Cálculo Numérico Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Cálclo Nmérico Eqações Difereciais Ordiárias Prof: Reialdo Haas

2 - Eqações Difereciais Ordiárias Eqações cotedo derivadas são eqações difereciais. Portato para compreeder e ivestigar problemas evolvedo o movimeto de flidos o flo de correte elétrica em circitos a dissipação de calor em objetos sólidos a propagação e detecção de odas sísmica o ameto o dimiição de poplações etre mitos otros é ecessário saber algma coisa sobre eqações difereciais. Vale lembrar qe todo a parte do cálclo camado de cálclo de primitivas é ada mais ada meos qe a determiação de solções de ma eqação diferecial.

3 Como Resolver ma Eqação Diferecial Ordiária EDO Na solção de ma EDO dois camios podem ser segidos. Isto é o qe teta levar à solção eata do problema método aalítico o o qe ecotra ma solção aproimada método mérico. Do poto de vista aalítico resolver ma EDO do tipo = f é ecotrar ma fção = F qe satisfaça a eqação dada. Por eemplo dada a eqação diferecial = f = + 3 sa solção é obtida por = + 3 d = C. Na verdade temos ma família de solções para cada C R tem-se ma solção particlar. Na Figra são mostradas algmas destas solções. No caso para C = C = e C = 4.

4 C = 4 C = C = Represetações de solções particlares para algs valores de C da fção = C. Figra

5 Para determiarmos ma solção específica é ecessária a atribição do valor de em m dado. Em otras palavras deve ser dado m poto = a = s por ode a solção particlar deve obrigatoriamete passar. O processo para ecotrar esta solção específica da eqação = f com a = s ode a e s são dados méricos é camado de problema de codição iicial. Assim podemos particlarizar a solção do problema aterior atribido-le por eemplo a segite codição: d d 3 Logo a solção geral é dada por = C e a particlar será dada por = = C C =. O seja = + 3.

6 Classificação de Eqações Difereciais Eqações Difereciais Ordiárias EDO -- se a fção descoecida depede de ma úica variável idepedete. Neste caso aparecem apeas derivadas simples. Eqações Difereciais Parciais EDP -- se a fção descoecida depede de diversas variáveis idepedetes. Neste caso aparecem as derivadas parciais. Sistema de eqações difereciais -- se eistem das o mais fções qe devem ser determiadas precisamos de m sistema de eqações.

7 Ordem -- a ordem de ma EDO é a ordem da mais alta derivada qe aparece a eqação. Eemplos: d 4 d d dt dt dt dt d Geralmete a eqação F... = é ma eqação diferecial de ordem. 3 d d ' '' e t " ' t 4 Uma EDO dada para a maior derivada obtedo-se f t ' "...

8 Eqações Lieares e ão -lieares -- A eqação diferecial "... ' t F É dita liear se F é ma fção liear das varáveis... Assim a eqação diferecial ordiária liear geral de ordem é t g t a t a t a A eqação diferecial qe ão é da forma é ma eqação ão-liear. Eemplo: 4 ' " '' ' t e t

9 Algmas qestões relevates Uma eqação diferecial sempre tem solção? eistêcia Qatas solções tem ma eqação diferecial dada qe ela tem pelo meos ma? Qe codições adicioais devem ser especificadas para se obter apeas ma úica solção? icidade Dada ma EDO podemos determiar de fato ma solção? E se for o caso como?

10 Um comptador pode ser ma ferrameta etremamete útil o estdo de eqações difereciais. Algoritmos já estão sedo sados á mito tempo para solcioá-las. Etre eles podemos citar: o método de Eler e Rge-Ktta. Eistem eceletes pacotes méricos gerais qe solcioam ma gama de problemas matemáticos com versões para PC estações etc. Etre eles temos: o Maple o Matematica e o Matlab.

11 Eemplo: Cosidere a eqação diferecial d/dt + = 3. Ecotre sa solção. Solção: Temos qe d/dt = o d/dt/-3/ = - l - 3/ = -t + c Logo = 3/ + c*e - t Se gt = etão a eqação é dita eqação liear omogêea e c=-3/.

12 Eqações Difereciais Defiição 6..: Uma eqação qe evolve derivadas até ordem é camada de eqação diferecial ordiária EDO de ordem e pode ser escrita a forma: f a 6.. Defiição 6..: A solção da eqação 6.. é qalqer fção = F qe é defiida em [ab] e tem derivadas este itervalo e qe satisfaz 6... b

13 A forma mais simples de ma EDO é ode f é cotía para a < < b. A solção geral desta eqação é: f d c f com costate c determiada por

14 De m modo geral temos 6..4 como por eemplo: é coveiete redzi-la a m sistema de EDO de primeira ordem camado : a a a b a f f e

15 e Para redzir a ma EDO de primeira ordem assmimos: f 3 3 e f 3 3

16 isto é se 3 ~ ~ 3 ~ 3 ~ ~ f F 3 3 de m modo geral 6..6 d dt F ~ ~ ~ ~ ~

17 Eqações difereciais de a ordem Métodos méricos são sados qado ão é possível obter ma solção geral o a forma dela é tão complicada qe se so ão é prático. Uma eqação diferecial de a ordem tem a forma F e em geral podemos escrevê-la como: f Problema do valor iicial - ma eqação diferecial - ma codição qe deve ser satisfeita pela solção f 7

18 Os métodos qe estdaremos partem da idéia de qe o espaço da variável idepedete pode ser discretizado formado ma rede = + = +... é o passo. f e - O valor da fção em cada poto da rede é calclado a partir de epasões em série de Talor. 8

19 9! Método de Eler o Eler-Cac O valor de para m passo é dado pela epasão de talor: Como em geral é peqeo sprimimos os termos de ordem O : 3... Resltado a aproimação f O

20 O qe reslta o processo iterativo f f f A omissão dos termos de ordem sperior a casa erros de trcagem qe podem ocorrer jto a erros de arredodameto.

