Luiz Carlos Estraviz Rodriguez

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1 Luiz Carlos Esraviz Rodriguez Aposila para uso em cursos de formação acadêmica e capaciação profissioal. Ciação do odo ou pare dese maerial requer prévia auorização do auor. P I R A C I C A B A São Paulo - Brasil Julho 215 (reedição)

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3 CONTEÚDO 1. JUROS JUROS SIMPLES ERSUS JUROS COMPOSTOS COMPONENTES DA TAXA DE JUROS LINHA DE TEMPO FINAL DE UM ANO FÓRMULAS BÁSICAS DE JUROS SÉRIES DE PAGAMENTOS SÉRIES FINITAS alor fuuro de uma série aual fiia alor presee de uma série aual fiia alor fuuro de uma série periódica fiia alor presee de uma série periódica fiia SÉRIES PERPÉTUAS alor presee de uma série aual perpéua alor presee de uma série periódica perpéua FUNDO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL FÓRMULA DE CÁLCULO DA PRESTAÇÃO DE UM FINANCIAMENTO PLANILHA DE AMORTIZAÇÃO TAXAS DE JUROS EFETIA ERSUS NOMINAL CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA COM TAXAS INSTANTÂNEAS RELAÇÃO ENTRE INFLAÇÃO E JUROS REAIS ACRÉSCIMO E ABATIMENTO DE JUROS ÁRORE DE DECISÃO PARA FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS PARTE II. CRITÉRIOS DE AALIAÇÃO DE PROJETOS PARTE III. APLICAÇÕES FLORESTAIS Baseado os capíulos iiciais de: Guer, Joh E. e Harry L. Haey Jr Esseials of Foresry Ivesme Aalysis, OSU Book Sores Ic., Corvalis, 154 pp.

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5 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 1 1. Juros Os juros são resposáveis pelo equilíbrio ere ofera e demada de capial. É o reoro obido a parir de ivesimeos produivos de capial. Pode ser imagiado como uma reda paga pelo usuário de uma cera quaia moeária àquele que de uma forma ou de oura cede o seu direio de uso dessa quaia. A axa de juros expressa um valor emporal. Pode ser defiida como uma reda (a forma de uma axa perceual) por um deermiado período de empo (geralmee um ao). Assim, uma axa de 1% a.a. pode sigificar que uma reda de R$,1 será paga para cada R$ 1, ao fial de um ao, oalizado R$ 1,1. Desa forma, R$ 1, o começo do ao e R$ 1,1 o fial do mesmo ao são valores equivalees a juros de 1% a.a. Da mesma forma como R$ 1, o começo do ao e R$ 1,2 o fial são valores equivalees a juros de 2% a.a Juros Simples versus Juros Composos Os dois ipos de juros, simples e composo, diferem quao a forma como os juros são pagos o processo de acumulação. O juro simples é pago aualmee com base somee o pricipal iicial. O juro composo aparece quado o pagameo de juros se dá de forma acumulaiva em adição ao pricipal iicial. O seguie exemplo ilusra essa difereça: Exemplo I: Quais são os gahos sobre uma soma pricipal iicial de R$ 1, reida durae rês aos a uma axa de juros aual de 1% (a) assumido-se juros simples? (b) assumido-se juros composos? Juros Simples (R$) Juros Composos (R$) Ao 1 Ao 2 Ao 3 Ao 1 Ao 2 Ao 3 Pricipal , Juro aual ,1 Pricipal + juros ,1 Os gahos a juros simples são de R$ 3,. Os gahos a juros composos são de R$ 33,1. A difereça de R$ 3,1 se deve à forma como ocorre a acumulação dos juros. Recomeda-se o uso de juros composos a aálise de ivesimeos com vida superior a um período de capialização, pois a maioria das oporuidades de gaho de reda se baseia em juros composos. São exemplos os cerificados de depósio bacário, cadereas de poupaça, ec.

6 Compoees da Taxa de Juros Uma axa de juros é ormalmee dividida em rês pares. O mais comum é ecorar essas axas um compoee devido à preferêcia emporal. Juros, ereao, ão expressam apeas a preferêcia emporal de uso de um bem ecoômico. Embuidos os juros ecoramos mais dois compoees. Um cosidera o risco e ouro a ecessidade de correção moeária. Esses compoees ão são facilmee ideificados a práica. Por exemplo, uma axa de juros de 12% a.a. pode ser resulado de uma axa que expressa preferêcia emporal (digamos 3% a.a.), mais uma pare pelo risco de iadimplêcia (digamos 2% a.a.), e oura pare por coa da reposição devida a alerações o poder de roca da moeda (digamos 7% a.a.). Assumido um ível geral de preços cosae e uma siuação sem riscos, a preferêcia emporal expressa (em ermos perceuais) o cosumo adicioal ecessário para que um idivíduo se mosre idiferee ere possuir uma deermiada quaia hoje e uma quaia maior o fuuro. Quao maior a axa de preferêcia emporal, mais o idivíduo valoriza o cosumo presee em oposição à possibilidade de obeção de fuuras graificações. O compoee de preferêcia emporal é freqüeemee chamado de juro puro ou sem risco. É a axa média gaha em capiais ivesidos, livre siuações imprevisíveis e de riscos de iadimplêcia. Algus ivesimeos ão são ão seguros e apreseam um grade risco de iadimplêcia. A exploração perolífera, por exemplo, apresea um risco muio maior do que uma caderea de poupaça. As isiuições de emprésimo compesam o risco acresceado um exra à axa pura. Quao mais arriscado o ivesimeo, maior esse acréscimo. Por exemplo, uma isiuição de crédio pode empresar a uma axa de 12% a.a. o caso de fiaciameos segurados e a uma axa de 15% a.a. o caso de fiaciameos comus. A difereça de 3% a.a. expressa o risco da úlima aleraiva. O ouro compoee de uma axa de juros, a correção moeária, deve ser icluída o cálculo quado se aecipa a ocorrêcia de uma redução o poder de compra da moeda. De oura forma, as isiuições de emprésimo ão seriam adequadamee compesadas pelo uso do diheiro que empresam. Por exemplo, se uma deermiada quaia em diheiro é fiaciada a 1% a.a. e a iflação média aual é de 1% a.a., o omador do emprésimo eria obido um fiaciameo iseo de juros. Nauralmee, o omador gosaria desse egócio. Os fiaciadores, por ouro lado, ão. Nese caso, se cosiderada a iflação, a axa de emprésimo real deveria ser acrescida dos 1% a.a. referees à iflação. As axas correes de emprésimo ormalmee refleem os rês compoees acima ciados. Uma axa de juros real iclui preferêcia emporal e risco, mas ão iclui a iflação. A esimação da axa de juros apropriada será reomada uma próxima seção, assim como os procedimeos adequados para raar da iflação. No presee momeo, cosideraremos que a axa de juros refleirá preferêcia emporal e risco, e poderá, depededo do coexo, icluir os efeios da iflação.

