5 Modelo Teórico Modelagem determinística

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1 5 Modelo Teórico Nese rabalho será adoada a simulação de Moe Carlo para precificar as opções reais do projeo, uilizado o O modelo eórico aplicado é baseado a premissa de que o valor presee do projeo é o melhor esimador do seu valor de mercado. Uma vez que as opções reais êm como aivos subjacees projeos ou uidades de egócios, o seu valor de mercado ão pode ser obido direamee. Nesse seido, Copelad e Aikarov (00) sugerem que o Valor Presee do projeo sem flexibilidade, obido mediae o emprego de écicas radicioais de VPL, é o melhor esimador do seu valor de mercado. A modelagem do problema será feia em rês eapas ode primeiramee é calculado o valor deermiísico do projeo. Em seguida é calculado o prêmio de risco da demada e defiido o seu processo euro ao risco. Fialmee, o valor das opções do projeo é defiido para aplicarmos a simulação de Moe Carlo. 5.. Modelagem deermiísica Iicialmee deermiamos o Valor Presee Líquido do projeo aravés do méodo do Fluxo de Caixa Descoado radicioal. Para ao, calculamos o valor esperado deermiísico dos Fluxos de Caixa do Projeo {, =,,, }, sem a iclusão das flexibilidades gereciais que o projeo possa apresear. Em seguida, esses fluxos de caixa são descoados à axa ajusada ao risco (µ) deermiada pelo CAPM. O VPL do projeo o isae iicial eão é dado por: V 0 E[ f ] = (4) ( + µ ) =

2 Processo esocásico do ráfego Nese rabalho cosiderou-se que a demada irá variar esocasicamee o empo seguido um movimeo geomérico browiao, como é usual a lieraura. Esa modelagem implica que o ráfego e a receia uca poderão ser egaivos e que a sua volailidade é cosae o empo. O processo esocásico de difusão da demada,, ao logo do empo pode ser represeado pela equação (5): d = α d + σ dz (5) empo d; ode d é a variação icremeal do ráfego durae um curo período de α é a axa isaâea de crescimeo da demada; é a volailidade do ráfego e; =, com ε~n(0,), é o processo de Wieer padrão. Tal processo pode ser especificado cosiderado-se apeas o valor do ráfego iicial, a axa de crescimeo α em cada ao e a volailidade do processo, que assumimos cosae ao logo de odo o período da cocessão. Para vermos isso, discreizamos o processo (5) para o iervalo de empo : + α σ ε = + (6) O processo deermiísico da demada, seção 5. que gera os fluxos E [ f ], é porao: ˆ d impliciamee cosiderado a ˆ ˆ + = α (7) ˆ

3 47 Viso que a axa de crescimeo é aual, obém-se cosiderado = ao. α de cada ao Para obermos os valores da demada esocásica em cada ao, aplicamos o lema de Iô, obedo a equação (8): σ d ( l ) = α d + σ dz (8) ode dz a equação (8) é o mesmo processo de Wieer que em (5). Discreizado o processo, emos: σ l + = l + α + σ ε (9) Expoeciado ambos os lados, chegamos à fórmula da demada em cada ao, dada pela equação (0): σ σ ε + = exp α + (0) Uilizamos l ao ivés de, pois, de acordo com Hull (008), a uilização do logarimo aural os dá uma aproximação mais exaa. Deermiada a evolução da demada esocásica, emos direamee o processo gerador da receia, uma vez que a arifa é cosae. Em ouras palavras, a receia segue o mesmo processo esocásico da demada Processo euro ao risco e prêmio de risco egudo Bradão e Freias (009), para valorar as garaias goverameais é preciso uilizar um processo euro ao risco, subraido-se o prêmio de risco da axa de crescimeo do ráfego. Para aivos de mercado isso sigifica subsiuir a axa de reoro verdadeira do aivo pela axa livre de risco. Ereao, como os

4 48 mercados para o ráfego e receia são icompleos, o prêmio de risco ão pode ser obido de forma direa. Dixi e Pidyck (994) sugerem que, esses casos, se adoe um valor arbirário para o prêmio de risco da receia. Bradão e araiva (008) demosram que, em algus casos, como veremos a seguir, esse valor pode ser esimado de forma idirea a parir do processo esocásico do valor do projeo. Uma vez que o ráfego represea a úica foe de icereza do projeo, o processo de difusão do valor do projeo pode ser defiido como fução da demada, = ( ), e sujeio ao mesmo processo de Wieer padrão, como pode ser viso a equação () a seguir. dv = µ Vd + σ Vdz () P ode é a volailidade do projeo. Aplicado o lema de Iô, emos: V V V V dv = α + + σ d + σ dz () egudo Bradão e araiva (008), adoado a premissa de que o valor presee do projeo base, sem opções, é o melhor esimador do seu valor de mercado, podemos deermiar o prêmio de risco do projeo aravés do CAPM, ode µ β ( ) = r + P E Rm r, sedo a axa de descoo ajusada ao risco, a axa de juros livre de risco, o bea do projeo e o reoro esperado do mercado. O prêmio de risco do projeo é dado por µ β ( ) ambém pode ser expresso como em (3): r = P E Rm r, que λσ = µ r (3) P ode λ é o preço de mercado pelo risco do projeo. ubsiuido a equação () em (3), emos: + + =

