TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS COM MODELAGEM DE DISTORÇÕES ENTRE SAD69 E SIRGAS2000 COM O USO DE THIN-PLATE SPLINES

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1 BCG - Boletim de Ciêcias Geodésicas - O-Lie versio, ISSN TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS COM MODELAGEM DE DISTORÇÕES ENTRE SAD69 E SIRGAS2 COM O USO DE THIN-PLATE SPLINES Coordiate trasformatio with distortio modelig betwee SAD69 ad SIRGAS2 by usig Thi-Plate Splies JOÃO PAULO MAGNA JÚNIOR 1 PAULO DE OLIVEIRA CAMARGO 2 MAURÍCIO GALO 2 1 Istituto Federal de Educação, Ciêcias e Tecologia de Goiás Campus de Goiâia Goiás - Brasil 2 UNESP Uiv. Estadual Paulista Campus de Presidete Prudete Programa de Pós-Graduação em Ciêcias Cartográficas - PPGCC Presidete Prudete São Paulo Brasil joao.paulo@ifg.edu.br, {paulo, galo}@fct.uesp.br RESUMO Diversos países têm passado por processos de mudaça a estrutura geodésica fudametal, covergido a adoção de refereciais geodésicos geocêtricos. No Brasil, a adoção do SIRGAS2 evolve a existêcia cojuta de duas realizações do sistema Córrego Alegre, duas realizações do sistema SAD69 e uma realização do sistema SIRGAS2. Para o aproveitameto de produtos os refereciais atigos são ecessários métodos para trasformação de coordeadas etre os refereciais existetes. Neste cotexto, este artigo apreseta uma solução para a trasformação de coordeadas etre refereciais, baseado em Thi-Plate Splies (TPS), que reúe características para a modelagem de dados proveietes de uma trasformação liear, jutamete com distorções de atureza ão liear. O modelo foi desevolvido para trabalhar com coordeadas cartesiaas tridimesioais, sedo apresetados este artigo resultados com dados simulados bem como com dados do SGB (Sistema Geodésico Brasileiro). Em potos de verificação em SAD69 (realização de SAD69/96) foram obtidos valores de RMSE (Root Mea Square Error) de 78,2 mm em latitude e 67,5 mm em logitude após a

2 2 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... trasformação para SIRGAS2. Na comparação etre o modelo TPS e o proporcioado pelo ProGriD os idicadores estatísticos foram reduzidos em 97% ao utilizar o modelo TPS, idicado que o uso deste modelo é promissor, possibilitado uma maior qualidade o processo de trasformação de coordeadas e modelagem da distorção etre refereciais geodésicos. Palavras-chave: Thi-Plate Splies; Modelagem de Distorções; Trasformação de Coordeadas; Refereciais Geodésicos. ABSTRACT Several coutries have bee passed by chage processes i their fudametal geodesic structure with the focus o the adoptio of geocetric referece systems. I Brazil, the adoptio of the SIRGAS2 evolves the coexistece of two realizatios from the Córrego Alegre system, two realizatios from the SAD69 system ad oe realizatio from the SIRGAS2 system. To make use of products i the old referece systems, methods of coordiate trasformatio betwee the existet referece frames are ecessary. So, i this paper oe solutio for the trasformatio betwee coordiates from differet referece frames, based o Thi-Plate Splies (TPS), that allows the estimatio of parameters from oe liear trasformatio ad also oe o-liear model is preseted. The TPS model was developed to work with tridimesioal coordiates ad i this paper the results ad aalysis are performed with simulated data ad also with data from the official Brazilia Geodetic System (SGB). I the check poits from SAD69 statios (realizatio of SAD69/96), the values of RMSE obtaied were of 78,2 mm i latitude ad 67,5 mm i logitude, before the trasformatio to the SIRGAS2. I the compariso betwee the TPS model ad ProGriD (Brazilia software provided by IBGE), the statistical idicators were reduced i 97%, by usig the TPS model. Based i the obtaied results from real dataset, the TPS model appears to be promisig, sice it allows improvig the quality of trasformatio process with simultaeous distortio modelig. Keywords: Thi-Plate Splies; Distortio Modelig; Coordiate Trasformatio; Referece Systems. 1. INTRODUÇÃO Na busca por acompahar a tedêcia mudial e a evolução tecológica, o Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) vem se adaptado ao logo dos aos, procurado prover para a comuidade usuária dados para posicioameto geodésico e mapeameto de maior acurácia. A mais atual e sigificate mudaça ocorreu em 25, com a adoção do SIRGAS2 (Sistema de Referêcia Geocêtrico para as Américas) oficialmete como ovo referecial geodésico. A dispoibilização, tato de ovas materializações para refereciais já existetes quato de ovos refereciais, culmia com a ecessidade de métodos para relacioar as diferetes coordeadas etre estas realizações. A trasformação de