7 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais Liha de empo Para aalisarmos rasações evolvedo o pagameo de juros, represearemos essa rasação graficamee em uma liha de empo. Uma liha de empo é simplesmee um diagrama que represea o empo ao logo de um eixo horizoal. As receias são mosradas acima dessa liha com um sial posiivo (+) e os cusos abaixo da liha com um sial egaivo (-). O seguie exemplo ilusra a cosrução de uma liha de empo. Exemplo II: Uma liha de empo para uma deermiada oporuidade de ivesimeo que apresea um pagameo iicial de R$ 5., um cuso aual de R$ 8, e uma receia ao fial de 4 aos de R$ 3. poderia ser represeada da seguie forma: Receias +R$3. Aos Cusos -R$5 -R$8 -R$8 -R$8 -R$8 A uilidade de uma liha de empo aumea com a complexidade do problema de ivesimeo aalisado. As lihas de empo auxiliam o aalisa a visualização das ier-relações ere os valores e o seu fluxo ao logo do empo. O arifício que permiirá a comparação de valores ocorredo em diferees isaes o empo é o juro composo Fial de um ao No Exemplo II e ao logo dese rabalho, assume-se que os cusos e receias ocorrem o fim de cada iervalo de empo básico. Algus aalisas preferem cosiderar que os cusos ocorrem o começo e as receias o fim. Cosiderar que os pagameos ocorrem o fim de cada ao ou período simplifica cosideravelmee os cálculos. De oura forma algus ajuses eriam que ser feios as fórmulas.

8 4 2. Fórmulas Básicas de Juros A aálise de rasações com juros pode ser basae simplificada se os apoiarmos em algumas fórmulas. Todos os problemas evolvedo juros composos, podem ser divididos em duas caegorias: problemas evolvedo um úico pagameo ou problemas evolvedo séries de pagameos. Ao corário dos problemas evolvedo o pagameo de uma úica quaia, as séries evolvem vários pagameos ocorredo em iervalos regulares. As séries podem aida ser classificadas como fiias ou perpéuas, auais ou periódicas. Séries fiias apreseam um úlimo pagameo. Séries perpéuas coiuam idefiidamee. Séries auais apreseam pagameos auais que ocorrem a iervalos idêicos à periodicidade da axa de juros usada a aálise. Séries periódicas apreseam pagameos separados por iervalos de dois ou mais períodos de capialização de juros. O cohecimeo das fórmulas básicas permiirá a aálise e o eedimeo de problemas mais complexos. Comecemos por problemas evolvedo um úico valor e pela expressão de uma fórmula geral para o cálculo de juros composos. Fórmula de juros composos. O desevolvimeo da fórmula de juros composos fudamea a obeção de odas as ouras fórmulas de juros. O Exemplo I mosrou o efeio da aplicação de R$ 1 a juros composos. O pricipal de R$ 1 aumea para R$ 11 ao fial do primeiro ao. Ao fial do segudo ao o pricipal mais os juros acumulados crescem para R$ 121, e ao fial do erceiro ao para R$ 133,1. Numa siuação livre de risco, o pricipal de R$ 1 a 1% a.a. de juros, é equivalee a R$ 11 o fial de um ao, R$ 121 ao fial de dois aos, ec. Uma forma de se observar esse processo é mosrado a seguir ode é o pricipal, I são os juros e i represea a axa de juros. Noe a acumulação de juros sobre juros ao logo de um processo com rês períodos de capialização. 1 ao + I + ( i ) ( 1 + i ) R$1 ( 1 +,1 ) 2 ao ( i ) 1 ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) ² R$1 ( 1 +,1 ) ² 3 ao ( i ) 2 ( 1 + i ) ( 1 + i ) ²( 1 + i ) ( 1 + i ) ³ R$1 ( 1 +,1 ) ³ = 1 = 1 = 1 =R$11, = 2 = 2 = 2 = 2 =R$121, = 3 = 3 = 3 = 3 =R$133,1

9 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 5 Em ermos gerais eríamos: = ( 1 + i ) (1) ode, = valor iicial (pricipal) i = axa de juros (decimal) = úmero de períodos de capialização dos juros = valor do pricipal depois de períodos Com o aumeo de, é evidee que calcular os valores fuuros ao a ao ão resula em um méodo muio eficiee. Felizmee calculadoras e plailhas elerôicas esão dispoíveis para simplificar esa arefa. Exemplo III: Se R$ 1 são deposiados uma isiuição a juros de 8% a.a., durae 4 aos, qual será o valor ao fial de 4 aos? O valor de ( 1 +,8 ) 4 é 1,3649. Subsiuido esse valor a Equação 1 da fórmula de juros composos eremos: = ( 1 + i ) 4 = R$ 1 (1.8) 4 4 =R$ 1 (1,3649 ) =R$ 136,49 A axa de juros é geralmee expressa como uma axa aual. Ou seja, uma axa de 1% a.a. sigifica 1% ao ao. Se o período de capialização dos juros é meor do que um ao, a axa por período é ecorada dividido-se a axa aual pelo úmero de períodos de capialização o ao. Da mesma forma, o úmero de períodos de capialização é ecorado muliplicado-se o úmero de aos pelo úmero de períodos de capialização o ao. Iso é equivalee a uma mudaça a fórmula de (1+ para (1+i/m) m, ode m é igual ao úmero de períodos de capialização o ao. Exemplo I: Assuma que o fiaciameo de uma peça de maquiaria será paga em dois aos. Se a axa é de 12% a.a., qual a axa mesal e o úmero de períodos de capialização? (1+i/m ).m = ( 1 +,12 / 12 ) = ( 1,1 ) 24 Desa forma, exisem 24 períodos de capialização (meses) e a axa de juros é de 1% ao mês.

10 6 Exercício 1: ocê em R$ 1. que podem ser ivesidos a uma axa de juros de 5,5% a.a. Qual será o valor desse capial daqui a 1 aos? Exercício 2: Se você empresa R$ 3 por 6 aos a 1% de juros a.a., quao você receberá se os juros forem acumulados aualmee? E semesralmee? Exercício 3: Supoha um depósio de R$ 5 uma caderea de poupaça por 4 aos, a 8% de juros a.a., acumulados aualmee. (a) Qual será o valor do capial e dos juros ao fial dos 4 aos? (b) De quao seria o moae se os juros fossem acumulados rimesralmee? (c) Explique a difereça ere os ies (a) e (b). Fórmula para o cálculo do valor descoado. A fórmula de juros composos pode ser modificada para se resolver ouras quesões. Reveredo a fórmula, eremos meios de calcular o valor presee (iicial) de um valor fuuro. Iso é: dividido-se ambos os lados por ( 1 + i ), se, =o ( 1 + i ) eremos: ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 (2) Esa fórmula é cohecida como fórmula de descoo ou de valor presee de uma soma simples. O procedimeo para cálculo do valor presee de uma soma fuura é deomiado descoar, ou seja, o iverso da acumulação. Exemplo : A 7% de juros a.a., qual o valor presee de um cerificado de depósio cuja mauração ocorrerá em 5 aos, ao valor de R$ 1.? 1 o ( 1 1 ( 1, 7) 1. 5 =R$1.(,71299) =R$ 7.129,9

