( ) ( ) ( ) ( ) MATEMÁTICA 2 VOLUME 2 RESOLUÇÕES - EXERCITANDO EM CASA. L = 6x + 180x = (x 15). T(h) = h + 22h 85.

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1 MATEMÁTICA VOLUME RESOLUÇÕES - EXERCITANDO EM CASA AULA. D Escrevedo a lei de T a forma caôica, vem T(h) = h + h 8 = (h h + 8) = [(h ) 6] = 6 (h ). Assim, a emperaura máxima é 6 C, ocorredo às horas. Tal emperaura, segudo a abela, é classificada como ala. x y ( y) = x =. A área, A, do reâgulo é dada por A = x y ( y) = y = y. Desde que a área é máxima, emos x =. y = e. C b 8 xmáx = = xmáx = a. C máx h = + 8 h = 8m máx Seja L = ax + bx + c, com L sedo o lucro obido com a veda de x uidades. É fácil ver que c =. Ademais, como a parábola passa pelos poos (, ) e (, ), emos a + b = a = 6 a + b = b = 8 Porao, segue que L = 6x + 8x = 6(x ). O lucro máximo ocorre para x = e é igual a R$.,.. B Vamos admiir que x + seja o cuso de produção de x uidades e que 8x 6 seja o valor de veda desas x uidades. Cosiderado que L(x) seja a fução do lucro, emos:. B L(X) = 8x 6 (x + ) L(x) = -x + 8x - 8 Deermiado o x vérice, emos o valor de x para o qual o lucro é máximo: b 8 X V = = = a.( ) A medida do lado do riâgulo equiláero é igual a 6 cm. = Logo, sua alura é = cm. Além disso, o reâgulo de base xcm deermia um riâgulo equiláero de lado igual a xcm, com < x <. Por coseguie, da semelhaça dos riâgulos equiláeros, vem 6. E Calculado: y + x = 6 y = 6 x reâgulo reâgulo S = x y = x 6 x = 6x x 6 xmáx = xmáx = ymáx = S = = m. 7. A Seja X o úmero de lugares vagos. Logo, a receia, R, é dada por 8. D R = (x + )( x) = (x + )(x ). Dode segue que o úmero de lugares vagos para o qual a receia é máxima é + xv = =. Porao, a resposa é =. Cosidere a fução V(x) = C. x. (R x) escria a forma V(x) = CRx Cx. Para que a velocidade seja máxima devemos er b CR xv = = = R. a C Eão V = V R = CR R CR máx V máx = CR A velocidade a uma disâcia R/ é igual a R R R V = RC C R CR V = CR R V = CR

2 Eão a velocidade a uma disâcia R/ é igual a 7% da velocidade máxima. 9. B Pode-se reescrever a fução dada o euciado: h + = h = +. B Fazedo o esudo do sial de cada uma das fuções e depois o sial do quociee ere elas, emos: Sabedo que raa-se de uma fução do segudo grau, seu gráfico será uma parábola cujo vérice (poo máximo) represea a alura máxima aigida e o empo decorrido desde o laçameo. Assim, a alura máxima h máx será dada pelo vérice da parábola, calculado pela fórmula: b a c ( ) hmáx = = = a a ( ) h = 7 m máx De forma aáloga, subsiuido o valor de h máx e calculado a coordeada x do vérice, em-se: 7 = = + b x = = x = s a. D = cliees, o AULA. B o Receia = R = cliees, preço do quilo preço do quilo = + cliees = 8 R = 8, + R = vérice = = preço do quilo = + = ( ) Porado, a solução da iequação quociee será dada por: S = {x x < ou < x < ou x > }.. E Tem-se que (x 6x 8)( x) < x + (x )(x ) > < x < ou x >.. A A receia r obida com a veda dos pães é dada por r = p( p). Logo, queremos calcular o valor de p al que r R$, e a quaidade q seja máxima. Assim, emos p( p) p p + p. A quaidade q é máxima quado p é míimo. Porao, segue que p =. Resolvedo a iequação emos < x < 8, logo o valor de x par que perece à solução é x = 6.. C V B < V A 8 +, x < +, x, x, x + < x x + < Resolvedo a iequação, emos: < x <. Para as disâcias maiores que km e meores que km o preço da empresa B será meor que o preço da empresa A.