3 Maga Júior, J. P. et al. coordeadas e a modelagem de distorções etre refereciais passaram a ser fote de pesquisa e uma preocupação latete quado se trata de dados georrefereciados. Estudos realizados pelo Grupo de Trabalho 3 (GT3) do Projeto Mudaça do Referecial Geodésico (PMRG) e do Projeto da Ifraestrutura Geoespacial Nacioal (PIGN) colaboraram com a dispoibilização de um aplicativo para a trasformação de coordeadas etre os refereciais utilizados o Brasil (OLIVEIRA et al., 28 e MAGNA JÚNIOR, 29). Em dezembro de 28, o IBGE passou a dispoibilizar o aplicativo deomiado ProGriD em um esforço de prover para a comuidade de usuários de dados geoespaciais de um sistema computacioal que facilite a trasição para o SIRGAS2 (IBGE, 29). As características próprias da rede plaimétrica Brasileira, sua grade extesão e os processos de levatameto e ajuste de suas coordeadas ao logo do tempo, a tora difereciada de outras redes o mudo. Os efeitos do comportameto ão homogêeo das distorções, assim como a variação da sua magitude ao logo da rede, podem impactar egativamete o processo de modelagem e merecem ivestigações. O processo de mudaça de refereciais ou da dispoibilização de ovas realizações para os refereciais já existetes é costate. Volumes cada vez maiores de dados, com melhor qualidade se toram dispoíveis a cada mometo, logo, deve-se ter uma rede geodésica com qualidade compatível. Nesse setido, a pesquisa de métodos que proporcioem um relacioameto de qualidade adequada etre diferetes realizações dispoíveis tora-se ecessária e de relevâcia tato operacioal quato cietífica. A metodologia proposta esse artigo se fudameta a modelagem baseada em fuções de mapeameto por Thi-Plate Splie (TPS), usadas para determiar distorções relativas em dois cojutos de potos de cotrole correspodetes. As características das fuções TPS são ideais para a trasformação de coordeadas e modelagem de distorções, pois é possível a modelagem a partir de dados homólogos resultates de uma trasformação geométrica (traslação, rotação, ão ortogoalidade e fator de escala) e sujeitos a distorções de atureza ão liear. Baseado este pricípio foi expadido o modelo TPS tradicioal para a utilização de coordeadas geodésicas cartesiaas tridimesioais a estimativa dos coeficietes TPS seguida da avaliação da qualidade desta modelagem. 2. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS E MODELAGEM DE DISTORÇÕES NA REDE GEODÉSICA BRASILEIRA No Brasil, diferetes metodologias foram utilizadas o processo de trasformação de coordeadas etre refereciais geodésicos. Em IBGE (1983) são sugeridas as equações difereciais simplificadas de Molodeski para a trasformação de coordeadas geodésicas curvilíeas etre os sistemas Córrego Alegre e SAD69. Com a adoção do SIRGAS2, foram publicados em IBGE (25) parâmetros para a trasformação de coordeadas geodésicas cartesiaas etre SAD69 e SIRGAS2, utilizado a abordagem cartesiaa clássica. Nesse processo, eram estimados parâmetros de trasformação (especificamete 2 1

4 2 2 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... traslações) etre os sistemas de referêcia, cosiderado o paralelismo dos eixos de suas superfícies de referêcia. Em 25, o IBGE dispoibilizou o aplicativo deomiado TCGEO, o qual possibilitava aos usuários a coversão de coordeadas etre os refereciais SAD69 e SIRGAS2. A coversão também se baseava somete a aplicação de parâmetros de traslação e o aplicativo apresetava como saída um resíduo da trasformação, que servia como um idicativo do valor de distorção o poto cosiderado. Para o cálculo dos resíduos, dois fatores eram cosiderados: a posição geográfica do poto e a realização da qual o poto pertece. A distição quato à origem das coordeadas era feita em termos de rede GPS, rede clássica SAD69 e rede clássica SAD69/96. A mudaça mais recete o que se refere à coversão de refereciais o SGB ocorreu em dezembro de 28, com o laçameto do ProGriD (IBGE, 29). O pricipal diferecial do ProGriD cosiste a icorporação da modelagem das distorções o processo de coversão de coordeadas. Para realizar as trasformações, o ProGriD utiliza grades o formato NTv2 (Natioal Trasformatio versio 2), um pacote de aplicativos e procedimetos desevolvido o Caadá e utilizado em vários países para a coversão de refereciais. O modelo de distorção utilizado pelo NTv2 é composto por: um modelo global, que utiliza um poliômio complexo para modelar simultaeamete as distorções em latitude e logitude; e um modelo local, que trata idividualmete a modelagem as compoetes latitude e logitude em fução das distorções residuais globais (JUNKINS e ERICKSON, 1996). As distorções modeladas são dispoibilizadas em um formato padrão do NTv2, compatível com diversos programas computacioais de geoprocessameto. As grades de trasformação NTv2 utilizadas o ProgriD são geradas a partir de estações homólogas as seguites materializações (IBGE, 29): Córrego Alegre (1961), Córrego Alegre ( ), SAD69 Rede Clássica e SAD69/96 Rede Clássica. Os potos determiados com técicas de posicioameto por satélites ão são utilizados o cojuto de estações de cálculo do SAD69, uma vez que é dado um tratameto difereciado para estas estações, as quais foram deomiadas o ProGriD de SAD69 Técica Doppler ou GPS. O tratameto difereciado das estações em fução da técica de levatameto se deve ao padrão distito das distorções que, as estações determiadas por posicioameto GNSS apresetam comportameto mais homogêeo e de meor magitude quado comparadas com as estações determiadas por métodos clássicos de levatameto. Além dos procedimetos recomedados pelo IBGE, diferetes soluções e estudos foram publicados com o propósito de cotribuir para o processo de coversão de refereciais o Brasil, detre os quais se destacam: Costa (1999), Maga Júior (27, 212), Oliveira (1998) e Pio e Firkowski (29).

