- Processamento digital de sinais Capítulo 2 Sinais e sistemas discretos

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1 - Processameo digial de siais Capíulo Siais e sisemas discreos

2 Siais discreos Siais aalógicos x digiais Coíuos x discreo Admiido como sequêcia de úmeros. {x[]}, 0, ±, ±,... Z Período amosragem: s Variáveis idepedees: e x() si(πf 0 ) radiaos x[] si(πf 0 s ) radiaos Logo: s / s >.F MAX (freq. máxima sial) Domíio do empo

3 Coversão AD e DA x() Filro (I) AD DSP DA Filro (II) y() Filro I : Filro ai-aliasig AD: Coversor aalógico digial DSP: Compuador digial ou processador digial de siais DA: Coversor digial aalógico Filro II : Filro ai-imagig ( filro de recosrução) 3

4 Frequêcia de aquisição 4

5 Sisema discreo: saída discreizada y[]x[]- Equação de difereças Tempo x frequêcia Compoee especral X(m) Formas sial Forma oda Maemaicamee Especro 5

6 Ampliude, magiude e poêcia Ampliude (disâcia e direção da origem) Magiude (disâcia sem direção) Poêcia: proporcioal ao valor quadráico x pwr [] x[] ² X pwr [m] X[m] ² Problema: siais com moderadas difereças em ampliude erão difereças aumeadas gerado valores muio grades e pequeos em mesmo gráfico 6

7 Escala logarímica: Proposa iicial: comparação ere poêcia de dois siais P e P Difereça poêcia Ouvido humao era capaz de seir uma difereça de /0 bells Difereça poêcia P log 0 P bells P 0.log 0 P Noe que: (i) quado P/P é pequea, emos um grade valor (em módulo) em db (ii) Quado P/P ão é ão pequea, emos evolução moderada em db db 7

8 Escala logarímica (coiuação): A relação x pwr [] x[] ² ãorepresea a poêcia em seu seido clássico (em was), mas em uma relação direa com esa. Poêcia de um sial em db é dada por: Poêcia especro sial: Normalização do especro: X db [ m] 0.log0( X[ m] ) db 0.log0( X[ m] ) X db _ ormalizado X [ m] [ m] 0.log0 db X [0] 8

9 Exemplo: comparação ere poêcia elérica coíua e poêcia de um sial 9 < < < < ) ( Poêcia ) ( Eergia ) ( ) ( ). ( ) ( d R v d R v R v i v p Tempo coíuo Tempo discreo < < ) ( sial Poêcia d x < < + ] [ Poêcia sial x

10 Operações básicas (rasformações) de siais: Deslocameo de um sial Reflexão: x[-] 0

11 Escala o empo Exemplo: calcule x[-+]

12 Algumas caracerísicas de siais: Periodicidade: x()x(+t)x(+mt) Período fudameal meor valor posiivo de T x[]x[+n] Simeria Par: x(-) x() ou x[-] x[] Ímpar: x(-) -x() ou x[-] -x[] Todo sial pode ser decomposo em x[]par(x[])+ímpar(x[]) Ode: Exemplo ( x[ ] + x[ ]) Od{ x[ ]} ( x[ ] x[ ] ) Ev{ x[ ]}

13 Esocásico/radômico x deermiísico Esacioaridade sial seoidal Ruído Sial seoidal com ruído Sial de voz - hoje é bom dia 3

14 Represeações de siais mulidimesioais Sial N A ( )si[πf ( ) + θ ( )] i i Ampliude Frequêcia Fase i i 4

15 Siais complexos Sial real : s( ) A.si(π ) Sial complexo: s ( ) Ae jπ A.cos(π ) + ja.si(π ) 5

16 Forma fasorial j e πf jw e 0 cos( w o ) + jse( w0 0 ) cos( w ) o e jw o + e jw o se( w ) o e jw o e j jw o 6

17 Versão discreizada Exemplo: π π x [ ] A cos( + ) 6 3 wπ/6 radiaos por amosra ou f/ ciclos por amosra Periodicidade x [ + N ] x[ ] 7

18 Propriedade: em siais discreos a frequêcia w varia ere πe π. Assim sedo: cos[( w + π ) + φ] cos[ w0 + π + φ] cos[ w0 + 0 φ] Iso idica que odas sequêcias ode x k ( ) cos[ w + φ] para k w k são iguais. Iso implica dizer que: π π k + πk para -π w0 w0 - w -/ f / 0,,,... π 8

