Faculdades Adamantinenses Integradas (FAI)

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1 Faculdades Adamaieses Iegradas (FAI) ROCHA, Naiara Chierici; BOTTA, Vaessa. Diâmica populacioal aplicada à população de Adamaia. Omia Exaas, v.2,.2, p.56-65, 2009.

2 DINÂMICA POPULACIONAL APLICADA À POPULAÇÃO DE ADAMANTINA POPULATION DYNAMICS APPLIED TO POPULATION ADAMANTINA Naiara Chierici da Rocha Vaessa Boa Deparameo de Maemáica, Esaísica e Compuação, FCT/UNESP, Presidee Prudee, SP aiara.chierici27@homail.com, boa@fc.uesp.br RESUMO O uso da modelagem maemáica vem crescedo muio os úlimos aos, pois os modelos maemáicos são uilizados a compreesão de problemas do osso coidiao. Como exemplo, emos os modelos de diâmica populacioal, que represeam o comporameo de uma deermiada população aravés de equações difereciais ordiárias. Nese rabalho, esudaremos a diâmica populacioal do muicípio de Adamaia (SP) aravés dos modelos maemáicos proposos por Malhus e Verhuls, com o objeivo de comparar os dados obidos aravés da modelagem maemáica com os dados oficiais do SEADE (Sisema Esadual de Aálise de Dados) e ambém fazer uma previsão do úmero de habiaes de Adamaia os próximos aos aravés dos modelos esudados. Palavras-chave: diâmica populacioal, modelos maemáicos, equações difereciais ordiárias auôomas. ABSTRACT The use of mahemaical modelig has bee icreasig i rece years, because mahemaical models are used i udersadig he problems of everyday life. As a example, he populaio dyamics models, which represe he behavior of a give populaio hrough ordiary differeial equaios. I his paper, we sudy he dyamics of Adamaia couy populaio (SP) hrough mahemaical models proposed by Malus ad Verhuls, i order o compare he daa obaied by mahemaical modelig wih he official daa from SEADE (Sae Sysem for Daa Aalysis ad also o predic he umber of ihabias of Adamaia i he comig years hrough he models sudied. Keywords: populaio dyamics, mahemaical models, auoomous ordiary differeial equaios Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de

3 Diamica populacioal aplicada à população... INTRODUÇÃO O modelo de Malhus foi criado em 978 e gerou uma acirrada corovérsia o começo do século XIX, pois Malhus afirmava que a população mudial crescia apeas em proporção geomérica, equao os meios de sobrevivêcia cresciam apeas em proporção ariméica. Porao, a população seria corolada por fome, miséria e muias ouras coisas da aureza. Já o modelo de Verhuls ou modelo logísico foi apreseado em 837 e propõe que o crescimeo da população é limiado por um faor logísico, que é a capacidade de suseação do meio ambiee. Ese modelo supõe que uma população, vivedo um deermiado meio, crescerá aé um limie suseável, ou seja, ela ederá a uma esabilidade. A equação icorpora a queda do crescimeo da população que esá sujeia a um faor iibidor. A parir deses dois modelos maemáicos, será feia uma comparação com os dados do úmero de habiaes de Adamaia obidos pelo SEADE os aos de 970, , 996, 2000 e 2007 com os dados dos dois modelos, e ambém será feia uma previsão do úmero de habiaes para os aos de 200, 205 e BREVE HISTÓRICO Apareemee, o ecoomisa briâico Thomas Malhus ( ) foi o primeiro a observar que muias populações biológicas crescem a uma axa proporcioal à população. Seu primeiro arigo sobre populações apareceu em 798. Verhuls ( ) foi um maemáico belga que iroduziu um modelo maemáico para o crescimeo populacioal humao em 837. Ele se refere a esse crescimeo como crescimeo logísico; por isso, o modelo de Verhuls é chamado, muias vezes, de modelo logísico. Ele ão foi capaz de esar a precisão do seu modelo devido a dados iadequados do ceso e ão recebeu muia aeção aé muios aos depois. A cocordâcia razoável do modelo com dados experimeais foi demosrada por R. Pearl (930) para populações de Drosophila melaogaser (mosca das fruas) e por G. F. Gause (935) para populações de Paramecium e Tribolium (besouro da fariha). MODELO MALTHUSIANO Dada uma população, aimal ou vegeal, pode-se calcular sua variação em fução do empo da seguie forma: d (), () d ode () assume somee valores ieiros. Assim, () é classificado como sedo uma fução discrea de, mas, quado o úmero de idivíduos é suficieemee grade, () é aproximado por uma fução coíua. Ese modelo é baseado uma população em codições perfeias para o seu desevolvimeo, ou seja, sem guerras, epidemias, e muios ouros desasres aurais. 58 Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de 2009