5 Maga Júior, J. P. et al. 3. THIN-PLATE SPLINES: DEFINIÇÃO E CARACTERIZAÇÃO MATEMÁTICA Thi-Plate Splies apresetam características que as toram aplicáveis em grade parte dos problemas de modelagem, pois possibilitam a decomposição da modelagem em uma trasformação liear e uma compoete de distorções ão lieares. O coceito de TPS se baseia a miimização da eergia de curvatura de uma placa delgada de metal fixa a algus potos amostrais. Sua formulação garate restrições de que a superfície iterpolate apresete míima eergia de deformação e que seja suave. De acordo com Bookstei (1989), para uma placa delgada de metal, sujeita a uma curvatura suave, a eergia de curvatura em um poto com coordeadas (x, y) é dada por: 2 3 I f z z z 2 = + + dxdy. 2 R2 x x y 2 y (1) A fução splie f(x,y) que miimiza a eergia de curvatura I f é dada por: ( x y) a + bx + cy + f, = wi U( r), (2) ode: a, b, c e w i (i = 1,..., ) - coeficietes da Thi-Plate Splie; U(r) - fução de base radial; e r - distâcia do poto (x, y) ao i-ésimo poto de cotrole. A fução TPS é, como se pode otar pela Equação 2, formada a partir da combiação liear de fuções radiais (U(r)), ode os valores da fução são obtidos pelas difereças (ou distâcias) etre as coordeadas dos potos de cotrole (utilizados a geração do modelo). A fução de base radial U(r) apreseta um comportameto liear à medida que os potos aalisados se afastam da origem, a qual é dada pelos potos de cotrole. Embora sejam fuções de iterpolação globais, as ifluêcias das deformações locais tedem a dimiuir com o afastameto em relação aos potos de cotrole, coforme destaca Castaho (1997). Uma das aplicações da TPS é a geração de mapas R 2 para R 2 relacioado dois cojutos de potos homólogos. A fução de mapeameto TPS pode ser decomposta em uma trasformação liear (trasformação afim) e uma parcela de distorções ão lieares. Em grade parte das soluções são geradas superfícies de iterpolação f(x,y) em fução das coordeadas bidimesioais plaas (x,y). A formulação e detalhes sobre as fuções de mapeameto 2D podem ser ecotradas em Bookstei (1989). A base das aálises e da formulação da TPS está o estudo de uma fução de base radial U, a qual é depedete do espaço dos úmeros reais a ser utilizado. De

6 2 4 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... acordo com Bookstei (1989) e Tsai et al. (2), a modelagem com coordeadas o espaço bidimesioal (R 2 ) a fução U é dada pela Equação 3; já o caso tridimesioal (R 3 ), U é dada pela Equação 4, respectivamete: 2 ( r ), 2 z( x, y) = U ( r) = r log (3) (4) z x, y, z = U r = r, ( ) ( ) 2 ode r é a distâcia euclidiaa à origem do sistema cartesiao, defiida pelas coordeadas de cada poto de cotrole e é dada pela orma-2 de r a Equação 4. A combiação liear de múltiplos termos de U(r) é utilizada para modelar uma placa delgada de metal que se estede em todas as direções, coforme a defiição de TPS. A partir da fução de base radial e da Equação 2 é possível defiir as fuções de mapeameto TPS em X, Y e Z, dadas pelas equações: X Y = a + a X + a Y + a Z + u U( i = 1 i r i = a + a X + a Y + a Z + v U( i = 1 i r i Z = a + a X + a Y + a Z i = 1 + wu( i r i ), ), ), (5) sedo: X, Y Z 2 2, 2 - coordeadas cartesiaas geodésicas a realização de destio; 1, Y1, Z1, a1,..., a11, u1,..., u, v1,..., v, w1, w - coeficietes das fuções TPS em X, Y e X - coordeadas cartesiaas geodésicas a realização de origem; a..., Z; U ( r i ) - Equação 4, sedo r i a distâcia Euclidiaa o espaço tridimesioal etre um determiado poto e cada um dos potos de cotrole. Para a determiação dos coeficietes do modelo TPS é ecessário a resolução do sistema de equações formado pelas Equações 5 e pelas ijuções dadas pelas equações: u = i = i 1 v = i = i 1 w = i = i 1 i = i = = i = 1 i 1 i = i = = i = 1 i 1 i = i = = i = 1 i 1 (6) w X = i = i i 1 w Y = i = i i 1 w Z = i = i i 1

