Comparação entre os Métodos dos Elementos de Contorno e das Soluções Fundamentais em Problemas de Laplace

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1 Proceedig Series of the Brazilia Society of Applied ad Comptatioal Mathematics, Vol. 3, N. 2, 205. Trabalho apresetado o III CMAC - SE, Vitória-ES, 205. Proceedig Series of the Brazilia Society of Comptatioal ad Applied Mathematics Comparação etre os Métodos dos Elemetos de Cotoro e das Solções Fdametais em Problemas de Laplace Carlos Friedrich Loeffler Programa de Pós-gradação em Egeharia Mecâica, UFES, Vitória, ES Viicis Pires Falchetto 2 Programa de Pós-gradação em Egeharia Mecâica, UFES, Vitória, ES Resmo. Neste trabalho comparam-se os desempehos méricos dos Métodos dos Elemetos de Cotoro (MEC) e Método das Solções Fdametais Clássico (MSF) a solção de problemas goverados pela Eação de Laplace. São métodos similares, e sam a idéia de ma solção fdametal, mas também apresetam algmas distições importates. É possível fazer com e estas diferetes técicas iterajam a solção de algs problemas mais complexos, o e implica em maior cohecimeto das particlaridades do MSF, ma vez e o MEC é atalmete ma técica mito mais cohecida, de recohecida eficiêcia em diversas aplicações importates. Já o MSF experimeta ma redescoberta a partir da itesificação das técicas de discretização sem malha. Este trabalho compara a precisão dos dois métodos e examia algmas particlaridades méricas de ambos em exemplos simples, mas importates para a idetificação do alcace de cada técica. Palavras-chave. Método dos elemetos de Cotoro, Método das Solções fdametais, Problemas de Laplace, Comparação etre Métodos Nméricos A Eação de Laplace A Eação de Laplace descreve o comportameto de importates feômeos atrais de atreza estacioária. Sa teoria geral de solções é cohecida como Teoria do Potecial. Assim, dado m meio bidimesioal com domíio aberto o ifiito, o potecial *(X) e sa derivada *(X) ma direção η, gerados m poto campo X=X(x, x 2 ) por ma fote sitada a ma distâcia eclidiaa r deste são dados por []: * r * = l(r), * = = (). 2π 2π η 2πr η carlosloeffler@bol.com.br 2 vfalchetto@gmail.com DOI: / SBMAC

2 Proceedig Series of the Brazilia Society of Applied ad Comptatioal Mathematics, Vol. 3, N. 2, A idepedêcia aglar destas eações simplifica bastate se eacioameto. 2 O Método dos elemetos de Cotoro A eação itegral básica do MEC para problemas de Laplace é dada por: c( ξ)( ξ) = *( ξ; X)( X)dΓ CPV *( ξ; X)( X)dΓ Γ Γ. Na eação aterior, (X) é o potecial e (X) é sa derivada ormal extera o cotoro Γ de m problema a ser resolvido, ode codições esseciais e atrais são prescritas. As itegrais são impróprias covergetes, sedo e a segda o lado direito da igaldade deve ser calclada o setido de valor pricipal de Cachy (CPV) [2]. O posicioameto adeado dos potos fote ξ permite ão apeas o cálclo das fções * e *, e atam como fções axiliares a forma itegral apresetada pela eação (2), como também faclta sejam coicidetes com as coordeadas dos potos campo X, e geram valores odais do potecial (X) e sa derivada (X) após o processo de discretização. Um procedimeto matemático egehoso defie o valor de c(ξ), e é itário para potos iteros, lo para potos exteros e igal a meio para cotoros saves []. De acordo com o procedimeto clássico do MEC [2], para cada poto fote ξ realiza-se ma varredra sobre todo o cotoro (vide figra ), e é discretizado em elemetos sobre os ais se defie ma aproximação das variáveis (X) e (X), defiido a ordem do elemeto de cotoro. Assim, gera-se m sistema de eações a segite forma: (2). H H H H +...H +...H 2 = G = G = G G +...G +...G 2 (3). 3 O Método das Solções Fdametais O MSF é mais atigo e mais básico em ses pricípios do e o MEC, pois é diretamete fdametado a ideia das fções de Gree [4]. Para a modelagem do MSF deve ser iserida ma série de potos de colocação sobre o cotoro ode o problema será aalisado. Nestes potos são prescritas as codições de cotoro. Embora o método ão reeira ma discretização explícita, a geometria do problema físico e sas codições de cotoro devem ser rigorosamete comptadas. Similarmete ao MEC, também deve ser iserida ma série de potos fote, mas DOI: / SBMAC