21 Eemplo: passo = + Eato erro O erro ão é em geral coecido. Podemos estimá-lo tilizado m passo = 4 + para = =4 - =

22 Método de Eler melorado a ordem Método camado de preditor-corretor. ] [ * * f f f! f f

23 Eemplo: o mesmo visto ateriormete + + Eato erro

24 4 Método de Rge-Ktta 4 a ordem f f f f Se f ão depeder de o método redz-se à regra de itegração de Simpso

25 Eato erro Comparação etre os métodos = e - - Erro Eler Eler melorado Rge-Ktta

26 Qal o valor mais adeqado para o passo? Se a fção f varia mito com etão deve ser peqeo para evitar erros de trcagem. Em geral adota-se a proposta de qe f K 5 / se K 5 se K 3 ão mda se K 5 K 5 ode Estimativa de erro: ode ~ ~ ~ é obtido ~ é obtido para para o o passo passo 6

27 7 Métodos para eq. dif. de segda ordem P.V.I. f Novamete o problema é obter os valores de e para a seqüêcia = + ; = + ;... 3!! 3!! 3 3 Começamos mais ma vez pelas epasões em série de Talor da fção e de sa derivada:

28 8 O método mais simples cosiste em desprezar os termos em derivadas de ordem o speriores f o passo: o passo: f

29 Matlab A biblioteca do Matlab de EDOs os segites métodos de valor iicial: ode3 ode45 ode3 método eplícito de m passo RK de ordem baia. método eplícito de m passo RK de ordem média. Este é geralmete o primeiro método a se tetar em m ovo problema. método de passo múltiplo de Adams- Basfort-Molto de ordes variadas.

30 ODE 3 Adeqado para problemas qe apresetam brscas variações a solção para os qais é aceitável ma baia precisão o problemas em qe ft ão é save o seja descotía.

31 Eqação da Mola sjeita a ma força asit w w w c m w m w a m si t fctio wd=sprigtw; a=.; m=.; c=.4;=.; wd = [w;-c/m*w-/m*w+a/m*sit];

32 >> tspa=[ ]; >> wo=[;]; >> [tw] = ode3@molatspawo; >> plottw:; >> grid >> label'tempo segdos'; >> label'elogameto da mola metros';

33 >> plotw:w:; >> label'velocidade das oscilacoes da mola'; >> label'amplitde das oscilacoes da mola';

34 ODE 45 Adeqado para problemas ão-stiff qe eijam precisão moderada.

35 Eqação de Va der Pol ode é m parâmetro positivo. Escoledo e fctio prime=vdpolt m=; prime = [;m*-^*-]; a eqação de Va der Pol se tora:

36 >> tspa = [ ]; >> o = [; ]; >> [t] = ode45@vdpoltspao; >> plott:t:'--'; >> label'tempo'; >> title'solcao de Va der Pol';

37 Eqações difereciais parciais Uma eqação é dita qasiliear se for liear as derivadas mais altas: a ode b c ; F ; ; Laplace elíptica : ac b t c Oda iperbólica : ac b T t c T Calor parabólica: ac b 37

38 Eqações de difereças para Eq. de Laplace e Poisso Vamos ver o caso mais simples em das dimesões e : Laplace Poisso f

39 39 em termos desprezado E E 6 : E 6 : E 3 O

40 4 ] [ 4 Para as derivadas segdas desprezado os termos O 4 temos Jtado as aproimações das derivadas primeiras e segdas fazedo = obtemos a eqação de difereças correspodete à eqação de Poisso: 4 f

41 Para f = temos a eqação de Laplace. é camado de o comprimeto da mala mes size. Eqações elípticas - em geral - devem levar em cota problemas de cotoro codições previamete defiidas ma dada froteira - espacial por eemplo. Casos mais coms: Froteira C Diriclet: se é defiido a froteira C Nema: se =/ derivada a direção ormal é defiida a froteira. Para resolver o problema é ecessário criar ma mala.: ós da rede o da mala P ij 4

42 Eemplo Uma placa de cm de lado tem sas bordas matidas às temperatras mostradas a figra. Qais os valores das temperatras o iterior da placa? Será escolido m comprimeto = 4 cm. = = = R = P P P P P = = P P = 4

43 A eqação de trasferêcia de calor é t = c + i-j Para o regime estacioário t = a eqação se redz à de Laplace + = Para cada poto da mala temos a segite eqação: i+j + i-j + ij+ + ij- -4 ij = P : = = = - ij+ ij ij- i+j 43

44 = = = = - Dado como resltados = = = =