A limitação da metodologia dos MQ conduziu a diversas abordagens alternativas. As

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1 Capíulo 3 ESTIMAÇÃO ROBUSTA A limiação da meodologia dos MQ coduziu a diversas abordages aleraivas. As écicas de esimação robusa cosiuem uma abordagem à esimação ão depededo de uma disribuição em paricular. O obecivo da esimação robusa é pois o de procurar esimadores (i) eficiees sob um cero modelo e (ii) de modo que pequeas alerações a disribuição da amosra produza pequeas alerações as esimaivas. Nese seido, ouro coceio direcamee relacioado com a robusez é a resisêcia. Um esimador é resisee se é afecado apeas aé um cero limie quer por um pequeo úmero de erros grosseiros, quer por qualquer úmero de pequeos arredodameos e erros de agrupameo. Um esimador é resisee a erros grosseiros se um pequeo subcouo da amosra ão poder er um efeio desproporcioado a esimaiva. Um esimador é resisee a erros de arredodameo e agrupameo se respode coiuamee a pequeos erros e, para além disso, se a esimaiva ão é deermiada pelo arredodameo ou agrupameo de uma pequea pare das observações. Normalmee ememos mais os efeios dos erros grosseiros do que os dos erros de arredodameo ou agrupameo. Para limiar a ifluêcia dos ouliers a modelação de séries emporais foram proposos vários ipos de esimadores robusos dos parâmeros do modelo. Nesa abordagem, às observações oulier são aribuídas, o processo de esimação, poderações iferiores. 29

2 3. ESTIMADORES M Na esimação robusa, as esimaivas são obidas o fim de um processo ieraivo, devido ao faco dos esimadores ão erem uma expressão aalíica explicia. Em vez disso esá associado a cada um deles um algorimo para a obeção da esimaiva. Usualmee escolhe-se um valor iicial S e aplica-se o algorimo para ober ova esimaiva S *, que é omada como uma esimaiva iicial a ieração seguie; o processo ieraivo prossegue aé ser desecessário efecuar mais ierações. Os esimadores M podem ser visos como uma geeralização da esimação de máxima verosimilhaça (dai a desigação M) e foram iroduzidos como esimadores robusos para problemas de regressão por Huber (964). Deby e Mari (979), Mari (98) e Mari e Yohai (986) esudaram os esimadores M o quadro das séries emporais. Cosiderado que z segue um modelo AR(p) com Ez processo sobre a forma de um modelo de regressão liear = µ pode-se apresear o Z = Xβ + e, (3..) ode Z = ( zp+,..., z), β = ( γ, φ,..., φ ) x = (, z, z 2,..., z p ), e = ( ep+,..., e) e γ = µ ( φ φ ) p, as lihas da mariz X são dadas por / p. Um esimador M para β, β, defie-se como a solução que miimiza = p+ ρ z x β, (3..2) σ ode ρ u é uma fução com valores reais ão cosaes e σ é um esimador robuso do parâmero de escala do ruído, σ, e é iroduzido para assegurar o problema de miimização a ivariâcia em relação à escala. Obemos o esimador de máxima vero- 3

3 similhaça de β cosiderado ρ( u) = log f ( u), ode f ( u ) represea a fução de desidade de probabilidades do ruído. O obecivo da uilização da fução ρ u cosise em limiar o processo de esimação a ifluêcia dos resíduos, z x β, elevados. Se ρ( u ) é uma fução coíua com derivada ψ( u ), equivaleemee pode-se cosiderar as seguies equações de esimação = p+ ψ z β x x σ = (3..3) e = p+ χ z x β =, (3..4) σ ode a úlima equação permie a esimação simulâea da escala do ruído σ. ψ e χ são fuções de poderação apropriadas, coíuas e limiadas. Por exemplo, se ψ ( u ) é reduzido para valores u elevados, β descoa valores exremos da amosra e proege cora ouliers. De modo a ober-se cosisêcia exige-se que r E β σ ψ, σ =. em que r = z x β. Se a disribuição dos resíduos é simérica, ψ deverá ser uma fução ímpar e χ uma fução par. Dois ipos de fuções ψ foram discuidas por Deby e Mari (979), a perecee à família de Huber dada por ψ Hc, u = sg u mi u, c, (3..5) ode sg u é o sial da fução e c é uma cosae de afiação. Oura possibilidade é ir buscar ψ a uma família redescedee, por exemplo a família biquadrada defiida por 3