7 Maga Júior, J. P. et al. O cojuto de Equações 6 assegura o crescimeto liear da TPS à medida que o poto de avaliação da fução se tora mais distate de um poto de cotrole (CASTANHO, 1997) e garate que o sistema liear a ser solucioado teha úmero de equações iguais ao úmero de icógitas, idepedetemete do úmero de potos de cotrole. O sistema solucioado idividualmete para cada coordeada é formado por + 12 equações e + 12 icógitas, sedo o úmero de potos de cotrole. No caso específico do SGB, as estações estão distribuídas irregularmete ao logo do território brasileiro, tato em termos de espaçameto quato de desidade das estações. Um problema que pode ocorrer a modelagem por TPS é que dois potos muito próximos podem ter distâcias relativamete pequeas com relação aos demais potos da rede. Isso implica a existêcia de lihas e/ou coluas da matriz A (matriz dos coeficietes) com depedêcia liear, provocado problemas de codicioameto, como pode-se ver em Maga Júior (212). Como forma de melhorar o codicioameto da matriz A foi adotado um limiar de distâcia para potos próximos. Um pré-processameto é realizado os potos de cotrole para idetificar potos que estejam próximos a uma distâcia igual ou iferior ao limiar estabelecido. Uma vez idetificados os potos que atedem a essa codição, apeas um dos potos é matido o cojuto de dados e o outro é descartado. Em Maga Júior (212), experimetos foram realizados para estabelecer o limiar de distâcia, levado em cosideração o úmero de potos excluídos, a característica e o codicioameto da matriz A para cada um dos limiares aalisados. Cosiderado as estações do SGB, o limiar que melhor atedeu aos critérios aalisados foi o de 1 km. Pode-se pesar que ao elimiar potos de uma rede a qualidade da modelagem pode ser prejudicada, o que é um aspecto a ser cosiderado. No etato, experimetos realizados mostraram que, assumido que as redes geodésicas apresetam localmete uma deformação homogêea, esta elimiação ão prejudica os resultados da modelagem, uma vez que a modelagem TPS gera uma superfície suave e fixa os potos de cotrole utilizados. 4. MÉTODO PROPOSTO PARA TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS E MODELAGEM DE DISTORÇÕES A metodologia proposta se baseia a utilização de coordeadas geodésicas cartesiaas (X, Y e Z) para a modelagem por TPS. Embora as coordeadas de estações do SGB sejam dispoibilizadas em latitude, logitude e altitude geométrica, para evitar problemas de distorção, por exemplo, decorrete da represetação bidimesioal dos dados em uma projeção, optou-se por trabalhar com coordeadas geodésicas cartesiaas obtidas a partir das coordeadas geodésicas. A fase iicial do desevolvimeto da metodologia proposta foi a expasão do modelo TPS para o espaço tridimesioal, ou seja, utilizado coordeadas o espaço 3D, e a resolução do sistema de equações (estimativa dos coeficietes do modelo). O modelo TPS 3D, coforme apresetado a seção aterior, se resume à 2 5

8 2 6 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... solução de um sistema de equações lieares formado pelas Equações 5 e 6. Para efeito desse texto, será utilizada a deomiação TPS 2D para se referir à formulação TPS utilizado coordeadas o domíio bidimesioal e TPS 3D quado se trata da formulação com coordeadas o domíio tridimesioal. Dessa forma, o modelo possibilita a modelagem das distorções utilizado a iformação altimétrica, quado dispoível, ou idepedete desta (h = ). Portato, o modelo pode ser tratado como sedo 3D, mas modelado um feômeo de compoetes plaimétricas. Como ão há redudâcia a determiação da solução do sistema e a matriz A é quadrada, o vetor dos coeficietes X pode ser ecotrado pela multiplicação da matriz iversa dos coeficietes (A -1 ) e o vetor das observações (L), a forma 1 X = A L. A solução dos ( + 4) coeficietes (vetor X) para cada compoete das coordeadas se resume à solução de um sistema formado por ( + 4) equações por ( + 4) icógitas. Os problemas de codicioameto a solução TPS, decorretes da geometria das estações do SGB, foram solucioados com a aplicação do limiar de distâcia de 1 km para pares de potos próximos e com a iversão da matriz A pela decomposição em valores sigulares (SVD Sigular Value Decompositio). A decomposição SVD é um método muito utilizado para aálise e solução de sistema de equações com matrizes sigulares ou quase sigulares (mal codicioadas). O método se baseia o seguite pricípio da álgebra liear (PRESS et al., 1992): qualquer matriz A ( x u), com úmero de lihas maior ou igual ao úmero de coluas u, pode ser escrita como um produto de uma matriz colua ortogoal U ( x u), uma matriz diagoal W (u x u), com elemetos ulos ou positivos (valores sigulares), e a trasposta de uma matriz ortogoal V (u x u). Portato: A = UWV T. (7) A matriz diagoal W cotém os valores sigulares (autovalores) associados à matriz A. Os valores cotidos em W possibilitam iferêcias importates sobre o codicioameto da matriz A e, cosequetemete, do sistema de equações. O cálculo da matriz iversa pela decomposição SVD para A quadrada é dada por: A = V[ diag(1/ w i )] U 1 T. (8) Com os coeficietes do modelo TPS calculados a partir dos potos homólogos, o caso, etre duas realizações de refereciais geodésicos, a etapa fial cosiste a aplicação dos coeficietes em potos a realização de origem, para os quais se deseja cohecer as coordeadas a realização de destio. É importate destacar que todo o processameto foi realizado com coordeadas ormalizadas, procurado-se evitar problemas de ordem umérica, dadas as dimesões das coordeadas geodésicas cartesiaas (X, Y e Z) dos potos. Após experimetos com diferetes valores adotou-se o itervalo [-1, 1], sedo ao fial da modelagem realizada a