11 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 7 Exercício 4: A 8% de juros a.a., qual o valor presee de uma oa promissória de R$ 1., resgaável em 6 aos se a axa de juros for capializada aualmee? A cada 6 meses? A cada 3 meses? Exercício 5: Supoha a exisêcia de um arredameo cujo pagameo, que será feio daqui à 3 aos, esá orçado em R$ 5,. À uma axa de juros aual de 6% a.a., qual o seu valor hoje? Exercício 6: ocê possui uma plaação de Pius que lhe rederá R$ 8., após 5 aos. À 9% de juros a.a., você poderia vedê-la hoje por R$6.? Exercício 7: Um alhão de Pius produzirá um reoro líquido de R$ 1.25 ao fial de uma roação de 3 aos. Quao um ivesidor poderá gasar o plaio para ver seu capial remuerado em 5% a.a.? E em 1% a.a.? Taxa de juros e período de empo. Se o valor presee (), valor fuuro (), e período de empo () são cohecidos, a fórmula de juros composos pode ser alerada para se ecorar a axa de juros (. Da mesma forma, se,, e i são cohecidos, poderá ser ecorado. Se, = (1+ dividido-se por ( 1 emos, ( 1 (3) Exemplo I: Uma casa foi comprada por R$ 3., e revedida 5 aos depois por R$ 44.8,. Qual a axa de crescimeo apreseado pelo valor da casa? (1 5 i 8% ( 1 R$44.8 1,46933 R$3. R$44.8 i 5 1 R$3. i,8

12 8 Exemplo II: Uma cera quaidade de madeira valedo R$ 5. esá se valorizado à uma axa de 8% ao ao. A essa axa de crescimeo, quaos aos serão ecessários para que essa madeira aija o valor de R$ 99.95,? (1 R$99.95 (1,8) 1,999 log1,8 log1,999 R$5. log1,999 9aos log1,8 Regra do 72. O período de empo para que uma quaidade dobre de valor pode ser aproximadamee obida dividido-se 72 pela axa (perceual) de juros. Por exemplo, a madeira do Exemplo II dobrará de valor em aproximadamee 72/8 ou 9 aos. Aleraivamee, para que um valor dobre em 12 aos seria ecessária uma axa de juros de aproximadamee 72/12 ou 6% a.a. Exercício 8: Supoha a exisêcia de um alhão floresal com madeira para serraria avaliada em R$ 475 quaro aos arás. Hoje, o seu valor é de R$ 646; qual a axa aual de crescimeo desse valor? Exercício 9: Se emos um volume de madeira avaliada em R$ 255/ha hoje e esperamos que em 1 aos o seu valor aija R$ 865/ha, qual é a axa esperada aual de crescimeo desse valor? Exercício 1: Um proprieário de serraria possui R$ 3., uma coa bacária rededo 9% a.a.. Quao empo ele erá que esperar para que essa quaia seja de R$ 5. e possa eão comprar uma peça para sua empresa? Exercício 11: A 8% de juros rimesrais, quao empo eremos que esperar para que uma promissória de R$ 2, dobre de valor?

13 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 9 3. Séries de Pagameos As fórmulas aé agora esudadas podem ser usadas para resolver qualquer problema de juros composos. Ereao, o úmero de cálculos ecessários ora seu uso proibiivo quado esamos raado de séries de pagameo. Imposos auais sobre bes, amorizações, e prêmios de seguros são exemplos de séries regulares e periódicas de pagameo. Fórmulas específicas para séries periódicas regulares reduzem sigificaivamee o úmero de cálculos ecessários. Como viso aeriormee, uma série de pagameos pode ser fiia ou perpéua, aual ou periódica. Agruparemos iicialmee as séries periódicas em fiias e perpéuas Séries fiias Muios fluxos de pagameos apreseam uma duração defiida. No caso de um ivesimeo, é frequeemee desejável calcular-se ao o valor fial como o valor iicial desse fluxo alor fuuro de uma série aual fiia O cuso aual de se capiar uma plaação de árvores serve de exemplo como uma série de pagameos aual fiia. O cuso da capia ocorre a cada ao ao logo de oda roação. Para se ecorar o cuso oal da capia a ser gasa quado do core das árvores, cada cuso aual deve ser levado para o fim da roação a uma axa apropriada de juros. Sedo a igual ao valor do pagameo (cuso da capia), emos: pagameo o ao = a pagameo do ao -1 = a (1+ pagameo do ao -2 = a (1+ 2 primeiro pagameo = a (1+ -1 Graficamee, essa série é ilusrada a Figura 1. (1+ -1 Pagameo aual $a $a $a $a Ao Figura 1: alor fuuro de uma série aual fiia. (1+ 2 (1+

14 1 No fuuro, a soma dos pagameos ( ) é : = a + a (1+ + a ( a (1+ -1 Muliplicado ambos os lados da expressão por (1+, emos (1+ = a (1+ + a ( a ( a (1+ e subraido-se a seguda equação da primeira, obém-se: (1+ - = a (1+ - a Faorado, [1 + i - 1] = a [(1+ - 1] Dividido ambos os lados por i, a[( 1 1] i (4) A equação (4) calcula do alor Fuuro de uma Série Aual Fiia. Exemplo III: A 1% a.a. de juros, qual o valor fuuro dos cusos com capia de R$ 5, por ao acumulados depois de 8 aos? 8 a[( 1 1] 5, [( 1 1, ) 1] 5718, i 1, Exercício 12: A 7% de juros a.a., qual é o valor acumulado de R$ 1,5 cobrado como imposo erriorial por ha depois de 15 aos? 25 aos? 5 aos? Exercício 13: Uma mia de cascalho é descobera as erras da Cia XYZ durae aividades de plaio. A Cia XYZ compra R$ 1. de cascalho por ao o mercado comum para coservar suas esradas de acesso. Se a mia for explorada para subsiuir as compras, de quao será a ecoomia ao fial de 5 aos, quado a mia esiver esgoada? Assuma 9% a.a. como cuso do capial. Exercício 14: A poda de árvores de aal cusa em média R$ 6, por ha por ao do erceiro ao oiavo ao uma roação de 8 aos. A 9,5% de juros a.a., qual o valor acumulado desses cusos?

15 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais alor presee de uma série aual fiia É ão ecessário cohecer o valor presee de uma série aual fiia quao o seu valor fuuro. Se o valor fuuro é cohecido, o valor presee pode ser calculado descoadose o valor fuuro aé o iício da série. O valor presee (), porao, é igual ao valor 1 fuuro () vezes ( 1 ), ou i ( 1 Sabedo que emos, a[( 1 1] i a [( 1 1] i a [( 1 1] ( 1 i ( 1 A equação (5) calcula o alor Presee de uma Série Aual Fiia. (5) Exemplo IX: Qual o valor presee dos R$ 5,/ha/ao as capias do Exemplo III? (i = 1%, = 8 ). 8 a [( 1 1] 5, [( 1 1, ) 1] 26, 67 8 i ( 1 1, ( 1 1, ) O valor fuuro era de R$57,18. Cofere? 1 Coferido: ( , (, ), Exercício 15: A 11,5% de juros a.a., qual o valor presee de R$ 3, por ha de imposos errioriais a serem pagos durae 15 aos? 25 aos? 5 aos? Exercício 16: Os cusos auais de proeção cora icêdios para um alhão de pius são de R$,25 por ha. Se a roação é de 8 aos e a axa de juros é de 8% a.a., qual é o valor iicial dessa série de cusos para uma roação? Exercício 17: O pagameo de R$ 1, pelo arredameo para caça de 1 ha por ao uma área oal de 3. ha oaliza ao fial de 25 aos, assumido-se 9% de juros a.a. Esses pagameos apreseam um valor presee de.