4 { } ψ Bc ( u) u ( u c), = /, u c. (3..6) 2 2 Uma escolha para a fução χ poderá cosisir a proposa de Huber (98): 2 χ ( u) = ψ ( u) B, (3..7) com B= E Φ ( ψ 2 ), ode Φ represea a disribuição N ( ) um esimador σ que é cosisee quado os e `s são N ( α, σ ),. Esa escolha de B coduz a 2. Oura hipóese cosise em esimar a escala idepedeemee por um esquema apropriado, por exemplo, σ é dado pela mediaa dos desvios absoluos ormalizada { } σ = 483. MAD r = 483. Med r Med r. (3..8) em que. 483 = A divisão por resula do faco da mediaa do valor 2 absoluo de uma variável aleaória N ( ) Repare-se que (3..3) pode-se escrever como,σ ser dada por (. 6745) σ. ( ) ( r σ ) r r ψ r σ ψ x σ = σ x = (3..9) = p+ = p+ o que demosra que os esimadores M podem ser visos como esimadores dos míimos quadrados poderados por w = ψ ( r σ) ( r σ). No eao as poderações w depedem dos resíduos e como cosequêcia de β. Dese modo deverá ser uilizado o algorimo ieraivo dos míimos quadrados para esimar simulaeamee β e σ [vea-se Sockiger e Duer (987)]. Como o parâmero de escala µ esá relacioado com o iercepo γ, por γ = µ φ / φ p eão 32

5 µ = γ ( φ φ / p ) (3..) é um esimador M de µ, se β = ( γ, φ,..., φ ) p é um esimador M para β. Cosiderado agora um processo ARMA(p,q), em que Ez ( ) = µ, os esimadores M, β, para β = ( µ, φ, θ) (e σ para σ) são dados pela solução simulâea de r ψ d σ β = (3..) = p+ e = p+ r χ = (3..2) σ ode ψ e χ são fuções apropriadas e d ( β ) é o vecor das derivadas de ordem dos resíduos r ( β ),,...,,,...,, µ, [ a a b b r ] ( β) = ( β) ( β) ( β) ( β) d p q a b r φ ( β) = = θ ( µ ) = φ r θ BB z Br 2 ( β) = = θ φ ( µ ) = θ B B B z B r ( ) ( ) µ = φ / φ θ / θ. r p q,, Os esimadores M cosiuem uma possibilidade araciva para ober robusez em siuações ode apeas ouliers iovadores apareçam. Já que os IO seguem a esruura do modelo da série emporal, os esimadores M e mesmo os esimadores dos MQ 33

6 comporam-se relaivamee bem face a ese ipo ouliers. Quado os AO aparecem iso á ão é verdade, os esimadores M ão são robusos, como é referido por Mari (979) o coexo das auoregressões. Vea-se que sedo a fução ψ usada em (3..3) f x, z = ψ z x β σ x é limiada o escalar z limiada, eão, para cada β a fução mas ilimiada em x. Dese a modo a curva de ifluêcia de β é limiada em z mas ilimiada em x. Esa caracerísica seria apropriada se pudéssemos assegurar que a pare x do modelo foi correcamee especificada, o que acoece em séries emporais sem ouliers. 3.2 ESTIMADORES GM A ideia básica por derás dos esimadores M geeralizados (GM) é modificar as equações dos esimadores M de modo a que os somaórios das equações de esimação seam fuções coíuas e limiadas dos dados. Os esimadores GM cosiuem pois uma possibilidade para ober esimadores robusos quado ambos, AO e IO, esão presees. Cosidere-se que os dados foram previamee cerados por um méodo robuso, usado por exemplo um esimador M da localização µ, o qual é defiido pela solução que miimiza = p+ ρ z µ, σ z ode ρ u é uma fução apropriada e σ z é um esimador da escala dos z `s. Supoha-se que as observações podem ser ausadas pelo modelo ARMA(p,q) com média ula. p Escolhedo uma fução apropriada η: R + q + R R, ode η ( u,. ) é coíua, ímpar e limiada para odos os u R p+ q, emos os esimadores GM para β = φ,..., φ p, θ,..., θq como a solução simulâea das equações ( ) 34

