Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real x = X(s) é denominada variável aleatória.

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. hp:// s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X R x = X(s) X(S) Uma fução X que associa a cada elemeo de S (s S) um úmero real x = X(s) é deomiada variável aleaória. O cojuo formado por odos os valores x, iso é, a imagem da variável aleaória X, é deomiado de cojuo de valores de X. X(S) = { x R/ X(s) = x } Coforme o cojuo de valores X(S) uma variável aleaória poderá ser discrea ou coíua.

2 Se o cojuo de valores for fiio ou eão ifiio eumerável a variável é dia discrea. Se o cojuo de valores for ifiio ão eumerável eão a variável é dia coíua. A fução de probabilidade (fp) de uma VAD é a fução que associa a cada x i X(S) o úmero f(x i ) = P(X = x i ) que saisfaz as seguies propriedades: f(x i ), para odo i f(x i ) = A coleção dos pares [x i, f(x i )] para i =,,,... é deomiada de disribuição de probabilidade da VAD X. Supoha que uma moeda equilibrada é laçada rês vezes. Seja X = úmero de caras. Eão a disribuição de probabilidade de X é:

3 KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X R x [;] f (x) f KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC R x f (x) S CCC X f /8 /8 /8 /8 [;] Supoha que um par de dados é laçado. Eão X = soma do par é uma variável aleaória discrea com o Como X((a, b)) = a + b, o cojuo de valores de X é dado por: X(S) = {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, } seguie cojuo de valores: A fução de probabilidade f(x) = P(X = x), associa a cada x X(S), um úmero o iervalo [; ] dado por: f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) = = P([x X(S) / X(s) = x}) Desa forma: f() = P(X = ) = P{(,)} = /6 f() = P(X = ) = P{(,), (, )} = /6... f() = P(X=) = P{(6, 5), (5, 6)} = /6 f() = P(X = ) = P{(6, 6)} = /6 A disribuição de probabilidade será:

4 A disribuição de probabilidade de X será eão: Aravés de: x f(x) Σ uma abela uma expressão aalíica (fórmula) um diagrama Seja X = úmero de caras, obidas o laçameo de 4 moedas hoesas. Eão a disribuição de X é a da abela ao lado. x 4 Σ f(x) /6 4/6 6/6 4/6 /6 Cosidere X = soma do par, o laçameo de dois dados equilibrados, eão: f : X(S) R x (x - )/6 se x 7 ( - x +)/6 se x > 7,8,6,4,,,8,6,4,, (a) Expecâcia, valor esperado (Expecaio) µ = E(X) = x.f(x) = x.p(x= x) (b) Variâcia (Variace) σ = f(x) µ = (x ) x f(x) µ = = E( X )-E(X) 4

5 (iii) Desvio Padrão (Sadard Deviaio) σ = f(x) (x µ ) = x f(x) µ = E( X )-E(X) (iv) O Coeficiee de Variação (Variaio Coeficie) γ = σ/µ Seja X uma VA. O momeo de ordem k de X é o valor E(X k ) = µ k, se esse valor covergir. Obs.: A expecâcia é o primeiro momeo. Seja X uma VA. O momeo ceral de ordem k de X é o valor E[(X E(X)) k ] = E[(X µ) k ], se esse valor covergir. Obs.: (i) A variâcia é o segudo momeo ceral; (ii) O primeiro momeo ceral é sempre zero; (iii) O erceiro momeo ceral é uilizado para deermiar a assimeria de uma disribuição; (iv) O quaro momeo ceral é uilizado a deermiação da curose de uma disribuição. Se X é um VAD eão o k-ésimo momeo de X é dado por: e o k-ésimo momeo ceral de X é obido por: µ k k = xi f( xi) i= k µ k = ( xi µ ) f( xi) i= Cosiderado que o momeo de ordem k de X é E(X k ) = µ k, pode-se expressar a expecâcia e as demais medidas em fução desse resulado. Tem-se, eão: 5