3 Proceedig Series of the Brazilia Society of Applied ad Comptatioal Mathematics, Vol. 3, N. 2, estes devem se sitar exteramete ao cotoro, formado ma froteira fictícia e circscreve a geometria do problema físico. Isto será ilstrado mais à frete, a figra. O úmero de potos fote ai tilizado foi igal ao úmero de potos de colocação, por apresetar melhor precisão [3], mas existem otras técicas, mais elaboradas, e operacioalizam o MSF de modo diferete. Em termos de eacioameto, admitido-se etão e dado m cojto de fotes e igal atidade de potos de colocação, pode-se escrever a segite relação de iflêcia etre poteciais, com base a eação (): * (,) * (2,)... * (,) * (,2)... * (, ) c c 2 2 * (2,2)... * (2, )... =... c * (,2)... * (, ) (4). Escreve-se ma relação similar, evolvedo agora sas derivadas ormais: * (,) * (2,)... * (,) * (,2)... * (, ) c c 2 2 * (2,2)... * (2, )... =... c * (,2)... * (, ) (5). Nas eações (4) e (5), e são, respectivamete, os valores cohecidos do potecial e da sa derivada ormal os potos de colocação. Percebedo-se e os coeficietes de iflêcia c i são os mesmos em ambas as matrizes, podem-se combiar as lihas de ambas gerado m ovo sistema, o al o vetor sitado à direita da igaldade matricial é composto exclsivamete de valores prescritos. Isto permite determiar todos os coeficietes de iflêcia, pela solção do segite sistema: *(,) *(2,)... *(,) *(,2)... *(, ) c c 2 2 *(2,2)... *(2, )... =... c *(,2)... *(, ) (6). DOI: / SBMAC

4 Proceedig Series of the Brazilia Society of Applied ad Comptatioal Mathematics, Vol. 3, N. 2, Exemplos 4. Problema Uidimesioal - Barra Egastada ma extremidade O problema a segir pode ser iterpretado como de ma barra adrada de lados itários tracioada a direção horizotal, de acordo com as codições de cotoro mostradas a figra (a). Tato o MSF ato o MEC e em ambos os métodos foram sadas atro diferetes discretizações, com 2, 20, 36 e 44 potos de colocação. Na resolção do problema pelo MEC foram tilizados elemetos retos com iterpolação das variáveis de campo liear com ós dplos, para ateder a possível dalidade de codições de cotoro os catos [2]. No caso MSF foram resolvidos, para cada atidade de potos o cotoro, dois diferetes arrajos de potos fotes: o arrajo circlar, em e os potos fotes ficam dispostos igalmete espaçados ma circferêcia fictícia cocêtrica, coforme a figra (b); e o arrajo adrático, em e os potos fotes são posicioados a ma distâcia d a direção ormal ao poto de colocação correspodete, figra (c). Calclo-se o erro pela somatória das difereças etre o resltado mérico e o valor aalítico em cada poto, dividida pelo maior valor aalítico e pela atidade de potos. Motaram-se crvas de covergêcia para cada arrajo de potos fote, coforme mostra a figra 2. Figra Cofigração geométrica da barra adrada com codições de cotoro impostas e arrajos de potos de colocação sais com o MSF DOI: / SBMAC