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20 Siais harmoicamee relacioados Grupo de siais complexos cujas frequêcias fudameais são múliplas Compoees aalógicas: s k ( ) e j π ( F0 k ) para k 0,,,... Série de Fourrier: x a ( ) k c k s k () k c k e jπ (F k) 0 Série discrea de Fourrier: x[ ] N k 0 c k s k [ ] N k 0 c k e jπf k N 0 k 0 c k e jπ k N 0

21 Siais especiais Sequêcia amosra uiária (impulso uiário) δ[], 0, para para 0 0 Degrau uiário u[], 0, para 0 para < 0

22 Sial expoecial Real: x [ ] a Imagiário: x[ ] jθ ( ) r re r e jθ (cosθ + j siθ) Real ( x[ ]) Img ( x[ ]) r r cosθ siθ Exemplo: x[ ] π j 0 0.9e

23 Defiição: Sisemas discreos Classificação: y[ ] τ ( x[ ]) Liearidade - Ivariâcia - Causalidade - Esabilidade Sisemas LTI (lieares e ivariaes) Caracerizados pela resposa à amosra uiária/impulso uiário gerado a resposa impulsiva. Relação erada-saída é dada pela covolução 3

24 Liearidade T [ ax ( ) + L + am xm ( ) ] at [ x( ) ] + L + amt [ xm ( ) ] a y ( ) + L + a y ( ) Exemplo sisema liear: M M y[ ] x[ ] 4

25 Exemplo de sisema ão-liear: y [ ] x[ ] Lembrado que : cos( a b) si( a).si( b) cos( a + b) 5

26 Sisemas ivariaes o empo: y ( ) T[ x( ) ] T[ x( )] y( ) d d Exemplo de sisema ivariae: ova erada x [] x[-4] para y[] - x[]/. A saída acompaha o deslocameo da erada? Propriedade comuaiva de sisemas LTI 6

27 Casualidade: Esabilidade: erada limiada, saída limiada Ex.: y [ ] y[ ] + y[ ] τ[ x[ ], x[ ], x[ k]...] x[ ] Cosiderações imporaes sobre aálise de sisemas LTI. uma vez cohecida a resposa ao impulso uiário (ou resposa impulsiva) o sisema pode ser compleamee caracerizado;. saída do sisema: covolução da erada com a resposa impulsiva; 3. Dada a resposa impulsiva o domíio do empo, sua resposa em frequêcia equivale a rasformada discrea de Fourier de sua resposa impulsiva. 7

28 Exemplo: aalisar o comporameo do sisema abaixo: Cosidere a erada impulsiva A resposa será: 8

29 Discreização de sisemas: equação de difereças y[ ] N k Diagramas de bloco a k y( k) + M k 0 b k x( k) dx ( ) x[ ] x[ ] d s Bloco somador : x() + y() x() + v() v() Muliplicador : x() a y() ax() x() x v() y() x()v() Bloco de araso: x() z -k y() x(-k) O operador z -k idica um araso de k amosras o sial e ficará esclarecido o esudo da rasformada z. 9

30 Exemplo: Represee em diagrama de blocos o seguie sisema: y Rearrajado a equação: ( ) y( ) x( ) x( ) y ( ) y( ) [ x( ) + x( ) ] porao em-se o seguie de blocos: x() y() z - x(-) y(-) z - Observe que foi ecoomizado um bloco muliplicador. 30

31 Soma de covolução Seja h() a resposa à exciação δ() Calcular a saída do sisema o isae 0 faça: Passos: y 0 0 k ( ) x( k) h( k) x( ) * h( ). Rebae-se h(k) em oro do ídice zero h(-k). Desloca-se h(-k) por 0 amosras ( à direia ou à esquerda) 3. Muliplica-se cada elemeo x(k) por h( 0 -k) para se ober a sequêcia produo x(k) h( 0 -k) 4. Soma-se odos os valores da sequêcia produo y( 0 ) 3

32 Exemplo: cosidere a erada e resposa impulsiva abaixa. Deermie a saída do sisema

33 Propriedades da Covolução e Iercoexão de Sisemas LTI ( ) ( ) ( ) ( ) - Comuaiva: x h h x [ - Associaiva: ( ) h ( ) ] h ( ) x( ) [ h ( ) h ( ) ] x h () h () h ()*h () - Disribuiva: ( ) [ h ( ) + h ( ) ] x( ) h ( ) + x( ) h ( ) x h () h () + h ()+h () 33

34 Referecias para leiura: Proakis//Maolakis(4ª edição) Cap., seções.,. e.3 Cap., seções.,. e.3 Lyos (3ª edição) Cap. odo Oppeheim(3ª edição, Discree-ime...) Cap., seções. a.7 Oppeheim(ª edição, Siais e Sisemas) Cap. odo Cap., seções. a.3 34