3 6. A Queremos calcular os valores de x para os quais L B(x) > L A(x) e L B(x) > L C(x), ou seja, 8 x + > x x + e x + > e x < ou x + > x e x (x )(x ) < e < x < ou x < x < e x > < x <. Porao, o iervalo pedido é ], [. 7. D Sedo p >, vem p p p D(p) = F(p) = p 9p p + = p =. 8. D Para que o lucro seja superior a R$.7, faremos L(x) >,7. x + x >,7 x + x,7 > O lucro será superior a R$.7, quado o úmero de peças produzidas e vedidas esiver ere. e 6. uidades. 9. A Sabemos que o comprimeo da ela é m. Eão x + y + x + x = y = 9 x A área da região de lazer deve ser maior que 8 m. Eão: x y > 8 x 9 x > 8 x + 9x 6 > < x <. C A receia diária R será: R = y p R = ( 9 p) p R = 9p p Como a receia deve ser maior do que R$ 9, eão: 9p p > 9 p + 9p 9 > Eão o valor de p deve ser al que R$, < p < R$,. AULA. D Valor da coa em abril: R$,. Valor da coa em maio: + x = R$ 7,. Aumeo de R$,. % x% x = x = 78, %. D Sejam f, g :, respecivamee, as fuções + que associam os cusos oais, em reais, os plaos Supermiuos e Superarifa, a um cosumo de miuos. Logo, em-se que, se f() = e g() =, + 6.,6, se > Para, o plao Supermiuos é mais barao do que o plao Superarifa se, + 6 > >. Para >, o plao Supermiuos é mais barao do que o plao Superarifa se, 6 <, + 6 <. Em cosequêcia, o plao Supermiuos ceramee será selecioado para cosumidores que usarem ere e miuos o mês.. B Seja f: a fução que relacioa o valor mesal pago, f(x), com o úmero de ligações, x, efeuadas o mês. Tem-se que, se x < f(x) =, (x ) +, se x <, se x, se x < =, x +, se x <., se x Porao, dere os gráficos apreseados, só pode ser o da aleraiva [B].. C A lei da fução c é dada por:, se x cx = + (x ), se x >, se x cx = x, se x >. C Seja C: a fução defiida por 9, se < C() = 9 +,9( ), se 9, se < =,,9 + 9,, se

4 em que C() é o valor a ser pago pelos cliees que oparem pelo plao A, e é o úmero de miuos uilizados. Assim, o gráfico que melhor represea a fução C é o da aleraiva [C]. 6. C De acordo com as iformações, obemos a fução p:, defiida por:, se < < p() =, 9, se em que p() é o preço uiário de uiformes. Porao, a empresa E pagou p() = = R$.,, equao que a empresa E pagou 6 p(6) = 6 9 = R$ 7.,. 7. C Como a vazão das bombas de gasolia é cosae, segue que para a lei da fução V é da forma V() = a + b. Daí, como o aque iha liros o isae =, e a vazão das bombas é de L mi, cocluímos que V() = +. Sabedo que os próximos 9 miuos o gráfico de V é pare do ramo de uma parábola cujo vérice é o poo (, ), emos que a lei de V, para <, é da forma V() = a ( ). Assim, como V() = + = L, vem V() = a ( ) a = = Porao, +, se V() =. ( ), se < 6 8. D a Solução: Temos que: i) para <, vem + 8. Logo, [, [ [, + [ =. ii) para <, ecoramos + 8 ( ) Eão, [, [ [ 7 +, 7 + [ = [, [. iii) para, vem + 7. Daí, [,[ ], 7] = [, 7]. Porao, como [, [ [, 7] = [, 7], segue que o úmero de dias, dero do período chuvoso, em que a alura do ível da represa é maior do que ou igual a meros é dado por 7 + = 6. a Solução: Esboçado o gráfico da fução N, obemos a figura abaixo. Porao, segue que o úmero de dias, dero do período chuvoso, em que a alura do ível da represa é maior do que ou igual a meros é dado por 7 + = C Preço do pacoe azul em fução dos de miuos de uso. 8, se x Px = 8 +,9. ( x ), se x > Preço do pacoe laraja em fução dos de miuos de uso., se x Px = +,. ( x ), se x > Comparação dos pacoes: Se x o pacoe azul será mais vaajoso. Se < x o pacoe laraja será mais vaajoso se: < 8 +, 9 x > 8 +, 9x 9 x > 7 Porao 7 < x. Se x >, o pacoe laraja sai mais vaajoso se: +, x < 8 +,9 x +, x < 8 +, 9x 9 x > 66 Porao, x >. Logo, para ser mais vaajoso coraar o pacoe laraja, comparaivamee ao pacoe azul, o úmero míimo de miuos de ligação que o usuário deverá fazer é 7.