6 (a) Expecâcia, valor esperado µ = E(X) (b) Variâcia σ = V(X) = E(X ) E(X) = µ µ (v) Curose γ = E[(X - µ) 4 ]/σ 4 = = [µ 4 4µ µ + 6µ µ µ 4 ]/σ 4 - (c) Assimeria γ = [µ µ µ + µ ]/σ x f(x) x.f(x) x f(x) x f(x) x 4 f(x) Calcular o valor esperado, a variabilidade da variável X = úmero de caras o laçameo de /6 4/6 6/6 4/6 4/6 /6 /6 4/6 4/6 6/6 4/6 48/6 8/6 4/6 96/6 4/6 quaro moedas hoesas. 4 /6 4/6 6/6 64/6 56/6 Σ 5 4 4,5 µ = ; µ = 5; µ = 4 e µ 4 = 4,5 Assim: (i) E(X) = µ = caras (ii) σ = µ µ = 5 4 = cara (iv) Curose γ = [µ 4 4µ µ + 6µ µ µ 4 ]/σ 4 - = 4, = = 4, =,5 = -,5 (iii) γ = [µ µ µ + µ ]/σ = = = = 6

7 Da expecâcia ou valor esperado Moda m o = caras Mediaa m e = caras (i) Liearidade E(aX +b) = ae(x) + b (ii) Lei da especaiva oal, ou lei da especaivas ieradas ou lei da orre E[E(X/Y)] = E(X) (iii) Não muliplicaiva E(XY) E(X)E(Y), em geral (iv) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) Da variâcia (i) V(a) = (ii) V(aX + b) = a V(X) (iii) V(X ± Y) = V(X) + V(Y) se X e Y forem idepedees. A parir dos momeos, Três dados hoesos são laçados. Seja X = produo dos resulados. Deermie a disribuição de X e calcule os momeos aé a quara ordem. deermiar: (i) A expecâcia (ii) A variâcia (iii) A assimeria (iv) A curose 7

8 Propriedades da FD Seja X uma variável aleaória (discrea ou coíua). A fução de disribuição (acumulada) ou simplesmee fução de reparição é defiida por: F(x) = P(X x). (a) F(x) ; (b) F(x ) F(x ) se x < x (c) lim F(x) = x (d) lim F(x) = x + Deermiação de probabilidades a parir da FD (i) P(a < X b) = F(b) F(a); (ii) P(X > a) = F(a) e (iii) P(X < b) = F(b) VAD e FD Seja X é uma variável aleaória discrea (VAD) eão a FD é a fução em escada dada por: F(x) = P(X = x ) xi x i A Fução de Disribuição Seja X = úmero de caras o laçameo de uma moeda. Eão a FD de X é: q = p se x < F(x) = P(X x) = p se x < se x p 8

9 Observação: Seja X é uma variável aleaória discrea (VAD) com FD F(x), eão: P(X = xi) = f( xi) = F( xi) F( xi ) Uma foe de iformação gera símbolos ao acaso a parir de um alfabeo de quaro leras { a, b, c, d } com probabilidades f(a) = ½, f(b) = ¼ e f(c) = f(d) = /8. Um esquema codifica esses símbolos em biário da seguie forma: a, b, c, d. Seja X a VA que represea o amaho do código, iso é, o úmero de dígios biários (bis). (a) Qual é o cojuo de valores de X? (b) Assumido que a geração dos símbolos são idepedees, ecore: P(X = ), P(X = ), P(X = ) e P(X > ). (c) Deermie a FD de X. (d) Represee a FD graficamee. Seja X uma variável aleaória (discrea ou coíua). A fução geradora de momeos (fgm) de X, é dada por: φ() = E(e X ), para odo, - < <, em que a expecâcia é fiia. Se X é uma VAD eão a fgm de X é dada por: φ () = E( X x e ) = e jf( x j) j= Supoha que uma VAD assuma valores o cojuo {,,..., } com probabilidade f(x) = /. Deermie a fgm de X. 9