9 Maga Júior, J. P. et al. ormalização iversa para obter as coordeadas geodésicas a mesma escala e magitude origiais. O fluxograma da Figura 1 ilustra as etapas de determiação do modelo TPS proposto esse artigo. Figura 1 - Fluxograma do processo de determiação dos coeficietes do modelo TPS. 2 7 O processo de determiação dos coeficietes do modelo TPS, coforme apresetado a Figura 1, iicia-se com dois cojutos de potos de cotrole homólogos associados às realizações de refereciais geodésicos evolvidos a trasformação. Esses potos passam por uma etapa de pré-processameto o qual são excluídos um dos potos vizihos com distâcias iguais ou iferiores ao limiar de distâcia estabelecido. Os potos resultates dessa etapa são utilizados a solução do sistema de equações, ou seja, a determiação dos coeficietes do modelo TPS. A matriz A e o vetor L são motados e aplica-se a decomposição por valores sigulares SVD para a iversão da matriz A e posterior determiação do vetor dos parâmetros (X = A -1 L). Determiado o modelo TPS, seus coeficietes podem ser utilizados para trasformar aaliticamete as coordeadas da realização de origem para a realização de destio. Este processo de trasformação, a exemplo de outros já citados, pode ser realizado basicamete de duas formas: aaliticamete, ou seja, utilizado o modelo fucioal e aplicado os parâmetros calculados, ou dispoibilizado grades de trasformação (GT). 5. EXPERIMENTOS E RESULTADOS A validação do método proposto foi realizada a partir de experimetos com dados de estações do SGB, a realização SAD69/96 do sistema SAD69 e SIRGAS2 do sistema SIRGAS. O modelo TPS foi avaliado cosiderado: a) o

10 2 8 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... cojuto total de potos homólogos dispoíveis as redes; b) a trasformação direta e iversa em potos ão coicidetes com estações do SGB; c) utilizado um cojuto particular de potos de cotrole para estimativa dos coeficietes e outro cojuto particular de potos de verificação para as aálises; e d) comparado os resultados do modelo TPS com o ProGriD. Embora o processo de estimativa dos coeficietes do modelo e de trasformação de coordeadas teha sido realizado com coordeadas geodésicas cartesiaas (X, Y e Z), os resultados são apresetados em termos de coordeadas geodésicas curvilíeas (latitude e logitude) por ituitivamete facilitar a aálise e compreesão dos resultados. Nestes processametos foram modeladas distorções plaimétricas etre as duas realizações evolvidas, ou seja, cosiderado a altitude geométrica ula (h = ). 5.1 Avaliação do Modelo TPS em Estações do SGB com o Cojuto Total de Potos Dispoível Neste experimeto, foram determiados os coeficietes do modelo TPS para a trasformação etre SAD69/96 e SIRGAS2 utilizado todo o cojuto de potos dispoível como sedo de cotrole. O pré-processameto foi realizado os dados para elimiar potos próximos, de acordo com o limiar de distâcia (1 km). Uma vez estimados os coeficietes do modelo TPS, eles foram aplicados os mesmos potos de cotrole, com o propósito de avaliar a cosistêcia do modelo fucioal ao cojuto de dados dispoível. As aálises se basearam as discrepâcias etre as coordeadas cohecidas o referecial de destio e as respectivas coordeadas trasformadas pelo modelo TPS. A Figura 2 ilustra as etapas realizadas este experimeto. As etapas relacioadas por lihas potilhadas represetam a aplicação dos coeficietes do modelo TPS em coordeadas forecidas. Figura 2 - Fluxograma das etapas do experimeto com o cojuto total de potos.

11 Maga Júior, J. P. et al. O mesmo experimeto foi realizado com o ProGriD para fis de comparação etre os modelos. Algumas estatísticas das discrepâcias calculadas os potos de cotrole são apresetadas a Tabela 1. Tabela 1 - Estatísticas da aálise da qualidade da modelagem com a totalidade (4352) dos potos. Discrepâcias Modelo TPS ProGriD Lat. (m) Log. (m) Lat. (m) Log. (m) Máxima,74,65,4958,6457 Míima -,13 -,82-1,6711 -,7656 Média,, -,68 -,61 Desvio Padrão,9,6,474,42 RMSE,9,6,479,424 9%,12,9,432,448 Coforme a Tabela 1, utilizado o modelo TPS pode-se otar que a discrepâcia média foi ula tato em latitude quato em logitude. Os valores do RMSE foram de,9 mm em latitude e,6 mm em logitude, equato que para o ProGriD foram, respectivamete, de 47,9 mm em latitude e 42,4 mm em logitude. Em geral, os valores próximos à zero para os idicadores estatísticos sugerem que a modelagem atede à característica desejada para o modelo, que deve garatir a fidelidade dos valores os potos amostrais. Comparado aida os resultados TPS versus ProGriD, verifica-se a redução superior a 97% em todos os idicadores estatísticos a modelagem por TPS, evideciado que a modelagem proposta se ajusta melhor aos potos de cotrole que o ProGriD. Em 9% dos potos trasformados pelo modelo TPS as discrepâcias máximas foram iferiores a 1,2 mm em latitude e,9 mm em logitude, já com o ProGriD os valores foram de 43,2 mm e 44,8 mm em cada compoete, respectivamete. 5.2 Avaliação das Trasformações Direta e Iversa em Potos ão Coicidetes com Estações do SGB A aálise da qualidade das trasformações direta e iversa por meio da metodologia proposta é realizada este experimeto. Para tato, foram utilizados 368 potos regularmete espaçados de 2 x 2 em latitude e logitude para verificação, cujas coordeadas foram defiidas matematicamete (simuladas), estado aida associadas ao Sistema SAD69 (otar que esse caso o sistema e rede ão apresetam difereças, por serem coordeadas matemáticas). Esses potos foram covertidos para o SIRGAS2 aplicado o modelo TPS obtido com o cojuto total de potos. As coordeadas resultates da trasformação foram ovamete covertidas para o sistema SAD69/96 usado o modelo TPS iverso, ou seja, utilizado a realização SIRGAS2 como origem. Uma vez que as 2 9