5 . C Resolvedo a equação, emos: + 8 x x = + x + 8 = x + 8 x( ) = ( + ) ( + ) x = Se = x =, ão covém, pois < ( + ) é falsa. Se = x =, covém, pois < ( + ) é verdadeira. Se = x =, ão covém, pois < ( + ) é falsa. Assim sedo, ambos esarão à mesma velocidade após erem percorrido m. AULA. E Fazedo os cálculos: s() =.8 (, ) s() =.8 (, ) s() = 99,6. C Sedo f(x) o úmero de células após x divisões, com x {,,,, } = e f(x) {,,6,8, }, só pode ser, dere as fuções apreseadas, a da aleraiva [C].. A Tem-se que N =, 6 =. O úmero previso de víimas, os acidees com moos, para é dado por N() = (, ) =.7.. C Sabedo que N(898) = N, emos 898α N(898) = N N = Ne 898 α e =. Queremos calcular o valor de para o qual se em N() = N. Daí, segue que. D Após horas, eremos: N = N e e = Após 6 horas, eremos: 6 N(6) = N e = N e = N = 7 N Porao, a resposa correa será a aleraiva [D], 7 vezes. 6. C Se f() = 6, eão b = 6. Ademais, sabedo que f() =, vem 9 = 6 a a =. Por coseguie, a resposa é 9 f() = 6 = R$ 8.6,. 7. C Com os valores do gráfico e do euciado, pode- -se escrever: x y = a x, = a a =, y =,,,,, y =, = = = ( ) = 8. C N() = C A N() = C A = C = N() = A = A = A = 8 ( ) N() = N() = 9. E Tem-se que k k = 6 e e =. Logo, para = h = 6 miuos, vem k 6 k Q(6) = 6 e = 6 (e ) = 6 8 =, 8.. E y = 6.e,. y = 6.e,9, y = 6. ( e ) y = 6.(,) 89 (87 < 89 < 9) α N() = N N = N (e ) = = Porao, o resulado esá ere e aos. AULA. C,6 () Para = V() = = Logo, Para =? V() =

