MAC122 Princípios de Desenvolvimento de Algoritmos EP no. 1

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1 MAC122 Pricípios de Desevolvimeto de Algoritmos EP o. 1 Prof. Dr. Paulo Mirada 1 Istituto de Matemática e Estatística (IME) Uiversidade de São Paulo (USP) 1. Estrutura dos arquivos de images o formato PGM Uma imagem em tos de ciza I(x, y) (e.g., imagem de ultrasom, fatia tomográfica) e bidimesioal é uma matriz com N lihas e M coluas. Nesta matriz cada elemeto I(x,y), x = 0,1,,M 1 e y = 0,1,,N 1, é chamado pixel (i.e., uma abreviação de picture elemets), e o valor de I(x,y) é proporcioal ao brilho da imagem este poto, de 0 (preto) até o valor máximo (braco), quatizados em uma escala de íveis de ciza (ver Figura 1). Esses valores correspodem a itesidade de lumiosidade (ou alguma outra propriedade física relevate) amostrada por um sesor para uma dada região do espaço. Figura 1: Represetação de uma imagem moocromática digital (à esquerda). Poto idicado sobre o olho de uma imagem da Lea (cetro). Matriz de pixels em uma região de iteresse de 10 x 10 pixels em toro do poto idicado (à direita). Existem diversos formatos de arquivo para armazear uma imagem digital em um computador (e.g., JPG, PNG, PCX, BMP). Nesse EP vamos trabalhar com o formato mais simples existete, o formato PGM (Portable Gray Map). Esse formato ão usa algoritmos de compressão dos dados. O formato PGM do tipo P2 é simplesmete um arquivo texto que pode ser visualizado em um editor de textos. Cada imagem PGM é composta por: 1. Uma primeira liha idetificado o tipo de arquivo. Sempre será P2 o osso caso. 2. Opcioalmete, uma liha com cometários iiciada com o caracter #. Por questões de simplicidade, cosidere que as images que iremos trabalhar ão possuem esta liha. 3. Uma liha cotedo as dimesões da imagem: o úmero de coluas (largura) e o úmero de lihas (altura). 4. A próxima liha armazea o valor máximo de itesidade presete a imagem. 5. Na sequêcia temos os valores dos pixels que são armazeados percorredo a matriz a ordem da esquerda para a direita e de cima para baixo.

2 Portato, um arquivo PGM possui a seguite estrutura itera: P2 Largura Altura Valor maximo de itesidade Valor pixel (0,0) Valor pixel (1,0) Valor pixel (2,0) Valor pixel (x,y) Valor pixel (Largura -1, Altura -1) Na Figura 2 temos um exemplo de uma pequea imagem e do seu arquivo texto correspodete o formato PGM do tipo P2. Para mais iformações sobre o formato PGM cosulte a págia: Figura 2: Exemplo de uma imagem 18 x 7, e seu arquivo correspodete o formato PGM sedo visualizado em um editor de textos (emacs). 2. Imagem itegral O coceito de imagem itegral foi popularizado por Viola & Joes [2] o seu método para localização automática de faces em images. Nesse EP vamos explorar o coceito de imagem itegral para resolver, de modo eficiete, um problema mais simples. Uma imagem itegral II cosiste em uma represetação de uma imagem I tal que o valor a posição (x,y) de II cotém a soma de todos os pixels acima e à esquerda de (x,y) em I, icluido iclusive o valor dei(x,y) (Equação 1). Um exemplo de imagem itegral é mostrado a Figura 3. II(x,y) = x x,y y I(x,y ) (1) A imagem itegral pode ser calculada com uma úica passada a imagem origial. Tedo-se calculado a imagem itegral, é possível ecotrar a soma dos elemetos de uma área retagular qualquer da imagem origial utilizado apeas quatro acessos a elemetos da imagem itegral, coforme explicado a ilustração da Figura 4, e o exemplo da Figura 5.