12 3 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... coordeadas iiciais dos potos utilizados estavam isetas de erros, em fução da maeira como foram defiidas (matematicamete), as difereças etre as coordeadas origiais e as trasformadas represetam os erros decorretes das próprias trasformações. Este mesmo experimeto também foi realizado usado o ProGriD. A Figura 3 ilustra as etapas deste experimeto em um fluxograma e a Figura 4 mostra a distribuição dos potos utilizados. Figura 3 Fluxograma do experimeto ode é feita a comparação das trasformações direta e iversa. Figura 4 - Distribuição dos potos para o experimeto de trasformação direta e iversa.

13 Maga Júior, J. P. et al. A Tabela 2 apreseta os resultados das discrepâcias etre as coordeadas origiais e trasformadas os potos de verificação utilizado tato o modelo TPS quato o sistema ProGriD. Tabela 2 - Estatísticas das discrepâcias a trasformação direta e iversa após a modelagem por TPS. Modelo TPS ProGriD Discrepâcias Lat. (m) Log. (m) Lat. (m) Log. (m) Máxima,35,18,, Míima -,34 -,26 -,11 -,11 Média,, -,2 -,2 Desvio Padrão,5,3,5,4 9%,5,3,11,1 O valor máximo absoluto de erro esperado para a modelagem com TPS é de aproximadamete 3,5 mm em latitude e 2,6 mm em logitude. Os demais valores são da ordem dos décimos de milímetro. Comparado os resultados obtidos pelo modelo TPS e ProGriD é possível verificar que ambos os modelos proporcioaram discrepâcias iferiores a 3,5 mm. Em termos de discrepâcias máximas e míimas, o ProGriD resultou em valores meores que o modelo TPS, iferiores a 1,1 mm em cada compoete. Quato às discrepâcias médias, desvios padrão em latitude e discrepâcias em 9% dos potos, os dois modelos mostraram resultados similares. No caso do desvio padrão em logitude, discrepâcia em 9% dos potos e discrepâcias médias as duas compoetes o modelo TPS resultou em valores meores que o ProGriD. As Figuras 5 e 6 apresetam uma comparação etre os resultados obtidos pelo modelo TPS e pelo ProGriD com relação às estatísticas apresetadas a Tabela 2. Figura 5 - Comparação etre TPS e ProGriD em latitude. 3 1

14 3 2 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... Figura 6 - Comparação etre TPS e ProGriD em logitude. É possível verificar pelas Figuras 5 e 6 que o ProGriD proporcioa meores valores absolutos de discrepâcias máximas e míimas que o TPS este experimeto. As maiores discrepâcias os potos de verificação obtidas pelo modelo TPS ocorreram exclusivamete em regiões de extrapolação ou com carêcia de potos, como é o caso das divisas etre MT, GO e TO e a região sudoeste do MS. Este experimeto idica que, assumido como desprezível a discrepâcia máxima de 3,5 mm, para uma rede geodésica desta dimesão, ambos os modelos são coeretes etre si. 5.3 Avaliação da Qualidade da Modelagem em Potos de Verificação Esse experimeto tem por objetivo avaliar a qualidade da modelagem por TPS os potos de verificação de estações do SGB. Para isso foram utilizados os potos de cálculo (PC 1, PC 2 ) em duas realizações para estimar os coeficietes do modelo TPS e potos de verificação (PV 1, PV 2 ), distitos dos potos de cálculo, para avaliar a qualidade da trasformação. Estimados os coeficietes do modelo TPS os potos de cálculo, aplicou-se a modelagem os potos de verificação e foram comparadas as coordeadas de referêcia (ajustadas pelo IBGE em SIRGAS2) com as coordeadas trasformadas com o modelo TPS. A Figura 7 apreseta um fluxograma com as etapas realizadas este experimeto. Pode-se dizer que as discrepâcias obtidas para as coordeadas represetam a acurácia das mesmas, já que as coordeadas trasformadas para a realização de destio foram comparadas com os valores de referêcia, ou seja, as próprias coordeadas o sistema de destio.

15 Maga Júior, J. P. et al. Figura 7 - Fluxograma das etapas do experimeto com potos de verificação idepedetes. 3 3 O cojuto total de dados dispoível a realização SAD69/96 é composto por potos (técicas clássicas), sedo 4.67 potos de cotrole e 47 potos de verificação. Foram descartados 99 potos do cojuto de potos de cotrole pelo limiar de distâcia. É importate salietar que o úmero de potos descartados este experimeto e o primeiro são diferetes, uma vez que a avaliação do limiar é feita os potos utilizados como cotrole. No primeiro experimeto todos os potos dispoíveis foram utilizados como cotrole, equato que este experimeto foram utilizados cerca de 9% do cojuto total de potos como potos de cotrole. A distribuição dos potos (técicas clássicas) da realização SAD69/96 utilizados este experimeto pode ser visualizada a Figura 8. Figura 8 - Distribuição dos potos de cotrole e de verificação da realização SAD69/96. Na Tabela 3 são apresetadas as iformações estatísticas das discrepâcias os potos de verificação ates e após a modelagem por TPS.