6 =,6 () =, 6 () = = 6,6 (). E Se B() = 8, eão podemos escrever:. C B() = 8 = = 8 Por dedução, o expoee de cujo resulado da poêcia resulam em 8 é, pois = 8. Assim, em-se que =, logo = horas.,8,8,8 T = 6 +,8 6 = 6 + = 6 = =,8 =,8 =, miuos.. B Vamos deermiar de modo que N() seja 678, resolvedo a equação abaixo: 9 + = = ± 7 = = 7 = ou = (ão covém) Resposa: = horas.. D Para =, h sabe-se que q = g. Logo, k,,k = =, k = k =. 6. D Queremos calcular o valor de para o qual N() = 7. Logo, = 7 =. Porao, como 8 < < 6 < <, segue que ], [. 7. B De acordo com as iformações, vem N k k = N = k =. 8. B Sabedo que a meia-vida da droga é de h = 6mi, emos que: 9. A k 6 6k q(6) = = = k =. 6 Desse modo, a quaidade da droga presee o orgaismo desse aimal imediaamee aes de se aplicar a seguda dose é: 6 q() = = = mg. De acordo com o euciado, o aimal fica sedado se mg = mg da droga esiverem presees em seu orgaismo. A fim de maer o aimal sedado por mais miuos, emos que a quaidade de droga presee o orgaismo desse aimal, adicioada à quaidade da seguda dose, deve ser al que 6 q() mg q q mg. Porao, sabedo que após miuos da aplicação da primeira dose havia mg da droga o orgaismo do aimal (iem (a)), segue que a quaidade de droga a seguda dose deve ser de: = mg. A disâcia ere as hases é B, pois O é o poo médio de AB. Logo, B f(b) =, + =, B B B, + = B B B B B (, ), 6 + = (,) =,6, = ±, 7 = B = ou ou. =, B = Como B >, segue que B = = m.. B Seja o úmero de aceros do aluo. A cada acero, o aluo fica com seus poos muliplicados por ; e a cada erro, fica com seus poos muliplicados por. Desse modo, sabedo que o aluo ficou devedo poos, emos que 6

7 8 6 = = =. Porao, o aluo acerou perguas e errou 8. = AULA 6. A Queremos calcular o meor valor de para o qual se em f() 6. Assim, vem que B Como o úmero de esferas acresceadas a cada eapa cresce segudo uma progressão geomérica de razão, segue que, após eapas, o volume ocupado pelas esferas é igual a,. Daí, o úmero de eapas ecessárias para que o volume oal de esferas seja maior do que o volume do recipiee é al que, > > + Como 6 > +. 6 < <, segue que = 6.. B V() = 6.. V() = = 6..(/8) = 7 Resposa R$ 7.,.. B Subsiuido: B Se a quaidade iicial x se reduz à meade em horas eão : k k x = xe e = Daí após horas eremos : k k x = x e x = x e x = x x = x x = x x = x 8, x = x x 7, 7% x 8 6. D Calculado o úmero iicial de bacérias, emos: 7. A 8. B, N() = = Vamos deermiar o valor de em horas de modo que o úmero de bacérias seja.,, =. =, = = = h, 6mi h = = mi Cosiderado equação: 9 6, = B() = 6,, emos a seguie 6, 9 = = 6 = = = h. 6 = = = = = Resposa horas. 9. C Deermiado m = c.a -k. m o = c. Como em aos m foi reduzido para, m, emos:,.m = m.a a k = Em aos: M() = k.k k = = = m.a m.a m.,.m Correspodedo a % de m.. A y = y. x y =.. x 89.. =.. x 96 = x = x x =. AULA 7. E Q = log d d = 6 Q = log 6 = log Q =. 7

8 . A Deermiado o aumeo perceual depois de 6 miuos ( hora), emos: B(6) = log (6 + ) + = + = Porao, o úmero de bacérias após uma hora será dado por: + =, =.. A Número iicial o visor = x Tecla B = x Tecla A = log x ( ) Tecla B = log x = log x = x = x = =.. D Calculado: P = máx,, = (, ), = 6,, = 6,, =, = log, = log log, = = log log, =,6, =, 6 parcelas 6. B Para que a população brasileira seja 9% da suposa população de esabilização, deveremos er, 9 8 = 8 9 e,9(97) e = 9,9(97) e = 9, 9( 97) =, 9,9 97 =,9 = D Fazedo x =,, emos:,9(97) L L L log =, 8, log = = L =, lumes. 8. D E E M = log E log = 9, E 9, log =, = E, 8 E = 9. A Basa subsiuir o valor procurado a equação. Primeiramee oe o valor de Q() =, (,) Q() =, (,) Q() =,. C Tem-se que E E M M = log log = E E E = E M M E = E. Daí, como M = 9 e M = 7, vem E = E. Porao, segue que E = E 7 6 = E = E. 7 E = E e Aplicado o valor procurado: Q() =, (,) 6,6 =, (,), 7 = (, ) log (, 7) =, Aplicado odos os valores de possíveis para as aleraivas emos: = (,) =, = (, ) =, = (, ) =, 78 = (, ) =, 76 Logo, como = correspode ao ao de o ao correo seria de 9.. E Seja k, com < k <, a abscissa do poo para o qual se em h logk =, ou seja, h = logk. h Assim, emos = log( + k), iso é, h = log( + k). Daí, vem 8