5 49 Logo, V V V ( α λσ ) + + σ 0 rv = (4) A eq. (4) é a equação diferecial que o valor de um projeo sujeio a risco de ráfego deve seguir. Com essa equação é possível valorar as opções do projeo, desde que a demada seja modelada segudo um processo euro ao risco, ode a sua axa de crescimeo ( α ) seja subsiuída pela axa eura ao risco ( ). Um méodo simples de se esimar o prêmio de risco da demada ( ) é baseado o fao de que o valor esperado do projeo a avaliação eura ao risco, sem as opções, deve ser idêico ao valor esperado da avaliação radicioal ode os fluxos de caixa do projeo são descoados à axa ajusada ao risco (µ), como pode ser viso a equação (5) abaixo: ˆ g( ) g( ˆ ) = ( + µ ) ( + r) (5) = i= ode = ; =( ) e; (. ) é a fução que gera o fluxo de caixa do projeo. Uma vez que odas as variáveis acima são cohecidas, o valor de pode ser calculado com a ferramea aigir mea do sofware Excel. De posse do prêmio de risco, podemos cosruir a série de demada que segue um processo euro ao risco, dado pela equação (6): + σ = exp ( α λσ ) σ ε + (6)

6 Valorado as garaias As garaias de ráfego míimo podem ser modeladas como uma série de opções de veda (pu) européias idepedees com prazos de mauridade variado ere e aos. Cosiderado uma arifa cosae, essa garaia é equivalee a uma garaia de receia míima. Para precificar as garaias é preciso modelar o ráfego a parir do seu processo esocásico euro ao risco. As pus serão exercidas sempre que a demada eura ao risco ( ) do ao for iferior ao piso pré-esabelecido para o mesmo ao. O piso de ráfego é obido aplicado-se o perceual pré-defiido sobre a demada esimada o projeo base deermiísico. O valor da pu o ao é dado pela equação (7) a seguir: ( ) ( ) Pu = max{ mi T T ;0} (7) ode é o ráfego euro ao risco do ao ; é a arifa média e; mí é o piso de ráfego pré-esabelecido para o ao. Após er calculado os valores das pus para cada ao da cocessão, deve-se descoá-los à axa livre de risco para ober os valores presees das garaias, calculado em seguida o somaório dos mesmos, como pode ser viso a equação (8) abaixo. Pu Valor da Garaia = (8) ( + r) = O valor esperado da garaia será obido após se realizar uma simulação de Moe Carlo com ierações, cuja variável de resulado é o somaório dos valores presees das pus. O valor da cocessão com as garaias de ráfego míimo é obido somado-se o valor presee de odas as opções ao VPL esáico do projeo base. As garaias de ráfego míimo fazem com que a receia efeiva da cocessioária o ao passe a ser defiida como:

7 5 R ɶ = max{ T; mi T} (9) Ereao, o modelo de garaia de ráfego míimo ada diz a respeio dos excessos de demada sigificaivamee acima do ráfego esperado. Isso permiiria que a cocessioária obivesse lucros excessivos à cusa do público. Uma solução para esse caso seria esipular um eo para o ráfego, ode a cocessioária seria obrigada a repassar pare da receia para o govero quado a demada fosse superior a um eo pré-esabelecido. O eo de ráfego pode ser modelado como um série de opções de compra (call) européias idepedees, com prazos de mauridade variado de a aos. Vale ressalar que o deeor desses direios é o govero e ão o cocessioário privado. O valor da call o ao é dado pela equação (30): ( ) ( ) Call = max{ T max T ;0} (30) ode max é o eo de ráfego pré-esabelecido para o ao. O valor do eo de ráfego é dado por: 40 Call Valor doeo = (3) = 5 ( + r) O valor esperado do eo de ráfego será obido após se realizar uma simulação de Moe Carlo com ierações, cuja variável de resulado é o somaório dos valores presees das calls. Cosiderado a garaia de ráfego míimo e o eo de demada, a receia do cocessioário o ao será: R = mi{ Rɶ,Θ } (3) demada. ode Θ =mi{ ; max } é a receia referee ao eo de