3 Figura 3: Represetação matricial de uma imagem 5 x 7 em tos de ciza. Sua imagem itegral II correspodete calculada pela Equação 1. Figura 4: Uma área retagular de uma imagem em tos de ciza. Com quatro acessos a elemetos da imagem itegral é possível obter o resultado da soma dos valores a região retagular através da expressão II(C) II(B) II(D)+II(A). Figura 5: Cosidere a área retagular idicada a imagem. Com quatro acessos a elemetos da sua imagem itegral é possível obter o resultado da soma de todos valores da região retagular (ou seja, = 31) através da expressão II(C) II(B) II(D) + II(A) = = Estimativa de ível de ruído presete a imagem Algum grau de ruído sempre está presete em qualquer aparelho eletrôico que trasmite ou recebe um sial. Para as televisões esse sial são os dados da trasmissão eviados por cabo ou recebidos pela atea da TV; para as câmeras digitais, o sial é a luz que atige o sesor da câmera. Quado o ruído se dá de modo idepedete em relação a posição dos pixels a imagem, o desvio padrão do sial dos pixels sobre uma região homogêea da imagem gera uma boa estimativa do ruído existete [1]. O desvio padrão é calculado extraido a raiz quadrada da variâcia, que é dada por:

4 Var(X) = 1 (x i x) 2 i=1 (2) x = 1 x i i=1 (3) Uma formulação alterativa e equivalete pode ser obtida por: Var(X) = 1 [ ] x 2 i x2 i=1 (4) 4. Atividade Faça um programa em C que: lê o ome de um arquivo de imagem o formato PGM (e.g., fig01.pgm ), lê o tamaho T do lado de um quadrado/jaela (e.g., 50), aloca memória para a imagem e carrega a imagem do disco, desloca a jaela T x T sobre a imagem origial, calculado a variâcia do brilho dos pixels detro da jaela para cada posição (cosidere apeas as posições com a jaela iteiramete cotida a imagem, sem trasbordar para fora). imprime o valor da meor variâcia ecotrada (esse valor correspode a uma região homogêea os forecedo uma estimativa do ível de ruído). O programa deve cosiderar três implemetações diferetes para o cálculo da variâcia: cálculo através da Equação 2, percorredo duas vezes todos elemetos detro da jaela (a primeira vez para calcular x (Eq. 3)). cálculo através da Equação 4 percorredo uma úica vez os elemetos detro da jaela, utilizado duas variáveis acumuladoras (uma para a soma das itesidades dos pixels, e outra para a soma do quadrado das itesidades). cálculo através da Equação 4, porém usado images itegrais, evitado ter que acessar todos elemetos detro da jaela. No fial deve ser etregue (juto com o programa) um pequeo relatório cotedo experimetos de avaliação do tempo de execução das diferetes implemetações, para diferetes tamahos de jaela (e.g., variado etre T=10 e T=300). Esse relatório deve ser icluído detro do código fote do próprio programa a forma de um cometário de bloco. Para realizar medições de tempo, use as fuções da biblioteca padrão time.h: #iclude <time.h> it mai(){ clock_t start, ed; double cpu_time_used; start = clock(); /* Codigo a ser croometrado */

5 ed = clock(); cpu_time_used = ((double) (ed - start)) / CLOCKS_PER_SEC; No código acima cpu time used armazea o tempo gasto pela operação em segudos. Observações: Procure utilizar fuções sempre que possível para resolver cada subtarefa (e.g., uma fução para alocar memória da matriz, uma fução para leitura dos dados do arquivo, uma fução para calcular a imagem itegral de uma imagem forecida como parâmetro). Para evitar problemas com overflow 1, sugiro utilizar o tipo log log ou double para a represetação da imagem itegral. Istruções mais específicas para padroizar e facilitar a correção serão dispoibilizadas o fórum do PACA. Referêcias [1] Johaes T. Heverhage. Noise measuremet ad estimatio i MR imagig experimets. Radiology, 245: , Dec doi: /radiol [2] P. Viola ad M. Joes. Rapid object detectio usig a boosted cascade of simple features. I Iteratioal Coferece o Computer Visio ad Patter Recogitio (CVPR), volume 1, pages I 511 I 518, A codição de overflow ocorre quado o valor atribuído a uma variável é maior que o maior valor que o tipo desta variável cosegue represetar.

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