16 3 4 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... Tabela 3 Discrepâcias os potos de verificação ates e após a modelagem TPS. Ates da Modelagem Após a Modelagem por TPS Discrepâcias Lat. (m) Log. (m) Lat. (m) Log. (m) Máxima -37, ,4456,5482,4795 Míima -56, ,223 -,519 -,2965 Média -49, ,7392,8,12 Desvio Padrão 3,959 4,5453,779,676 RMSE 53,711 46,838,782,675 9% 54,5998 5,573,256,67 N de potos 47 As discrepâcias calculadas os potos de verificação ates da modelagem foram obtidas subtraido das coordeadas cohecidas (ajustadas) em SIRGAS2 as coordeadas cohecidas em SAD69/96. A magitude das discrepâcias obtidas ates da modelagem é da ordem de 5 m em latitude e 46 m em logitude, com respectivos desvios padrão de 3,9 m e 4,5 m. Após a modelagem por TPS, as discrepâcias médias foram reduzidas para 8 mm e 1,2 mm, com desvios padrão de 78 mm e 68 mm, respectivamete, em latitude e logitude. Os valores de RMSE foram de 78,2 mm em latitude e 67,5 mm em logitude. Em termos de distorções, as Figuras 9 e 1 represetam os vetores de distorção os potos de verificação ates e após a modelagem por TPS, respectivamete. Figura 9 - Distorções os potos de verificação, ates da modelagem.

17 Maga Júior, J. P. et al. Figura 1 - Distorções os potos de verificação, após a modelagem por TPS. 3 5 Nota-se a Tabela 3 que a magitude do RMSE é iflueciada pela discrepâcia de poucos potos de verificação localizados as regiões ode a modelagem é mais complexa e as discrepâcias são relativamete superiores aos demais potos. A discrepâcia elevada em poucos potos da realização SAD69/96 é comprovada se aalisados os valores de discrepâcia em 9% dos potos, os quais são iferiores a 25,6 mm em latitude e 6,7 mm em logitude. Mais detalhes são apresetados em Maga Júior (212). 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES A trasformação de coordeadas etre realizações de refereciais geodésicos é uma ecessidade mudial e recorrete, sobretudo com a rápida expasão e popularização de métodos de posicioameto de melhor acurácia. Procurou-se, este artigo, colaborar com o processo de trasformação de refereciais propodo uma metodologia baseada em Thi-Plate Splies. O método proposto realiza a trasformação o espaço tridimesioal, tratado cojutamete a modelagem de distorções ieretes às diferetes realizações. Para a determiação dos coeficietes do modelo foi aplicada a formulação TPS 3D, a qual preserva as mesmas características de cotiuidade e suavidade do modelo TPS covecioal. A validação da metodologia se deu por meio de experimetos com dados tato simulados quato reais, sedo este último obtido a partir de dados das estações do SGB em SAD69/96 e SIRGAS2, sedo também realizada a comparação com o ProGriD. Em fução de problemas de codicioameto a modelagem por TPS decorretes da geometria da rede, foi estabelecido um limiar míimo de distâcia

18 3 6 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... fixado em 1 km para os potos utilizados a estimativa do modelo e utilizada a técica SVD para a iversão da matriz dos coeficietes. Na aálise das discrepâcias com o cojuto total de potos, os valores de RMSE obtidos foram de,9 mm em latitude e de,6 mm em logitude. Os resultados idicam que o modelo TPS se ajusta adequadamete aos potos de cotrole, ou seja, proporcioa discrepâcias próximas a zero estes potos. A qualidade da modelagem foi verificada as trasformações direta e iversa etre as realizações SAD69/96 e SIRGAS2, com potos ão coicidetes com estações do SGB. Os resultados mostraram que o erro máximo esperado para a modelagem com TPS é de aproximadamete 3,5 mm em latitude e 2,6 mm em logitude. Em 9% dos potos os valores de discrepâcia foram iferiores a,5 mm em latitude e,3 mm em logitude. Os valores obtidos represetam o erro ierete ao próprio processo de trasformação, já que as coordeadas utilizadas este experimeto foram obtidas matematicamete e isetas de erros. Na avaliação da qualidade da modelagem os potos de verificação idepedetes, o RMSE obtido após a modelagem foi de 78,2 mm em latitude e 67,5 mm em logitude, evideciado uma redução superior a 99% as distorções em cada compoete. Em 9% dos potos as discrepâcias foram iferiores a 25,6 mm em latitude e 6,7 mm em logitude. Em razão das discrepâcias serem calculadas utilizado como referêcia os valores ajustados (reais), pode-se dizer que os resultados (RMSE) expressam a acurácia da trasformação os potos de verificação. Na comparação do modelo TPS com o ProGriD, verificou-se que a modelagem por TPS proporcioa meores discrepâcias os potos de cotrole após a trasformação das coordeadas. Em 9% dos potos de cotrole as discrepâcias calculadas foram iferiores a 1,2 mm e,9 mm para o modelo TPS e 43,2 mm e 44,8 mm para o ProGriD, respectivamete, em latitude e logitude. Os valores de RMSE foram de,9 mm e,6 mm com o modelo TPS e 43,2 mm e 44,8 mm com o ProGriD. Foi possível observar que ao utilizar o modelo TPS todos os idicadores estatísticos cosiderados sofreram redução superior a 97% em seus valores. Em fução dos resultados apresetados, coclui-se que a modelagem por TPS mostrou-se eficiete a trasformação de coordeadas e a modelagem das distorções etre realizações de refereciais geodésicos, proporcioado uma trasformação de qualidade e que garate itegridade aos dados trasformados. A partir das aálises realizadas e dos resultados obtidos, cosidera-se que a modelagem por TPS é um método promissor. Adicioalmete, destaca-se que do modo como o método foi apresetado, ele está preparado para icorporar a iformação altimétrica, quado dispoível, sem a ecessidade de adaptações, já que ele utiliza como dados de etrada as coordeadas geodésicas cartesiaas. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à Fudação Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), ao GT3, pelos dados forecidos, e à Coordeação de Aperfeiçoameto de