7 = p+ η d r ( β), d ( β) = (3.2.) σ e = p+ r χ = (3.2.2) σ ode,...,,,...,, [ a a b b ] ( β) = ( β) ( β) ( β) ( β) d p q a r φ ( β) = = θ = φ BBz Br, e b r θ 2 ( β) = = θ φ = θ B B B z B r. Exisem várias proposas para η. As quais podem ser escrias a forma η ψ ( ) uv, = wu vsu, (3.2.3) para fuções ψ apropriadas e fuções de poderação s, w: R de escolher η, raduzem-se por exemplo em R. Duas maeiras p+ q + η M ψ u ψ v uv, =, ipo Mallows (3.2.4) u e η H ψ uv uv, =. ipo Hampel (3.2.5) u 35

8 χ v Em paricular os esimadores dos MQ são obidos cosiderado η ( uv) 2 = v. Com η ( uv) ψ ( v), = emos os esimadores M., = v e Com as fuções ψ escolhidas apropriadamee, os esimadores GM são mais eficiees sob o modelo IO, e êm eviesameo mais reduzido que os esimadores dos MQ a preseça de um AO. Os esimadores GM cosiuem pois, uma opção para ober esimadores robusos em modelos AR. Coudo, em modelos ARMA como uma compoee de médias móveis, q, os esimadores GM ão são robusos, pois ese caso uma observação oulier z T coamiará as equações de esimação odos os resíduos r com T. Dese modo, o coexo dos modelos ARMA, Mari, Samarov e Vadaele (98) propuseram um procedimeo ieraivo de esimação a preseça de AO edo por base os esimadores GM: (i) Ausar aos dados um modelo auoregressivo de ordem superior AR( p * ), p * > p, φ = φ, φ,..., φ 2 p e σ 2. As usado um esimador robuso GM para calcular esimaivas iiciais φ, θ e σ 2 ( ) podem-se ober a parir de φ e σ 2. (ii) Na -ésima ieração, a ifluecia das observações ouliers é limiada aravés da aplicação de um procedimeo robuso. Os auores sugerem o seguie algorimo para filrar os dados x = x + s ( ) z x ψ ( ) s (3.2.6) ode x é o predior de x em um passo adiae e ( s ) resíduos ( z ) x ( ). é uma medida da escala dos 36

9 (iii) Usado x, φ e θ dos míimos quadrados calcule-se como "ipu" para o habiual procedimeo de esimação φ + e θ +. (iv) Calcule-se { Med( r )} ( + ) ( ) ( ) =. Med r (3.2.7) σ ode ( +) r é o resíduo dos míimos quadrados baseado os dados limpos x e os parâmeros esimados φ ( +) e θ ( + ). Repee-se as eapas (ii) e (iii) aé se ober covergêcia. Nouro seido Masaroo (987) propôs esimadores GM de ordem k. A ideia básica por derás deses esimadores é a de subsiuir, quado o modelo em uma compoee de médias móveis, o melhor predior liear de memória ifiia por um de duração fiia. Ou sea, correspode a rucar o calculo dos resíduos após um úmero fiio de ermos, k, as equações de esimação dos GM. Os esimadores dai resulae podem ser visos como uma variae robusa dos esimadores de máxima verosimilhaça de ordem k. Mais receemee, Allede e Heiler (992) propuseram esimadores GM baseados uma recorrêcia (RGM - "recursive geeralized M"), ambém para os modelos ARMA. Usado como "ipu" resíduos obidos a parir de um processo auoregressivo ausado de ordem superior, o méodo de esimação cosise em aplicar ieraivamee aos resíduos uma regressão que limie a ifluêcia dos ouliers. 37

10 3.3 ESTIMADORES BASEADOS NAS AUTOCOVARIÂNCIAS DOS RESÍ- DUOS Busos e Yohai (986) examiaram um modelo ARMA a preseça de ouliers AO, iroduzido duas ovas classes de esimadores robusas para modelos ARMA: esimadores baseados as auocovariâcias dos resíduos, e esimadores baseados as auocovariâcias dos resíduos rucados. Os esimadores RA ("residual auocovariaces"), segudo os auores, são qualiaivamee robusos apeas para modelos AR. Os esimadores TRA ("rucaed residual auocovariaces") são qualiaivamee robusos para os modelos ARMA Esimadores RA Supoha-se que z são observações correspodee a um processo ARMA(p,q) com Ez ( ) = µ. A ideia básica por derás dos esimadores RA é a de exibir os esimadores dos MQ (os usuais ão robusos) uma forma que evolva as covariâcias dos resíduos e orar os esimadores dos MQ robusos fazedo as auocovariâcias robusas. Cosidere-se os esimadores dos MQ que obêm pela miimização de 2 r ( β ). = p+ Escrevemos r em vez de r ( β ) quado isso ão cause cofusão. Difereciado a expressão obemos o seguie sisema de p+ q+ equações para os esimadores dos MQ: r r φ = p, = p+ 38