16 12 Exercício 18: Uma empresa madeireira em a opção de arredar 5. ha para paso a R$ 2, por ha por ao durae 5 aos ou aceiar um pagameo iicial úico de R$ 4.. A 8% de juros a.a., qual a aleraiva mais ieressae? alor fuuro de uma série periódica fiia Uma série periódica fiia difere de uma série aual fiia porque os iervalos ere pagameos evolvem dois ou mais períodos de capialização. As receias proveiees de uma repeição de roações floresais para produzir oras para produção de celulose, sem desbases iermediários, e com uma idade de roação de aos, serve como exemplo de uma série periódica fiia. Para se ecorar o valor fuuro dessa série, assume-se que : a = quaia periodicamee paga (receia com core) = úmero de pagameos (roações) = iervalo ere pagameos (aos em cada roação) Assim, ao fial de roações o pagameo do ao será a o pagameo do ao (-1) será a (1+ o pagameo do ao (-2) será a (1+ 2 o primeiro pagameo será a (1+ - Graficamee: (1+ - (1+ 2 (1+ Pagameos periódicos $a $a $a $a Ao (-2) (-1) Figura 2. alor fuuro de uma série periódica fiia. No fuuro, a soma dos pagameos ( ) é : = a + a (1+ + a ( a (1+ - Muliplicado ambos os lados por (1+, obém-se (1+ = a (1+ + a ( a ( a (1+ Subraido-se a seguda expressão da primeira, resula:

17 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 13 Faorado, (1 + - = a (1 + - a [ ( ] = a [( ] Dividido ambos os lados por [( ], resula ( 1 1 a ( 1 1 ( 6 ) A equação (6) calcula do alor Fuuro de uma Série Periódica Fiia. Exemplo X: A 9% a.a. de juros, uma plaação que produz R$ 1. de receia líquida por ha a cada 25 aos apresea um valor fuuro de ao fial da quia roação. (1 a (1 1 (1,9) $1 1 (1,9) ,89 Exercício 19: A 8,5% de juros a.a., 4 ha de árvores de aal produzem R$ 2. de receias líquidas por ha a cada 9 aos apreseado um valor fuuro de o fial da 4ª roação. Exercício 2: Um cosulor floresal se defroa com um problema de compra de um camihão. Preede coiuar com o seu camihão aual por mais 3 aos, quado vedê-lo poderá ober um ovo a um cuso líquido de R$ 5.. Se rocar o camihão pelo mesmo preço a cada 3 aos durae os próximos 3 aos, qual seria o valor fuuro a 8% de juros a.a. logo após a úlima compra? Assuma que o úlimo camihão é comprado 3 aos aes do fial do período. Exercício 21: Um viveirisa plaa uma variedade orameal que fica proa para ser vedida em 5 aos. A receia líquida por ha o fim desse período é de R$ 7. A 8% de juros a.a., qual o valor fuuro ao fial de 25 aos para um ha?

18 alor presee de uma série periódica fiia Como vimos, o valor presee de uma série pode ser ecorado descoado-se o valor fuuro aé o iício da série. No presee caso, represea o úmero oal de períodos de capialização ere o iício e o fim da série de pagameos: Da fórmula (6), ( 1 ( 1 1 a ( 1 1 a [( 1 1] ( 1 1 ( 1 a [( 1 1] [(1 + 1]( 1 (7) A fórmula (7) calcula o alor Presee de uma Série de Periódica Fiia. Exemplo XI: Cosiderado juros de 9% a.a., qual o valor presee das primeiras quaro roações de um alhão floresal que produz R$ 5. de receia líquida a cada 3 aos? 12 (1,9) 1 R$5. 3 [(1,9) 1](1 1,9) ,62 Prova Perceual alor Presee 1ª roação R$ 5. 1 / (1,9) 3 = 3.786,5 92,5 2ª roação R$ 5. 1 / (1,9) 6 = 284, 7, 3ª roação R$ 5. 1 / (1,9) 9 = 21,5,5 4ª roação R$ 5. 1 / (1,9) 12 = 1,5,4 4.75,5 Exercício 22: Um plaio de 4 hecares de árvores de aal resula em uma receia líquida de R$ 2.5 por ha ao fim de cada roação de 8 aos. A juros de 1% a.a., qual é o valor presee de cico roações?

19 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 15 Exercício 23: Um alhão floresal poderá receber desbases a cada 5 aos e produzir madeira para serraria a um valor de R$ 1.5. A juros de 9,5% a.a., qual o valor presee de uma sequêcia de 1 desbases? Exercício 24: Qual o valor presee o Exercício 23, se mais 1 cores fossem possíveis? 3.2. Séries Perpéuas A produção coíua de uma floresa coduzida de forma suseada é um exemplo familiar aos floresais de um recurso capaz de gerar receias idefiidamee. Obviamee, o valor fial dessa série ão pode ser calculado. Mas, o valor presee pode ser esimado alor presee de uma série aual perpéua Se o maejo suseado produz um reoro aual regular, o valor presee dessa série perpéua é ecorado aravés da seguie fórmula: a (8) i A fórmula (8) calcula o alor Presee de uma Série Aual Perpéua e pode ser obida a parir da fórmula (5) para cálculo do valor presee de uma série aual fiia. a[( 1 1] i( 1 Fazedo = e recohecedo que ( (1+, emos a [( 1 1] i ( 1 a i Exemplo XII: A juros de 8% a.a., qual o valor presee de uma floresa de maejo suseado que produz um reoro líquido de R$ 1. por ao? 1. $12. 5, 8 Ierpreação aleraiva: Se R$ 12.5 forem deposiados em uma coa a 8% a.a. de juros, R$ 1. poderão ser reirados da coa ao fial de cada ao idefiidamee. Iso porque a =. i a = R$ 12.5.,8 = R$ 1.

20 16 Exercício 25: Qual o valor de um bem de capial capaz de produzir R$ 6 por ao, cosiderado uma axa de 8% a.a.? Exercício 26: Espera-se a cobraça de uma pea baseada em uma mula perpéua de R$ 2 por hecare por ao. Qual o valor dessa pea se cosiderada uma axa de 6% a.a.? alor presee de uma série periódica perpéua Uma vez que a produção a maioria das propriedades floresais ocorre a iervalos maiores do que um ao (quado do core o fial de um ciclo floresal ou de uma roação), é frequeemee desejável esimar-se o alor Presee de uma série periódica perpéua de receias. As receias de uma plaação de Pius coduzida em roações seguidas de aos cada, sem desbases iermediários serve como exemplo. O valor presee dessa série pode ser ecorada assumido-se primeiramee que : a = pagameo periódico = iervalo ere os pagameos periódicos Assim: valor presee () do pagameo do ao = do pagameo do ao 2 = do pagameo do ao = a ( 1 a ( 1 a ( 1 2 Graficamee: (1+ - (1+ -2 (1+ -3 (1+ - Pagameos $a $a $a $a Aos 2 3 Figura 3. alor Presee de uma série periódica perpéua. O valor presee () dessa soma de pagameos pode ser represeada por: a a a a 1 i 1 i 1 i 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 3

21 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 17 Uma vez que cada ermo é o ermo precedee muliplicado por a ( 1 ) expressão assume a forma de uma série geomérica. A fórmula geral de uma série geomérica é: m b ( 1 r ) S ( 1 r) i a Se fizermos: e subsiuirmos: a Uma vez que ( 1, S a b ( 1 1 r ( 1 m a 1 1 ( 1 1 i ( ) 1 1 ( 1 a ( ( 1 a ( ( 1 Muliplicado umerador e deomiador por ( 1 + i ) a [( 1 1 ] (9) A fórmula (9) calcula o alor Presee de uma Série Periódica Perpéua. Exemplo XIII: A 9% a.a. de juros, qual é o valor presee de um hecare de erra, o qual se coduzem sucessivas roações de uma mesma aividade floresal cuja receia líquida a cada 4 aos é de R$ 3.?