4 Diamica populacioal aplicada à população... Os modelos discreo e coíuo de Malhus são apreseados a seguir. Modelo discreo de Malhus Seja k c m, ode c é o coeficiee de aalidade e m o coeficiee de moralidade. Assim, k será a axa de crescimeo específico da população (). Esa axa que será cosiderada cosae, iso é, ( ) ( ( c m k. (2) Observado a equação (2), coclui-se que a axa de crescimeo da população é proporcioal à própria população em cada período de empo. O modelo discreo de Malhus é dado por ( ) ( k(. (3) Cosiderado que a população iicial seja (0) 0, eão a solução do modelo discreo de Malhus será dada a forma Ou seja, (0) ( 0 k). ( k) 0. (4) Assim, dada à população iicial, é possível fazer esimaivas dessa população em qualquer empo. A equação (4) pode ser reescria a forma expoecial, iso é, Modelo Coíuo de Malhus l( k) () 0e. (5) d A solução da equação () é d ( ( ( será o modelo coíuo. ( ( lim, ode 0 Sedo dada a população iicial, a solução do modelo coíuo será: 0 ( e. (6) Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de

5 Diamica populacioal aplicada à população... Aalisado as duas soluções, podemos cocluir que os modelos com a mesma população iicial forecem o mesmo resulado, ou seja, as soluções são a mesma, cosiderado l( k ). Assim, dados os dois modelos, as soluções para o cálculo de cera população de idivíduos da mesma espécie são idêicas. Mas os modelos de Malhus são iúeis para calcular populações em espaços de empo muio logos, pois eses modelos ão levam em coa os problemas que podem ocorrer eses períodos. Assim, o valor esimado sempre será muio acima da população real. Ouro problema dos dois modelos de Malhus é cosiderar que as axas de aalidade e moralidade serão sempre cosaes. Mas quado se raa de população devem-se levar em coa os idivíduos que ão podem se reproduzir; assim, os modelos falham mais uma vez. Os poos posiivos desses modelos são que a parir deles é que começaram a surgir ovos modelos para o cálculo de populações. Um exemplo é o modelo de Verhuls. Os modelos populacioais são muio usados para o cálculo (esimaiva) de população em curo espaço de empo, por exemplo, o crescimeo de bacérias, para que se possam fazer projeções e omar decisões a respeio da mesma (BASSANEZI, 2002). MODELO DE VERHULST A equação diferecial ordiária apreseada abaixo represea a variação da população, em relação ao empo: dn d f( N). Temos que a axa de variação é uma fução do úmero N de idivíduos o isae, mas f( N ) deve er um formao parabólico, ou seja, a axa é posiiva iicialmee e depois se ora egaiva. Chegamos eão ao seguie modelo: dn KN ( N ). d Resolvedo esa equação diferecial ordiária separável, obemos: dn KN( N) d dn N( N) Kd dn N( N) Kd dn N( N) K d Resolvedo a iegral parcial e usado a propriedade de logarimo aural, emos 60 Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de 2009

6 Diamica populacioal aplicada à população... N () k ce k ce. Supodo N(0) N 0 (população iicial), obemos Porao, c N0 N. 0 N () Ne ( ) k 0 k N0 N0e. (7) Nese modelo de Verhuls, difereemee do modelo de Malhus, exise um limiar ou um limie para o qual a população ede quado o empo cresce. Podemos pesar que esse limiar é um úmero L de idivíduos, ou seja, se a população iicial é meor que L idivíduos, ela ede crescer aé o limie. Por ouro lado, se a população iicial é maior que L, ela ede a decrescer aé L. Ese limiar L é chamado de capacidade oal do meio, ou seja, o meio supora esa quaidade de idivíduos. APLICAÇÃO DOS MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL NA POPULAÇÃO DE ADAMANTINA Uilizaremos os modelos de Malhus e Verhus para calcular o úmero de habiaes da população de Adamaia. Os dados usados para esa comparação foram adquiridos pelo SEADE (Sisema Esadual de Aálise de Dados) o sie Os cálculos serão feios aé o ao de 2020, com o objeivo de fazer uma previsão do úmero de habiaes do muicípio. Na Tabela. são apreseados os valores da população de Adamaia segudo os dados oficiais do SEADE. Tabela -População de Adamaia forecida pelo SEADE Ao Adamaia Modelos de Malhus Modelo Discreo Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de

7 Diamica populacioal aplicada à população... O primeiro passo é adquirir o faor de crescimeo da população, omado dois valores disios de. Cosiderado a equação (4), do modelo discreo de Malhus, e fazedo igual à população do ao de 980 e 0 a população de 970, podemos calcular o valor da axa de crescimeo k da população: ( k) ( k ) k k, k 0, Porao, a axa de crescimeo da população de Adamaia foi de aproximadamee 0,8% ao ao ere os aos de 970 e 980. Com esa axa é possível esimar o crescimeo da população adamaiese de 970 aé 2020, usado o modelo discreo de Malhus. A população de 970 é cosiderada como população iicial ( ). Logo, 0 l( 0,0008) e 3776., Modelo Coíuo Os mesmos dados usados a seção aerior serão usados agora para o modelo coíuo, dado pela equação (6). Cosiderado ambém as populações de 970 e 980 para o cálculo da axa de crescimeo para o modelo coíuo de Malhus, obemos o valor de β: e e ,008 0,0008. e, l,0082 Com ese valor vamos esimar a população adamaiese para 980, 99, 996, 2000, 2007, 200,205 e 2020, sedo que a população iicial será a população da década de 70. Assim, (970) Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de 2009