11 r r θ = q, = p+ ( r ) r µ =. (3.3.) = p+ Com r φ = θ B B z µ = φ B r, 2 r θ = θ B φ ( B) B z µ = θ B r, ( ) ( ) µ = φ / φ θ / θ. (3.3.2) r p q Efecuado a subsiuição em (3.3.), obemos as equações de esimação dos MQ r ( B) φ r =, p, = p+ = p+ rθ ( B) r =, q, r = p+ =. (3.3.3) Sea s = s( φ ), i, a expasão em série dos coeficiees do operador i i ( φ ), a expasão de θ = i i i B ; ou sea φ B e φ i= ( B) = sb i i, ( B) = θ i= i i B. (3.3.4) 39

12 Eão pode-se escrever (3.3.3) como r r hsh =, p = p+ + h= r r hh =, q = p+ + h= r = = p+. Usado as codições iiciais r = para p+ e alerado a ordem dos somaórios, obemos p hγ h + ( β), h= s = p p hγ h + ( β), h= = q r = = p+, (3.3.5) ode i r r γ i β = + i = p+. (3.3.6) Defie-se eão a classe dos esimadores robusos RA fazedo as covariâcias residuais γ i robusas. Iso pode ser feio subsiuido os γ i ( β ) em (3.3.5) por 4

13 γ i β = η r σ, r i σ, i = 2,,... = p+ + i (3.3.7) Na úlima equação de (3.3.5), r é subsiuído por ψ ( σ) r, odeη: R 2 R e ψ: R R são fuções coíuas e limiadas e σ é uma esimaiva robusa da escala dos e `s. Eão os esimadores RA são defiidos pelas p+ q+ equações: p hγ h + ( β), h= s = p p hγ h + ( β), h= = q ( σ) ψ r =, (3.3.8) = p+ σ é calculada simulaeamee, usado por exemplo ( r ) σ = 483. Med rp+,...,. (3.3.9) Assume-se que η é impar em cada variável e ψ é impar. Eão, se a disribuição dos e `s é simérica, os esimadores RA serão cosisees. Iso porque ese caso emos lim r β = e, ode β é o verdadeiro vecor de parâmeros e ( ( i )) Eσ η e / σ, e / σ =, i = 2,,... ( ( e )) E σ ψ / σ =, (3.3.) 4

14 Duas maeiras de escolher η poderão ser η M uv, = ψ uψ v, ipo Mallows ψ η H uv, = uv, ipo Hampel Se η ψ M uv, = uv, eão os esimadores RA dados por (3.3.8) são assióicamee equivalees aos esimadores M miimizado = p+ ρ ( σ ) r, ode ρ = ψ. Eão a classe de esimadores RA coem a classe dos esimadores M. Em paricular os esimadores dos MQ são obidos cosiderado η M ( uv, ) = uve ψ ( u) = u. Cosideremos um modelo MA(). Eão os esimadores RA para os parâmeros θ e µ são dados pela solução de h θ γ ( θ ) h+ =, h= ψ ( r ( θ )/ σ) =, (3.3.) = 2 e (3.3.9), ode γ i é dado por (3.3.7) e r z z / z (3.3.2) ( θ ) = ( µ ) + θ ( µ ) + + θ ( µ ) Cosideremos agora um modelo AR(). Eão os esimadores RA de φ e µ são dados por 42

15 2 h φ γ ( φ ) h+ =, h= ( ) ψ r φ / σ =, (3.3.3) = 2 e (3.3.9) ode ( φ ) = µ φ ( µ ) r z z. (3.3.4) Segudo Busos e Yohai (986) os esimadores RA são qualiaivamee robusos e resisees para processos auoregressivos. Os esimadores RA ão são, o eao, qualiaivamee robusos quado q. No eao, quado exise uma compoee de médias móveis, os esimadores RA são muio esáveis que os esimadores dos MQ e esimadores M a preseça de ouliers adiivos Esimadores TRA Uma maeira de orar os esimadores RA robusos quado uma compoee de médias móveis esá presee é subsiuir os resíduos r ( θ ) por uma versão rucada. Por exemplo, um modelo MA() com Ez ( ) = µ = emos r ( θ ) = z + θz + / + θ z. (3.3.5) Nese caso especial, cosiderado k >, a versão rucada de ordem k do resíduo r θ é defiida como k r, θ = z + θz + / + θ z. (3.3.6) k k 43