22 [( 1, 9) 1] 986, 4 Exercício 27: Qual o valor de um alhão floresal de 8 ha que produz R$ 6/ha de receia líquida a cada 25 aos, se cosiderados juros de 7% a.a.? Exercício 28: Quao você pagaria por um hecare de erra cuja melhor aleraiva de uso é produzir árvores de aal em roações de 9 aos, com uma receia líquida a época de core de R$ 2.5/ha e um cuso de oporuidade do seu capial de 9,5% a.a.? A fórmula para o cálculo do alor Presee de uma série periódica perpéua, assume que os pagameos são feios o fim do período de pagameo. Se os pagameos são feios o iício do período de pagameo basa icluir a fórmula o primeiro pagameo: a a ( 1 1 Exemplo XIa: Resolva o Exemplo XIII cosiderado esa ova fórmula [( 1, 9) 1] 3986., 4 Exercício 29: Quao valeria o mesmo hecare de árvores de aal o Exercício 28 se o projeo fosse avaliado imediaamee aes de um core? Exercício 3: Qual o valor de um alhão floresal de 4 hecares que resula uma receia líquida de $ 3/ha a cada 3 aos e que esá preses para ser explorado? Use uma axa de 4,5% a.a.. Um alhão floresal de idade uiforme esará o iício ou fim de uma roação somee (1/r) % do empo, ode r é igual ao iervalo da roação (se r = 5 eríamos iício ou fim em 2% do empo). Na maior pare do empo o alhão esará em alguma idade iermediária, digamos o ao k. Podemos dizer eão que a chace de esarmos ieressados em ecorar um valor iermediário de uma série periódica perpéua é basae grade. A fórmula para esse cálculo é: k a( 1 ode k é igual ao úmero de aos após o úlimo pagameo. ( 1 1

23 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 19 Uma vez que o próximo pagameo a será recebido em (-k) aos, o umerador [a (1+ k ] capializa esse próximo pagameo aé o ao k da próxima roação. Depois o deomiador raz uma série perpéua dessas quaias composas para o seu valor presee. A seguie liha de empo ilusra esse processo: (1+ k (1+ k (1+ k Pagameos $a $a $a $a Aos k k 2 k 3 k 4 Figura 4: alor presee de uma série periódica um ao iermediário. Exemplo XIb: Qual o valor presee do alhão do Exemplo XIII se a idade das árvores fosse 3 aos? Lembre-se que a uma axa de 9% a.a. o valor presee da série de receias líquidas de R$3. a cada 4 aos era de R$986,4. 3. ( 1, 9) (, ) 1387., Exercício 31: Aos 4 aos, qual o valor presee do projeo descrio o Exercício 28? Exercício 32: Um alhão floresal de 1 ha com 5 aos de idade deve produzir uma receia líquida de R$1.45 quado aigir o seu ciclo fial de 6 aos, e assim coiuar idefiidamee. Qual o valor presee desse projeo a uma axa de 7% a.a.? 3.3. Fudo de Acumulação de Capial Um fudo de acumulação é um ipo de coa ode, a iervalos regulares, se realizam depósios com o objeivo de acumular durae um cero iervalo de empo uma quaia fial de capial. O capial é acumulado dessa maeira com um propósio específico. Geralmee se refere à reposição de uma peça de equipameo. Esse fudo é uma variação da fórmula para séries auais fiias. Diferem porque ese caso o valor fuuro é cohecido, resumido-se o problema à ecorar a quaia a que deve ser deposiada

24 2 regularmee à axa de juros i para que se acumule a quaia fuura desejada. A fórmula pode ser usada para pagameos semaais, mesais, rimesrais, ec. A fórmula do fudo de acumulação é obida a parir da equação (4) para cálculo do alor Fuuro de uma Série Aual Fiia : ( 1 1 a i Muliplicado ambos os lados por i e dividido por (1+ -1, obemos:. i ( 1 1 i a ( 1 1 i ( 1 1. i a ( 1 1 ( 1 ) Exemplo X: O cuso de reposição de um equipameo de baldeação de oras é esimado em R$2. em 4 aos, quado eão esse equipameo apreseará um valor ulo (valor de sucaa = ). Se o madeireiro formar um fudo de amorização, quao deposiar aualmee se a axa paga pela coa remuerada for de 5% de juros a.a.? a $2., 5 (, ) 4. 64, A Figura 5 ilusra esse exemplo com 4 aualidades. (1+,5) 3 (1+,5) 2 (1+,5) 1 Pagameos 4.64,2 4.64,2 4.64,2 4.64,2 Aos , , , , ,82 Figura 5: Acumulação de um fudo de acumulação com quaro pagameos. Exercício 33: Um equipameo o valor de R$25. precisa ser reposo em 6 aos, quado o aual erá que ser abadoado. Calcule o valor aual de reposição para uma axa de 6% a.a.. Exercício 34: Se você plaejasse rocar o seu carro aual que vale R$8. por um de valor semelhae daqui a 5 aos, cosiderado depósios em uma coa remuerada que paga 6% a.a., qual seria o valor aual de reposição

25 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 21 ecessário? Cosidere um valor de reveda do seu carro velho de R$1.. Exercício 35: Refaça o exercício 34 cosiderado presações mesais e juros mesais Fórmula de Cálculo da Presação de um Fiaciameo Esa é oura variação da fórmula de séries fiias auais. É largamee uilizada para o cálculo do valor das parcelas de um fiaciameo. Desa forma, o valor iicial, a axa de juros i, e o úmero de pagameos são cohecidos. O problema é ecorar o valor da presação a. A fórmula é obida a parir da equação (5) para cálculo do alor Presee de uma série fiia aual. ( 1 1 a i( 1 Muliplicado-se ambos os lados por i (1+ e dividido-se por [(1+ -1], obemos: i ( 1 ( 1 1 i ( 1 a ( 1 1 i( 1 ( 1 1 i ( 1 a ( 1 1 (11) Exemplo XI: Qual o pagameo aual regular para um emprésimo de R$1., se a axa de juros é de 12% a.a. e o prazo é de 5 aos para pagar? 5,12(1,12) a R$ 1. $ (1,12) 1 Exercício 36: Supoha que uma pá carregadeira o valor de R$ 3. foi fiaciada a uma axa de 12% a.a.. Qual seria o valor da presação para quiar ese fiaciameo em 5 aos? E se os pagameos fossem mesais? Exercício 37: Cosidere pagameos auais para o caso de um emprésimo de R$35. pagáveis em 2 aos a uma axa de 8% a.a., e calcule o valor da presação. Exercício 38: Se você ivesse empresado R$4.5, qual seria o valor da presação mesal se a axa fosse de 12% a.a. e o emprésimo pudesse ser amorizado em dois aos e meio?