5 Proceedig Series of the Brazilia Society of Applied ad Comptatioal Mathematics, Vol. 3, N. 2, Figra 2 Crvas de erro para diferetes arrajos de potos primeiro exemplo Percebe-se esta figra a estabilidade dos resltados do MEC com relação ao refiameto da malha, pois e o problema é bem simples, o al o campo de deslocametos é liear. Já os resltados do MSF somete speram o MEC o caso dos arrajos adráticos, mas estes, à medida e o afastameto cresce, ocorre siglaridade, pois as lihas das matrizes se toram mito semelhates. Não há aida aimidade a literatra com relação aos limites deste afastameto, pois há ma depedêcia da geometria e das codições de cotoro aplicadas. 4.2 Segdo exemplo - chapa sob gradiete térmico A figra 3 apreseta as características geométricas e físicas do problema. Trata-se de ma chapa adrada de lados itários, cjas codições de cotoro ão são costates ao logo das das arestas. A distribição do potecial de temperatras e flxos agora é bidimesioal. Além dos mesmos arrajos de malhas e distribições de fotes e de colocação empregadas o exemplo aterior, foram também sadas malhas mais refiadas, tato o MSF ato o MEC, pois e a dificldade mérica para solção deste exemplo é maior. De fato, os resltados méricos agora foram bem diferetes. Particlarmete com o MSF hove perda de precisão com o refiameto da malha para distribições de potos fote mais afastadas. Também este exemplo a distribição circlar das fotes teve m pior comportameto se comparada às demais. Qato ao MEC, embora apresete resltados de alidade iferior para as malhas poco refiadas, redz mootoicamete o erro à medida e se amplia a atidade de potos fote. DOI: / SBMAC

6 Proceedig Series of the Brazilia Society of Applied ad Comptatioal Mathematics, Vol. 3, N. 2, Figra 3 Chapa adrada com codições de cotoro variáveis Figra 4 Crvas de erro para diferetes arrajos de potos segdo exemplo 5 Coclsões O MSF é m dos mais simples métodos méricos a atalidade. Praticamete redescoberto há algs aos, tem sido empregado com êxito a aálise acústica, em DOI: / SBMAC

7 Proceedig Series of the Brazilia Society of Applied ad Comptatioal Mathematics, Vol. 3, N. 2, problemas cjas froteiras apresetam certa simplicidade e reglaridade. Não obstate este scesso, aida há mitas dúvidas com relação à idetificação de parâmetros e cercam sa aplicação geeralizada, pois e há ma tedêcia em calibrar o método diate de problemas cja coformação geométrica se repete. O desempeho do MEC se mostra mais robsto e apreseta ma crva de covergêcia ítida com o refiameto da malha em todos os casos melhor, o e ão acotece com o MSF. As variações das codições de cotoro, embora também afetem o MEC, pois ato mais complexas maiores são as ecessidades de maior refiameto da malha, mostraram-se mito mais sérias o MSF, em exemplos e ão pderam ser ai apresetados. Foi ítido e estes casos e há ma tedêcia aida maior à istabilidade mérica. Também mito comm foi a geração de m sistema de eações siglar o MSF, devido ao afastameto dos potos fote, em algs casos para distâcias ão tão excessivas assim, relativamete às dimesões geométricas do problema. Embora ão teham sido resolvidos, sabe-se e o MSF ão é eficiete diate de problemas com cotoros irreglares e, particlarmete, sitações em e existam reetrâcias, casos os ais o MEC se mostra bem mais adeado. Por fim, deve-se ressaltar a carêcia de ma bibliografia e apresete miciosamete os testes com problemas goverados pela Eação de Laplace, etapa importate ates da solção de problemas mais complexos e evolvem operadores difereciais aida mais elaborados. Referêcias [] C.A. Brebbia, The Bodary Elemet Method for Egieers, Petech Press, (978). [2] C. A. Brebbia, S. Walker, Bodary Elemet Techies i Egieerig, Newes- Btterworths, (980). [3] G. C. de Medeiros, O método das Solções Fdametais com Reciprocidade Dal para Problemas de Potecial, Dissertação de Mestrado em Estrtras e Costrção Civil, Uiversidade de Brasília, (200). [4] H. F. Weiberger, Ecacioes Difereciales e Derivadas Parciales, Editorial Reverte, Barceloa, (970). DOI: / SBMAC