( ) d dx. A Regra Geral da Potência. A Regra Geral da Potência

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Para começar, cosideremos a determiação da atiderivada x(x +. Como estamos procrado ma fção cja derivada é x(x +, chegamos ao segite: A Prof.: Rogério Dias Dalla Riva A.A regra geral da potêcia.sbstitição d ( + = ( + x x ( x ( x + d = + ( x + ( x ( x ( + C = x x + Use a Regra da Cadeia Divida ambos os membros por Escrever em forma de itegral Na ala aterior, aplicamos a Regra Simples da Potêcia + x x, + para determiar atiderivadas de fções expressas como potêcias de x somete. Nesta ala estdaremos ma técica para obter atiderivadas de fções mais complicadas. A chave desta solção é a preseça do fator x o itegrado. Em otras palavras, esta solção fcioa porqe x é precisamete a derivada de (x +. Fazedo = x +, podemos escrever d x ( x + =

2 Este é m exemplo da Regra Geral da Potêcia para itegração. para Itegração Se é ma fção difereciável de x, etão + d, + a. x x d ( = ( ( ( x Fazedo = x - Ao aplicar a, devemos primeiro idetificar m fator do itegrado, elevado a ma potêcia. Mostramos etão qe sa derivada d/ é também m fator do itegrado. Tdo isto está demostrado o Exemplo, a segir. b. x x x x x x ( + ( + = ( + ( + ( x + x d Fazedo = x + x Exemplo : Calcle as segites itegrais idefiidas. ( x ( + ( + x x a. b. x x x c. d. x ( x c. x x = x x ( x d ( ( Fazedo = x - = ( + x C Simplificado

3 x d. = x x ( x ( x x d ( ( Fazedo = - x Simplificado Seja = x. Para aplicar a Regra Geral da Potêcia, precisamos criar d/ = - 8x como fator do itegrado. Para tato, basta mltiplicarmos e dividirmos pela costate 8. x x x x ( = ( ( 8 8 d Mltiplicar e dividir por - 8 OBS: Mitas vezes, parte da derivada d/ está asete do itegrado, e em algs casos podemos fazer os ajstes ecessários para aplicar a Regra Geral da Potêcia. = ( x ( 8 x Fatorar -/8 o itegrado 8 ( x 8 ( x Simplificar Exemplo : Calcle a itegral idefiida ( x x Nota: Tete aplicar a Regra da Cadeia para verificar o resltado do Exemplo.

4 Exemplo : Calcle a itegral idefiida ( 8 x OBS: Pelo Exemplo, vemos qe ão é possível passar variáveis para fora do sial de itegração. Se isto fosse permitido, poderíamos passar todo o itegrado para fora do sial de itegral e elimiar todas as regras de itegração, qe ficariam, assim, redzidas a = x + C Qado m itegrado cotém m fator costate extra qe ão é ecessário como parte de, podemos simplesmete passá-lo para fora do sial de itegral, coforme ilstrado o próximo exemplo. Façamos = x. Tal como o Exemplo, para aplicar a devemos criar d/ = -8x como fator do itegrado. No Exemplo, pdemos fazer isto mltiplicado e dividido por ma costate e colocado essa costate fora do itegrado. Esta estratégia ão fcioa com variáveis; isto é, Exemplo : Calcle a itegral idefiida 7x x + 8( x ( x ( 8x x Para calclar esta itegral idefiida, podemos desevolver o itegrado e aplicar a Regra Simples da Potêcia: ( ( 8 x = 7 + 9x 8x 8 7x + 6x x + C Seja = x +. Devemos criar = x mltiplicado e dividido por. O fator costate 7/ ão é ecessário como parte de, podedo, assim, ficar fora do sial de itegral. ( 7x x + = 7x x + Escrever com expoetes racioais 7 = ( + ( x x Mltiplicar e dividir por

5 . Sbstitição 7 = ( x + ( x ( x + 7 Fatorar 7/ Exemplo : Calcle a itegral idefiida x = ( x C Simplificar. Sbstitição. Sbstitição A técica de itegração tilizada os Exemplos, e depede de ossa capacidade de recohecer o criar m itegrado da forma. Com itegrados mais complicados, é difícil recohecer os passos ecessários para ajstar o itegrado a ma fórmla básica de itegração. Façamos, em primeiro lgar, = x. Etão d = -. Isto implica qe = -/d, e a itegral idefiida pode ser obtida como sege. ( x = x = d Escrever com expoete racioal Itrodzir e d. Sbstitição. Sbstitição Em tais casos, valemo-os de m processo chamado sbstitição o mdaça de variáveis. Com tal processo, o itegrado é escrito em forma iteiramete ova em termos de e d. O seja, se = f (x, etão d = f (x, e a Regra Geral da Potêcia toma a forma d = d = d = + 9 C = ( x + C 9 Fatorar -/ o itegrado Aplicar a Regra da Potêcia Simplificar Sbstitir por x

6 . Sbstitição OBS : Para obter eficiêcia a itegração, devemos tilizar ambas as técicas estdadas esta ala. Para itegrais mais simples, idetificamos o padrão e criamos d/ mltiplicado e dividido por ma costate adeqada. OBS : Cotdo, para itegrais mais complicadas, temos de laçar mão de ma mdaça formal de variáveis, coforme ilstrado o Exemplo. 6