26 22 Exercício 39: Uma quaia de R$11.7 foi empresada para compra de um loe de leha em 15 pagameos mesais. Supodo juros de 2,5 % ao mês, qual o valor da presação? 3.5. Plailha de Amorização A amorização se refere à liquidação de um fiaciameo aravés de presações regulares. Para imposos e ouros propósios, os coribuies gosariam de saber que pare do pagameo se desia ao pagameo de juros e que pare se refere ao pagameo do pricipal. Por serem os juros geralmee compuados sobre o saldo devedor, esa porção será maior durae os períodos iiciais e meor os úlimos períodos. Uma plailha de amorização pode ser cosruída para se mosrar a evolução do capial pricipal e dos juros: 1. Calcular a presação usado a equação (11): i( 1 a ( Calcular a pare correspodee aos juros do pagameo muliplicado-se o valor da quaia a ser saldada pela axa de juros. Para o primeiro pagameo eríamos:. i 3. Subrair os juros calculados o passo 2, do valor da presação obido o passo 1 para que se possa ober o valor do pricipal. 4. Subrair a porção pricipal da quaia sedo fiaciada para se ober o saldo devedor. 5. Repeir os passos 2 a 4 para os pagameos subsequees. Exemplo XII: Cosrua um plailha de amorização de um fiaciameo de R$7. referee a compra de uma camioee. Assuma 36 pagameos mesais a 1% de juros mesais. 1. alor da presação: 36,1(1,1) a R$ (1,1) 1 a R$232,47

27 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais Juros o primeiro pagameo R$ 7. (,1 ) = R$ 7, 3. Pricipal o primeiro pagameo R$232,47 - R$7, = R$162,47 4. Saldo devedor após o primeiro pagameo. R$7. - R$162,47 = R$6.837,53 5. A plailha complea ficaria assim: Pagameo Juros ( R$ ) Pricipal ( R$ ) Saldo Devedor ( R$ ) 1 7, 162, ,5 2 68,37 164, , ,73 165, , ,8 167, , ,4 169, ,9 6 61,71 17,79 6.,3 7 6, 172, ,8 8 58,28 174, , ,54 175, , ,78 177, , , 179,5 5.12, ,2 181, , ,39 183, , ,56 184, , ,71 186, , ,84 188, , ,96 19,54 4.5,5 18 4,5 192, , ,13 194, , ,18 196, , ,22 198, , ,24 2, , ,23 22, , ,21 24, , ,17 26, , ,1 28,4 2.22, ,2 21, , ,92 212, , ,79 214, , ,64 216,

28 ,47 219, , ,28 221,22 97, ,7 223,43 683, ,84 225,66 458, ,58 227,92 23,2 36 2,3 23,2, O úlimo pagameo difere do pagameo mesal devido ao acúmulo de arredodameos. Exercício 4: Supoha que R$18. são empresados para a compra de um equipameo. Cosrua um programa de amorização assumido 5 pagameos mesais iguais a uma axa de 12 % ao mês. 3.6 Taxas de Juros Efeiva versus Nomial É práica comum especificar a axa de juros em ermos auais. Quado os juros são capializados diária, mesal, rimesral, ou semesralmee, mas apreseados em ermos auais, surge o problema de expressar a axa efeiva. Se a axa aual é calculada aravés da muliplicação da axa periódica pelo úmero de períodos sujeios à capialização para cada ao, diz-se que a axa é omial aual. A axa que realmee capializa os juros gahos ou pagos é chamada de axa efeiva aual. A fórmula para cálculo da axa efeiva é apreseada da seguie forma: ode, i = (1 + i/m) m -1 i = axa omial aual a forma decimal. i = axa efeiva aual a forma decimal. m = úmero de períodos sujeios à capialização por ao. Exemplo XIII: Os juros de um carão de crédio são cobrados a uma axa de 1,5% ao mês. Qual a axa aual omial e a efeiva de juros? Taxa omial aual: 1,5% ao mês x 12 meses por ao = 18% Taxa efeiva aual : 12 i 1, ( 1, 15) 1 12 =,19562 ou 19,56% a.a. Exercício 41: Se juros forem cobrados a uma axa de 1% ao mês, calcule as axas efeivas e omiais auais.

29 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 25 Exercício 42: A axa omial é de 1% a.a. Qual a axa efeiva aual se os juros forem acumulados rimesralmee? Uma aálise deve sempre cosiderar juros efeivos, pois eses são os juros que acabam sedo realmee pagos. Por exemplo: se juros de 1,5% (axa omial aual de 18%) são capializados mesalmee, eão 1,5% é a axa efeiva e deve ser usada uma aálise com os período de empo medidos em meses. Se o período de empo iver que ser medido em aos, a axa de juros efeiva a ser usada deveria correspoder a 19,56% a.a., e ão os 18% de juros omiais auais Capialização coíua com axas isaâeas A fórmula de juros composos = (1+ r) pode ser modificada, para cosiderar a capialização isaâea (um grade úmero de períodos de capialização dero do ao), da seguie forma: r r lim [ ( 1 / ) ] [lim 11 / r ] e ode: = alor o ao ; = alor o ao ; r = axa de juros omial aual; e = aos de capialização à axa de juros r. A modificação resula o ermo ere colchees, que por defiição correspode ao úmero aural [ e = limx (1+1/x) x ]. Para uma capialização coíua, porao, a axa aual efeiva é : r = e r - 1 ode, r = axa decimal aual efeiva r = axa decimal omial isaâea (capializada coiuamee) que resula a axa efeiva e = 2,71828 (úmero de Neper, base do logarimo aural ou eperiao) Exemplo XIX: O Las Naioal Bak paga 5,25% capializados isaaeamee em cadereas de depósios especiais. Qual a axa aual efeiva? r = 2, ,525-1 =,539 ou 5,39% a.a. Exercício 43: Para axas omiais de 1% e 2% a.a., quais as respecivas axas efeivas auais se os juros forem acumulados isaaeamee? / r r 3.8. Relação ere iflação e juros reais A iflação mede um aumeo geeralizado dos preços das mercadorias e dos serviços. Reflee, porao, a perda de valor da moeda ou a dimiuição do seu poder aquisiivo. Se os valores expressos em um deermiado fluxo de caixa ão sofrem perda de poder aquisiivo cosidera-se que a sua avaliação foi usada uma moeda de valor cosae. Caso corário, se o período de aálise esá sujeio aos efeios da iflação, observamse valores medidos em moeda corree.