8 Diamica populacioal aplicada à população ,0008 0,008 (980) e (980) (99) 3232 (996) (2000) (2007) (200) (205) (2020) (980) e (980) 3776.,0082 Os valores obidos pelos dois méodos de Malhus são sieizados a Tabela 2 Para faciliar a comparação, a primeira colua esão os dados oficiais do SEADE. Tabela 2-População de Adamaia segudo Malhus, ere 970 e 980 Ao Dados do SEADE Malhus Coíuo Malhus Discreo Observado a Tabela 2 verificamos que os valores obidos pelos dois méodos de Malhus são praicamee idêicos. Porém, algus valores são superiores aos dados oficiais do SEADE. Iso se deve ao fao de se raar de modelos expoeciais, sedo que a edêcia da população de Adamaia com eses modelos é crescer sem parar. Além disso, o iervalo ere uma observação e oura da população, 0 aos, é relaivamee grade. Além disso, como a axa de crescimeo da população de Adamaia é muio pequea, a população vai crescedo devagar. Modelo de Verhuls Da mesma forma que foi feio para o modelo de Malhus, primeiro é ecessário calcular a axa de crescimeo da população para que possa ser feia à esimaiva da população desejada. k Isolado e a equação (7) obemos o valor da axa de crescimeo, que é 8 k 2,5 0. Dessa forma, podemos esimar o valor da população de Adamaia para os aos em quesão. 8 0 ( 2,5 0 ) N(0) 3776e 8 0 ( 2,5 0 ) e N(0) N (2) Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de

9 Diamica populacioal aplicada à população... N (26) N (30) N (37) N (40) N (45) N (50) Uma comparação ere os valores oficiais do SEADE e os valores obidos os modelos coíuos de Malhus e Verhuls pode ser feia aravés da Tabela 3. Tabela 3 População de Adamaia, segudo Verhuls, ere 970 e 980 Ao Dados do SEADE Malhus Coíuo Verhuls Na Tabela 3 verificamos que os valores obidos pelo modelo de Verhuls são próximos aos valores obidos pelo modelo de Malhus. As curvas de crescimeo da população de Adamaia segudo os dados oficiais do SEADE e os dois modelos são apreseadas a Figura. CONCLUSÕES Ese rabalho apreseou uma comparação ere modelos de crescimeo populacioal de Malhus e Verhuls. Podemos observar que os dois modelos são parecidos em suas formulações maemáicas, porém eles se difereciam os valores dos cálculos obidos. 64 Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de 2009

10 Diamica populacioal aplicada à população... Ese fao é devido às cosiderações que foram feias a elaboração de cada modelo e, além disso, o modelo de Verhuls é basicamee o de Malhus com um limie para a população do ambiee deermiado. O modelo de Malhus cosidera o crescimeo populacioal cosae e ese crescimeo é ilimiado. Nese caso, o modelo de Malhus cresce bem devagar pelo fao da população de Adamaia er uma axa de crescimeo muio pequea. No modelo de Malhus o crescimeo populacioal é uma razão geomérica, mas ão leva em cosideração o fao de que a axa de aalidade ão cresce a mesma razão da população do ambiee, equao que o modelo de Verhuls a axa de crescimeo é proporcioal ao amaho da população, além do fao de que a população é limiada ao ambiee em que esá iserida. Assim, com eses dados e comparações, podemos cocluir que o modelo de Malhus é mais eficiee quado o iervalo de empo é curo e com o modelo de Verhuls já ocorre o corário, ou seja, obemos melhores aproximações quado o iervalo de empo é logo. Porao, o modelo de Malhus é eficiee para o cálculo de população que eha um período reproduivo curo, como as bacérias, ere ouros. Já o modelo de Verhuls pode ser usado para o cálculo de população com período de reprodução loga, mas, devido a sua simplicidade, ese modelo é coesado. Os modelos de Malhus e Verhuls foram esseciais a elaboração de modelos eficiees para deermiar a população de um deermiado ambiee. Eses ou ouros modelos serão sempre úeis para se esimar populações, de forma que o ambiee possa ser preparado para o crescimeo ou decrescimeo dessas populações. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI, R. C. FERREIRA JR. W. C. Equações difereciais com Aplicações. São Paulo: Ediora Harbra Lda, 988. BRONSON, R. Modera Irodução às Equações Difereciais. São Paulo: Ediora McGrew-Hill do Brasil, 976. BASSANEZI, R. C. Esio-apredizagem com modelagem maemáica, uma ova esraégia. São Paulo Coexo, 2002 DADOS POPULACIONAIS DE ADAMANTINA. Dispoível em: hp:// acessado em: 5 se FIGUEIREDO, D. G., NEVES, A. F. Equações Difereciais Aplicadas. Jaeiro: Ediora Impa, 2002 Rio de Rev. OMNIA EXATAS, v.2,.2, 56-65, Jaeiro/juho de