9 log( + k) = logk log( + k) k = log Porao, emos h = log( + k) + + = log = log. AULA 8. E Para =? P() = P() P() = (, ) P() = Logo, k + k = + + k =. P() = P() (,) = (,) = Aplicado logarimos, emos: log(, ) = log log = log ( log log ) = log ( log + log log ) = log ( (,) +,8 ) =,8 (,8 ) =,8 = aos.. D. B V = V i (, 7) =,, =,9 log, = log,9 log = log log log = log log,77 =,77 =,7 aos. Desde que logab = loga + logb, e a log log a log b b = b log a = b a =, para quaisquer a e b reais posiivos, emos E E 8, 9 = log log =, 7 7,9 loge log7 =, loge =, + log7 log loge =, +, 8 E = kwh.. E Sedo V o volume iicial do líquido e V o volume após um deermiado empo, podemos escrever a seguie fução com as iformações do problema. V = V (, 96) Admiido que a icógia. V V =, emos a seguie equação V = V (, 96) = (, 96) = (, 96) 96 log = log(,96) log = log, 6 = log96 log, 6 = log( ), 6 = log + log,6 =, +,8, 6 = (, ) = horas.. C A quaidade Q da subsâcia o orgaismo, em µ g ml, após miuos, pode ser dada por k Q = Q e, com e sedo o úmero de Euler. Logo, se a coceração iicial é 6 depois passa a ser de µ g ml, eão k 8 k 8 µ g ml e 8mi = 6 e e =. Porao, a meia-vida da cisplaia é al que Q 8 = Q 8 = = 8, 7 = 8, mi. 6. E Queremos calcular para o qual se em M() =, A. Sabedo que a meia-vida do césio-7 é aos, ecoramos A k A M() = A (, 7) = k (, 7) =. 9

10 7. C Assim, omado, como aproximação para log, vem ( ) k M() =, A A [(,7) ] =, A = log = log log = log,, ou seja, o resulado procurado é, aproximadamee, aos. V() = V, V = V, = Aplicado logarimo a base os dois membros da igualdade, emos: log, = log = log =, =,... Uilizado uma casa decimal, como foi pedido o euciado ecoramos o seguie valor para. =,h = h e (, 6)mi = h e 8mi. 8. B, Q() = Qe Q, = Q e, e = =,,69 =, =. Aplicado o logarimo decimal dos dois lados da igualdade, emos: 6 log = log log = log log log log = log log log, =,,8, =,,, =,8 8 = 7 = do mês, porao, 7 dias.. E O úmero de classificações possíveis correspode a P6 = 6!. Porao, sedo x = 6!, emos logx = log6! logx = log6! logx = log + log! logx = log + log! logx, +, x. Em cosequêcia, como x esá mais próximo de do que de, segue-se que a ordem de gradeza pedida é de rilhões. AULA 9. A 9. A Deermiado o valor de quao N() =, emos: = +. + = = 8 8 = 6 =. C O gráfico da fução y = log(x) é o que mais se aproxima da curva cosiderada. = Q() = % Q() = = = 6 % 6 =, 6 = = =, 8 = log, 8 = log log, 8 =