30 26 Diversos ídices são uilizados para acompahar periodicamee a evolução dos preços das mercadorias e serviços. Os rês idicadores mais usados para medir a iflação o Brasil são o INPC do IBGE (Isiuo Brasileiro de Geografia e Esaísicas), o IPC da FIPE (Fudação Isiuo de Pesquisas Ecoômicas) e o IGP da FG (Fudação Geúlio argas). O Quadro 1 apresea a siuação desses ídices e de ouros idicadores de variação o mês de abril de 24. Quadro 1: ariações perceuais de algus idicadores ecoômicos INPC/IBGE IPC/FIPE Dez/93 = 1 ariações Perceuais Ju/94 = 1 ariações Perceuais Mês Ídice No mês No ao 12 meses Mês Ídice No mês No ao 12 meses Mar/ ,26 1,51 4,21 8,42 Mar/15 418,88,7 3,58 7,39 Abr/ ,8,71 4,95 8,34 Abr/15 423,49 1,1 4,72 7,78 Mai/ ,37,99 5,99 8,76 Mai/15 426,1,62 5,36 7,87 Ju/ ,36,77 6,8 9,31 Ju/15 428,8,47 5,85 8,1 IGP-M/FG Ago/94 = 1 ariações Perceuais Mês Mar/15 Abr/15 Ídice 137, ,49 No mês,98 1,17 No ao 2,2 3,21 12 meses 3,15 3,54 INPC - Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor IPC - Ídice de Preços ao Cosumidor IGP-M - Ídice Geral de Preços do Mercado Mai/ ,17,41 3,64 4,1 Ju/15 141,5,67 4,33 5,58 Ouros idicadores Nome Dez/14 Ja/15 Fev/15 Mar/15 Abr/15 Mai/15 Ju/15 12 meses IPCA/IBGE (%),78 1,24 1,22 1,32,71,74,79 8,89 IC/DIEESE (%),52 2,25 1,4 1,26,55,57,81 8,81 CUB/Sidusco (%),3,33,1,6,34 2,9 1,13 5,4 TR (%),11,9,2,13,11,12,18 1,39 TJLP (%),42,46,46,5,5,5,5 5,55 Poupaça (%),61,59,52,63,61,62,68 8,18 CUB - Cuso Uiário Básico; DIEESE - Deparameo Iersidical de Esaísica e Esudos Socioecoômicos IC -Ídece do Cuso de ida; TR - Taxa de Referêcia; Siduscom - Sidicao da Idusria da Cosrução; TJLP - Taxa de Juros de Logo Prazo Foes: A variação de um mesmo ídice, decorrido um cero período de empo, pode ser expressa a forma de uma axa de variação. A esa axa de variação deomia-se axa de iflação. Se os valores de um fluxo de caixa são medidos em valores cosaes, dizemos que usamos valores deflacioados e a axa de juros a aálise refleirá juros reais. Os juros reais expressam remueração sobre valores calculados em moeda cosae (reirado o efeio da iflação). Se os valores forem medidos em moeda corree, a axa de juros da aálise rará embuido um efeio iflacioário. Desa forma

31 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 27 a axa de juros oal poderia ser decomposa em duas axas: uma para expressar a variação do valor da moeda (iflação) e oura para refleir a variação real dos ivesimeos. O efeio combiado da variação real e da variação iflacioária resula em uma axa de variação omial. Cosiderado uma axa omial de variação i, uma axa de iflação j e uma axa real de juros r, é possível expressar a decomposição e a relação ere as rês axas da seguie forma 1 : (1+ = (1+r) x (1+j) r = (i-j) / (1+j) ou aida: i = r + j + rj Noa-se que a soma simples da axa de iflação e da axa real ão resula a axa omial, pois é aida ecessário somar o ermo rj que expressa a parcela dos juros reais corrigidos pela iflação Exemplo XX: Cosidere o adiameo da aquisição de um equipameo que esava programada para abril/25 e que só foi efeuada em abril/26. Digamos que o INPC possa ser uilizado para refleir a variação o preço dessa máquia. O recurso ão uilizado para comprar o equipameo em abril de 25 foi aplicado em CDBs (cerificados de depósio bacário) que rederam 12% omiais o período de um ao. A decisão de adiar a compra do equipameo foi um bom egócio? Houve gaho real ao opar pela aplicação? De acordo com a variação do INPC apreseada o Quadro 1 o preço do equipameo aumeou em 3,34% a.a.. Sabedo-se que a aplicação redeu omialmee 12% a.a., aplica-se a fórmula para r que permie cocluir que houve gaho real igual a: r = (,12 -,334) / (1 +,334) =,838 (i.é 8,38% a.a.) Exercício 44: Um deermiado ivesimeo floresal redeu 21% a.a. A iflação o mesmo período foi de 17,3% a.a.. Qual foi a axa real de reoro? Exercício 45: Uma caderea de poupaça que paga correção moeária mais,5% ao mês recebeu como aplicação o produo da veda de um alhão floresal para leha. A variação o ídice de iflação do mês foi de 2% e o preço por eséreo de leha aumeou de R$ 12, para R$ 12,35 esse mesmo período. Foi um bom egócio er vedido a madeira? Exercício 46: Um produor floresal, o mês de abril de 1999, fez os seus cálculos para egociar a veda de suas árvores para uma empresa produora de celulose. 1 Para maior clareza cosidere C o valor iicial corrigido moeariamee pela axa de correção moeária do período (axa de iflação); e N como o valor corrigido C aplicado a uma axa r. Desa forma, eríamos: N = C (1+r) = (1+j) (1+r) ou aida (1+ = (1+j) (1+r) que resula a equação de Fisher (1+ = (1+j) (1+r)

32 28 O preço exigido pelo produor para começar a egociação omou como referêcia o valor recebido pelo seu viziho um ao aes, corrigido pela variação do INPC o período, mais uma axa de juros reais de 4% a.a. Qual foi o preço exigido pelo produor, sabedo-se que o valor recebido pelo viziho em abril de 1998 foi de R$ 9,15/s? Qual foi a axa real efeivamee recebida pelo produor, sabedo-se que ele fechou o corao de veda a R$ 9,8/s? 3.9. Acréscimo e Abaimeo de Juros A discussão precedee sobre presações de um fiaciameo foi baseada a premissa de que os juros são pagos somee sobre o saldo devedor. Dois ouros méodos de se ober os pagameos de um fiaciameo que são algumas vezes empregados por empresadores merecem meção. Exemplos ilusrarão ambos os processos. Exemplos XXI: Supoha que você irá ober um fiaciameo a uma axa aual de acréscimo de 1%. Se o emprésimo é de R$1. por um ao, os juros cobrados são de R$1. Acresceado-se R$1 de juros aos R$1. do pricipal obém-se uma quaia oal a ser paga de R$1.1. Assumido-se que o pagameo será saldado em 12 presações, o pagameo mesal será de R$ = R$91,67. As axas auais ao omiais como efeivas dese exemplo são cosideravelmee maiores do que 1% da axa de acréscimo esipulada. A axa omial aual pode ser ecorada a parir da fórmula para cálculo da presação de um fiaciameo. Da fórmula (11), Subsiuido : a i i ( 1 ) a i i i ( 1 ) ( 1 ) 1 ( , 67 i( , ( i( 1, ( 1 1 O faor para 12 aos e 1,5% a.a. de juros é,9168. A axa omial aual é aproximadamee 1,5% x 12 = 18%. A axa efeiva esse caso é quase o dobro da axa de acréscimo. i = ( 1 + i / m) m - 1 i = ( 1 +,18 / 12 ) 12-1 i = 19,56% a.a.