19 Maga Júior, J. P. et al. Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela bolsa de doutorado cocedida durate parte do desevolvimeto deste trabalho. REFERÊNCIAS BOOKSTEIN, F. L. Pricipal warps: Thi-plate splies ad the decompositio of deformatios. IEEE Trasactios o Patter Aalysis ad Machie Itelligece, v. 11,. 6, p , ju CASTANHO, J. E. C. Registro de Images: uma solução para a modelagem de deformações e automação da correspodêcia p. Tese (Doutorado em Egeharia Elétrica) Faculdade de Egeharia Elétrica e de Computação, Uiversidade Estadual de Campias, Campias. COSTA, S. M. A Itegração da rede geodésica brasileira aos sistemas de referêcia terrestres p. Tese (Doutorado em Ciêcias Geodésicas) Programa de Pós-Graduação em Ciêcias Geodésicas, Uiversidade Federal do Paraá, Curitiba. IBGE FUNDAÇÃO INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. ProGriD guia do usuário. Rio de Jaeiro, 29. Dispoível em: <ftp://geoftp.ibge.gov.br/documetos/geodesia/ projeto_mudaca_ referecial_geodesico/progrid_guia_do_usuario.pdf >. Acesso em: 1 set Resolução º 1, de 25. Altera a caracterização do sistema geodésico brasileiro, Rio de Jaeiro, fev. 25. Dispoível em: <ftp://geoftp.ibge. gov.br/documetos/geodesia/projeto_ mudaca_referecial_geodesico/legislacao/rpr_1_25fev25.pdf>. Acesso em: 1 set Resolução º 22, de Especificações e ormas gerais para levatametos geodésicos, Rio de Jaeiro, JUNKINS, D.; ERICKSON, C. Versio 2 of the Natioal Trasformatio Betwee NAD27 ad NAD83 ad its Importace for GPS Positioig i Caada. Draft Report, Geodetic Survey Divisio, Geomatics Caada, MAGNA JÚNIOR, J. P. Modelagem de distorções etre realizações de refereciais geodésicos f. Dissertação (Mestrado em Ciêcias Cartográficas) Faculdade de Ciêcias e Tecologia, Uiversidade Estadual Paulista, Presidete Prudete.. Modelagem de distorções etre SAD 69 e SIRGAS 2 pelo método de Shepard e grades regulares. Boletim de Ciêcias Geodésicas, Curitiba, v. 15,. 3, p , jul.-set O uso de thi-plate splies a trasformação de coordeadas com modelagem de distorções etre realizações de refereciais geodésicos f. Tese (Doutorado em Ciêcias Cartográficas) Faculdade de Ciêcias e Tecologia, Uiversidade Estadual Paulista, Presidete Prudete. 3 7

20 3 8 Trasformação de coordeadas com modelagem de distorções... OLIVEIRA, L. C. Realizações do Sistema Geodésico Brasileiro associadas ao SAD 69 uma proposta metodológica de trasformação p. Tese (Doutorado em Egeharia) Escola Politécica, Uiversidade de São Paulo, São Paulo. OLIVEIRA, L. C.; SANTOS, M. C.; NIEVINSKI, F. G.; LEANDRO, R. F.; COSTA, S. M. A.; SANTOS, M. F.; MAGNA JÚNIOR, J. P.; GALO, M.; CAMARGO, P. O.; MONICO, J. F. G.; SILVA, C. U.; MAIA, T. B. Searchig for the Optimal Relatioships Betwee SIRGAS2, South America Datum of 1969 ad Córrego Alegre i Brazil. I: SIDERIS, M. G. Observig our Chagig Earth. Itália: Spriger Berli Heidelberg, 28. v. 133, PINO, L. M.; FIRKOWSKI, H. Avaliação de modelos de trasformação bidimesioal para a compatibilização de bases cartográficas associadas a diversos sistemas geodésicos de referêcia. Boletim de Ciêcias Geodésicas, Curitiba, v. 15,. 2, p , abr.-ju. 29. PRESS, W. H.; TEUKOLSKY, S. A.; VETTERLING, W. T.; FLANNERY, B. P. Numerical recipes i C: the art of scietific computig. 2d ed. Cambrigde: Cambridge Uiversity Press, p TSAI, Y.; LIN, H.; HU, Y.; YU, C.; LIN, K. Thi-plate splie techique for medical image deformatio. Joural of medical ad biological egieerig, v. 2,. 4, p , out. 2. (Recebido em abril de 212. Aceito em março de 213).