DINÂMICA DA CORDA VIBRANTE. A equação da onda unidimensional: por que deveríamos estudar o deslocamento de uma corda

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2 DINÂMICA DA CORDA VIBRANTE A eqação da oda idimesioal: por qe deveríamos esdar o desloameo de ma orda

3 Cosidere ma orda de omprimeo, levemee esiada: Na figra o desloameo em sido proposialmee eagerado... α e β são próimos de zero. T α dl β T

4 Hipóeses simplifiadoras i a orda em m omprimeo fio ; ii a esão é osae ao logo da orda e do empo; iii a desidade da orda é osae ao logo da orda e do empo; iv os poos da orda movimeam-se m plao v a orda só esá sjeia à força de reação os ses eremos; vi a veloidade de ada poo é perpedilar a rea qe passa pelos ses poos eremos eio das absissas,

5 T β α T

6 α P dl Q β T T T d Δ

7 A eqação da oda -D A eqação da oda idimesioal evolve apeas ma úia variável espaial. Desde qe assmimos qe o desloameo é verial as ompoees horizoais são osaes e eão igais. T os α T os β T os. As ompoees da esão a direção verial são: - T se α e T se β Usado a ei de Newo: F m a ρδ T siβ si T α ρδ

8 Dividido pela ompoee horizoal obemos a iliação loal da orda: a a os si os si T T T T T T Δ Δ ρ α β ρ α α β β T Δ Δ ρ T ρ om o ρ T

9 Resolção da Eqação de Oda he -D Codições de Froeira:, e, para odo desde qe os eremos são fios em e em Codições Iiiais: Desloameo iiial, Veloidade iiial,, f g

10 ode ρ T : Separação de variáveis das EDOs. Propomos ma solção omo sedo o prodo de das fções:, G F Difereiado: G F e G F

11 Assim de emos sbsiido G F G F F G G F F G G F e k F F G G Ambos lados devem ser igal a ma osae porqe variado apeas o apeas ão mdam ambos lados simlaeamee. Obemos das EDOs: kf F e kg G

12 F kf e G kg : Ober as solções das EDOs qe saisfaçam as odições iiiais e de froeira:, e,, FG e, FG As solções riviais são igoradas: G F qe é verdadeiro para k

13 F kf para k ρ : F ρp F ja solção é F A os ρ B si ρ Apliado as odições de froeira obemos F A e F B siρ ρ π e esolhemos B F π si para,,

14 kg G Já qe k ρ -π/ G G λ π λ A solção obida aaliiamee é: si os * B B G λ λ Assim as solções da eqação de Oda -D são:, G F B B π λ λ si si os, * para,,

15 Gráfios da eqação de Oda -D isaâeas Normal Modes of he Vibraig Srig: Normal Modes of he Vibraig Srig:, , Normal Modes of he Vibraig Srig: Normal Modes of he Vibraig Srig: , -.,

16 Para ada isae emos ma sisóide; a sea mosra o seido do desloameo Modos ormais de vibração, 4, para vários isaes de empo Normal Modes of he Vibraig Srig: Eah sisoid represes a differe isa i ime. The arrows show he direio of moio sarig a.4.,

17 3 O Priípio de Sperposição preisamos de ma soma overgee qe saisfaça as odições iiiais: * si si os,, B B π λ λ, f e, g

18 Cosiderado a primeira odição iiial: Desloameo π, B si f f esá dada por ma soma ifiia de seos Deermiar B de al forma qe, seja a Série de Forier de f dada omo a odição iiial do desloameo B f si π d

19 Para saisfazer a segda odição iiial: a veloidade, derivamos,, B em relação a, e allamos osλ, B π, B λsi g * si λ si, emos π g esá dada por ma soma ifiia de seos Ober os oefiiees B * eqivale a ober as Série de Forier de g B * g si π π d

20 Temos m bom moivo para esdar omo represear fções om séries ifiias de fções rigoomérias As Séries de Forier

21 Resolvedo a Eqação de Oda Uidimesioal Cosideremos primeiro a eqação de oda om veloidade iiial la, g * π B gsi d π assim,, B os λ si π sedo B f si π d

22 Eemplo Ahe a solção da eqação de oda se o desloameo iiial em forma riaglar e a veloidade é : k k f for < < / for / < < Como g, eão B * e si 8 π π k B Assim, a solção em a forma: π π π π π... 3 os 3 si 3 os si 8, k

23 A solção da eqação,de oda é ma fção de e de Qalqer solção da eqação de oda pode ser esria omo, f*- qe represea ma oda qe se desloa para a direia om veloidade o rasoorrer do empo e f* represea ma oda qe se desloa para esqerda. Pelo Priípio de Sperposição emos qe, pode ser esria em ma forma ompaa omo:, [ f * f * ] Ode f* é ma eesão periódia impar de f om período

24 Eemplo g all para odo f oherwis os oros asos ime, disae,

25 Solção da eqação de oda: D Alember Irodzimos ovas oordeadas: v e z v z - Assim, é ma fção de v e z. E as derivadas são: v v z z v z v z v z v v v z z z vv vz zz e vv - vz zz Sbsiido emos: vv - vz zz vv vz z 4 vz vz vz T ρ zv

26 vz zv Iegrado em relação a z obemos: v hv Iegrado em relação a v emos: h v dv ψ z logo: φ v ψ z qe leva a solção:, φ ψ e, φ' ψ'

27 D Alember s saisfazedo as odições iiiais Temos qe:, f e, g, φ ψ f, φ' ψ' g Dividido por e iegrado em relação a emos: φ ψ k g s ds ode k φ ψ

28 k ds s g f φ ψ φ ds s g k f ψ φ Dividido por : ψ φ ds s g k f ψ φ k ds s g f ψ - Dividido por :

29 A solção de D Alember, ψ φ [ ] ds s g f C f, k ds s g f φ k ds s g f k ds s g f ψ Reslados aeriores

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