33 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 29 Exemplo XXII: Novamee, assuma um emprésimo de R$1. a ser pago em 12 presações mesais. Desa vez, o empresador uiliza uma axa de descoo de 1% a.a. para um fiaciameo de R$1.111,11. O pagameo pelo fiaciameo para um ao é de R$1.111,11 x,1 = R$111,11. Depois de deduzir os R$111,11 de pagameo pelo fiaciameo dos seus R$1.111,11 você receberá a quaia requerida: R$1.. O seu pagameo mesal é de R$92,59 ($1.111,11 dividido por 12 meses). A fórmula (11), de recuperação do capial, é ambém usada para se ecorar a axa omial aual para essa axa de descoo de 1%. Para =12 eríamos a a i( 1 ( 1 1 i( 1 ( , 59 i( ( i( 1, ( 1 1 Taxa de juros Muliplicador Difereça Razão ere as difereças 1,5%,9168 -,9259,91 2,%,9456,197,46 A axa mesal é de 1,5% + (,5 x,46) = 1,73% e a axa omial aual é 1,655 x 12 = 2,76%. A axa efeiva aual represea um acréscimo de 21% Árvore de Decisão para Fórmulas de Juros Composos A árvore de decisão para fórmulas de juros composos (Figura 6) forece um resumo das fórmulas. A árvore de decisão é usada respodedo-se a uma série de perguas aé culmiar com a fórmula apropriada. O seguie exemplo ilusra o processo: qual o cuso acumulado, com juros, de um imposo erriorial aual uma plaação de Pius para uma úica roação? Começado pelo ó de decisão à esquerda da árvore, pergua-se se a siuação requer um pagameo aual ou um valor fuuro ou presee. Nese poo, o problema se refere a um cuso aual acumulado de um imposo - um valor fuuro. Em seguida,

34 3 esá se lidado com uma soma simples ou com uma série de pagameos? Imposos auais referem-se a uma série de pagameos. Iso leva a oura pergua: é uma série perpéua ou fiia? Uma úica roação é obviamee fiia. Os pagameos são feios (ou recebidos) aualmee ou periodicamee? Imposos são pagos aualmee. Fialmee, deseja-se um valor fuuro ou presee? Por se raar de um valor acumulado deseja-se um valor fuuro. Desa forma, o valor fuuro de uma série aual fiia é igual a: a 1 i 1 i Para ouros problemas, esse processo se repee aé se chegar a uma das fórmulas lisadas.

35 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 31 Figura 6: Árvore de Decisão para Fórmulas de Juros Composos Número de Iervalo de Iervalo ere No. o Pagameos Tempo Pagameos alor Fórmula Texo Um Fuuro = ( 1 + i ) (1) Presee = / ( 1 + i ) (2) a[( 1 1] Fuuro i Aual a [( 1 1] Presee i ( 1 Fiia ( 1 1 Fuuro a ( 1 1 Periódica a [( 1 1] Série Presee [(1 + 1]( 1 (4) (5) (6) (7) Perpéua a Aual Presee (8) i a Periódica Presee [( 1 1 ] (9) Foe: Adapado de Guer & Haey (1984).

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37 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais 33 PARTE II CRITÉRIOS DE AALIAÇÃO DE PROJETOS Baseado em: Klemperer, W. David Fores Resource Ecoomics ad Fiace, McGraw- Hill, Ic., New York, p Rodriguez, Luiz C.E Tópicos de Ecoomia Floresal. Documeos Floresais, Piracicaba (12):39-49.

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39 Maemáica Fiaceira e Criérios para a Avaliação de Aivos Floresais Alocação de Capial Ivesidores alocam os seus recursos moeários visado a maximização do valor dos bes de capial (recursos capazes de gerar bes de cosumo e/ou serviços) à sua disposição. Admiisradores, por exemplo, procuram aumear o valor da empresa para os acioisas. O proprieário de um camihão procura fazer com que o seu ivesimeo ão apeas lhe permia comprar ouro camihão quado do érmio da vida úil do seu ivesimeo, como a parir dele espera ambém remuerar o seu rabalho e, se possível, aumear a froa e expadir os egócios. Toda aividade produiva, porao, evolve a alocação de capial em um processo que se espera remuerará adequadamee os ivesimeos. Obviamee, projeos floresais ão fogem à regra. Precisamos, ereao, ser mais claros e defiir melhor o ermo adequadamee. Para isso vamos reformular o osso problema a forma de uma pergua: Como aalisar o desempeho de um ivesimeo em um projeo floresal? É imporae dispor de aleraivas e de algum criério que classifique essas diferees oporuidades de ivesimeo exisees. Para aalisar e classificar essas diferees aleraivas usaremos écicas de maemáica fiaceira para avaliar o reoro sobre o capial. Com o objeivo de preparar a base para a discussão dos problemas floresais reservados para a pare fial dese curso, faremos um reiameo iicial uma plailha elerôica básica, de uilização basae simples e flexível, que os permiirá esudar os pricipais criérios de avaliação de projeos. A parir desa fase, as aividades esarão ceradas a uilização de plailhas elerôicas especialmee desevolvidas. Cópias dessas plailhas acompaham esa aposila. No próximo iem, de forma basae resumida, são apreseadas as fórmulas básicas. Para maiores dealhes, e uma excelee discussão dos prós e coras de cada méodo, recomeda-se a leiura de Klemperer (1996). Ouras foes básicas a área floresal são Guer & Haey (1984) e Rodriguez (1991). 2. Criérios de Avaliação de Projeos com Horizoes Regulares Dere os criérios mais cohecidos emos: o alor Presee Líquido (PL), a Taxa Iera de Reoro (TIR), e a Razão Beefício/Cuso (B/C). Todos esses criérios se apreseam implemeados a plailha 2.MaFi.xlsm. O PL pode ser ierpreado como o valor máximo a pagar por um projeo, dadas ceras receias, cusos e uma axa de reoro esperados. A axa de reoro ou axa míima aceiável (TMA) deve ser esabelecida pelo ivesidor. Como criério

40 36 poderíamos, porao, defiir que a escolha recairia sobre os projeos com mais alo PL. A fórmula do PL pode ser assim apreseada: ode, PL R ( 1 C ( 1 R = receia o ao, C = cuso o ao, e i = axa (real e efeiva) míima aceiável de reoro A Taxa Iera de Reoro (TIR) de um projeo é aquela que ora o valor presee da receias meos o valor presee dos cusos igual a zero, ou seja PL=. Nese caso, o criério esabelece preferêcia por projeos apreseado TIR superior à Taxa Míima Aceiável (TMA) de reoro esabelecida pelo ivesidor. Re-escrevedo a fórmula do PL, eríamos: R ( 1 TIR) C ( 1 TIR) ale lembrar que uma TIR é úica ( ou iera ) e exclusiva do projeo sedo aalisado e ão deve ser cofudida com a TMA. A Razão Beefício/Cuso (B/C) de um projeo é o resulado da divisão do valor presee das receias pelo valor presee dos cusos, calculados à Taxa Míima Aceiável (TMA) de reoro esabelecida pelo ivesidor. Essa razão é às vezes ambém chamada de ídice de lucraividade: B / C R ( 1 C ( 1 De acordo com ese criério, projeos apreseado B/C maior do que 1 seriam preferidos aos demais. Noa-se as rês fórmulas acima uma grade similaridade ere criérios. A plailha 2.MaFi.xlsm permie uma aálise mais dealhada dessas semelhaças o gráfico que acompaha cada aálise. Exemplo XXIII: Em um hecare de erra o agrese Paraibao gasa-se R$ 325 para implaar o culivo da Algaroba. Os cusos auais de maueção são cosiderados desprezíveis. A parir do 8 o. ao de idade espera-se uma reirada aual de 25 s/ha de leha. No 12 o. ao é feio o core raso