os fluxos de caixa do projeto em uma série uiforme de pagametos equivalete, idicado dessa forma, o valor do beefício líquido por período oferecido pela alterativa de ivestimeto. Em geral, a dimesão por período de tempo é aual. ayback ou tempo de recuperação do empréstimo (ivestimeto) Deve ser ecarado com reservas, apeas como um idicador. Não cosidera algus fatores como a taxa de juros utilizada.

6 Bibliografia CSROTTO FILHO, N.; KOITTKE, B. H. álise de Ivestimetos. 9 a edição. São aulo. tlas. MOTT, R.R.; CLÔB,.M. álise de Ivestimetos. São aulo. tlas. FERREIR, R.. Matemática Fiaceira plicada. 7 a edição. São aulo. tlas.

7 Equações básicas F =(+i) l( F ) = l(+i) F = (+i) i=( F ) Juros simples: F = (+ i) Série perpétua: =i Série uiforme Série gradiete F =(+i) i = i (+i) F =(+i) i i =(+i) i(+i) = (+i) [ (+i) i i ]

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