11 . A Mas, 8 log, 8 log log, 8 = = = log log log 8 log log log = = = log log log,, = = = = log,, Assim, = = = = horas = 8mi = hmi. Lembrado que b >, emos a c = a com a > e log b c log b, Q Q = = Q log = log Q = log Q = log = log. Q. E Seja a fução p: +, dada por p() = p (,), com p() sedo a população do país após aos. Logo, como queremos calcular para o qual se em p() = p, vem p = p (,) log(,) = log log(,) = log. A f(c) = c =. f(b) = b =. f(a) = a =,. Porao, a + b + c =, log = log,,,86 =. 6. A Calculado as áreas, emos: logb logb SEAB = ( ) ( logb logb ) = SBEDC = ( logb logb ) + ( logb logb ) b b b b log log log log SBEDC = + logb SBEDC = logb logb logb logb Soal = + = logb oal b b b b S = log log = log log = logb S oal = log b 7. C Tem-se que B() = 8 = = log = log log = log log, =, 6,67 h. 8. D Seja p o perceual do poecial eólico uilizado aos após juho de 6. Tem-se que p =, com. = = log = log log = log log,, 7. Porao, segue que o Brasil aigirá % da uilização do seu poecial eólico em =.

12 9. B Queremos calcular o valor de para o qual se em D() = D(). Porao, emos,6,6 D() = D() e = e,6,69.. D O saldo devedor após o pagameo de parcelas é dado por (,8) D. Assim, o saldo devedor será iferior a % de D para al que (,8) D <, D < log < log ( )( log log) < log,6 >,97 > 6, + > 7,. orao, Julia quiará sua dívida em 8 pagameos. AULA. B Se o gráfico de f passa pelo poo (, ) e o. C poo de míimo é (, 7), eão = a ( ) + 7 a =. Porao, segue que a resposa é dada por (, 7),f() = ( ) + 7 = 6. Desde que x y =, emos x x + y = x + = (9x x + ). ( ) 9 Logo, sedo = o valor 9 9 míimo de 9x x +, podemos cocluir que o resulado é =. 9 9 P. C Seja a medida da largura, em ceímeros. Temse que ( + ) 6 8 ( + ) 6 ( + ) ( + ) 6 (6 + ) 6.. A Queremos calcular de modo que f() =,8 A. Sabedo que f() =, A, emos A, A = + B = B =. Ak + Be Além disso, como f() =, A, vem A Ak Ak, A = e e. Ak + e + = = Porao, segue que A f() =, 8 A A = + (e ) + 6 = = =. Ak. C Sedo V o volume iicial da subsâcia, o volume da susbâcia o isae em miuos é dado V = V. por Como o recipiee esará cheio após 6 miuos 6 eão a capacidade C do recipiee é C = V. O empo ecessário para que o volume da subsâcia seja da capacidade do recipiee é: 6 V. 8 V = = = 8 miuos. Isso ocorrerá às 9h8mi. 6. C Queremos calcular, para o qual se em Q() =,9 Q. Lembrado que a= b a= b e c = com a, b reais posiivos e c real, a c a, vem:,9 Q = Q (e ) e = e = = = =, =,6

13 7. C Sedo + x + x > e real, vem + x > para odo x = log ( x x )( x ) 6 log ( x x ) log ( x ) = + x + x + x + x + x = x x + x + = (x ) x + + =. 6 Porao, como x + > para odo x real, podemos cocluir que a equação possui uma úica raiz real de muliplicidade igual a, qual seja x =. 8. B Sedo x um úmero real maior do que, emos log x + log k log x + k x log x log x klog x +. Logo, segue que o discrimiae do riômio log x klog x + deve ser meor do que ou igual a zero. Daí, vem ( k), implicado em k. Porao, o maior valor de k é. 9. A Queremos calcular o meor valor de para o qual se em f() 6. Assim, vem que. B =.,9,9 =,8,9 =,9 =. 6