10 j j = j = X x j e φ () = E( e ) = e f( x ) = = e ( e ) = ( e + e e ) = ( e ) j Sabe-se que: e x = + x + x /! + x /!... e que essa série coverge para qualquer x. Assim: e x = + x + (x) /! + (x) / +... Assim: φ() = E(e X ) = E( + X + (X) /! +... ) = = + E(X) + E(X )/! + E(X )/! +... Eão: k k k E( X ) µ k φ () = = k= k! k= k! Derivado φ() em relação a em-se: φ () = E(X) +E(X ) + E(X )/! +... Assim: k k E( k) µ k φ '() = X = = k = (k )! k= (k )! k = E( k + X ) k = k! Tem-se: k k + µ + k K X k= k! k= k! φ '() = E( ) = E(X) + Fazedo =, segue que: φ () = E(X). Assim, prova-se, que a primeira derivada da fgm, calculada em =, forece a expecâcia da VA X. Calculado a seguda derivada em relação a, em-se: φ () = E(X ) + E(X ) k- E(X k )/(k-)! +... Fazedo =, segue que: φ () = E(X ) Ou seja, a seguda derivada da fgm, em =, é igual ao momeo de seguda ordem.

11 De modo geral, em-se: φ () () = E(X ) + E(X + ) k- E(X k )/(k-)! +... Fazedo =, segue que: φ () () = E(X ) Supoha que uma VAD assuma valores o cojuo {,,..., } com probabilidade f(x) = /. Sabedo que a fgm de X é: Deermie a expecâcia e a variâcia de X. e ( e ) φ () = ( e ) e ( e φ () = ( e + e e ) = ) ( e ) Derivado essa expressão, em-se: φ '() = (... e + e + + e ) Subsiuido por zero, em-se: + µ =φ '() = ( ) = φ '() = (... e + e + + e ) Derivado a expressão acima, uma seguda vez, segue que: φ ''() = (... e + 4e + + e ) Subsiuido por zero, em-se: (+ )(+ ) µ =φ ''() = ( ) = 6 A variâcia será eão: (+ )(+ ) + σ = µ µ = = 6 ( + )( + ) (+ ) = = 6 4 Supoha que o momeo de uma VAD seja dado por: E(X k ) =,8 para k =,,... (a) Ecore a fgm. (b) Ecore P(X = ) e P(X = ).

12 φ () = = + E(X) + E( X ) /! + E( X ) /! +... = = +,8 +,8 /! +,8 /! +... = = +,8( + /! + /! +...) = k k,8 = +,,8 = + = k= k! k= k! =, +,8e (a) Por defiição, em-se: x φ () = e f(x) =, +,8e.. =,e +,8e Assim: P(X = ) = f() =, e P(X = ) = f() =,8 VAD Seja X uma variável aleaória (discrea ou coíua). A fução caracerísica (fc) de X, é a fução complexa: ϕ : R C E(e ix ) No caso discreo a fução caracerísica é dada por: ϕ() = E(e ix ) = Σe ix f(x). Noe-se que ϕ() é obida pela subsiuição de por i em φ() se ela exisir. Assim a fução caracerísica apresea odas as propriedades da fgm. Propriedade ϕ() = E(e ix ) = Σe ix f(x) Σ e ix f(x) = Σ f(x) = Assim a fução caracerísica sempre exise mesmo se a fgm ão exisir. A parir da fução caracerísica pode ser mais simples a obeção dos momeos de qualquer ordem. Uma relação úil é obida pela subsiuição de e ix pelo seu desevolvimeo em série de poêcias.

13 e ix Assim k= k (ix) (ix) = + ix =!! = (ix) k! ix ϕ () = E( e ) = µ k= k (i) k! k A fução caracerísica ambém pode ser uilizada a deermiação dos momeos de uma VA. Supodo que o -ésimo momeo exisa a fução caracerísica pode ser difereciada vezes de modo que: () E( X ) = i ϕ () Observações: (i) A fução de disribuição é deermiada uicamee pela fução caracerísica. (ii) Dados as FD F(x), F (x), F (x),... com as fuções caracerísicas correspodees ϕ(), ϕ (), ϕ (),... eão F (x) F(x) os poos de coiuidade de F(x) se e só ϕ () ϕ() para cada. Exemplo: Seja X uma VAD com valores: x = - e x = e com probabilidades f(x ) = f(x ) =,5. Deermiar a fução caracerísica de X. Solução: Tem-se: i ϕ () =,5e +,5e = =,5( i i e + e ) = = cos() i Referêcias hp:// hp:// hp://e.wikipedia.org/wiki/maximum_eropy_ probabiliy_disribuio (Eropia) hp:// fu/provas.hml

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