16 É imediao que se θ é o verdadeiro parâmero, eão k rk, θ = e θ e k. Daqui resula a seguie propriedade: r k, ( θ ) é idepedee de r k, θ para odos os, k +. Os esimadores RA para ese modelo, são eão, defiidos como a solução de γ ( θθ ) =, (3.3.7) = ode γ ( θ ) é dado por (3.3.6). Os esimadores baseados as auocovariâcias dos resíduos rucados (esimadores TRA) são defiidos de modo similar mas subsiuido γ ( θ ) por γ ( θ ) k, para odos os k + e γ ( θ ) k + por γ ( θ ) k+, k, ode k, = k, k k, k = + γ ( θ ) η r ( θ )/ σ, r ( θ )/ σ (3.3.8) e (, r, ) = 483. Med r,...,. (3.3.9) σ k k k Assumido que a disribuição dos e `s é simérica e θ é o verdadeiro parâmero ( ( k, k, )) Eσ η r θ / σ, r θ / σ =,, k+, e ( ( k, /, k, k / )) Eσ η r θ σ r θ σ =. 44

17 Eão os esimadores TRA saisfazem a codição de cosisêcia. Por ouro lado, á que os resíduos rucados depedem apeas de um úmero fiio de observações, uma codição suficiee para a robusez de esimadores TRA de um MA() é que η sea limiada. Iso é ambém uma caracerísica dos esimadores TRA dos parâmeros do modelo geral ARMA, defiidos de seguida. Uma oura quesão é a escolha do valor k. Se k aumea, os correspodees esimadores TRA oram-se mais eficiees sob o modelo eórico sem ouliers AO mas meos robusos. Eão a escolha de k depede da opção ere eficiêcia sob o modelo e corole do eviesameo sob coamiação AO. No caso de um processo z ARMA(p,q), com β = ( µ, φ,..., φ, θ,..., θ ) p q, defiimos o resíduo rucado de ordem k por k w rk, β = i i β, (3.3.2) i= ode os i `s são defiidos por (3.3.4) e w ( β ) = φ ( B)( z µ ) ( z µ ) φ ( z µ ) φ p( z p µ ) = /. (3.3.2) como r ( β) w ( β) = i i i =, os r k, β são versões rucadas de r β que apreseam a propriedade de depederem apeas de um úmero fiio de observações z. Escrevemos r k, quado al ão produz ambiguidade. Cosidere-se 45

18 k i θ k i ( B) = B, i= eão, emos rk, = θk B θ B θ B φ B z µ = θ ( B) θ( B) e = M ( B) r, k k ode M ( B) = θ ( B) θ( B) é um poliómio de ordem q+ k com coeficiees m k. Eão, k k os primeiros k + coeficiees de M ( B) k são os mesmos do operador ideidade - omeadamee m =, m = m = Λ = m k =. Eão se cosiderar-mos a = m + i =,..., q, vem i k i 2 rk, = r + ar k + Λ + aqr k q. (3.3.22) Cosideramos sempre k q. Se β é o verdadeiro vecor de parâmeros, emos r = e e eão r k, q é idepedee de r, k, =,..., q r k, é idepedee de r, k, = q,..., k r, q é idepedee de r, k, = k +,..., k + q r k, é idepedee de r, k, k + q+. (3.3.23) Defia-se h( ) como 46

19 h = k se q k ou k + q+ = q se k + k + q = k q+ se q. (3.3.24) Observe-se que h depede ambém de k, o qual é assumido que é fixo. De (3.3.23), se σ e σ são fixos e β é o verdadeiro vecor dos parâmeros, eão ( η( h, ( β )/ σ, k, ( β )/ σ )) E r r =, (3.3.25) Eão os esimadores TRA são cosisees quado o processo z segue um modelo ARMA. Por aalogia com (3.3.8) defiimos os esimadores TRA pelo sisema de equações L * ( β ) = (3.3.26) L = L L p + q + é defiido por * * * em que ( β) ( β),..., ( β) p k * * L( β) = smγ m+ ( β), =,..., p m= p k ( β) γ ( β) L * = *, =,..., q L p+ m m+ m= = ( r, ) β ψ σ, (3.3.27) * p+ q+ m k k m= p+ + k ( β ) = ( r,, r ) (), * γ η σ σ i h i hi i k k = p+ + i, (3.3.28) 47

20 e ode σ i é um esimador de escala dos r i podem ser obidas simulaeamee com β., `s ( k q i q). As esimaivas da escala σ i 48